多边缘Skorokhod嵌入的几何

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英文标题：
《The geometry of multi-marginal Skorokhod Embedding》
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作者：
Mathias Beiglboeck, Alexander Cox, Martin Huesmann
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The Skorokhod Embedding Problem (SEP) is one of the classical problems in the study of stochastic processes, with applications in many different fields (cf.~ the surveys \\cite{Ob04,Ho11}). Many of these applications have natural multi-marginal extensions leading to the \\emph{(optimal) multi-marginal Skorokhod problem} (MSEP). Some of the first papers to consider this problem are \\cite{Ho98b, BrHoRo01b, MaYo02}. However, this turns out to be difficult using existing techniques: only recently a complete solution was be obtained in \\cite{CoObTo15} establishing an extension of the Root construction, while other instances are only partially answered or remain wide open.   In this paper, we extend the theory developed in \\cite{BeCoHu14} to the multi-marginal setup which is comparable to the extension of the optimal transport problem to the multi-marginal optimal transport problem. As for the one-marginal case, this viewpoint turns out to be very powerful. In particular, we are able to show that all classical optimal embeddings have natural multi-marginal counterparts. Notably these different constructions are linked through a joint geometric structure and the classical solutions are recovered as particular cases.   Moreover, our results also have consequences for the study of the martingale transport problem as well as the peacock problem.
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中文摘要：
Skorokhod嵌入问题（SEP）是随机过程研究中的经典问题之一，在许多不同领域都有应用（参见《调查》{Ob04，Ho11}）。其中许多应用程序具有自然的多边缘扩展，导致了{（最优）多边缘Skorokhod问题}（MSEP）。一些最先考虑这个问题的论文是{Ho98b，BrHoRo01b，MAY02}。然而，使用现有技术很难做到这一点：直到最近，才在{CoObTo15}中获得了一个完整的解决方案，建立了根结构的扩展，而其他实例只得到了部分回答或保持完全开放。在本文中，我们将{BeCoHu14}中发展的理论推广到多边际设置，这与将最优运输问题推广到多边际最优运输问题相当。至于一个边缘案例，这种观点证明是非常有力的。特别是，我们能够证明所有经典的最优嵌入都有自然的多边缘对应。值得注意的是，这些不同的构造通过节理几何结构连接，经典解作为特殊情况恢复。此外，我们的结果也对鞅输运问题和孔雀问题的研究产生了影响。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-5-31 20:51:22 上传

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关键词：skor Applications Construction Consequences Quantitative

多边缘斯科罗霍德的几何学嵌入了Mathias BEIGLB¨OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN HUESMANNAbstract。Skorokhod嵌入问题（SEP）是随机过程研究中的经典问题之一，在许多不同领域都有应用（参见调查[48，34]）。其中许多应用程序具有自然的多边缘扩展，从而导致（最优）多边缘Skorokhod问题（MSEP）。第一批考虑这个问题的论文有[32、10、44]。然而，使用现有技术很难做到这一点：直到最近，在建立根结构的扩展时，才获得了完整的解决方案，而其他实例仅得到部分回答或保持广泛开放。在本文中，我们将[2]中发展的理论推广到多边际设置，这与将最优运输问题推广到多边际最优运输问题相当。至于一个边缘案例，这种观点证明是非常有力的。特别是，我们能够证明所有经典的最优嵌入都有自然的多边缘对应。值得注意的是，这些不同的构造通过节理几何结构联系在一起，经典解作为特殊情况恢复。此外，我们的结果也对鞅运输问题和孔雀问题的研究产生了影响。关键词：最优运输，Skorokhod嵌入，多边缘，鞅最优运输，孔雀。数学学科分类（2010）：小学60G42、60G44；次级91G20.1。简介Skorokhod嵌入问题（SEP）是一个经典的概率问题，可以追溯到20世纪60年代（[55，56]）。简单地说，目的是将给定的概率表示为布朗运动在选定停止时间的分布。

最近，在概率、数学金融和数值方法应用的推动下，人们对SEP的解决方案（参见两次调查[48，34]）及其多边际扩展，多边际SEP：给定边际测度u，…，产生了新的、持续的兴趣，un有限方差和带B的布朗运动~ u，构造停止时间τ≤ . . . ≤ τns。t、 Bτi~ uI对于所有1≤ 我≤ n和E[τn]<∞. （MSEP）众所周知，如果边缘为凸序（u），则存在（MSEP）的解ccun）并具有有限的秒矩；在这种情况下，Skorokhod的原始结果给出了诱导单周期问题的解的存在性，然后可以将这些解粘贴在一起以获得（MSEP）的解。似乎很难开发单周期解的真正扩展：SEP的许多经典解表现出额外的理想特性和最优性，人们希望将其扩展到多边际情况。日期：2021 06月15日。第一作者非常感谢FWF拨款p26736和Y782的支持，第三作者非常感谢德国研究基金会通过Hausdorff数学中心和合作研究中心1060.2 MATHIAS BEIGLB¨OCK，ALEXANDER M.G.COX，然而，马丁·休斯曼（MARTIN Huesmann）对这些解决方案的原始推导极大地利用了某些问题固有的特殊结构，通常依赖于显式计算，这使得扩展即使不是不可能也很困难。我们知道的第一篇试图将经典结构扩展到多边缘环境的论文是[10]，他将Az'ema Yor嵌入（[1]）推广到两个边缘的情况。

Henry Labord\'ere、Obloj、Spoida和Touzi【27，47】进一步扩展了这项工作，他们能够扩展到任意的（有限的）边缘群体，在一个非平凡的措施假设下。郭和HenryLabord\'ere在[22]Claisse中使用了随机控制方法的扩展，构建了Vallois嵌入的两个边缘扩展。最近，Cox、Obloj和Touzi【14】能够通过使用最优停止公式描述一般多边缘根嵌入的解决方案。大众运输方法和一般多边缘嵌入。在本文中，我们基于优化运输领域的见解，开发了一种解决多边际斯科罗霍德问题的新方法。继Gangbo和McCann的开创性论文【23】之后，最优运输计划的最优性和几何结构的相互作用一直是该领域的基石。如[13，50]中所示，这不仅限于两个边际的情况，而且扩展到了多边际的情况，但事实证明这要困难得多。最近，相似性被证明可以延伸到一个更具概率性的环境中，延伸到满足额外线性约束的最优运输问题[7，57，25]，事实上延伸到经典的Skorokhod嵌入问题[2]。基于这些见解，我们将【2】中提出的大众运输观点扩展到多边缘Skorokhod嵌入问题。这使我们能够在完全通用的情况下给出所有经典最优解的多重边缘扩展，我们通过几个例子加以说明。特别是Az’emaYor、Root、Rost、Jacka、Perkins和Vallois的经典溶液可以作为特例恢复。此外，该方法允许我们推导出（MSEP）的许多新解，这些解在鞅最优运输和孔雀问题等方面有进一步的应用。

本文的主要贡献在于，在许多不同的情况下，多边缘SEP的解共享一个共同的几何结构。在我们考虑的所有情况下，这些几何信息实际上足以唯一地描述优化者，这突出了我们方法的灵活性。此外，我们对Skorokhod嵌入问题的方法非常普遍，不依赖于布朗运动的精细性质。因此，正如[2]中所述，本文的结果适用于充分正则的马尔可夫过程，例如几何布朗运动、三维贝塞尔过程和奥恩斯坦-乌伦贝克过程，以及RDD大于1的布朗运动。由于参数与[2]中的参数完全相同，我们参考[2，第8节]了解详细信息。相关工作。对多边际斯科罗霍德问题的兴趣来自多个方向，我们在这里描述了其中的一些：o最大化运行最大值：Az'ema Yor embeddedingAspect（Mt）t≥0是鞅，并写入“Mt：=sups”≤tMs。Blackwell和Dubins【8】、Dubins和Gilat【21】和Kertz和R¨osler【42】研究了强制性法律之间的关系，最终Rogers对所有可能的联合法律进行了全面分类【52】。特别是考虑到M定律，“Madmits a maximum w.r.t.”的一组可能定律。随机序，这可以通过Az'ema Yor嵌入看到。给定多边缘SKOROKHOD嵌入3鞅的几何的初始和终端定律，Hobson[33]给出了极大值定律的一个尖锐上界，该上界基于Az'ema Yor嵌入到布朗运动的扩展，根据一个非平凡的初始定律开始。这些结果在[10]中进一步扩展到从0开始的鞅，并在中间时间点约束到特定的边际鞅，基本上是基于Az’emaYor构造的进一步扩展。

自然的目的是在任意边缘人的情况下解决这个问题。假设边缘体具有有序的重心函数，这个案例包含在Madan和Yor【44】的工作中，基于对Az’ema-Yor方案的迭代。最近，Henry Labord\'ere、Obl\'oj、Spoida和Touzi[27，47]将[22]的随机控制方法（对于一个边际）扩展到满足额外假设（[47，假设~]）的凸序边际。下面的定理2.10与Dambis-Dubins-Schwarz定理一起，为这个问题提供了一个完全通用的解决方案多边缘根嵌入在一篇现在的经典论文中，根[53]表明，对于具有有限二阶矩u的任何中心分布，存在一个（右）势垒R，即R+×R的Borel子集，使得（t，x）∈ R表示（s，x）∈ R代表所有s≥ t、 其中BτR~ u，τR=inf{t：（t，Bt）∈ R} 。Rost[54]将这项工作进一步推广到一大类马尔可夫过程，他还表明，这种构造是最优的，因为它最小化了凸函数h的E[h（τ）]。最近关于根嵌入的工作集中于尝试表征停止区域。许多论文通过分析方法（[45，16，15，24]）或通过与最优停止问题的联系（[17]）来实现这一点。最近，与最优停止问题的联系使得Cox、Obl'oj和Touzi[14]将这些结果推广到了多边际设置，而且他们证明了该解具有与单边际根解类似的最优性。

主要策略是首先通过时间反转论证证明当地支持措施的结果。然后，在一般措施的情况下，通过精细的限制程序完成证明。作为本文理论结果的结果，我们将能够验证类似的结果。特别是，在定理2.6中恢复了屏障结构和最优性。事实上，正如我们将在下面展示的那样，根嵌入的特殊几何结构被证明是许多经典嵌入的多边缘对应物的原型模型独立融资是本文结果的一个重要应用领域，也是最近SEP兴趣复苏背后的一个激励因素，与模型独立融资有关。在数学金融中，我们将价格过程建模为风险中性度量下的鞅，指定到期日T的看涨期权价格相当于确定ST的分布u。理解函数γ的无风险价格界限，通常可以认为相当于确定u的Skorokhod嵌入问题的所有解中E[γ（B）τ]的范围。自霍布森（Hobson）[33]提出SEP与模型独立定价和套期保值之间的这种联系以来，一直是一个重要的问题。[34]中给出了全面的概述。如【47】中的一个示例所示，该条件对于执行其显式构造是必要的。4 MATHIAS BEIGLB–OCK、ALEXANDER M.G.COX和MARTIN Huesmann然而，上述方法仅使用到期时间T的市场数据，而在实践中，许多中间到期日的市场数据也可能可用，这对应于多边际SEP。

虽然我们在本文中不追求这一研究方向，但我们强调，我们的方法产生了一种解决这一问题的系统方法。特别是，模型独立框架的超级复制结果的一般框架现在包括了许多重要贡献，请参见[20、26、3、38]，并且这些论文中的大多数都在多个中间时间提供了信息鞅最优运输最近研究了运输计划必须满足附加鞅约束的最优运输问题，例如[36、4、7、22、20、11]。除了对金融有一个自然的解释外，此类鞅输运问题还具有独立的数学意义，例如，类似于经典最优输运，它们对鞅不等式的研究有影响（参见[9，28，47]）。如【5】中所观察到的，通过将其与斯科罗霍德嵌入问题联系起来，可以深入了解两个概率u和u之间的鞅输运问题，该问题可以被视为鞅输运问题的连续时间版本。值得注意的是，这一思想可用于以统一的方式恢复鞅最优运输问题的已知解（[39]）。因此，基于多边际Skorokhod嵌入问题，可以更好地理解n-边际鞅输运问题，这似乎很自然。

事实上，这在下面的OREM 2.16中是一个例子，我们使用多边缘嵌入来建立鞅单调运输计划的ann周期版本，并恢复与Nutz、Stebegg和Tan最近的工作类似的结果【46】孔雀王朝的构建可以追溯到马丹·约尔（Madan-Yor）[44]的工作，并在赫希（Hirsch）、Profeta、Roynette和约尔（Yor）[31]的著作中进行了系统的研究，给出了一系列概率测度（ut）t∈[0，T]按凸面顺序递增，孔雀（来自Acronym PCOC“Processus Croissant pour l\'order Convexe”）是一个鞅，如Mt~ ut对于所有t∈ [0，T]。Kellerer著名的定理证明了这样一个过程的存在，并且通常有大量这样的过程。粗略地说，孔雀问题是给出这样的鞅的构造。通常，此类构造基于Skorokhod嵌入或特定鞅运输计划，并且通常人们对生成具有某些额外最优性的解感兴趣；例如，参见最近的作品【29、40、41、35】。考虑到多周期鞅最优传输和Skorokhod嵌入的复杂性，有必要对潜在的边缘进行额外的假设，并且在固有的限制/粘贴过程中，通常不会以直接的方式保持期望的最优特性。我们希望，对多边缘斯科罗霍德嵌入问题的进一步理解将为系统地解决这些问题提供第一步。1.1。论文大纲。我们将按以下步骤进行。在第2.1节中，我们将描述我们的主要结果。我们的主要技术工具是“单调性原理”，定理2.4。这个结果允许我们推断出优化者的几何结构。

陈述了这一结果，并定义了“停-走对”的概念，这是多边际SKOROKHOD嵌入5几何的重要数学体现。我们将能够推断出我们的主要结果。具体而言，我们将证明根、Rost和Az’ema Yor嵌入的多边际推广，并将其最优性属性作为其构造中的akey工具。Rost构造是完全新颖的，Az’ema Yor嵌入的解决方案概括了现有的结果，这些结果之前仅在对度量的更强假设下才得到。我们还给出了一个由Hobson&Pedersen提出的嵌入的多边际推广；从某种意义上说，这是Az’ema Yor嵌入的对手；经典上，这被认为是Perkins的嵌入[51]，然而由于我们后面给出的原因，这种嵌入没有多边缘扩展。此外，这些结果的证明将共享一个共同的结构，并且很清楚如何推广这些方法，为SEP的许多其他经典解提供类似的结果。在第2.1节中，我们还使用我们的方法，使用基于SEP观点的构造，给出了一个多边际鞅单调转移计划。然后，本文的其余部分将致力于证明主要的技术结果，即定理2.4。在第3节中，我们介绍了我们的技术设置，并证明了一些初步结果。正如[2]中所述，考虑随机多停止时间的类别很重要，我们在本节中对其进行了定义，并得出了一些有用的性质。