多边缘Skorokhod嵌入的几何

在正则概率空间上考虑随机多停时间在技术上是很方便的，其中有足够的额外随机性，与布朗运动无关，但我们将在引理3.10中证明，任何足够丰富的概率空间都将有效。嵌入给定度量序列的随机多停止时间集的一个关键特性是，该集在适当（弱）拓扑中是紧的，这将在命题3.18中得到证明；由此产生的一个重要结果是，多边际SEP的优化者在相对温和的目标假设下存在（定理2.1）。在第4节中，我们介绍了颜色交换对和多色交换对的概念。这些将是“坏对”集合的基本组成部分，或者是我们不希望在最佳解决方案中看到的阻塞路径和运行路径的组合。在本节中，我们定义了这些对，并证明了这些集的一些技术特性。在第5节中，我们完成了定理2.4的证明。从精神上讲，这遵循了[2]中相应结果的证明，我们在此仅提供证明需要适应的细节，以说明多重边际设置。1.2。常用符号。o空间X上的（次）概率测度集用P（X）/P表示≤1（X）。oΞd={（s，…，sd）：0≤ s≤ . . . ≤ sd}表示d维单纯形。od维勒贝格度量将用Ld表示对于X上的测度ξ，我们写f（ξ）表示ξ在f:X下的推进→ Y、 o我们使用ξ（f）和rf dξ来表示函数f对测量ξ的积分。oCx（R+）表示从x开始的连续函数；C（R+）=Sx∈RCx（R+）。

对于ω∈ C（R+）我们为由（θsω）t定义的C（R+）中的路径写θsω≥0=（ωt+s-ωs）t≥0.oW表示维纳测度；Wu表示根据概率u开始的布朗运动定律；F（Fa）对C（R+）的自然（增强）过滤对于d∈ N我们设置C（R+）=C（R+）×0，1]d，(R)W=W Ld，且F=（\'Ft）t≥0（Ft）的常用增强B（[0，1]d））t≥为了保持符号的可管理性，我们从符号中取消了数据，因为从上下文中总是可以清楚地看到精确的数字。6 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN HUESMANNoX是一个具有Borel概率测度M的波兰空间。我们设置X：=X×C（R+），P=MW、 G=（Gt）t≥0=（B（X）Ft）t≥0，G的通常增广。对于d∈ N我们设置\'X=X×[0，1]d，\'P=P Ld，和'G=（'Gt）t≥0（Gt）的常用增强 B（[0，1]d））t≥0.同样，我们从符号中取消了d，因为从上下文中总是可以清楚地看到精确的数字。o从0开始的停止路径集由S={（f，S）：f：[0，S]→R是连续的，f（0）=0}，我们定义R:C（R+）×R+→ S乘以r（ω，t）：=（ω[0，t]，t）。从X开始的停止路径集是SX=（X，S）={（X，f，S）：f：[0，S]→ R是连续的，f（0）=0，x∈ 十} 我们定义rX:X×C（R+）×R+→SXby rX（x，ω，t）：=（x，ω[0，t]，t），即rX=（Id，r）。o我们使用⊕ 对于路径的串联：根据上下文，参数可能是S、C（R+）或C（R+）×R+的元素。具体而言，⊕ : Y×Z→ Z、 其中，y是S或C（R+）×R+，Z可以是三个空格中的任意一个。例如，if（f，s）∈ S和ω∈ C（R+），然后（f，s）⊕ ω是路径ω（t）=f（t）t≤ sf（s）+ω（t- s） t>s.（1.1）o除了简单的路径拼接之外，我们还引入了一个跟踪拼接时间的拼接算子：if（f，s），（g，t）∈ S，然后（f，S） （g，t）=（f⊕ g、 s，s+t）。

我们表示这种形式的元素集asS2，感应式S以同样的方式。oS元素我通常用（f，s，…，si）或（g，t，…，ti）表示。Wede FINE ri:C（R+）×i→ Siby ri（ω，s，…，si））：=（ω[0，si]，s，si）。因此，在X中开始的i次停止路径集是SiX=（X，Si） 。S元素IX通常用（x、f、s、…、si）或（y、g、t、…、ti）表示。在X=Rwe的情况下，我们通常只写（f，s，…，si）或（g，t，…，ti），理解为f（0），g（0）∈ R、 如果没有混淆的危险，我们有时还会写SiR=Si、 操作员⊕,  以明显的方式概括S的所有元素IX位于操作员左侧。o对于（x，f，s，…，si）∈ S九、（h、s）∈ 我们通常用（x，f，S，…，si）|（h，S）表示它们的串联，这是与（x，f，S，…，si）相同的元素 （h，s）给出了条件作用于（f，s，…，si）由（h，s）延续的概率解释。在实践中，这意味着我们通常期望（h，s）被稍后的⊕ 操作。o映射X×Ξi3（X，ω，s，…，si）7→ （x，ω[0，si]，s，si）∈ SiXwill（通过稍微滥用符号）也用ri表示我们设置▄ri:X×i→ SiX×C（R+）（x，ω，s，…，si）7→ （（x，ω[0，si]，s，si），θsiω）。那么▄Ri显然是一个具有逆映射▄r的同胚-1i：（（x，f，s，…，si），ω）7→ （x，f⊕ ω、 s，si）。因此，ξi=~r-1i（￠ri（ξi））。对于1≤ i<d我们可以将▄rito a map▄rd，i:X×d→SiX×C（R+）×d-iby设置▄rd，i（x，ω，s，…，sd）=（（x，ω[0，si]，s，si），θsiω，（si+1- si，sd公司- si））。o对于Γi Siwe setΓ<i：={（f，s，…，si-1，si）：（￠f，s，…，si）-1，秒）∈ Γ，si-1.≤ si<s和f≡~f在[0，s]}上，其中我们设置s=0对于（f，s。

，si）∈ Siwe writef=supr≤sif（r），f=infr≤sif（r）。多边缘SKOROKHOD嵌入的几何7oFor 1≤ S上的i<n和F a函数重新恢复。C（R+）×nand（f，s，…，si）∈ Siwe setF（f，s，…，si）（η，ti+1，…，tn）：=F（F⊕ η、 s，si，si+ti+1，si+tn）=F（（F，s，…，si） （η，ti+1，…，tn）），其中（η，ti+1，…，tn）可以是S的元素n-i、 或C（R+）×n-i、 我们同样定义（f、s、…、si）⊕（η，ti+1，…，tn）：=F（F⊕ η、 s，si公司-1，si+ti+1，si+tn）=F（（F，s，…，si）⊕ （η，ti+1，…，tn）），其中（η，ti，…，tn）可以是S的元素n-i+1或C（R+）×n-i+1.o对于任意j元组1≤ i<…<ij公司≤ d我们用projX×（i，…，ij）表示从X×rdo到X×rj的投影，由（X，ω，y，…，yd）7定义→ （x，ω，yi，…，yij），相应地，对于ξ∈ P（X×Rd），ξ（i，…，ij）=projX×（i，…，ij）（ξ）。当j=0时，我们将其理解为X上的投影。如果（i，…，ij）=（1，…，j），我们意味着写入ξ（1，…，j）=ξi.2。主要结果2.1。存在性与单调性原理。在本节中，我们将介绍我们的主要结果，并提供概率方面的解释。为了更接近经典的概率概念，在本节中，我们稍微偏离了本文其余部分中使用的符号。我们考虑了一个一般概率空间上的布朗运动B，并对每一个1≤ 我≤ n、 Si： ={（f，s，…，si）：0≤ s≤ . . . ≤ si，f∈ C（[0，si]）}。我们注意到Sicarries具有自然的波兰拓扑结构。对于函数γ：Sn→ 当R为Borel且R上的中心概率测度序列（ui）ni=0，在凸序中增加时，我们对优化问题pγ=inf{E[γ（（Bs）s）感兴趣≤τn，τ，τn）]：τ，τnsatisfy（MSEP）}。（OptMSEP）我们用Optγ表示（OptMSEP）的所有极小值集。取另一个Borel可测函数γ：Sn→ R

我们还将对二次优化问题pγ|γ=inf{E[γ（（Bs）s）感兴趣≤τn，τ，τn）]：（τ，…，τn）∈ 选择γ}。（OptMSEP）优化问题（OptMSEP）和（OptMSEP）都将不取决于基础概率空间的特定选择，前提是(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）表示它支持布朗运动（Bt）t≥0从定律u开始，一个独立的、均匀分布的随机变量Y，它是F-可测的（见引理3.10）。从现在起，我们将假设我们正在这个环境中工作。在这个空间上，我们表示由FB的布朗运动产生的过滤。我们通常会假设（OptMSEP）和（OptMSEP）在Ehγ意义下是适定的（Bs）s≤τn，τ，τn土地和Ehγ（Bs）s≤τn，τ，τniexist的值位于(-∞, ∞]对于求解（MSEP）的所有τ=（τ，…，τn），并且对于其中一个τ是有限的。定理2.1。设γ，γ：Sn→ R应为lsc，并从下方有界。然后，存在amimizer to（OptMSEP）。8 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann函数γ、γ在下面有界的条件可以很容易地放宽（见[2，定理4.1]）。我们将在第3.3节中证明这一结果。我们的主要结果是单调性原理，即定理2.4，它是（OptMSEP）优化器^τ=（^τ，…，^τn）的几何特征。我们在这里陈述的版本比我们将在第5节中证明的结果弱，但更容易表述，并且仍然能够满足我们的预期应用。对于两类增加停车时间（σj）nj=iand（τj）nj=Iw且τi=0，我们定义：=inf{j≥ i：τj+1≥ σj}和停止时间▄σj=（τjif j≤ kσjif j>k类似地|τj=（σjif j≤ kτjif j>k。请注意，（|σj）nj=i和（|τj）nj=i又是两类增加的停车时间，因为|τi=σi≤ §τi+1=τi+1≥σiτi+1+τi+1<σiσi+1≤ §τi+2=τi+1≥σiτi+2+τi+1<σi（τi+2≥σi+1τi+2+τi+2<σi+1σi+2）（2.1）≤ τi+3=。

，以及类似的σj定义2.2。一对（（f，s，…，si-1，s），（g，t，…，ti-1，t））∈ Si×SI建立第i个stop go对，写入（（f，s，…，si-1，s），（g，t，…，ti-1，t））∈ SGi，如果f（s）=g（t）和FB停止时间σi的所有族≤ . . . ≤ σn，0=τi≤ τi+1≤ . . . ≤ τnsatisfying0<E[σj]<∞ 就我而言≤ j≤ n和0≤ E[τj]<∞ 对于所有i<j≤ nE[γ（（f⊕ B） u）u≤s+σn，s，si公司-1，s+σi，s+σi+1，s+σn]+ E[γ（（g⊕ B） u）u≤t+τn，t，ti公司-1，t，t+τi+1，t+τn]> E[γ（（f⊕ B） u）u≤s+～σn，s，si公司-1，s，s+∑i+1，s+￠σn] （2.2）+E[γ（（g⊕ B） u）u≤t+～τn，t，ti公司-1，t+～τi，t+～τi+1，t+～τn],无论何时，只要两侧都很明确，左手侧也很明确。（见图1。）一对（（f，s，…，si-1，s），（g，t，…，ti-1，t））∈ Si×Si建立二级i-thstop-go对，写入（（f，s，…，si-1，s），（g，t，…，ti-1，t））∈ SG2，i，如果f（s）=g（t）和FB停止时间σi的所有族≤ . . . ≤ σn，0=τi≤ τi+1≤ . . . ≤ τnsatisfying0<E[σj]<∞ 就我而言≤ j≤ n和0≤ E[τj]<∞ 对于所有i<j≤ n不等式（2.2）适用于≥ 如果有等式，我们就有e[γ（（f⊕ B） u）u≤s+σn，s，si公司-1，s+σi，s+σi+1，s+σn]+ E[γ（（g⊕ B） u）u≤t+τn，t，ti公司-1，t，t+τi+1，t+τn]> E[γ（（f⊕ B） u）u≤s+～σn，s，si公司-1，s，s+∑i+1，s+￠σn] （2.3）+E[γ（（g⊕ B） u）u≤t+～τn，t，ti公司-1，t+～τi，t+～τi+1，t+～τn],无论何时，只要两侧都已确定，且左侧（2.3）已确定。对于0≤ i<j≤ n我们定义项目i： S j→ Siby（f，s，…，sj）7→ （f）[0，si]，s。

，si）取s=0，s0=R和f[0,0]：=f（0）∈ R、 多边缘SKOROKHOD嵌入9txt1t t+τ3t+τ4t+τ5s1ss+σ2s+σ3s+σ4s+σ5gftxt1t+τ3t+τ5s1ss+σ3s+σ4t+σ5gft图1。我们展示了一对潜在的“坏组合”。在上图中，我们展示了一对（（f，s，s），（g，t，t））以及相应的停止时间τ，τ和σ，σ。在底图中，停止时间|τ。τ和σ，所示为σ。请注意，停止规则第一次可以“恢复”到其原始时间的时间是▄τ和▄σ。定义2.3。A集合Γ=（Γ，…，Γn）与Γi S每个i的iff称为γ|γ-单调iff≤ 我≤ nSG2，i∩ （Γ<i×Γi）=,式中，Γ<i={（f，s，…，si-1，u）：存在（g，s，…，si）-1，s）∈ Γi，si-1.≤ u<s，g[0，u]=f}，和projS我-1（Γi） Γi-1、定理2.4（单调性原理）。设γ，γ：Sn→ R是Borel可测的，Bbe是随机基上的布朗运动(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）带B~ u并设^τ=（^τ，…，^τn）为（OptMSEP）的优化器。然后存在一个γ|γ-单调集Γ=（Γ，…，Γn）支持^τ，在这个意义上，P-a.s.对于所有1≤ 我≤ n（（Bs）s≤τi，τ，τi）∈ Γi.（2.4）备注2.5。我们还将考虑给定j个可测函数γ，…，的三元或j元优化问题，γj:Sn→ R通向三元或j元i-th stop go pairs10 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN HUESMANNSGi，3，SGi，jfor 1≤ 我≤ n、 γj |的概念|γ-单调集及其对应的单调性原理。为了保存（数字）树，我们让读者写下相应的定义。2.2。新的n-边缘嵌入。2.2.1. n-边缘根嵌入。经典的根嵌入[53]证明了障碍（或右障碍）R的存在 R+×R，使得R的第一次命中时间解决了Skorokhod嵌入问题。

屏障R是一个Borel集，其（s，x）∈ R=>（t，x）∈ 对于所有t>s，R。此外，对于严格凸函数h:R，根嵌入具有最小化[h（τ）]的性质+→ R Skorokhodembedding问题的所有解决方案，参见【54】。我们将证明存在唯一的n-边缘根嵌入，即存在n个势垒（Ri）ni=1，对于每个i≤ 在Ria的第一次击中时间，在击中Ri后-1嵌入ui.定理2.6（n-边际根嵌入，c.f.[14]）。放置γi:Sn→ R、 （f，s，…，sn）7→一类严格凸函数的h（si）h:R+→ R并假设（OptMSEP）是适定的。然后存在n个势垒（Ri）ni=1，这样定义τ根（ω）=inf{t≥ 0：（t，Bt（ω））∈ R} 对于1<i≤ nτRooti（ω）=inf{t≥ τRooti-1（ω）：（t，Bt（ω））∈ Ri}对于所有1≤ 我≤ n在所有增加的停止时间族（|τ，…，|τn）中，使得B|τj~ uJ适用于所有1≤ j≤ n、 这个解是唯一的，因为对于任何解|τ，对于这种势垒类型，我们有τRooti=△τia。s、 证明。固定{1，…，n}的置换κ。我们考虑函数λγ=γκ（1），γn=S上的γκ（n）与之对应的n元最小化问题族（OptMSEPn）。设（τRoot，…，τRootn）是Pγn ||~γ. 根据定理2.1的n元版本，选择（OptMSEPn）的优化器（τRoot，…，τRootn），根据定理2.4的相应版本，选择aγn |…|~γ-支持（τ根，…，τ根）的单调集族（Γ，…，Γn）。因此对于每一个我≤ n我们有P-a.s.（（Bs）s≤τi，τ根，τRooti）∈ Γi和（Γ<i×Γi）∩ SGi，n=.我们声称≤ 我≤ n我们有sgi，n {（（f，s，…，si），（g，t，…，ti））：f（si）=g（ti），si>ti}。固定（f，s，…，si），（g，t。

，ti）∈ S将si>Tian化，并考虑两族停止时间（σj）nj=Ian和（τj）nj=离子的概率空间(Ohm, F，P）以及第2.1节中的修正（|σj）nj=Ian和（|τj）nj=ias。Putj：=inf{m≥ 1：κ（m）≥ i} 感应1<a≤ n- i+1ja：=inf{m≥ 青年成就组织-1： κ（m）≥ i} 。多边缘SKOROKHOD嵌入11Let的几何结构l=arg min{a：P[σja，～σja]>0}。根据▄σjand▄τjj的定义，在jl=i的情况下，等式{σjl，▄σjl}=Ohm 对于jl>i，它认为{σjl，▄σjl}=\\i≤k<jl{σk>τk+1}。Asτk≤ τk+1，特别是，我们有关于{σjl，∧σjl}的不等式σk>τkforeveryi≤ k≤ jl。h和s>t的严格凸性意味着[h（s+σjl）]+E[h（t+τjl）]>E[h（s+σjl）]+E[h（t+τjl）]。因此，我们在（相应的κ-1（jl）-ary版本的（2.3），并且该规则已得到验证。然后我们为每个1定义≤ 我≤ nRicl：={（s，x）∈ R+×R：（g，t，…，ti）∈ Γi，g（ti）=x，s≥ ti}andRiop：={（s，x）∈ R+×R：（g，t，…，ti）∈ Γi，g（ti）=x，s>ti}。根据[2]中定理2.1的证明中的论点，我们分别定义了Rcl和Rop的τclandτopto beth第一次命中时间，以查看实际的τcl≤ τ根≤ τopandτcl=τopa。s、 利用强马尔可夫性。然后我们可以归纳地继续并确定τicl：=inf{t≥ τi-1cl：（t，Bt）∈ Ricl}和τiop：=inf{t≥ τi-1cl：（t，Bt）∈ Riop}。通过同样的论证，我们可以看到τicl≤ τRooti≤ τiop，实际上τicl=τiop。最后，我们需要证明排列κ的选择并不重要。这源于Loynes[43]的论点（另见[2，备注2.2]和[14，引理证明2.4]）对多重边际设置的直接改编。事实上，Loynes最初的观点认为FirstBarrier Ris是独一无二的。

这意味着第二个障碍是唯一的，因为Loynes参数对于R+×R中过程（t，Bt）的一般起始分布有效，我们可以通过归纳得出结论。备注2.7。（1） 在最后一个定理中，如果我们为每个i取不同的三次凸函数hi，结果保持不变。（2）此外，很容易看出，如果从objectivePni=1hi（τi）开始，证明就简单了，这样就不需要在开始时对索引进行任意排列。当然，要得到更一般的结论，需要考虑这些排列。推论2.8。设h:R+→ R是严格凸函数，设γ：Sn→ R、 （f，s，…，sn）7→Pni=1h（ti）。设τ根=（τ根，…，τ根n）为定理2.6的极小值。然后，它还最小化所有增加的停止时间|τ族中的[γ（|τ，…，|τn）]≤ . . . ≤ τn满足Bτi~ uI所有1≤ 我≤ n、 12马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·M·G·考克斯和马丁·休斯曼2.2.2。n-边缘Rost嵌入。经典的Rost嵌入[54]建立了反向势垒（或左势垒）R的存在 R+×R，使得R的第一次命中时间解决了Skorokhod嵌入问题。逆势垒R是一个Borel集，如（t，x）∈ R=> （s，x）∈ 此外，Rost嵌入具有使严格凸函数h:R的E[h（τ）]最大化的性质+→ R《红楼梦嵌入问题的全面解决方案》，参见【54】。与根嵌入类似，它遵循定理2.9（n-边际Rost嵌入）。放置γi:Sn→ R、 （f，s，…，sn）7→ -一类严格凸函数的h（si）h:R+→ R并假设（OptMSEP）是适定的。然后存在n个逆势垒（Ri）ni=1，这样定义τRost（ω）=inf{t≥ 0：（t，Bt（ω））∈ R} 对于1<i≤ nτRosti（ω）=inf{t≥ τRosti-1（ω）：（t，Bt（ω））∈ Ri}多次停车时间（τRost。