多边缘Skorokhod嵌入的几何

给定ξ∈ Mdand s≥ 0我们定义了随机测量ξ∧ s onΞdby设置为 Ξ和每个（x，ω）∈ X（ξ∧ s） x，ω（A）=ZA（s∧ ssd公司∧ s） ξx，ω（ds，…，dsd）。多边缘SKOROKHOD嵌入25的几何结构假设（Ms）s≥0是X上的一个过程。然后（Mξs）s≥0定义为Rd+1上的概率度量，对于所有有界和可测函数F：Rd+1→ RZRd+1F（y）Mξs（dy）=ZX×dF（M（x，ω），Ms（x，ω），Msd（x，ω））（ξ∧s） （dx，dω，ds，…，dsd）。这意味着Mξ是ξ的图像度量∧ 图M下的s:X×Ξd→ Rd+1定义为（x，ω，s，…，sd）7→ （M（x，ω），Ms（x，ω），Msd（x，ω））。我们写LIM→∞Mξs=Mξ（如果存在）。3.3。设置RMST（u，u，…，un）、紧凑性和优化器的存在性。在本小节中，我们专门设置X=R，m=u∈ P（R）和d=n。设u，u，un∈P（R）居中，以凸顺序，并具有有限的秒动量矩xui（dx）=Vi<∞就我而言≤ n、 尤其是Vi≤ Vi+1。对于t≥ 0我们设置Bt（x，ω）=x+ωt。通过设置B（x，ω，u）=B（x，ω），我们将Bt扩展到扩展概率空间x。通过考虑启动“Bt”- t我们立即得到引理3.16（更多细节请参见[2]中引理3.12的证明）。Letξ∈ RMSTnand假设Bξ=（u，u，…，un）。设（ρ，…，ρn）为引理3.10给出的ξ的任何表示。那么，以下是等效的（1）(R)E【ρi】<∞ 适用于所有1≤ 我≤ n（2）(R)E【ρi】=Vi- 所有1的VF≤ 我≤ n（3）（\'Bρi∧t） t型≥0对所有1一致可积≤ 我≤ n、 当然，对于i=n.definition 3.17，有必要测试上述任何数量。我们用RMST（u，u，…，un）表示满足引理3.16中条件之一的所有随机多停止时间集。通过粘贴一个边缘Skorokhod嵌入问题的解决方案，可以看到设置的RMST（u，u，…，un）是非空的。然而，最重要的属性是Proposition 3.18。设置RMST（u，u，…）。

，un）是C（R+）×d.证明上连续和有界函数诱导的拓扑的紧wrt。这是在集合RMST（u，u，…，un）闭合时，在【2，定理3.14】中建立的RST（un）的紧性的直接结果。这个结果使我们能够推导出优化问题的一个关键结果：定理2.1的证明。这源于命题3.18和Portmanteau定理。3.4。停车时间的接合。现在我们引入连接的概念；这些将在稍后用于确定新的停车时间，这些时间是我们优化问题的候选竞争对手。定义3.19。设（Y，σ）为波兰概率空间。P=m之间连接的集合连接（m，σ） W和σ被定义为包含所有子概率测度π∈ P≤1（X×R+×Y），使得oprojX×R+（πX×R+×B）∈ 所有B的RST（X，m）∈ B（Y）；oprojX（π）=PoprojY（π）≤ σ。可以放松这一点，请参见[2，第8节]26 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmanexample 3.20。续集中的一个重要示例是由X=S构造的概率空间（X，P）对于ξ，iRand m=ri（ξi）∈ RMSTn（R，u）和0≤ i<n，我们设置的位置0=R，R（ξ）=u导致X=SiR×C（R+）和P=ri（ξi）W=~ri（ξi）（参见推论3.13）。4、颜色交换、多色交换和停止-进行配对在本节中，我们将定义停止-进行配对的一般概念，该概念已在第2.1节中以较弱的形式引入。我们将分两步进行。首先，我们定义颜色交换对，然后我们将几个颜色交换组合起来，以获得多色交换。他们一起构建了走走停停配对。我们对不同交换规则的基本直觉来自下图。我们可以想象，每个度量值u，un代表某种颜色，即测量ui代表颜色i。

布朗运动被认为是由某种颜色的粒子来表示的：在时间零点，布朗粒子的颜色为1，当它第i次停止时，它的颜色从i变为i+1（参见第2.1节中的图1）。在识别停走对时，我们要考虑两个子路径，（f，s，…，si）和（g，t，…，ti），并设想未来的停止规则，现在将是一系列颜色变化，通过将路径ω连接到两条路径上获得。创建新停止规则的最简单方法就是简单地交换彩色尾巴。这将保留已停止进程的边际法则，同时生成新的多次停止时间。该规则的一般化是尝试在第j次颜色更改时切换回原始颜色规则，其中i<j。在这种情况下，人们将交换颜色，直到第一次其中一条路径停止第j次，然后尝试恢复到前一次停止规则。然而，请注意，这可能是不可能的：如果另一条路径尚未到达j-第一次换颜色，则规则无法停止，因为必须从第j种颜色切换到第j种颜色- 第一种颜色，这是不允许的。相反，在这种情况下，我们只保留交换的颜色。我们把这种自然的重新聚集规则称为颜色交换（或i<-> j颜色交换）。我们将在第4.2节中定义此类颜色交换对。在考虑这些颜色互换之后，很明显，何时恢复到原始停止规则的确定可以用更复杂的方式来确定。例如，与其仅在第j次颜色变化时恢复，不如在每次颜色变化时恢复，并在第一次恢复时恢复。这个重新聚集规则给了我们第二组可能的路径交换，我们称这种对为多色交换。

我们将在第4.3节中定义这些回收规则。当然，可以轻松创建大量其他规则。就我们的目的而言，颜色互换和多色互换将是有效的，但可以很容易地考虑其他通用性。重新聚集规则的一个重要方面是，它们提供了从一个停止规则映射到另一个停止规则的方法，需要验证的一个重要方面是，新的停止规则确实定义了随机的多次停止时间。We fixξ∈ RMSTn（R，u）和γ：SnR编号→ R、 如前一节所述，我们表示ξi=ξ（1，…，i）=projX×（1，…，i）（ξ）。对于（x，f，s，…，si）∈ SiRwe写入（f，s，…，si）并同意f（0）=x∈ R、 对于（f，s，…，si）∈ S伊兰德（h，s）∈ 我们通常写（f，S，…，si）|（h，S）而不是（f，S，…，si） （h，s）∈ Si+1强调（f，s，…，si）在（h，s）上的延拓条件的概率解释。4.1. 彩色粒子和条件随机多次停止时间。根据推论3.13和备注3.14（对于i=0），对于每个0≤ 我≤ n测度ξ（f，s，…，si）是多边缘SKOROKHOD嵌入27ri（ξi）的几何体-a、 随机多次停车时间。对于每个0≤ 我≤ n- 1我们将分解（ξ（f，s，…，si），ω）（f，s，…，si），ω为rn，i（ξ）w.r.t.~ri（ξi），并设置ξ（f，s，…，si）=ξ（f，s，…，si），ωw（dω）。我们需要考虑随机多次停止时间，条件是尚未停止颜色为i+1的粒子。为此，观察ξi+1（f，s，…，si）：=projC（R+）×Ξ（ξ（f，s，…，si）），定义了~ri+1，i（ξi+1）wrt ri（ξi）的分解。根据定义3.9，ξi+1（f，s，…，si）∈ RST a.s.和WE setAξ（f，s，…，si）（ω，t）：=aξ（f，s，…，si）（ω[0，t]，t）：=（ξi+1（f，s，…，si））ω（[0，t]），这是定理3.7对ri（ξi）很好的定义-几乎每个（f，s，…，si）。对于（f，s。

，si）∈ SiRwe定义了给定的条件随机多站时间（h，s）∈ S是C（R+）×n上的（次）概率测度ξ（f，S，…，si）|（h，S）-igiven by（ξ（f，s，…，si）|（h，s））ω（[0，Ti+1]×…×[0，Tn]）（4.1）=（ξ（f，s，…，si））h⊕ω（（s，s+Ti+1）×…×（s，s+Tn）），如果Aξ（f，s，…，si）（h，s）<1Aξ（f，s，…，si）（h，s）（ξ（f⊕h、 s，。。。，si，si+s））ω（[s，s+Ti+2]×…×[s，s+Tn]），如果Aξ（f，s，…，si）（h，s）=1，其中Aξ（f，s，…，si）（h，s）=Aξ（f，s，…，si）（h，s）- Aξ（f，s，…，si）（h，s-). （4.1）中的第二种情况对应于（ξi+1（f，s，…，si））h⊕ω在s时刻有一个原子，它吞噬了“所有剩余的（正）质量”，这当然与ω无关。这导致δ出现在下面的（4.2）中。此外，在这种情况下，也可能是所有颜色为j的粒子∈ {i+2，…，n}在时间s被（ξi+1（f，s，…，si））h终止⊕ω。这就是（4.1）右侧第二行中间隔关闭的原因。分别使用引理3.10。推论3.12不难看出（4.1）确实定义了一个随机的多次停止时间（第一种情况下，你只需考虑表示ξ（f，s，…，si）的停止时间ρl（ω，u，…，ul），其中u>aξ（f，s，…，si），第二种情况是立即发生的）。因此，我们通过ξ（f，s，…，si）|（h，s）定义归一化条件随机化多次停车时间：=1.-Aξ（f，s，…，si）（h，s）·ξ（f，s，…，si）|（h，s）如果Aξ（f，s，…，si）（h，s）<1，Δξ（f⊕h、 s，。。。，si，si+s）如果Aξ（f，s，…，si）（h，s-) < 1和Aξ（f，s，…，si）（h，s）=1，δ···δelse。（4.2）我们强调，ξ（f，s，…，si）|（h，s）和ξ（f，s，…，si）|（h，s）的构造仅依赖于▄rn，i（ξ）w.r.t.▄ri（ξ）的固定分解。特别地，映射（（f，s，…，si），（h，s））7→ξ（f，s，…，si）|（h，s）（4.3）是可测量的。回想一下命题3.1给出的Sx的Borel集和X×R+中的可选集之间的联系。定义4.1。

设（X，m）为波兰概率空间。A组F SX被称为Mevanesent i off-1X（F） X×R+是消失的（wrt概率空间（X，P）），如果存在 X使得P（A）=（m W） （A）=1和rX（A×R+）∩ F=.根据推论3.13，ξ（f，s，…，si）∈ RMSTn公司-ifor ri（ξi）a.e.（f，s，…，si）∈ Si、 nextlemma说，对于典型的（f，s，…，si）|（h，s）∈ Si+1这仍然适用于ξ（f，s，…，si）|（h，s）。引理4.2。Letξ∈ RMST和FIX 0≤ i<n.28马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·M.G·考克斯和马丁·休斯曼（1）(R)ξ（f，s，…，si）|（h，s）∈ RMSTn公司-i外侧a ri（ξi）-消失集。（2） 如果F:Sn→ 满足率ξ（Fo rn）<∞, 然后，集合{（f，s，…，si）|（h，s）：(R)（f，s，…，si）|（h，s）（f（f，s，…，si）|（h，s）⊕o 注册护士-i） =∞} 是ri（ξi）-消逝的。尤其是，这适用于F（F，s，…，sn）=snifξ∈ RMST（u，…，un）。备注4.3。观察推论3.13的直接结果，假设ξ（Forn）<∞,是{（f，s，…，si）：ξ（f，s，…，si）（f（f，s，…，si）o 注册护士-i） =∞} 是一个ri（ξi）空集。引理4.2的证明。很明显ξ（f，s…，si）|（h，s）∈ RMST。根据推论3.13、（4.2）和备注4.3，有必要在附加假设aξ（f，s…，si）（h，s）<1的情况下显示权利要求。因此，考虑u={（f，s，…，si）|（h，s）：Aξ（f，s，…，si）（h，s）<1，(R)ξ（f，s，…，si）|（h，s）<RMSTn-i} ，U={（f，s，…，si）|（h，s）：Aξ（f，s…，si）（h，s）<1，(R)ξ（f，s，…，si）|（h，s）（f（f，s，…，si）|（h，s）⊕o 注册护士-i） =∞}.设置Aξ（f，s，…，si）（ω）：=lims→∞Aξ（f，s，…，si）（r（ω，s））。然后，（f，s，…，si）|（h，s）∈ Uis当量θ（f，s，…，si）（h⊕ ω） W（dω）<1。设置X=Siand m=ri（ξi），回想一下，X上的自然坐标过程用Y表示。给定（X，G，P）上的G停止时间τ，我们得到了ri（ξi）a.s。

根据强马尔可夫性和ξ几乎肯定是一个有限停止时间的事实：1=ZAξ（f，s，…，si）（ω）W（dω）=Z“τ（ω）=∞Aξ（f，s，…，si）（ω）+Zτ（ω）<∞Aξ（f，s，…，si）（ω[0,τ]⊕ ω）W（￠ω）#W（dω），表示P[（（Ys）s≤τ, τ) ∈ U] =0。因此，第一部分遵循optionalsection定理。此外，设置α（d（x，ω），dt）=Δτ（x，ω）（dt）P（d（x，ω）），我们有Zudrx（α）（x，h，s）（1- Aξx（h，s））’ξx |（h，s）（Fx |（h，s）⊕) ≤ ξ（F）<∞,意味着rX（α）（U）=0。因此，我们有P[（（Ys）s≤τ, τ) ∈ U] =0通过可选截面定理证明权利要求，例如[18，定理IV 84和IV 85]（另见备注5.5）。4.2。颜色交换。作为定义走走停停配对的第一步，我们引入了一个重要的构建块，即颜色交换配对。根据推论3.12和推论3.13，对于ri（ξi）a.e.（g，t，…，ti），有一个递增序列（ρj（g，t，…，ti）），nj=i+1of'Fa停止时间，使得ω7→Z[0,1]n-iΔρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dti+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dtn）定义了ξ（g，t，…，ti）w.r.t.wu的可测崩解。类似地，引理4.2，在一个ri之外-1（ξi-1） 消失集，用于（f，s，…，si-1） |（h，s）∈ SIr使得ξ（f，s，…，si-1） |（h，s），δ···δ有一个递增序列（ρj（f，s，…，si-1） |（h，s））nj=iof？Fa停止时间，ω7→Z[0,1]n-i+1Δρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dsi）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsn）定义了Fa-可测量的ξ（f，s，…，si）分解-1） |（h，s）w.r.t.wu。

我们做了一个重要的观察，如果Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1（因此在这种情况下Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）>0），我们有ρi（f，s，…，si-1） |（h，s）≡ δ.多边缘SKOROKHOD嵌入29的几何结构该表示允许我们通过在同一概率空间上实现ρj（g，t，…，ti）停止时间和ρk（f，s，…，si）|（h，s）停止时间来耦合两个停止规则Ohmfh、 g：=C（R+）×[0，1]n-i+1，其中一个u坐标对于ρj（g，t，…，ti）停止时间来说是非常复杂的。对于（f，s，…，si-1） ，（h，s）和（g，t，…，ti）如上所述，n>j≥ iwe定义∧fh、 gj：=n（ω，u）∈Ohmfh、 g：ρj（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）∨ ρj（g，t，…，ti）（ω，u）≤ ρj+1（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）∧ ρj+1（g，t，…，ti）（ω，u）o.（4.4）注意，这是一个可以将停止规则从颜色i交换到颜色j的集合，而不是将停止规则交换到大于j的颜色。颜色i和j，i之间的颜色交换对集合≤ j<n，用CSξi表示<-> JIS定义为包括所有（f、s、…、si-（1）∈ S我-1R，（h，s）∈ S和（g，t，…，ti）∈ SI例如，F⊕ h（si-1+s）=g（ti），1- Aξ（f，s，…，si-1） （h、s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）>0，和zγ（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，si，…，sn）’ξ（f，s，…，si-1） |（h，s）（dω，dsi，…，dsn）+Zγ（g，t，…，ti）（ω，ti+1，…，tn）ξ（g，t，…，ti）（dω，dti+1，…，dtn）>ZW（dω）du∧fh、 gj（ω，u）“Zγ（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，ti+1，…，tj，sj+1，…，sn）Δρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dti+1）··Δρj（g，t，…，ti）（ω，u）（dtj）Δρj+1（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsj+1）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsn）+Zγ（g，t，…，ti）⊕（ω，si，…，sj，tj+1，…，tn）Δρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dsi）··Δρj（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsj）Δρj+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dtj+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dtn）#+ZW（dω）du1.-∧fh、 gj（ω，u）“Zγ（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，ti+1，…）。

，tn）Δρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dti+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dtn）+Zγ（g，t，…，ti）⊕（ω，si，…，sn）Δρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dsi）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsn）#。（4.5）此外，我们同意（4.5）适用于以下每种情况（1）(R)ξ（f，s，…，si-1） |（h，s）<RMSTn-i+1，ξ（g，t，…，ti）<RMSTn-i；（2） 左侧为有限；（3） 出现的任何积分都没有很好的定义。然后我们设置CSξi=Sj≥iCSξi<-> j、 备注4.4。（1） 如果∧f⊕h、 gj，“”Ohmfh、 git不能仅将颜色/停止规则从颜色i更改为j。关于∧f的补码⊕h、 g，我们必须将整个停止规则从颜色i切换到颜色n，以保持在随机多停止时间类别内。这正是两个大积分出现在不等式右侧的原因。（2） 回想一下ρi（f，s，…，si-1） |（h，s）=δ是可能的，因此在（4.5）的两侧，颜色i的停止规则实际上是相同的，我们仅从颜色i+1开始更改停止规则。30 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN HUESMANN（3）对于CSξi<->I条件1- Aξ（f，s，…，si-1） （h、s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）>0是不需要的，因为没有不满足此条件的颜色交换对（具有定义良好的积分）。4.3。多色交换。引入颜色交换对后，我们现在可以继续将不同的颜色交换组合成多色交换对。如上所述，aimis现在需要尽快调回。为此，我们考虑以下分区Ohmfh、 gde的定义是，根据此分区修改停车规则，将随机多停车时间转换为随机多停车时间（c.f。

(2.1)).Ohmfh、 g=n[j=i∧fh、 gj \\∪j-1k=i∧fh、 gk公司, （4.6）式中∧fh、 gn：=nρi+1（g，t，…，ti）<ρi（f，s，…，si-1） |（h，s），ρn（g，t，…，ti）<ρn（f，s，…，si-1） |（h，s）o。这确实是一个划分：不同的集合通过构造是不相交的。因此，（4.6）的右侧包含在左侧。我们需要证明converseconclusion也成立。取（ω，u）∈Ohmfh、 g.如果ρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）≥ ρi（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u），然后（ω，u）∈ ∧f⊕h、 gi。否则，它认为ρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）<ρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）≤ ρi+2（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）和ρi+2（g，t，…，ti）（ω，u）≥ ρi+1（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）或ρi+2（g，t，…，ti）（ω，u）<ρi+1（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）≤ ρi+3（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）。在前一种情况下，我们有（ω，u）∈ ∧f⊕h、 gi+1∧f⊕h、 在后一种情况下，我们有ρi+3（g，t，…，ti）（ω，u）≥ ρi+2（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）或ρi+3（g，t，…，ti）（ω，u）<ρi+2（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）≤ ρi+4（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）。通过归纳，如下所述。我们把∧fh、 gj=∧fh、 gj \\∪j-1k=i∧fh、 gk。然后，从颜色i开始，用MCSξi表示的所有多色交换对集被定义为包含多边缘SKOROKHOD嵌入31（f，s，…，si）的所有几何体-（1）∈ S我-1R，（h，s）∈ S，（g，t，…，ti）∈ SIr使f⊕ h（si-1+s）=g（ti）和Zγ（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，si，…，sn）’ξ（f，s，…，si-1） |（h，s）（dω，dsi，…，dsn）+Zγ（g，t，…，ti）（ω，ti+1，…，tn）ξ（g，t，…，ti）（dω，dti+1，…，dtn）>ZW（dω）dun-1Xj=i\'∧fh、 gj（ω，u）Zγ（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，ti+1，…，tj，sj+1，…，sn）Δρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dti+1）··Δρj（g，t，…，ti）（ω，u）（dtj）Δρj+1（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsj+1）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsn）+Zγ（g，t，…，ti）⊕（ω，si，…，sj，tj+1，…）。