动态分位数函数模型

假设我们定义了将符号观测映射到p维向量M:S的x的参数化→ Rp，以便我们能够获得向量ξt=M（Xt），并定义条件分布Fton Rp，从而ξt | Ft-1.~ Ft，其中Ft-1=σ（{ξs:s≤ t型- 1}). 如果M是一个可测映射，则分布Ft对应于Xt的生成模型，即Ft在M下的推进-1、换句话说，对于任何固定的u∈ [0，1]，随机变量Xt（u）的分布对应于变换后的随机向量M的分布-1（ξt）。QF值点预测的一个可能方法是通过uX，t（u）：=E[Xt（u）| Gt给出的条件逐点平均函数-1], u∈ [0，1]，其中期望是关于FX，t的。虽然uX，是一个有效的分位数函数，但它不一定仍然是S的一个元素。代替uX，t，我们选择QF值的一步超前点预测作为分位数函数，其映射向量是关于Ft的ξtwith的条件期望，λXt：=M-1（E[ξt | Ft-1]).通过模拟可以看出，在建议的gh-DQF模型（第2.3节稍后介绍）下，uX近似于￠Xt。建模任务是定义集合{S，M，Ft}。请注意，映射M是非唯一的，模型的属性在很大程度上取决于它的选择。在接下来的章节中，我们将介绍一种基于g和h分布族的M的特殊选择。2.2 g和h分布我们采用参数方法，并假设X具有g和h分布的分位数函数的函数形式，即我们将符号集定义为S：={g和h分位数函数}。

g-and-h分布族最早由Tukey（1977）引入，并由Martinez和Iglewicz（1984）和Hoaglin（1985）进一步发展。它由标准正态随机变量的变换生成，允许不对称和重尾。具体地说，设z为标准正态随机变量，设a∈ R、 b类∈ （0，∞), g级∈ R、 和h∈ [0, ∞) be常量。如果由变换给出，则随机变量y遵循g和h分布，y：=a+bG（z）h（z）z，（1），其中g（z）：=exp（gz）- 1gz（2）和H（z）：=经验值赫兹.请注意，相同的转换可以应用于任何“基本”随机变量。从（1）可以看出，a和b分别代表位置和规模。从（2）可以看出，重塑函数G从下到下是以零为界的，对于G分别为正或负，它是单调递增或单调递减的，并且通过将其重写为级数展开，G（z）=1+gz2+（gz）3+（gz）4！+·····，（3） 对于所有G，G等于0处的1。因此，G通过参数G为零的不同侧面缩放z差来产生不对称性。此外，G（z；G）=G(-z-g） ，g a的符号只影响偏斜的方向。对于g=0，通过方程（3），获得了恒常函数g（z）=1，因此对称性保持不变。对于h>0，h是h（0）=1的严格凸偶数函数，因此它在保持对称性的同时，通过向z的尾部缩放来生成重尾。当h=0时，（1）给出的变换生成g分布的子族，这与g>0时的移位对数正态分布族一致。

当g=0时，变换生成了h分布的子家族，它是对称的，具有比正态分布更重的尾部。2.3 gh DQF模型由于（1）给出的变换是单调递增的，只要h>0，g和h分布的分位数函数就显式可用。如第2.2节所述，我们假设Xt是g和h分布的分位数函数，因此Xt（u）：=at+btexp（gtZ（u））- 1gtexphtZ（u）如果gt6=0，at+btZ（u）exphtZ（u）如果gt=0，其中Z是标准正态分布的分位数函数，at∈ R、 英国电信∈ （0，∞),燃气轮机∈ R、 和ht∈ [0, ∞) 分别是负责位置、比例、不对称性和重尾性的参数。然后我们选择参数M为ξt：=（ξ1，t，ξ2，t，ξ3，t，ξ4，t）：=（at，b*t、 gt，ht），其中b*t： =日志（bt）。由于Bt是一个正比例参数，其自然对数用于后续建模。2.4估计g和h参数SUP直到现在，我们一直将{X，…，XT}视为直接可观察的数据。然而，在现实中永远无法观察到有限维分位数函数；只观察到已实现的订单统计信息。因此，QF值观测必须使用标量值观测构造。设{y，…，yT}表示向量序列，其中，对于每个t∈ {1，…，T}，向量yt∈ Rntdenotes ntscalar值观测的样本。构造序列{yt}的一种方法是将长时间序列{y，…，yNT}划分为T个连续的片段，其中Nt=Pti=1ni，因此yt=（yNT-1+1, . . . , yNt）包含属于第t块的ntobservations，如图1所示。图1：通过将一个长时间序列分割成几段来构造向量序列{yt}的图示。让我们：Rn→ S、 对于n∈ N、 表示汇总功能。序列{X。

对于每个t，通过XT=S（yt）获得∈ {1，…，T}。在S是g和h分位数函数集的情况下，求和函数S对应于g和h分位数函数参数的估计量。统计文献中已经对参数分位数函数的估计进行了一些研究，例如基于数值似然（Rayner和MacGillivray，2002；Hossain和Hossain，2009）、匹配分位数（Xuet al.，2014）、匹配矩（Headlick et al.，2008）和贝叶斯方法（Haynesand Mengersen，2005；Peters和Sisson，2006；Allingham et al.，2009）。我们采用Peters et al.（2016）基于L-矩开发的方法，该方法显示出良好的统计特性，同时与之前提出的方法相比，计算简单。仿真结果表明，与基于数值似然、常规矩和分位数的方法相比，L-momentmethod的参数估计具有最小的均方误差。附录A.2.5对ξtWe的条件联合分布进行建模，给出了关于L-momentmethod的详细信息。我们假设一个灵活的模型，其中ξ的条件联合分布由copula和一元条件边际分布定义，用ξt | Ft表示-1.~ Ft：=C（F1，t，…，F4，t），（4），其中C：[0，1]→ [0，1]是将条件边际分布{Fi，t}映射到条件联合分布Ft的copula函数。为了解释中心依赖和尾依赖，同时又是parsinonious，我们选择C作为Student-t copula（Demarta和McNeil，2005）。设ui，t：=Fi，t（ξi，t）和ut：=（u1，t，…，u4，t）。由（4）中的分布函数计算的ξ的条件联合密度isft（ξt）=$（ut）Yi=1fi，t（ξi，t），（5）其中$是Student-t copula密度，fi是条件边际密度。

copula密度由$（ut）：=fMSt给出F-第1（u1，t；ν），F-第1（u4，t；ν）；R、 νQi=1fStF-第一（ui，t；ν）；ν,式中，Fmtis多元t密度参数化了相关矩阵R和自由度ν，fStis单变量t密度和自由度ν，以及F-1是具有ν自由度的单变量t分布函数。2.5.1 at、b的条件边际分布*t、 gtWe对i的条件边际分布Fi、TF进行建模∈ {1，2，3}，对应于，b处的参数*t、 和gt，如下所示。ξi，t=ui，t+i、 t，i、 t=σi，tvi，t，vi，t~ Fskt（·；ηi，λi），ui，t=δi+ψiξi，t-1+φiui，t-1，σi，t=ωi+αii、 t型-1+βiσi，t-1.（6）创新vi，由Hansen（1994）的倾斜学生t分布产生，用Fskt（·；ηi，λi）表示，其中ηi∈ （2、，∞) 是自由度参数和λi∈(-1，1）不对称参数。特例Fskt（·；ηi，0）和Fskt（·；∞, 0）分别为学生t和标准正态分布。此外，斜态分布是标准化的，因此E（vi，t）=0，Var（vi，t）=1。在Jondeau和Rockinger（2003）中可以找到Hansen的偏态t分布的更多特性。模型（6）表明，条件边际分布的均值和方差Fi，taregiven byE（ξi，t | Ft-1） =ui，tand Var（ξi，t | Ft-1） =σi，t。{ui，t}和{σi，t}的动态特性都以指数平滑的扩展形式为特征（Bosq，2015）。对于条件方差为正，条件ωi>0，αi≥ 0和βi≥ 0已足够。如果满足正性条件，则过程ξi是协方差平稳的，如果-1<ψi+φi<1，αi+βi<1.2.5.2磷灰石龙分布家族尾部形状参数HTM必须为非负，以便（1）中的转换在Zu中单调增加，从而一对一。

建模HTO的条件分布或其对数变换可能是一个挑战，因为根据经验，HTO可以在许多天内非常接近于零。此外，HTC有时也会变得非常大（接近0.5），例如，在发生所谓的“金融崩溃”的日子里。出于上述原因，我们开发了一个新的分布家族，称为Apatosaursfamily，用于ht的建模，这在经验上显示了与数据的良好拟合。磷灰石龙（Apatosaurus）是一个非负分布家族，它是由截尾偏态t和指数分布的混合构成的。根据其参数，该分布可以呈现多种一般形状，包括在零处有一个模式、远离零的一个模式和两个模式。随机变量h~ FApat（h；u，σ，η，λ，ι，w）具有由FApat（h；u，σ，η，λ，w）=wfTrSkt（h；u，σ，η，λ）+（1）给出的密度函数- w） h的fExp（h；ι）∈ [0, ∞), 式中，ftrskt和fexp是截短的倾斜分布和指数分布的密度函数，并且w∈ [0，1]是混合重量。参数u、σ、η和λ对应于截断斜交t分量的模式、比例、自由度和不对称性。参数ι是指数分量的平均值。图2描绘了磷灰石龙密度和分布函数的示例。

关于磷灰石龙家族的其他详细信息见附录B。Halphen分布系统（Perreault et al.，1999a，B）能够呈现一组定性相似的形状，然而，为了对ht建模，磷灰石龙分布显示出与Halphen系统相比更好的数据拟合。（a） 密度函数（b）分布函数图2：密度函数fApat（h；u，0.6，3，0.2，0.02，0.9）和分布函数fApat（h；u，0.6，3，0.2，0.02，0.9）在u=0.3（实线）和u=0.7（虚线）时的分布函数fApat（h；u，0.6，3，0.2，0.02，0.9）的曲线图。分布函数在附录B.2.5.3中定义。使用第2.5.2节中开发的磷灰石龙分布族，我们对与尾部形状参数ht相对应的条件边缘分布F4，t进行建模，如下所示：ξ4，t~ FApat（·；ut，σ，η，λ，ι，wt），ut=δ+ψξ4，t-1+φut-1，wt=0.5+0.5/{1+exp[-γ（ut- c） ]}，γ=exp（γ*).（7） 我们假设HTS遵循一个随时间变化的位置和混合权重参数的磷灰石龙分布。这里，位置参数ut是分布的模式，其动力学由指数平滑的扩展形式给出。条件权重WT与utvia a逻辑函数相关，由γ>0和c参数化∈ [0，1]，其中γ控制WT对ut变化的敏感程度，c确定WT对ut最敏感的位置。此逻辑链接函数允许在ut接近零的周期内，将更多密度转移到ht=0的条件分布。它还将wtto限制在[0.5，1]之内，以便截断斜交t分量保持优势。

条件边际分布的平均值（ξ4，t | Ft-1） 可使用方程式（22）计算。条件δ>0，ψ≥ 0, φ≥ 0和ψ+φ<1足以确保ut为正且无发散。3 gh DQF模型的贝叶斯推断3.1似然和先验我们现在有一个QF值时间序列的生成模型，根据（5），gh DQF模型的似然函数，用f表示，可以写成f（ξ，…，ξT；θ）=TYt=1ft（ξT；θ），其中θ是模型参数的向量。Letθi∈{1,2,3}=（δi，ψi，φi，ωi，αi，βi，ηi，λi），θ=（δ，ψ，φ，γ*, c、 σ，η，λ，ι），θc=（vech（R）>，ν），然后θ=（θ，…，θ，θc）。Animproper先验用于允许参数区域上的θ。如果θ在允许范围内，让指示器函数取值1，否则取0。具体而言，IA（θ）=1，如果θ∈ A=\\i=1Ai0，否则，其中=θ-1<ψi+φi<1，ωi>0，αi≥ 0，βi≥ 0，αi+βi<1,2<ηi≤ 40、，-1<λi<1，δ≥ 0, ψ≥ 0, φ≥ 0,-6.≤ γ*≤ 6, 0 ≤ c≤ 1，vech（右）∈ [0，1]，最小值{eig（R）}>0,2<ν≤ 40.θcand R上的约束确保R是有效的相关矩阵。先验密度，用p表示，可以写成θ~ p（θ）∝ IA（θ）Yi=1ω-1iYi=1η-2i1 +ι-5.-1ν-2、该先验知识适用于A中θ的大多数元素，ω、…、，ω, η, . . . , η、 ι和ν。ωi的边际先验减少了条件方差方程中该截距参数通常观察到的向上偏差。ηIbehaves的边缘先验类似于半Cauchy先验，通过对η进行拟合得到-1i。使用模拟，Bauwens和Lubrano（1998）表明，半Cauchy先验导致后验均值比从均匀先验获得的更接近真实值。ι的边缘先验是半柯西，标度为10-5.

为了便于识别，重要的是保持磷灰石龙分布指数成分的平均参数接近零。最后，ν的边际先验与ηi的边际先验相同。定义了似然和先验后，后验密度的核（用π表示）可计算为θ|ξ，ξT~ π(θ) ∝ f（ξ，…，ξT；θ）p（θ）。（8） 3.2自适应MCMC算法为了评估涉及后验密度givenby（8）的各种感兴趣的积分，我们使用自适应马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法从后验分布生成一个点样本。我们首先概述了抽样方案，然后讨论了旨在改进马尔可夫链混合的具体步骤。一种方法是使用对称随机游走Metropolis（RWM）算法，其中我们从维度数等于θ的对称命题分布同时生成整个参数向量θ，并以通常的Metropolis接受概率接受移动。然而，在我们的案例中，θ有40个维度，因此可能很难调整建议分布以达到令人满意的混合水平。为了缓解这个问题，我们采用了众所周知的策略，在块中更新参数向量，其中40维的移动被分解为低维的子移动。如果不同块中的参数之间的依赖性较低，则已知阻塞策略工作良好。（4）、（6）和（7）给出的模型规范提供了某种程度上自然的参数划分。设θ[i]表示位于第i块的参数的向量。然后将整个参数向量划分为十个块θ=（θ[1]，…，θ[10]）。具体的阻塞方案见附录c。让·（j）表示与周期j中马尔可夫链状态相关的任何向量或标量。

然后，我们根据以下方案从θ（j）移动到θ（j+1）。1： 对于i← 1：10 do2：更新θ（j+1）[i]θ（j+1）[1]，θ（j+1）[i-1] ，θ（j）[i+1]，θ（j）[10]。3： 结束forThus，整个参数向量的单个扫描由十个子移动组成，其中每个子移动或块由Metropolis步骤更新。我们为每个θ[i]生成一个分块建议，用θ表示*[i] 从密度为q[i]的对称概率分布中，以min给出的通常大都市接受概率接受该建议πθ（j+1）[1]，θ（j+1）[i-1], θ*[i] ，θ（j）[i+1]，θ（j）[10]πθ（j+1）[1]，θ（j+1）[i-1] ，θ（j）[i]，θ（j）[i+1]，θ（j）[10], 1.. （9） 我们选择建议密度q[i]为多元正态分布的混合物，每个成分的比例不同，q[i]=nmixXj=1wjfmvn·; θ（j）[i]，[i] sj∑[i],其中Sj是为组件j选择的比例，以及[i] 是所有组件通用的调整比例。因此，所有分量都以θ（j）[i]为中心，协方差结构因尺度不同而不同。我们试探性地选择混合权重w=（w，w，w）tobe（0.7，0.15，0.15）的向量和分量尺度s=（s，s，s）tobe（1100，0.01）的对应向量。直觉是，将相对较大的跳跃与相对较小的跳跃混合在一起，可以降低链被“卡住”的可能性，无论是在一起还是在参数空间的某些维度。重要的是要认识到，当提议的跳转降落在a之外时（由于前面的指标），第（9）条中的接受概率为零，因此这样的移动保证会被拒绝。