多边缘Skorokhod嵌入的几何

，tn）Δρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dsi）··Δρj（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsj）Δρj+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dtj+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dtn）#+ZW（dω）du1.-n-1Xj=i'∧fh、 gj（ω，u）“Zγ（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，ti+1，…，tn）Δρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dti+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dtn）+Zγ（g，t，…，ti）⊕（ω，si，…，sn）Δρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dsi）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dsn）#。（4.7）就颜色互换而言，我们同意（4.7）在以下每种情况下均适用（1）’ξ（f，s，…，si-1） |（h，s）<RMSTn-i+1，ξ（g，t，…，ti）<RMSTn-i；（2） 左侧为有限；（3） 出现的任何积分都没有很好的定义。备注4.5。（1） 注意，当ρi（f，s，…，si）时-1） |（h，s）≡ δ我们有Ohmfh、 g=∧fh、 gi。将这种情况插入（4.7）中，我们看到双方都同意，因此没有满足ρi（f，s，…，si）的多色交换对-1） |（h，s）≡ δ.（2） 注意，在定义MCSξiwe时，无需施加条件1- Aξ（f，s，…，si-1） （h、s）+Aξ（f，s，…，si-1） 备注4.4.4.4（h，s）>0。走走停停配对。最后，我们将前两个概念结合起来。定义4.6。Letξ∈ RMSTn（R，u）。相对于ξ，SGξi，颜色i的停-走对集合由SGξi=CSξi定义∪ MCSξi。我们通过CSGξi=SGξi定义最宽的颜色i的走走停停对∪ {（f，s，…，si）-1） |（h，s）∈ SiR:Aξ（f，s，…，si）-1） （h，s）=1}×siR。相对于ξ的停-走对集由SGξ定义：=S1≤我≤nSGξi.广义的stop-gopairs为csgξ：=S1≤我≤ncSGξi.Lemma 4.7。每个stop-go对都是广义的stop-go对，即SGicSGξiforany 1≤ 我≤ n、 证明。通过加载符号，使用与证明[2，引理5.4]完全相同的参数。备注4.8。正如在[2]中，我们观察到集SGξ和csgξ都是s的Borel子集i×Si、 因为（4.3）中给出的地图是可测量的。

相比之下，集合SG通常只是协分析。32马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·M·G·考克斯和马丁·休斯曼5。单调性原理本节的目的是证明主要结果定理2.4和密切相关的定理5.2。这一节的结构与文献[2]中相应结果的证明结构，即定理5.7（分别为定理5.16）密切相关。为了读者的利益，并保持我们的演讲紧凑，我们将重点放在那些需要更多洞察力来解释问题多边缘方面的方面。我们请读者参考[2]了解其他详细信息。证明的实质是首先表明，如果我们有一个候选优化因子ξ，以及一个确定停-走对的连接规则π，我们可以构造一个极小的改进ξπ，它也是一个候选解决方案，但会改善目标。因此，连接π不会对停止-前进对集合施加质量。证明的第二部分表明，我们可以加强这一点，以给出一个逐点的结果，在这个结果中，我们可以从与优化程序支持相关的集合中排除任何停-走对。重要约定：在本节中，我们定义了函数γ：Sn→ R和A测量ξ∈ RMST（u，u，…，un）。此外，对于每个0≤ 我≤ n- 1我们将分解（ξ（f，s，…，si），ω）（f，s，…，si），ω为rn，i（ξ）w.r.t.~ri（ξi），并设置ξ（f，s，…，si）=ξ（f，s，…，si），ωw（dω）。回忆地图项目ifrom Section 2.1。定义5.1。Borel集族Γ=（Γ，…，Γn）与Γi SiRis对所有1称为（γ，ξ）单调i fff≤ 我≤ ncSGξi∩Γ<i×Γi= ,式中，Γ<i={（f，s，…，si-1，s）：存在（g，s，…，si-1，t）∈ Γi，si-1.≤ s<t，g[0，s]=f}，和projS我-1（Γi） Γi-1、定理5.2。假设γ：Sn→ R是Borel可测量的。假设（OptMSEP）是适定的，ξ∈ RMST（u，…，u）是一个优化器。

然后存在一个（γ，ξ）单调族的Borel集Γ=（Γ，…，Γn），使得ri（ξ）（Γi）=1≤ 我≤ n、 定理5.2的证明基于以下两个命题。提案5.3。Letγ：SnR编号→ 博雷尔。假设（OptMSEP）适定且ξ∈ RMST（u，…，u）是一个优化器。修复1≤ 我≤ n并设置X=S我-1R，m=ri-1（ξi-1） 。然后（rX Id）（π）（SGξi）=0表示所有π∈ 加入（ri-1（ξi-1） ，ri（ξi））。提案5.4。设（X，m）和（Y，ν）为波兰概率空间和E SX×Y a钻孔集。则以下各项等效：（1）（rX Id）（π）（E）=0表示所有π∈ 连接（m，ν）。（2） E类 （F×Y）∪ （SX×N）对于某个消逝集F Sx和aν-空集N Y、 证明。这是对[2，命题5.9]对一般启动定律的简单修改（另请参见[2，定理7.4]的证明）。备注5.5。请注意，命题5.4与经典截面定理（参见[18，定理IV 84和IV 85]）密切相关，在我们的设置中，这意味着以下陈述：设（X，B，m）为波兰概率空间。E SXbe Borel。那么以下是等效的：（1）rX（α）（E）=0表示所有α∈ RST（X，m）多边缘SKOROKHOD嵌入33（2）E的几何结构为m-消失（3）P（（（Ys）s≤τ, τ) ∈ E） =0，对于每个G-停止时间τ。定理5.2的证明。修复1≤ 我≤ n、 设置X=S我-1R，m=ri-1（ξi-1） 考虑相应的概率空间（X，P）。根据提案5.3（rX Id）（π）（SGξi）=0表示所有π∈ 加入（ri-1（ξi-1） ，ri（ξi））。应用命题5.4，Y=SiR，ν=ri（ξi）我们推断存在一个ri-1（ξi-1） -消失集fi和a ri（ξi）-空集Nisuch thatSGξi （▄Fi×SiR）∪ （S）iR×Ni）。Put Fi：={（g，t，…，ti）∈ SiR：（f，t，…，ti-1，si）∈Fi，ti≥ si，g≡ [0，si]}上的f。那么，菲斯·里-1（ξi-1） -消失和SGξi （Fi×SiR）∪ （S）iR×Ni）。设置Γi=SiR \\（Fi∪ Ni）我们有ri（ξi）（Γi）=1以及SGξi∩ （Γ<i×Γi）=.

定义Γi：=Γi∩ {（g，t，…，ti）∈ SiR:Aξ（g，t，…，ti-1） （θti-1（克）[0，s]，s）<1表示所有s<ti- ti公司-1} ，式中θu（g）（·）=g（·+u）- g（u）和往常一样。则ri（ξi）（Γi）=1且Γ<i∩ {（g，t，…，ti）∈ SiR:Aξ（g，t，…，ti-1） （θti-1（克）[0，ti-ti公司-1] ，ti- ti公司-1) = 1} =  所以CSGξi∩ （Γ<i×Γi）=. 最后，我们可以在充分测量的情况下得到Γi的Borel子集，并采取适当的交点，我们可以假设项目我-1R（Γi） Γi-1.5.1。命题5.3的证明。为便于注释，我们仅证明颜色交换对CSξi的陈述。由于颜色交换对是多色交换对的主要组成部分，MCSξiit将立即说明如何将证明适用于一般情况。此外，很明显，对于每个j≥ 我有（rX Id）（π）（CSξi<-> j） =每个π为0∈ 加入（ri-1（ξi-1） ，ri（ξi））。为了解决矛盾，我们假设有一个指数i≤ j≤ n和π∈ 加入（ri-1（ξi-1） ，ri（ξi）），使得（rX Id）（π）（CSξi<-> j） >0。通过接合定义（定义3.19）也π（rXId）-1（E）∈ 加入（ri-1（ξi-1） ，ri（ξi）），对于任何E S我-1R×SiR。因此，通过考虑（rXId）（π）CSξi<-> jwe可以假设（rXId）（π）集中在CSξi上<-> j、 回想一下（根据定义）没有颜色交换对（（f，s，…，si-1） |（h，s），（g，t，…，ti））和ξ（f，s，…，si）-1） （h，s）=1和Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=0。因此，π[（（f，s，…，si-1） |（h，s），（g，t，…，ti））：Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1和Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=0]=0。（5.1）基于CSξi的定义，我们通过矛盾论证并定义了ξ、ξ和ξL的两个修正<-> 因此，它们的凸组合产生了一个随机的多停止时间，嵌入了与ξ相同的度量，并导致了严格的低成本。停止时间ξ将在ξ之前停止路径，ξ将在ξ之后停止路径。通过引理4.2和推论3.12，对于（f，s。

，si-1） |（h，s）在ri外-1（ξi-1） 消失集和（g，t，…，ti）在ri（ξi）空集之外，Ga停止时间序列（ρj（f，s，…，si））增加-1） |（h，s））nj=iand（ρj（g，t，…，ti））nj=i+1定义ξ（f，s，…，si）的可测量崩解-1） |（h，s）和ξ（g，t，…，ti），如（3.9）所示。对于B C（R+）×nand（g，t，…，ti）∈ SiRwe设置（g，t，…，ti）⊕:= {（ω，Ti，…，Tn）∈ C（R+）×n-i+1：（g）⊕ ω、 t，ti公司-1，ti+ti，ti+Tn）∈ B} 34马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·M·G·考克斯和马丁·休斯曼南德（G、t、…、ti）:= {（ω，Ti+1，…，Tn）∈ C（R+）×n-i： （g）⊕ω、 t，ti，ti+ti+1，ti+Tn）∈ B} 。观察B（g，t，…，ti）⊕和B（g，t，…，ti）然后是Borel。请注意，如果我们定义F（g，t，…，tn）=B（g，t，…，tn），那么F（F，s，…，si）⊕（η，ti+1，…，tn）=B（f，s，…，si）⊕（η，ti+1，…，tn）和类似的forB（g，t，…，ti）. 观察（f，s，…，si）的-1） |（h，s）带ξ（f，s，…，si）-1） （h，s）=1和Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）>0从（4.1）得出ξ（f，s，…，si-1） |（h，s）（B（g，t，…，ti）⊕) = Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）ξ（f⊕h、 s，。。。，si公司-1，si-1+s）（B（g，t，…，ti）).然后，我们确定B的测量ξEby设置 C（R+）×n（召回∧fh、 gjfrom（4.4））ξE（B）：=（5.2）ξ（B）-Zξ（f，s，…，si-1） |（h，s）（B（f）⊕h、 s，。。。，si公司-1，si-1+秒）⊕) （rX Id）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））+Z（rX Id）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））1.- Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）“ZC（R）+Z[0,1]n-i+1∧fh、 gj（ω，u）B（f）⊕h、 s，。。。，si公司-1，si-1+秒）ω、 ρi+1（g，t，…，ti）（ω，u），ρj（g，t，…，ti）（ω，u），ρj+1（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u），ρn（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）W（dω）du+ZC（R+Z[0,1]n-i+11.-∧fh、 gj（ω，u）B（f）⊕h、 s，。。。，si公司-1，si-1+秒）ω、 ρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）。

，ρn（g，t，…，ti）（ω，u）W（dω）du#。同样，我们通过B的设置定义了测量ξLby C（R+）×nξL（B）：=（5.3）ξ（B）-Z1.- Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）ξ（g，t，…，ti）（B（g，t，…，ti）)（rX Id）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））+Z1.- Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）“ZC（R）+Z[0,1]n-i+1∧fh、 gj（ω，u）B（g，t，…，ti）⊕ω、 ρi（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u），ρj（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u），ρj+1（g，t，…，ti）（ω，u），ρn（g，t，…，ti）（ω，u）W（dω）du+ZC（R+Z[0,1]n-i+11.-∧fh、 gj（ω，u）B（g，t，…，ti）⊕ω、 ρi（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u），ρn（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）W（dω）dui（rX Id）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））。然后，我们通过ξπ来定义ξ的竞争对手：=（ξE+ξL）。我们将显示ξπ∈RMST（u，…，un）和Rγdξ>Rγdξπ，这与ξ的最优性相矛盾。首先，请注意∧f的定义⊕h、 gjin（4.4）ξE，ξL∈ RMST（也是比较（2.1））。因此，也ξπ∈ RMST。接下来我们展示ξπ∈ RMST（u，…，un）。有界可测F:C（R）×n的多边缘SKOROKHOD嵌入的几何性质→ R（5.2）和（5.3）表示使用（4.1）和（4.2）ZF d（ξ- ξπ）（5.4）=Z（rX ri）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））1.- Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）×ZF（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，Si，…，Sn）’ξ（f，s，…，Si-1） |（h，s）（dω，dSi，…，dSn）+ZF（g，t，…，ti）（ω，Ti+1，…，Tn）ξ（g，t，…，Ti）（dω，dTi+1，…，dTn）-ZC（R）+Z[0,1]n-i+1W（dω）du∧fh、 gj（ω，u）“ZF（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，Ti+1，…，Tj，Sj+1，…，Sn）Δρi+1（g，t，…，Ti）（ω，u）（dTi+1）··Δρj（g，t，…，Ti）（ω，u）（dTj）Δρj+1（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSj+1）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSn）-ZF（g，t，…，ti）⊕（ω，Si，…，Sj，Tj+1，…）。

，Tn）Δρi（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dSi）··Δρj（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSj）Δρj+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dTj+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dTn）#-ZW（dω）du1.-∧fh、 gj（ω，u）“ZF（f，s…，si-1 |（h，s）（ω，Ti+1，…，Tn）Δρi+1（g，t，…，Ti）（ω，u）（dTi+1）··Δρn（g，t，…，Ti）（ω，u）（dTn）-ZF（g，t，…，ti）⊕（ω，Si，…，Sn）Δρi（f，s，…，Si-1） |（h，s）（ω，u）（dSi）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSn）#！。接下来我们证明了（5.4）扩展到满足ξ（F）<∞ 在某种意义上，它与[-∞, ∞). 为此，我们将显示z（rX ri）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））1.- Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）×（5.5）“ZF（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，Si，…，Sn）’ξ（f，s，…，Si-1） |（h，s）（dω，dSi，…，dSn）+ZF（g，t，…，ti）（ω，Ti+1，…，Tn）ξ（g，t，…，Ti）（dω，dTi+1，…，dTn）#<∞自π起∈ 加入（ri-1（ξi-1） ，ri（ξi））（5.5）中方括号中第二项的积分以ξ（F）为界，因此是有限的。要了解第一项也是有限的，请编写projx×R+（π）=：π，并注意π∈ RST（S）我-1R，ri-1（ξi-1） ）。因此，崩解（π）（f，s，…，si-1） πwrt ri的-1（ξi-1） RST中为a.s。固定（f，s，…，si-（1）∈ S我-1 and假设α：=（π）（f，s，…，si-1)∈ RST（保留一组度量值1）。如果αω（R+）<1，我们将其推广到[0]上的概率，∞] 通过在∞. 我们仍然用α表示结果随机化停止时间。然后，我们可以使用维纳测度的强Markov36 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann属性计算第一个等式和F≥ 0表示第一个不等式zf（f，s，…，si-1)（ω，si，…，sn）ξ（f，s，…，si-1） （dω，dsi，…，dsn）=“F（F，s，…，si-1)（ω[0，t]⊕ θtω，si，sn）（ξ（f，s，…，si-1))ω[0，t]⊕θtω（dsi，…，dsn）αω（dt）W（dω）=“F（F，s，…，si-1)（ω[0，t]⊕ ω，si。

，sn）（ξ（f，s，…，si-1))ω[0，t]⊕ ω（dsi，…，dsn）αω（dt）W（dω）W（dω）≥“{（ω，t）：t≤si公司<∞}F（F，s，…，si-1)（ω[0，t]⊕ ω，si，sn）（ξ（f，s，…，si-1))ω[0，t]⊕ Иω（dsi，…，dsn）αω（dt）W（dω）W（dω）=“{（ω，t）：t<∞}F（F，s，…，si-1） | r（ω，t）⊕（￠ω，si，…，sn）ξ（f，s，…，si-1） | r（ω，t）（d￠ω，dsi，…，dsn）α（dω，dt）因此，Z（rX ri）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））1.- Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）+Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）=1Aξ（f，s，…，si-1） （h，s）×ZF（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，Si，…，Sn）’ξ（f，s，…，Si-1） |（h，s）（dω，dSi，…，dSn）=Z（rX ri）（π）（d（（f，s，…，si-1） |（h，s）），d（g，t，…，ti））×ZF（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，Si，…，Sn）ξ（f，s，…，Si-1） |（h，s）（dω，dSi，…，dSn）≤“F（F，s，…，si-1)（ω，si，…，sn）ξ（f，s，…，si-1） （dω，dsi，…，dsn）ri-1（ξi-1） （d（（f，s，…，si-1） ）=ξ（F）<∞ .将（5.4）应用于tn（ω，t，…，tn）=tn，并观察到右侧的所有项都取消意味着ξπ（tn）=ξ（tn）<∞. 取F（ω，s，…，sn）=G（ω（sj））表示0≤j≤ 对于有界和可测的G:R，s=0的n→ 右侧消失。对于j<i，从ξi开始-1=（ξπ）i-1因为在i之前，我们没有更改颜色的任何停止规则。对于j≥ 这是因为π集中在对上（（f，s，…，si-1） |（h，s），（g，t，…，ti））满足f⊕ h（si+s）=g（ti）。因此，我们展示了ξπ∈ RMST（u，…，un）。基于ξπ（γ）的多边缘SKOROKHOD嵌入37的几何-), ξ（γ-) < ∞, 通过（OptMSEP）的适定性，我们可以应用（5.4）toF=γ，通过定义CSξi获得<-> jthatZ（γo rn）（f，s，…，si-1） |（h，s）⊕（ω，Si，…，Sn）’ξ（f，s，…，Si-1） |（h，s）（dω，dSi，…，dSn）+Z（γo rn）（g，t，…，ti）（ω，Ti+1，…，Tn）ξ（g，t，…，Ti）（dω，dTi+1，…，dTn）-ZC（R）+Z[0,1]n-i+1∧fh、 gj（ω，u）“Z（γo rn）（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，Ti+1，…，Tj，Sj+1，…）。

，Sn）Δρi+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dTi+1）··Δρj（g，t，…，ti）（ω，u）（dTj）Δρj+1（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，u）（dSj+1）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSn）-Z（γo rn）（g，t，…，ti）⊕（ω，Si，…，Sj，Tj+1，Tn）Δρi（f，s，…，Si-1） |（h，s）（ω，u）（dSi）··Δρj（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSj）Δρj+1（g，t，…，ti）（ω，u）（dTj+1）··Δρn（g，t，…，ti）（ω，u）（dTn）#W（dω）du-Z1.-∧fh、 gj（ω，u）“Z（γo rn）（f，s，…，si-1） |（h，s）（ω，Ti+1，…，Tn）Δρi+1（g，t，…，Ti）（ω，u）（dTi+1）··Δρn（g，t，…，Ti）（ω，u）（dTn）-Z（γo rn）（g，t，…，ti）⊕（ω，Si，…，Sn）Δρi（f，s，…，Si-1） |（h，s）（ω，u）（dSi）··Δρn（f，s，…，si）-1） |（h，s）（ω，u）（dSn）#W（dω）duis（rX Id）（π）a.s.严格正应用引理4.2。因此，我们得出了矛盾Rγdξπ<Rγdξ。5.2。二次优化（及以上）。我们设置u=（u，…，un）并用opt（γ，’u）表示（OptMSEP）的优化器集。如果π7→Rγdπ是下半连续的，而Opt（γ，(R)u）是RMST（u，u，…，un）的闭子集，因此也是紧凑的。定义5.6（第二停-走对）。设γ，γ：SnR编号→ R是可测量的。相对于ξ，短SGξ2，i，颜色i的二次停止-进入对集合由所有（f，s，…，si）组成-1） |（h，s）∈ SiR，（g，t，…，ti）∈ SIr使f⊕ h（si-1+s）=g（ti）和（（f，s，…，si-1） |（h，s），（g，t，…，ti））∈ SGξior等式在（4.5）中适用于γ，严格不等式在（4.5）中适用于γ，等式在（4.7）中适用于γ，严格不等式在（4.7）中适用于γ。如前所述，我们同意（（f，s，…，si-1） |（h，s），（g，t，…，ti））∈ SGξiif（4.5）或（4.7）中的任何一个积分都是有限的或定义不明确的。我们还定义了广义上相对于ξ的二次停止-进入颜色对i，cSGξ2，i，bycSGξ2，i=SGξ2，i∪ {（f，s，…，si）-1） |（h，s）∈ SiR:Aξ（f，s，…，si）-1） （h，s）=1}×siR。与ξ相关的二次通止对集由SGξ定义：=S1≤我≤nSGξi。

广义的第二个stop-go对是csgξ：=S1≤我≤ncSGξi.定理5.7（二次最小化）。设γ，γ：SnR编号→ R是可测量的。假设Opt（γ，(R)u）， 那ξ∈ Opt（γ，’u）是pγ|γ（’u）=infπ的优化程序∈Opt（γ，(R)u）Zγdπ。（5.6）那么≤ n存在Borel集Γi Si如ri（ξi）（Γi）=1和csgξ2，i∩ （Γ<i×Γi）=. （5.7）38 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann定理5.7通过使用命题5.4对定理5.2进行相同证明，直接修改了命题5.3。我们省略了更多细节。备注5.8。当然，前面的定理可以重复应用于函数序列γ，γ，γ。并设置Opt（γ，\'u），Opt（γ|γ，\'u），Opt（γ|γ|γ，\'u）。引导toSGξ，SGξ。我们省略了更多细节。5.3. 主要结果的证明。通过观察我们的主要结果现在是以前结果的简单结果，我们现在可以得出结论。定理2.4的证明。自任何ξ起∈ RMST（u，…，un）通过引理4.2和推论3.12诱导一系列停止时间，如第2.1节中定义停止-前进对所用。结果来自定理5.7。参考文献【1】J.Az'ema和M.Yor。解决斯科罗霍德的简单问题。在S’eminaire de probabilit’S XIII中，第90–115页。斯普林格，1979年。[2] M.Beiglb–ock、A.M.G.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokhod嵌入。《发明数学》，208（2）：327–4002017。[3] M.Beiglb–ock、A.M.G.Cox、M.Huesmann、N.Perkowski和D.J.Pr–omel。通过Vovk的外部度量进行路径超级复制。ArXiv e-prints，2015年。财务Stoch。，显示。[4] 贝格洛克先生、亨利·劳德埃先生和彭克纳先生。期权价格的模型独立界限：masstransport方法。财务Stoch。，17(3):477–501, 2013.[5] M.Beiglb¨ock、P.Henry Labord\'ere和N.Touzi。单调鞅运输计划与Skorokhodembedding。