多边缘Skorokhod嵌入的几何

设c:R×R→ 当cxyy<0时，R应连续三次变化。放置γi:Sn→ R、 （f，s，…，sn）7→ c（f（0），f（si）），并假设（OptMSEP）是适定的。然后存在n个势垒（Ri）ni=1，这样定义τ=inf{t≥ 0：（Bt）- B、 英国电信）∈ R} 对于1<i≤ nτi=inf{t≥ τi-1： （英国电信- B、 英国电信）∈ Ri}所有1的多停时间（τ，…，τn）同时最小化[c（B，Bτi）]≤ 我≤ n在所有增加的停止时间族（|τ，…，|τn）中，使得B|τj~ uJ适用于所有1≤ j≤ n、 这个解是唯一的，因为对于任何解|τ，对于这种势垒类型，我们有τi=△τi。备注2.17。在撰写本文的最后阶段，我们了解了Nutz、Stebegg和Tan[46]关于多周期鞅最优运输的工作，其中（在各种进一步的结果中）提供了单调鞅运输计划的n-边际版本。他们的方法与本文中采用的方法截然不同，尤其与斯科罗霍德问题无关。定理2.16的证明。证明的总体策略，尤其是第一步，完全遵循上述论点。固定{1，…，n}的置换κ。我们考虑函数λγ=γκ（1），γn=S上的γκ（n）和相应的n元极小化问题族。根据定理2.1的n元版本，选择一个优化器（τ，…，τn），并根据定理2.4的n元版本，选择一个|γn |…|~γ-支持（τ，…，τn）的单调集族（Γ，…，τn），即对于每个i≤ n我们有P-a.s.（（Bs）s≤τi，τ，τi）∈ Γi和（Γ<i×Γi）∩ SGi，n=.我们声称≤ 我≤ n我们有sgi，n {（f，s，…，si），（g，t，…，ti）：f（si）=g（ti），g（0）>f（0）}。为此，我们必须考虑（f，s，…，si），（g，t。

，ti）∈ SIsatizing f（si）=g（ti），f（si）- f（0）>g（ti）- g（0），并考虑第2.1节中的两组停车时间（σj）nj=iand（τj）nj=itogether及其修正（～σj）nj=iand（～τj）nj=ias。然而，由于停车时间的修改仅包括两个停车时间的重复交换，因此有效证明如下：- f（0）>g（t）- g（0）和任何停止时间ρ，σ，τ，其中ρ≤ σ、 对于σ：=σρ≤τ+ τρ>τ, ~τ := τρ≤τ+σρ>τ不等式E[c（f（0），f（s）+Bσ）]+E[c（g（0），g（t）+Bτ）]>E[c（f（0），f（s）+Bσ）]+E[c（g（0），g（t）+Bτ）]，（2.8），如果集ρ>τ具有正概率，则该不等式是严格的。为了建立这个不等式，当然只有部分是ρ>τ物质。否则，如果我们用τ替换所有σ，τ，|σ，|τ，不等式仍然同样有效∨ 集ρ上的σ≤ τ、 多边缘SKOROKHOD嵌入19的几何结构，在这种情况下，我们有▄σ=τ，▄τ=σ，σ≥ τ。因此，为了证明（2.8），有必要证明α：=定律（Bσ），β：=定律（Bτ）和a：=f（s）=g（t），即Zc（f（0），a+x）dα（x）+Zc（g（0），a+x）dβ（x）>Zc（f（0），a+x）dβ（x）+Zc（g（0），a+x）dα（x）。为此，我们要求→Zc（t，a+x）dα（x）-Zc（t，a+x）dβ（x）在t中减小：这是正确的，因为cx是凹的，并且β在凸的顺序上先于α（严格地说，如果P（ρ>τ）>0）。在确定索赔后，我们确定了每1≤ 我≤ nRicl：={（d，x）∈ R+×R：（g，t，…，ti）∈ Γi，g（ti）=x，d≥ g（ti）- g（0）}andRiop：={（d，x）∈ R+×R：（g，t，…，ti）∈ Γi，g（ti）=x，d>g（ti）- g（0）}。根据上述论点，我们确定τclandτopto是第一次进行该过程（Bt- B、 Bt）t≥0分别点击RCL和ROP以查看实际τcl≤ τ≤ τop。仍需证明τcl=τop（这已在[39，Prop.3.1]中给出；我们提出了完整性的论点）。

为此，请注意（Bt）的命中时间-B、 Bt）t≥0进入障碍物的时间同样可以解释为(-B、 Bt）t≥0转化为转化（即通过转化（d，x）剪切）7→ （d）- x、 x））屏障。此更改的目的是(-B、 Bt）t≥0仅垂直移动，我们无法应用引理2.12来确定τcl=τop。注意，在这个阶段，u的连续性假设至关重要。然后我们进行归纳。如上所述，排列的唯一性和无关性来自Loynes的论证。一个很自然的猜测是，定理2.16将给出一个和平问题的解决方案。鞅集（St）t∈[0，T]（更准确地说是对应鞅测度集）具有自然拓扑，并且给定D [0，T]带T∈ D具有规定边值（ut）t的鞅集∈不紧凑（参见[6]）。通过对上述解决方案的限制以及适当的有限离散化D [0，T]，一个获得离散问题的优化序列，其极限（St）T∈[0，T]满意度~ ut，t∈ [0，T]和最小化E[（St- S） ]同时用于所有t∈ 在所有这样的鞅中。然而，由于这不是本文的范围，我们将为将来的工作留下详细信息。我们注意到，这也提供了鞅单调耦合的连续时间扩展，与Henry Labord\'ere、Tan、Touzi[30]和Juillet[40]给出的构造截然不同。3、停车时间和多次停车时间对于配备概率测度m的波兰空间X，我们定义了一个新的概率空间（X，G，（Gt）t≥0，P），X：=X×C（R+），G：=B（X） F、 Gt：=B（X） 英尺，P：=米 W、 其中，B（X）表示X上的Borelσ-代数，W表示维纳测度，（Ft）t≥0自然过滤。我们表示Gby Ga的通常增广。

此外，对于* ∈ {0，a}我们设置G*0-:= B（X） F*. 如果我们想强调对（X，m）的依赖，我们写Ga（X，m），Gat（X，m）。。20 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann X上的自然坐标过程将用Y表示，即t≥ 0我们设置y（x，ω）=（x，ωt）。注意，在P下，在X=R的情况下，过程Y可以解释为具有起始定律m的布朗运动。特别是，t 7→ Yt（x，ω）是连续的，Gt=σ（Ys，s≤ t） 。我们回忆：={（f，s）：f∈ C[0，s]，f（0）=0}，SX：=（X，s），引入mapsr:C（R+）×R+→ S、 （ω，t）7→ （ω[0，t]，t），（3.1）rX:X×R+→ SX，（x，ω，t）7→ （x，r（ω，t））。（3.2）我们为C（R+）配备了在紧集上一致收敛的拓扑，并为Sx配备了从X×R+继承的最终拓扑，将其转化为波兰空间。由于以下命题是【18，定理IV.97】的特例，这种结构非常方便。提案3.1。X×R+上的可选集合/函数对应于SX上的Borel可测量集合/函数。更准确地说，我们有：（1）A集合D X×R+为G-可选，但有一个Borel集合a Sx，D=r-1X（A）。（2） A过程Z=（Zt）t∈R+是G-可选i ff，有一个可测量的Borel H:SX→ R使Z=Ho r、 A G-可选集合A X×R+在X×R+中闭合，如果相应的设定rX（A）在SX中闭合。定义3.2。A G-可选过程Z=Ho rXis称为SX-连续（分别为l/u.s.c.）i f H:SX→ R是连续的（分别为l/u.s.c.）。备注3.3。自工艺t 7→ Yt（x，ω）是连续的，可预测和可选σ代数重合（[18，定理IV.67（c）和IV.97]）。因此，每个G-停止时间τ都是可预测的，因此在集{τ>0}上是可预测的。定义3.4。

设Z:X→ R是有界或正的可测函数。然后，我们将E[Z | Gt]定义为满足E[Z | Gt]（x，ω）：=ZMt（x，ω）：=ZZ（x，ω）的唯一Gt可测函数[0，t]⊕ ω） dW（ω）。提案3.5。让Z∈ Cb（X）。然后ZMtde定义了一个SX-连续鞅（种子定义3.2），ZM∞= 限制→∞ZMtexists和等于Z.Proof。对于概率空间的微小变化，这是[2，命题3.5]。3.1。随机停止时间。We setM：={ξ∈ P≤1（X×R+）：ξ（d（X，ω），ds）=ξX，ω（ds）P（d（X，ω）），ξX，ω∈ P≤1（R+）}，并为其配备由x×R+上的连续和有界函数诱导的弱拓扑。各ξ∈ M的唯一特征是其累积分布函数ξx，ω（t）：=ξx，ω（[0，t]）。定义3.6。A测度ξ∈ M称为随机停止时间，写入ξ∈ RST，i fff相关的递增过程Aξ是可选的。如果我们想在背景中强调波兰概率空间（X，B（X），m），我们就写RST（X，m）。多边缘SKOROKHOD嵌入21的几何结构我们注意到，随机停止时间是Doleans引入的所谓P-度量的子集【19】（动机和进一步说明见【2，第3.2节】）。在续集中，我们最感兴趣的是在一个扩大的概率空间上随机停止时间的表示。我们将对（X，G，（Gt）t感兴趣≥0，P），其中X：=X×[0，1]，P（A×A）=P（A）L（A）（L表示R上的勒贝格测度），G的完成 B（[0，1]），和（Gt）t≥0（Gt）的常规扩充 B（[0，1]）t≥随机停止时间的以下特征本质上是[2]的定理3.8。唯一的区别是X在起始位置的存在，但我很容易检查到这不会影响证明。定理3.7。Letξ∈ M

那么以下是等价的：（1）有一个Borel函数a:SX→ [0，1]这样，进程o rXis向右连续递增，ξx，ω（[0，s]）：=Ao rX（x，ω，s）（3.3）定义了ξwrt分解为P。（2）我们有ξ∈ RST（X，m），即给定崩解（ξX，ω）（X，ω）∈Xofξwrt P，随机变量▄At（x，ω）=ξx，ω（[0，t]）可测量所有t∈ R+。（3） 对于所有f∈ 在某些[0，t]，t≥ 0和所有g∈ Cb（X）Rf（s）（g）- 概率空间（x，g，（Gt）t上的E[g | Gt]（x，ω）ξ（dx，dω，ds）=0（3.4）（4）≥0，P），随机时间ρ（x，ω，u）：=inf{t≥ 0：ξx，ω（[0，t]）≥ u} （3.5）定义G停止时间。备注3.8。（3.4）的一个直接结果是RST wrt与X×R+上的连续和有界函数所诱导的弱拓扑的接近性（参见[2，推论3.10]和引理3.15）。3.2。随机多次停车时间。在本节中，我们将最后一节的结果扩展到多次停止的情况。回顾第1.2节中定义的符号。特别是d≥ 1，回想一下，Ξd：={（s，…，sd）∈ Rd+，s≤ . . . ≤ sd}和确定Mdto包括所有ξ∈ P≤1（X×Ξd），使得ξ（d（X，ω），ds，dsd）=ξx，ω（ds，…，dsd）P（d（x，ω）），ξx，ω∈ P≤1（Ξd）。回想一下（\'X，\'G，（\'Gt）t≥0，’P）定义为‘X=X×[0，1]d，’P（A×A）=P（A）Ld（A），其中Ld表示Rd上的Lebesgue度量，而‘Gt是Gt的常用扩充B（[0，1]d）。我们通常用du来表示Ld（du）。对于（u，…，ud）∈ [0，1]dwe通常只写（u，…，ud）=u。我们在扩展概率空间的符号中抑制了d-索引。从上下文中可以清楚地看出我们的意思是什么，或者我们明确地写下相应的空格。定义3.9。A测度ξ∈ MDI称为随机多重停止时间，用ξ表示∈ RMSTd，如果所有0≤ 我≤ d- 1ri+1，i（ξ（i+1））∈ RST（S）iX，ri（ξi））。

（3.6）我们用RMSTd表示总质量为1的所有随机多次停车时间的子集。如果我们想强调对（X，m）的依赖，我们就写RMSTd（X，m）或RMSTd（X，m）。22 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmannnlike对于随机停止时间，在多次停止时间设置中，没有明显类似于定理3.7的（1）、（2）或（3）。然而，下面我们以类似于（4）的方式证明了随机多次停车时间的表示结果。下面的引理（c.f.[2，引理3.11]）使我们能够得出结论，在任意概率空间上，所有增加停止时间的序列都可以表示为我们的正则概率空间上的随机多停止时间。引理3.10。设B是随机基上的布朗运动(Ohm, H、 （Ht）t≥0，Q）和右侧连续过滤。设τ，τnbe H-停止时间的递增顺序，并考虑Φ：Ohm → C（R+）×d，’ω7→ （（Bt）t≥0, τ( ω), . . . , τn（(R)ω））。那么ξ：=Φ（Q）是一个随机多停止时间，对于任何可测量的γ：Sn→ Rwe-haveZγ（f，s，…，sn）rn（ξ）（d（f，s，…，sn））=等式[γ（（Bt）t≤τn，τ，τn）]。（3.7）如果Ohm 非常丰富，它支持一个H-可测的均匀分布随机变量，然后对于ξ∈ RMST我们可以找到一个递增族（τi）1≤我≤nof hs浇头次数，使ξ=Φ（Q）和（3.7）保持不变。证据为了便于标注，我们展示了n=2情况下的第一部分。让B~ m、 然后由[2，引理3.11]得出▄r1,0（ξ）∈ RST（R，m）。因此，我们需要证明▄r2,1（ξ）∈ RST（SR，r（ξ）），即我们必须证明ξ（f，s）是r（ξ）–a.s.一个随机停止时间，其中（ξ（f，s））（f，s）表示ξwrt r（ξ）的分解。（在这里和屋顶的其余部分，我们假设f（0）∈ R并从符号中取消“x”）。首先，我们证明了r（ξ）（d（f，s），dω）=r（ξ）（d（f，s））W（dω）。

取一个可测且有界的F:SR×C（R+）→ R、 然后，利用最后一步中的强马尔可夫性质，我们得到了ZF（（f，s），ω）~R（ξ）（d（f，s），dω）（3.8）=ZF（（rX（￠ω，s），θs￠ω）ξ（d￠ω，ds）=ZOhmF（rX（B（ω），τ（ω）），θτ（ω）B（ω））Q（dω）=ZF（（F，s），℃ω）r（ξ）（d（F，s））W（d|ω）。设q是从SR×C（R+）×R+到SR×C（R+）的投影，p是从x×Ξ的投影→ X×R+，p（ω，s，s）=（ω，s）。然后，qo r2,1=ro p、 忆及ξ=p（ξ），存在￠r2,1（ξ1,2）wrtr（ξ）的分解，我们用ξ（f，s），ω（ds）表示∈ P≤1（R+）。然后，我们设置ξ（f，s）（dω，ds）：=ξ（f，s），ω（ds）W（dω）。由于dr（ξ）=dri（ξ）dW，测量值ξ（f，s）定义了~r2,1（ξ）wrt r（ξ）的分解。我们必须证明r（ξ）a.s.ξ（f，s）是一个随机停止时间。我们将在定理3.7中显示性质（2），其中X=SR，m=r（ξ），相应地Gt=B（SR） FTGAT（参见第1.2节）。为此，FIX t≥ 0，设g:SR×C（R+）→ R有界且可测量，且seth=Em[g | Gat]。然后，它认为等式[g（r（B，τ），θτB）| Hτ+t]=H（r（B，τ），θτB）。在第三步中，利用多边缘SKOROKHOD嵌入23rightcontinuity的几何结构，得出以下结论：τ- τ是（Hτ+t）t≥0停止时间，这意味着zg（（f，s），ω）ξ（f，s），ω（[0，t]）r（ξ）（d（f，s））W（dω）=等式g（r（B，τ），θτB）τ-τ≤t型= 均衡器均衡器g（r（B，τ），θτB）| Hτ+tτ-τ≤t型= 均衡器h（r（B，τ），θτB）τ-τ≤t型=Zh（（f，s），ω）ξ（f，s），ω（[0，t]）r（ξ）（d（f，s））W（dω）。这显示了引理的第一部分。为了显示引理的第二部分，我们首先在扩展正则概率空间（\'X，\'G，（\'Gt）t）上构造一个递增的停止时间序列≥0，(R)P）。根据定理3.7和ξ的假设∈ RST（X，m）有一个“G停止时间ρ（X，ω，u）=ρ（X，ω，u），表示ξwrt P通过Δρ（ds）du分解。根据假设，r2,1（ξ）∈ RST（SX，r（ξ））。

因此，写入s=s- swe可以分解ξ（d（x，ω），ds，ds）=ZξrX（x，ω，ρ（x，ω，u））（θρ（x，ω，u）ω，ds）Δρ（x，ω，u）（ds）dusuch，对于r（ξ）a.e.（x，f，s），分解ξ（x，f，s）是一个随机停止时间。同样，根据定理3.7，有一个停止时间|ρx，f，s（|ω，u），表示ξ（x，f，s），如（3.5）所示。然后，ρ（x，ω，u，u）：=ρ（x，ω，u）+ρrX（x，ω，ρ（x，ω，u））（θρ（x，ω，u）ω，u）定义了一个'G停止时间，使得（x，ω）7→Z[0,1]dΔρ（x，ω，u）（dt）Δρ（x，ω，u）（dt）定义了ξw.r.t.P的Ga可测量崩解。我们进行归纳。为了完成证明，假设U是[0，1]d-值一致H-可测随机变量。然后τi：=ρi（B，U）确定所需的H停止时间增加族。备注3.11。引理3.10表明，在一个足够丰富的概率空间（OptMSEP）上对一系列递增的停止时间进行优化，相当于在维纳空间上对过度随机的多次停止时间进行优化。推论3.12。Letξ∈ RMST。关于扩展正则概率空间（\'X，\'G，（\'Gt）t）≥0，’P）存在一个递增序列（ρi）di=1的‘’G-停止时间，使得（1）对于u=（u，…，ud）∈ [0，1]d每个1≤ 我≤ d我们有ρi（x，ω，u）=ρi（x，ω，u，…，ui）；（2） （x，ω）7→Z[0,1]dΔρ（x，ω，u）（dt）··Δρd（x，ω，u）（dtd）du（3.9）定义了ξw.r.t.P.24 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann的Ga可测量分解。接下来，我们引入一些符号来说明另一个简单的推论。很容易看出qd，io ~rd，i=~rio pd，i，其中qd，iis是S的投影iX×C（R+）×d-itoS公司iX×C（R+）和pd，iis从X×Ξdt到X×Ξ的投影由（X，ω，s，…，sd）7定义→ （x，ω，s，…，si）。回顾ξi=pd，i（ξ），可以得出，存在▄rd，i（ξ）相对于▄ri（ξi）的分解，我们用ξ（x，f，s，…，si），ω（dsi+1，…，dsd）表示∈ P（Ξd-i） 。此外，我们设置ξ（x，f，s，…，si）（dω，dsi+1。

，dsd）：=ξ（x，f，s，…，si），ω（dsi+1，…，dsd）W（dω）∈ P（C（R+）×d-i） 。地图（x，f，s，…，si）7→ ξ（x，f，s，…，si）继承了（（x，f，s，…，si），ω）7的联合可测性→ ξ（x，f，s，…，si），ω。特别是，ξ（x，f，s，…，si）定义了rd，i（ξ）w.r.t.ri（ξi）的分解，因为通过与（3.8）相同的计算，dri（ξi）=dWdri（ξi）。遵循引理3.10 YieldsCollary 3.13证明的第一部分的推理路线。Letξ∈ RMSTd（X，m）和1≤ i<d。那么，对于ri（ξi）a.e.（x，f，s，…，si），我们有ξ（x，f，s，…，si）∈ RMSTd-i（{0}，δ）。备注3.14。我们注意到，通过设置S，最后一个推论仍然适用于i=00R=R，R（ξj）=m。然后，结果表明，对于ξw.R.t的崩解（ξx）xof，ma。e、 x个∈ 我们有ξX∈ RMSTd。当然，这也可以看作是P=m的结果 W、 RMST的一个重要性质是以下引理。引理3.15。RMST是闭的w.r.t.在X×Ξd.证明上由连续且有界的函数所诱导的弱拓扑。We fix 0≤ 我≤ d- 1并考虑抛光空间▄X=SIX与相应的X=X×C（R+）和P=ri（ξi）W、 为了显示定义3.9中的定义属性（3.6），我们考虑定理3.7中的条件（2）；目标是表示Zt（x，ω）的可测性：=ξi+1x，ω（f），f∈ Cb（[0，t]），x∈ SiX，ω∈ C（R+）以不同的方式。请注意，对于所有有界Borel函数G：~X，有界Borel函数h是Gt可测量的i fff→ RE[hG]=E[hE[G | Gt]]，当然这并不依赖于我们的特定设置。通过函数单调类变元，对于Zt的Gt可测性，有必要检查e[Zt（G- E【G | Gt】]=0（3.10），适用于所有G∈ Cb（￠X）。就ξi+1而言，（3.10）等于0=E[Zt（G- E[G | Gt]]=ZP（dx，dω）Zξi+1x，ω（ds）f（s）（G- E[G | Gt]（x，ω）=Zf（s）（G- E[G | Gt]（x，ω）~ri+1，i（ξi+1）（dx，dω，ds），这是命题3.5的闭合条件。