市场力学中的作用原理

它包含系统和作用在系统上的力的影响的完整信息。或者，Lagra ngian通常被定义为系统的运动项K和势项V之间的差值，每个项在t处测量，因为K e表示的是x的性质，V表示的是x的性质。因此，L=K- V。众所周知，在任何物理系统中，对象的可观察路径（对象在一段时间内实际穿过配置空间的方向）会使该微分随时间而最小化。这就是“最少行动原则”一词的由来。同样地，回想一下第三个假设，该理论假设一个集合不包含自己的“力”，因此也不包含自己的“能量”资产价格上的任何位移都是对资产所做工作的结果，等于任何位移量上的净外力。该理论进一步认为，产生这种净外力并将其引入资产的总来源只有一个：买卖双方交易互动的净效应。从前面的章节中，我们可以看到，在每个时间片τ中，资产以线性价格移动。如此处所用，平稳行动原则认为，对于每个经过的时间t，资产在时间Ta和Tb之间所走的“路径”（即在价格维度的相对配置空间中画出的曲线）是指在资产相对配置的小变化下，行动d不会发生变化（即平稳）的路径，最有可能考虑拉格朗日函数不是资产初始坐标及其导数的函数，而是资产价格时点t及其在时间t+1时的价格的函数，即作为端点【13】。注意，动力学项只是方程式左侧的积分。

（1） 势项是右手边的负积分，两者都与价格位移有关。欧拉-拉格朗日方程表明了这一点。市场力学中的作用原理与相对价格维度有关。由于价格维度是我们的垂直坐标轴，我们可以进一步说明，这样的路径是一条向上或向下的直线，尽管在旋转下，我们可以将其概括为正方向或负方向。这与前面表示的振荡动力学一致。需要注意的是，只有当t=τ时，这才与观察到的市场机制一致；也就是说，资产仅在本地时间片上按价格严格上下移动。什么是“本地”好吧，这取决于我们希望给出n的度量，以及我们对时间间隔单位的定义。再想想另一种方式，作用，拉格朗日函数在价格-时间坐标系的任何区域上的时间积分，对于该区域坐标的任何微小变化，都必须是平稳的。如果我们继续划分区域，直到我们得到一组时间片，我们观察到这种平稳的行为是典型市场机制在每个时间片τ上的二元“上下”振荡，这也是从t到t+1的延迟时间。因此，对于价格-时间坐标系中的每个时间片，都存在一个拉格朗日函数，它是其坐标及其相对于时间的一阶导数的函数。这是否意味着，当经过的时间不是本地时间时，我们无法确定Ta和Tb之间的操作？不，事实上，恰恰相反。这意味着我们必须首先检查Ta和Tb之间每个切片τ的特定动力学，然后对所有时段τ进行求和，以找到与观测数据相匹配的可测量结果。

换句话说，tAto TBI的动作S等于以下一系列时间片：ZtBtALdt=ZttLdt+ZttLdt+····+Ztntn-1Ldt，（7）式中，τ=t+1- t就像在更大范围上一样，发现t=tB- 助教。在我们的价格-时间坐标系中，每个时间片τ上的拉格朗日对Ta和tB之间测量的总价格位移X有一定贡献。这类似于狄拉克的方法[13]，以及后来费曼的定义[14]。然而，观察到价格位移不仅仅是ψ相位位移的结果。这也是属于ψ复共轭的d相ispla胶结的结果*, 我们在这里表示为φ*以避免混淆。在f act中，φ和φ*在等测度tox中贡献，因为正如我们前面所示，复数及其复共轭共享相同的值R-轴值xB，在我们的均匀坐标系中相当于价格位移x。因此，如果每个时间片τ的拉格朗日对Ta和tBso之间测得的总价格位移x做出了一些贡献，则该时间片的相位位移是该时间片的两倍，我们将表示为该间隔τ或2φ[x（τ）]的价格位移的函数。由于式（7）中的局部元素总和为T和tB之间拉格朗日的总时间积分，因此为总作用，我们可以说明每个元素T+1tL dt≡ dS（ifn足够大）和每个元素在平稳作用原则下最小化。B、 测量动作我们通过检查系统的势项和动力学项开始测量动作。任何正向力都可以表示为系统电势的负空间导数。

因此，通过类比，我们当然可以排除，如果我们选择，我们总是可以将t设置为τ，tBto t+1，和tAto t。从技术上讲，复波函数ψ具有共轭ψ*两者的相位位移φ相同，但方向相反；然而，通过将相位位移记为φ和φ来讨论每个相位位移更容易*.12 J.T.Manhire将式（1）中的负向力kx作为我们称之为金融市场的系统潜力（或其类似物）的正价格导数。然后该电势V变为SV=kx。（8） 请注意，资产的潜在期限只是Q右侧的价格积分。(1). 然后，动力项应该是左侧的价格积分，其为comesk=m˙x.（9）。此时，我们应该已经开始怀疑金融市场中的潜在和动力项之间的等价性，因为等式（1）中表示了买家和卖家净互动平衡的价格积分的共同结果。

尽管如此，为了确保这一点，我们将在接下来的几页中更深入地探讨这一点。下一个问题是，“这个作用的测量值是多少，从广义上讲，相位位移的测量值是多少？”我们试图通过再次检查每个时间段的动力学来回答这个问题。在每个切片τ处，净外力会导致相对于微小位移的微小工作量，尤其是当n非常大，或F（τ）=dWdx（τ）时。为了计算出资产在这段时间内完成的总工作量，我们采用净外力的价格积分，或W=外汇。工作W相当于从买方和卖方的净互动中引入资产所需的总潜力，以使资产价格变动。由于资产既没有也不储存自己的任何“能量”，因此用于将资产转移到价格维度的任何潜力都必须来自这些外部交互作用引入资产的净潜力。换句话说，由任何价格位移产生的动力学项K必须来自外部电势V。这意味着最终动力学项必须等于在任何经过的时间段内测量的初始电势。因此，我们可以认为，对资产执行的总功等于最初引入资产的总潜力。这也等于资产通过价格维度移动的最终动力学项。换句话说，W=V=K+1。要做到这一点，V+1和K必须等于零，V和K在每个经过的时间段上都是“折衷”度量，但对于该时间段，V和K的总和始终等于W。那么这个问题的答案是，“系统的潜力是什么？”完全取决于我们在elapsedtime切片τ上提问的时间。

因此，除了τ上的平均值外，不可能以任何方式表示势项和运动项。唯一的例外是通用切片τ端点t和t+1处的势项和动力学项的表达式。由于K=0，拉格朗日变为l=K-V=0- V=-V。我们取得了一些进展。我们现在知道，拉格朗日是买方和卖方在任何时间段τ的相互作用所产生的负初始电势。但这种潜力的衡量标准是什么？我们知道它必须与工作的平均值相同，它等于toFx。我们还从牛顿第二定律知道，当取平均值时，F=m¨x=mxtince¨x=x/t。因此，Fx=mx2tx=mx2t。但这与测量系统的平均动力学t m是一样的，因为平均x始终是x/t。因此，可以看到ms，Kmax=Vmax。由于Kmax表示市场力学中的作用原理13Vmin=0，Vmax表示Kmin=0，V≡ Vmax，我们可以得出结论，V=kx=mx2作为t=τ的平均度量。因此，我们可以将Anaset的拉格朗日表示为asL=-V=-mx2t。由于作用定义为拉格朗日时间积分，我们可以表示作用asS=ZtBtA-mx2tdt=mx2t。（10） 我们还可以通过理论拉格朗日计算来确定作用的度量。用这种方式表示，动作变成mZtBtA˙x-kmxdt公司.通过部分积分，我们得到了与动力学项相关的以下结果：ZtBtA˙xdt=ZtBtA˙x˙x dt=| x˙x | tBtA。自¨x=-kxm，我们得到ztbta˙xdt=| x˙x | tBtA+kmZtBtAxx dt。有些人可能会争辩说，如果我们表达τ很小的平均动力学项，我们必须这样做x+1- xt+1-t·x- x-1t-t-1.非asm·xt公司如果价格位移平方的平均值是dt而不是dt。

虽然注意到了这一例外情况，但本文中使用的符号似乎足以检验金融市场的价格置换。然后动作变为m|x˙x | tBtA+kmZtBtAxx dt-kmZtBtAxx dt,其中简单的toS=m | x˙x | tBtA=m（xB˙xB- xA˙xA）。因为我们在齐次坐标系中设置xA=0，所以xAterms消失了。此外，因为我们只能将τ周期内的动力学项作为平均值来讨论，所以我们得到=mx公司xt公司=mx2t，这与我们最初导出的值相同。回想一下，任何经过的时间段的资产价格路径的解决方案是x（t）=1/2（ψ+ψ*).接下来，我们想知道沿着这条路径x（t）的动作是静止的，还是更具体地说是最小化的。假设x（t）是资产通过tAtotB的价格维度的实际路径，ξ（t）是资产在两个时间端点之间可以采用的任意路径。我们将引入术语η（t）是实际路径x（t）的一些变化，其中η（t）：=η（tA）=η（tB）=0。然后我们可以将任意路径定义为ξ（t）：=x（t）+η（t）。由于拉格朗日函数在x和˙x上是四次函数，因此，路径ξ（t）的作用变成（ξ）=S（x+η）=S（x）+S（η），这对振荡系统有效。因此，当η（tA）=η（tB）=0时，S>0。任意系统的作用为（x）+S（η）+mZtBtA˙x˙ηdt-kmZtBtAxηdt.如果我们根据η重写术语˙x˙η，我们发现自14 J.T.MANHIREη=0后，积分项消失。因此，当η（tA）=η（tB）=0时，S（η）=0满足S>0的条件。如果第一近似值中的S没有变化，我们也可以将动作定义为静止。一般来说，如果我们有一个函数的最小数量，那么从第一阶的最小数量到第二阶的任何变化都只会有偏差。

在最小值以外的任何其他位置，一阶会出现一个小扰动，但在最小值处，任何小扰动都不会对一阶近似产生影响。我们可以通过将动作视为一系列来检查这一点。动作S=mx2t可以表示为有限系列∞∑n=0（t- 1） 新罕布什尔州(-1） 用于| 1的nmxi（11）- t |=0，这就是我们要寻找的，因为我们希望动作在任何单位的运行时间内都是静止的。因为我们只需要计算第一个近似值来判断动作是否平稳，所以我们可以将该序列限制在n∈ {0，∞} 吨∈ {0, 1} . 这给了我们（t-1） h类(-1） mxi+（t-1） h类(-1） mxi，变成（1）h（1）mxi+（t- 1） h类(-1） mxi。这减少了tomx（2-t） 。（12） 请注意，在t=1时，该方程等效于等式（10）。因此，我们看到δS=0；对于任何时间单位，动作在第一个近似值下保持不变。因此，我们可以得出结论，t上拉格朗日表示的d微分是最小的。从式（10）中，我们可以看出，价格变动与价格变动有关。因此，我们可以寻找价格置换的解决方案，以保持动作平稳。实现这一点的一种方法是对价格位移进行偏导数，并在偏导数为零时找到解。我们的希望是，对于所有可能的价格位移值，即从ze ro到| R |，行动保持不变。对于复平面上从0到| R |的任何正价格位移，相位位移的绝对值在[0，π]范围内。这对于任何负冰位移都是一样的。

因此，如果|φ|的解包括这两个极端，当作用对相位移的偏导数等于零时，我们可以合理地假设作用对所有价格位移| x |的值都是平稳的。回想式（4），x=Rsinφ。因此，我们可以将作用对相位位移的偏导数设为零φm（Rsinφ）2t= 0。（13）这变成了rsinφc osφt=0，（14）这产生了两个可能的解：gπ和gπ+π，其中g是整数标度r。我们对解a t g=0感兴趣，因为所有其他解都是正整数倍或负整数倍。这给我们留下了解|φ|=0和|φ|=π，（1 5），这是我们刚才提到的每个相位位移绝对值的外推。因此，我们可以得出结论，价格位移x的所有可能路径将导致市场力学15中的作用原理产生一阶近似的平稳作用。因此，从齐次坐标系的角度来看，金融市场的机制符合所有可能价格路径的最小作用原则。5、推导概率我们现在假定存在唯一复数ψ及其复共轭ψ*对于包含范围x中的每个离散价格位移x∈ [-R、 R]。我们可以将ψ表示为φ的指数函数，形式为ψ=i exp[-iφ]。（16） 通过简单地平方指数表达式，这将成为一个概率（高斯）函数(-iφ）i=i exph-φi（17），通过将高斯除以所有可能的高斯值之和，将其归一化-φ红外光谱∞-∞经验值[-φ] dφ=Qψe-φ、 （18）式中，Qψ是ψ的相应归一化常数，其相位位移值为Qψ=√π.

（19） 我们用类似的运算得到Pr（ψ*).我们还从公式（7）中对拉格朗日的讨论中了解到，对于ea c h唯一价格位移x，存在两个唯一相位位移φ；一个位于复合平面的象限I，另一个位于象限II，表示正价格位移，一个位于象限III，另一个位于象限IV，表示负价格位移。换句话说，对于任意+x，存在2 |φ|，对于任意-x、 如果我们将每个φ的绝对范围定义为[0，π]，就像我们在§4末尾所做的那样，那么对于任何绝对价格位移x，存在4φ，因为x≡ ±x。同样，我们发现唯一价格位移x发生的概率是ψ和ψ的函数*. 因为x是与ψ相关的相位移和与ψ相关的相位移的结果*, 我们必须为两侧加上φ项，以确定特定值X，orPr（X=X）的概率。费曼（Feynman）[14]给出了一种更为详细的方法，通过定义多个区域，然后将其拆分，但我们也可以将其视为一个基本的概率问题。通过问“x具有特定值x的概率是多少？”我们本质上是在问，“找到ψ和ψ的概率是多少？”*每个都具有特定的相位位移值φ=Φ，其中Φ是X的唯一p相位位移？”形式上，这是pr（ψ∩ψ*). 我们知道如何解决这个问题，因为众所周知，pr（ψ∩ψ*)= Pr（ψ）·Pr（ψ）*)ifψ和ψ*是独立的事件，因为它们是唯一的，并且彼此独立。因为这与特定价格位移的概率相同，因为相位位移是价格位移的函数（更恰当的函数），所以Pr（x）=Pr（ψ）·Pr（ψ*).因为Pr（ψ）≡ Pr（ψ）*), 这就得到了usPr（x）=Pr（ψ）。（20） 请注意，我们只是将PhaseDisplaces添加到一起。