多边缘Skorokhod嵌入的几何

，τRostn）同时最大化所有1≤ 我≤ n在所有增加的停止时间族（τ，…，τn）中，使得Bτj~ uJ适用于所有1≤ j≤ n、 此外，它还最大化snxi=1E[h（τi）]。该解是唯一的，因为对于任何解|τ，对于这种势垒类型，我们有τRosti=～τi。该定理的证明与定理2.6的证明完全相同。唯一的区别是，由于最大化，我们得到了SGI，n {（f，s，…，si），（g，t，…，ti）：f（si）=g（ti），si<ti}导致反向势垒。我们省略了细节。2.2.3。n-边缘Az'ema Yor嵌入。对于（f，s，…，sn）∈ Snwe将使用旋转\'fsi:=最大值0≤s≤sif（s）。定理2.10（n-边际Az'ema Yor解）。存在n个势垒（Ri）ni=1，这样定义τAY=inf{t≥ 0：（\'Bt，Bt）∈ R} 对于1<i≤ nτAYi=inf{t≥ τAYi-1： （\'Bt，Bt）∈ Ri}多重停车时间（τAY，…，τAYn）最大化nXi=1？Bτi在所有增加的停止时间族（τ，…，τn）中，Bτj~ ujAll 1≤ j≤ n、 该解是唯一的，因为对于任何解|τ，对于这种载体类型，我们有τAYi=～τi。多边缘SKOROKHOD嵌入的几何结构13我们强调，这一结果以前在这种普遍性的文献中没有出现过；之前，最普遍的结果是由[27]和[49]得出的，这证明了在测量的附加条件下，这是一个密切相关的结果，这里没有必要这样做。备注2.11。事实上，与n-边际根和Rost解类似，τay同时解决了优化问题ssup{E[\'BPτi]：(R)τ≤ . . . ≤ τn，Bτ~ u, . . . , Bτn~ un}对于每个i，这当然意味着定理2.10（另见备注2.7.2）。为了保持陈述的可读性，我们只证明不太一般的版本。证据

固定有界且严格递增的连续函数Д：R+→ 考虑连续函数γ（f，s，…，sn）=-Pni=1'fsi和'γ（f，s，…，sn）=Pni=1Д（'fsi）f（si）定义在s上n、 根据定理2.1，选取一个极小值τAYof（OptMSEP），并根据定理2.4，选取一个|γ|单调集族（Γi）ni=1支持τAY=（τAYi）ni=1，对于所有≤ nSGi，2∩ （Γ<i×Γi）=.我们声称SGI，2 {（（f，s，…，si），（g，t，…，ti））∈ Si×Si： f（si）=g（ti），\'fsi>\'gti}。（2.5）实际上，pick（（f，s，…，si），（g，t，…，ti））∈ Si×Si在第2.1节中，f（si）=g（ti）和“fsi>g”的情况下，采用两类停车时间（σj）nj=i和（τj）nj=itogether及其修正（|σj）nj=i和（|τj）nj=ias。我们假设他们生活在某个概率空间上(Ohm, F，P）另外支持标准布朗运动W。注意（如定理2.6的证明中所述）在{σj，~σj}上，它认为σj>τj。因此，在这个集合上，我们有'Wσj≥\'Wτj。这意味着ω∈ {σj，▄σj}（因此▄σj=τj，▄τj=σj）▄fsi∨ （f（si）+Wσj（ω））+gti∨ （g（ti）+Wτj（ω））≤(R)fsi∨ （f（si）+W￠σj（ω））+gti∨ （g（ti）+W|τj（ω）），（2.6）具有严格不等式，除非Wσj（ω）≤ (R)gti- g（ti）或'Wτj≥(R)fsi- f（si）。在集合{σj=~σj}上，我们没有改变第j个停止时间的停止规则，因此我们在（2.6）中得到了一个（路径）等式。因此，我们在（2.3）中总是有一个严格不等式，除非a.s.Wσj（ω）≤ (R)gti- g（ti）或'Wτj≥(R)fsi- f（si）对于所有j。然而，在这种情况下，我们有所有j，使得P[σj，σj]>0（至少有一个这样的j，即j=i）EhИ（(R)fsi）（f（si）+Wσj）i+EhИ（(R)gti）（g（ti）+Wτj）i>EhИ（(R)fsi）（f（si）+Wσj）i+EhИ（？gti）（g（ti）+Wτj）i。因此，（（f，s，…，si），（g，t，…，ti））∈ SG公司 sg在第一种情况和第二种情况下，我们有（（f，s，…，si），（g，t，…，ti））∈ S证明（2.5）。对于每个i≤ n我们定义：={（m，x）：（f，s，…）。

，si）∈ Γi，f（si）=x，\'fsi<m}andRicl：={（m，x）：（f，s，…，si）∈ Γi，f（si）=x，(R)fsi≤ m} 分别命中时间（τ=0）τiop：=inf{t≥ τi-1cl：（\'Bt，Bt）∈ Riop}和τicl：=inf{t≥ τi-1cl：（\'Bt，Bt）∈ Ricl}。14 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN HUESMANNWe将在第一个τicl≤ τAYi≤ τiopa。s、 其次，τicl=τiopa。s、 证明定理。案例i=1已在【2】中解决。那么让我们假设τi-1cl=τi-1帕。s、 然后τicl≤ τAYifollows自τicl的定义。表明τAYi≤ τioppickω满足（（Bs（ω））s≤τAYi，τAY（ω），τAYi（ω））∈ 并假设τiop（ω）<τAYi（ω）。那么就有了∈τiop（ω），τAYi（ω）使得f：=（Br（ω））r≤ssatis fies（\'f，f（s））∈ 里奥普。自τi起-1cl（ω）≤τiop（ω）≤ s<τAYi（ω），我们有（f，τcl（ω），τi-1cl（ω），s）∈ Γ<i.根据Riop的定义，存在（g，t，…，ti）∈ Γi是这样的，即f（s）=g（ti）和“gti<”fs，从而产生与（2.5）的矛盾。最后，我们需要证明τicl=τiopa。s、 在我们继续之前，我们对[2，定理6.5]中的情况i=1给出一个简短的提示。我们定义|ψ（m）=sup{x：（m，x）∈ Rcl}。从Rcl的定义中，我们看到|ψ（m）在增加，我们定义了右连续函数ψ+（m）=|ψ（m+），左连续函数ψ-（m） =△ψ（m-).根据τopandτCl的定义：τ+：=inf{t≥ 0：Bt≤ ψ+（Bt）}≤ τcl≤ τop≤ inf{t≥ 0:Bt<ψ-（Bt）}=：τ-.由于|ψ最多有几个跳跃点（不连续点），因此很容易检查τ-= τ+a.s.，因此τcl=τop=τAY。还要注意的是，BτAy定律的u只能在其支撑点的最右边有一个原子。因此，对于π：=定律（\'BτAY，BτAY），测量π{（x，y）：y<x}在水平轴上有连续投影。以j的明显相似性定义这些数量∈ {2, . . .

，n}，我们需要证明τi+1cl=τi+1op=τAYi+1假设πih是水平轴上的连续投影。为此，我们将πiI分解为自由粒子和俘获粒子π，如果：=πi{（m，x）：x>ψi-（m） }，πit：=πi{（m，x）：x≤ψi-（m） }。在这里，πIf指的是可以自由达到新的最大值的粒子，而πIt指的是被捕获的顶粒子，它们在达到新的最大值之前必然会碰到Riop（因此也是Ricl）。对于πifit中开始的粒子，它精确地遵循上述Ri+1和Ri+1的碰撞时间。对于πIt中开始的粒子，这是引理2.12的结果。此外，如上所述，我们发现πi+1{（x，y）：y<x}在水平轴上有连续投影。引理2.12。[39，引理3.2]设u为Rsuch上的概率度量，即水平轴上的投影projxu是连续的（在没有原子的意义上），且设ψ：R→ R是一个Borel函数。SetRop：={（x，y）：x>ψ（y）}，Rcl：={（x，y）：x≥ ψ（y）}。以u为单位开始垂直移动的布朗运动B，并定义τop：=inf{t≥ 0：（x，y+Bt）∈ Rop}，τcl：=inf{t≥ 0：（x，y+Bt）∈ Rcl}。那么τcl=τopalm几乎可以肯定。2.2.4。n-边际Perkins/Hobson-Pedersen嵌入。对于（f，s，…，sn）∈ Sn将使用符号fsi：=min0≤s≤sif（s）表示截至时间si的路径的运行最小值。（还记得“fsis”是路径的最大值）。在本节中，我们将考虑Perkins[51]和Hobson and Pedersen[37]嵌入的一般化。

在嵌入问题的所有解中，帕金斯用一个平凡的起始定律来解决一个边际问题的构造可以显示为同时最小化任何递增函数h的E[h（\'Bτ）]，并最大化任何递增函数k的E[k（Bτ）]。多边缘SKOROKHOD嵌入的几何学15年后，Hobson和Pedersen【37】描述了一种密切相关的结构，该结构使用一般的起始定律将SEP的所有解的[h（\'Bτ）]最小化。Perkinstock的解的形式为：τP：=inf{t≥ 0：Bt≤ γ-（(R)Bt）或Bt≥ γ+（Bt）}对于递减函数γ+，γ-. Hobson和Pedersen对于一般的开始分布构造了一个停止时间τHP：=inf{t≥ 0：Bt≤ γ-（(R)Bt）或Bt≥ G} 其中G是一个适当选择的F-可测随机变量。他们表明，对于任何递增函数，τhpminimized E[h（\'Bτ）]，但很明显，第二次minimize通常不成立。在[37，备注2.3]中，我们推测存在一个版本的伯金斯对一般起始定律的解释。下面，我们将展示霍布森和佩德森的构造可以推广到多边缘情况，并概述一个论点，即在这种情况下存在珀金斯嵌入的自然推广，但认为珀金斯嵌入不存在“规范”推广。更具体地说，对于给定的增函数h，k，在多边际嵌入问题的所有解上最大化E[k（Bτn）]的嵌入，最小化E[h（\'Bτn）]通常不同于在E[k（Bτn）]的所有最大化器上最小化E[h（\'Bτn）]的嵌入。定理2.13（n-边际“Hobson-Pedersen”解）。

存在n个左势垒（Ri）ni=1和停止时间τ*≤ τ*≤ · · · ≤ τ*nwhereτ*i<∞ 表示Bτ*i=\'Bτ*i取τHP=inf{t≥ 0：（\'Bt，Bt）∈ R}∧ τ*对于1<i≤ nτHPi=inf{t≥ τHPi-1： （\'Bt，Bt）∈ Ri}∧ τ*i多次停车时间（τHP，…，τHPn）最小nXi=1？Bτi在所有增加的停止时间族（τ，…，τn）中，Bτj~ ujAll 1≤ j≤ n、 证明。固定有界且严格递增的连续函数Д：R+→ R+并考虑s上定义的连续函数γ（f，s，…，sn）=Pni=1？fsi，γ（f，s，…，sn）=Pni=1？fsi）f（si）n、 根据定理2.1，选取一个极小值τHPof（OptMSEP），并根据定理2.4，选取一个γ|γ-单调集族（Γi）ni=1，支持τHP=（τHPi）ni=1，如所有≤ nSGi，2∩ （Γ<i×Γi）=.通过与定理2.10中给出的基本相同的论点，我们得到了sgi，2n（（f，s，…，si），（g，t，…，ti））∈ Si×Si： f（si）=g（ti），\'fsi<\'gtio。（2.7）注意，给定τHPi，我们可以确定停车时间τ*i： =τHPiif BτHPi=(R)BτHPi，否则将被定义。对于每个i≤ n我们定义：=n（m，x）：（f，s，…，si）∈ Γi，f（si）=x，\'fsi>m，x<moandRicl：=n（m，x）：（f，s，…，si）∈ Γi，f（si）=x，(R)fsi≥ m、 x<mo16 MATHIAS BEIGLB–OCK、ALEXANDER m.G.COX和MARTIN Huesmann，其各自的命中时间（τ=0）τiop：=inf{t≥ τi-1以上：（\'Bt，Bt）∈ Riop}和τicl：=inf{t≥ τi-1cl：（\'Bt，Bt）∈ Ricl}。可在i上感应显示τicl∧ τ*我≤ τHPi≤ τiop∧ τ*ia。s、 ，其次是τicl∧ τ*i=τiop∧ τ*ia。s、 ，证明了定理。这些结果的证明现在与定理2.10的证明基本相同。当然，像以前一样，可以证明更一般的语句版本（没有求和），但代价是要证明更复杂的论点。备注2.14。上述结果并没有说明解的唯一性。

然而，以下论点（也用于[2]）表明，（定理2.13证明中的一级和二级优化问题的）任何最优解都将具有相同的障碍形式：具体地说，假设（τi）和（σi）都是最优的。定义一个newstopping规则，在时间0时，选择停止规则（τi）或停止规则（σi），每种规则的概率为1/2。该停止规则也是最优的（对于主要规则和次要规则），可以重新运行上述参数以推断最优解的对应形式。事实上，一个更复杂的论点似乎会给出所有这类解决方案中结果障碍的唯一性；我们的想法是像以前一样使用Loynes风格的论证，但同时适用于障碍和最大停止速度。这里的困难在于，上述形式的任何停止时间本质上等同于另一个停止时间，根据某种速率，该停止时间仅在最大值停止，这将取决于较低势垒的选择（即，在上述语言中，P（Hix<τ*i=τHPi≤ Hix+ε）与任何x和ε>0的τhPif的选择无关，其中Hix：=inf{t≥ τHPi-1： 英国电信≥ x） 。通过将每个可能的优化者识别为优化者的一种非标准形式，并使用Loynes风格的参数，该参数通过取左障碍的最大值和规则中最快的停止率，将上述形式的两个停止规则结合起来，可以推断出有一个独特的障碍序列和停止率，从而导致嵌入此形式。我们把细节留给感兴趣的读者。备注2.15。最后，我们非正式地考虑了我们的方法所隐含的“Perkins”型结构。

回想一下，在B=0的单边际情况下，Perkinsembedding同时使最小定律最大化，并使最大定律最小化。上述方法的一个微小变化将表明，人们可以调整上述论点，以考虑与上述目标相同的优化者，然后也旨在最小化最小法则。在这种情况下，可以运行参数来给出停止区域（对于每个边缘），这些区域是障碍，即左障碍R的第一次击中时间，如果（对于固定的x）停止了“fs=m，fs=j”的路径，则所有“gs=m，gs=j”的路径也停止了，其中（m，- j） （m，- j） 以及 表示词典排序。有了这个定义，上面给出的一般大纲论证可以照常进行，但我们在这里不这样做，因为论证的最后阶段——表明这样一个区域的闭合和开放打击时间是相等的——似乎比前面的例子要微妙得多，所以我们将此作为一个开放的问题留给未来的工作。然而，更值得注意的是，在多边际情况下（事实上，对于具有一般起始定律的单边际情况，已经在一定程度上），帕金斯最优性不再严格保持。为了了解为什么会出现这种情况（另请参见[37，备注2.3]），我们注意到，对于具有平凡起始定律的单边缘，通过双重最小化问题构建的嵌入总是在过程设置新的最小值或新的最大值时停止。在任何给定的可能停止点，停止的决定应取决于当前最小值和当前最大值；然而，当过程处于当前最大值时，当前位置和当前最大值都相同。

因此，在新的最大值处停止的决定将只取决于最小值的值，而与最大值函数最大化相关的优化问题将不受选择的影响。尤其是，哪一个优化是主要优化问题，哪一个是次要优化问题，这一点从来都不重要：就上述建立的障碍标准而言，这可以通过观察字典排序中的（m，- j） （m，- j） I等效于(- j、 m） (- j、 m）如果m=mor j=j。另一方面，对于多个边距，我们可能必须考虑在不对应于设置新的最大值或最小值的时间停止。例如，考虑u=δ，u=（δ+δ）的情况-1)/2, u= 2(δ+ δ-2)/5 + δ/5. 特别是，第一次停车时间τ必须是{-1，1}，如果过程在第二次停止时停止在0，那么为了达到最佳状态，它必须在τ之后的第一次到达0时停止。如果我们考虑在τ之后，在命中之前返回0的概率{-2，2}，那么这大于，我们需要选择一个规则来确定应该停止哪个路径返回到0。很明显，如果主要优化是最小化最大法则，那么这个决定将只取决于运行最大值，而如果主要和次要目标切换，它将只取决于运行最小值。特别是，这两个问题产生了不同的最优解。这里的差异来自这样一个事实，即我们无法假设所有路径都具有相同的最大值或相同的最小值。

因此，一般来说，我们不希望恢复Perkins嵌入的一般版本，因为存在一个多边缘嵌入，它最小化了最大值定律，同时最大化了最小值定律。2.2.5. 进一步的“经典”嵌入和其他备注。通过结合前几节中的思想和技术以及[2，第6.2节]中的技术，我们可以确定是否存在[2，备注7.13]中构造的Jacka和Vallois嵌入及其嵌入的n-边缘版本（用适当的正则加法函数代替当地时间）。我们把细节留给感兴趣的读者。我们还指出，可以对不同屏障的结构进行更详细的描述。在这一点上，我们只注意到上述所有嵌入都有一个很好的性质，即它们的n-边际解仅限于第一个n- 1边缘化事实上n- 1边际解决方案。如定理2.6的证明所示，这是将theLoynes论证推广到n-边值的直接结果。有关n-边缘根嵌入障碍的更详细描述，请参阅【14】。我们还观察到，如【2，第6.3节】中所述，可以在更高维度上推断出前几节中所述嵌入的多边缘嵌入，例如根andRost。我们把细节留给感兴趣的读者。2.2.6. 单调鞅耦合的n-边际形式。接下来，我们将讨论导致单调鞅运输计划的多边际版本的嵌入。注意，我们需要一个关于起始定律u的额外假设，但仅限于u。18 MATHIAS BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann定理2.16（n-边际鞅单调运输计划）。假设u是连续的（即u（a）=0表示所有a∈ R） 。