动态分位数函数模型

斯普林格。Allingham，D.、R.King和K.L.Mengersen（2009年）。量化分布的贝叶斯估计。统计与计算19（2），189–201。Andersen，T.G.和T.Bollerslev（1998年）。回答怀疑者：是的，标准波动率模型确实提供了准确的预测。《国际经济评论》，885–905。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2001年）。实际汇率波动的分布。《美国统计协会杂志》96（453），42–55。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2003年）。建模和预测已实现波动率。计量经济学71（2），579–625。Arroyo，J.、G.Gonz\'alez Rivera和C.Mat\'e（2010年）。使用区间和直方图数据进行预测。一些金融应用程序。《实证经济学和金融手册》，247-280。Arroyo，J.、G.Gonz\'alez Rivera、C.Mat\'e和A.M.San Roque（2011年）。直方图值时间序列的平滑方法：风险值的应用。统计分析和数据挖掘4（2），216–228。Arroyo，J.和C.Mat'e（2009年）。用k-最近邻法预测直方图时间序列。《国际预测杂志》25（1），192–207。Barndor Off-Nielsen，O.E.和N.Shephard（2002年）。已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法学）64（2），253–280。Bauwens，L.和M.Lubrano（1998年）。使用吉布斯采样器对GARCH模型进行贝叶斯推断。《计量经济学杂志》1（1），23–46。Beranger，B.、H.Lin和S.A.Sisson（2020年）。符号数据分析的新模型。arXiv预印本arXiv:1809.03659。Billard，L.（2011年）。符号数据和分析问题的简要概述。统计分析和数据挖掘：美国科学院数据科学杂志4（2），149–156。Billard，L.和E.Diday（2003年）。

从数据统计到知识统计：符号数据分析。《美国统计协会杂志》98（462），470–487。Bosq，D.（2015）。与扩展指数平滑相关的模型。统计理论与方法交流44（3），468–475。Brehmer，J.（2017）。启发性及其在风险管理中的应用。Briol，F.-X.、C.J.Oates、J.Cockayne、W.Y.Chen和M.Girolami（2017年）。关于核求积的抽样问题。在机器学习国际会议上，第586-595页。PMLR。Brito，P.和A.P.Duarte Silva（2012年）。使用正态和偏态正态分布对区间数据进行建模。《应用统计学杂志》39（1），3–20。Brownlees、C.T.和G.M.Gallo（2006年）。超高频金融经济计量分析：数据处理问题。计算统计与数据分析51（4），2232–2245。Chen，Q.和R.H.Gerlach（2013年）。双边威布尔分布与财务尾部风险预测。《国际预测杂志》29（4），527–540。Clements，M.P.、A.B.Galvao和J.H.Kim（2008年）。每日汇率回报的分位数预测来自已实现波动率的预测。《经验金融杂志》15（4），729–750。Corsi，F.（2009年）。已实现波动率的简单近似长记忆模型。《金融计量经济学杂志》7（2），174–196。Cuevas，A.（2014）。函数数据统计理论的部分概述。《统计规划与推理杂志》147（0），1–23。Delaigle，A.和P.Hall（2010年）。定义随机函数分布的概率密度。《统计年鉴》，1171-1193年。Demarta，S.和A.J.McNeil（2005年）。t Copula和相关Copula。《国际统计评论》73（1），111–129。Di Matteo，T.（2007年）。多规模融资。定量融资7（1），21–36。Dias，S.和P.Brito（2015年）。

具有直方图值变量的线性回归模型。统计分析和数据挖掘：ASA数据科学杂志8（2），75–113。Diebold，F.X.（2015）。二十年后预测准确性的比较：diebold-mariano试验使用和滥用的个人观点。商业与经济统计杂志33（1），1-1。Diebold，F.X.和R.S.Mariano（1995年）。比较预测准确性。商业和经济统计杂志13（3）。Dutta，K.和J.Perry（2006年）。《尾巴的故事：估计操作风险资本的损失分布模型的实证分析》。技术报告06-13，波士顿联邦储备银行。Engle、R.F.和S.Manganelli（2004年）。鱼子酱：按回归分位数计算的风险条件自回归值。《商业与经济统计杂志》22（4），367–381。Gelman，A.、G.Roberts和W.Gilks（1996年）。有效的大都市跳跃规则。贝叶斯统计5（599-608），42。Gerlach，R.和C.Wang（2020年）。贝叶斯半参数实现的条件自回归期望模型用于尾部风险预测。《金融计量经济学杂志》，1-34。Gerlach，R.H.，C.W.Chen和N.Y.Chan（2011年）。金融市场风险价值的贝叶斯时变量化预测。《商业与经济统计杂志》29（4），481–492。Ghysels，E.、P.Santa Clara和R.Valkanov（2006年）。预测波动性：从不同频率采样的回报数据中获取最大收益。《计量经济学杂志》131（12），59–95。Giot，P.和S.Laurent（2004年）。使用已实现波动率和ARCH型模型对每日风险价值进行建模。《经验金融杂志》11（3），379–398。Glosten、L.R、R.Jagannathan和D.E.Runkle（1993年）。股票名义超额收益率的预期值与波动性的关系。《金融杂志》第48（5）期，1779-1801年。Gneiting，T.（2011）。制定和评估点预测。

《美国统计协会杂志》106（494），746–762。Gonz\'alez Rivera，G.和J.Arroyo（2012年）。直方图值的时间序列建模数据：标准普尔500指数日内收益率的日直方图时间序列。《国际预测杂志》28（1），20–33。Greenwood，J.A.、J.M.Landwehr、N.C.Matalas和J.R.Wallis（1979年）。概率加权矩（ProbabilityWeighted Moments）：定义若干分布的参数，并将其与这些分布的参数联系起来，这些分布以逆形式表示。水资源研究15（5），1049–1054。Hallam，M.和J.Olmo（2014a）。从日内数据预测日收益密度：多重分形方法。《国际预测杂志》30（4），863–881。Hallam，M.和J.Olmo（2014b）。根据日内数据对每日财务回报进行半参数密度预测。《金融计量经济学杂志》12（2），408–432。Hansen，B.E.（1994年8月）。自回归条件密度估计。《国际经济评论》35（3），705–730。Hansen，P.R.、Z.Huang和H.H.Shek（2012）。已实现GARCH：收益和已实现波动性度量的联合模型。《应用计量经济学杂志》27（6），877–906。Harvey，A.和T.Trimbur（2003年）。趋势估计、信噪比和观测频率。《第四届商业周期分析现代工具学术讨论会论文集》，欧盟统计局。Harvey，A.C.（1993年）。时间序列模型。麻省理工学院出版社。Haynes，M.和K.Mengersen（2005年）。使用MCMC的g和k分布的贝叶斯估计。计算统计20（1），7–30。海德里克、T.C.、R.K.Kowalchuk和Y.Sheng（2008）。Tukey g和h变换的参数概率密度和分布函数及其用于拟合数据。应用数学科学2（9），449–462。Herrholz，E.（2010）。简约直方图。Greifswald Ernst Moritz Arndt Universit的MathematischNaturwissenschaftlichen Fakult博士论文。Hoaglin，D.C.（1985年）。

数值总结形状：g和h分布。WileyOnline图书馆。Hosking，J.R.（1990年）。L-矩：使用顺序统计的线性组合分析和估计分布。皇家统计学会杂志。系列B（方法学）52（1），105–124。Hossain，M.A.和S.S.Hossain（2009年）。使用排序集样本的g和k分布的数值最大似然估计。《统计学杂志》16（1）。Hron，K.、P.Brito和P.Filzmoser（2017年）。区间成分数据的探索性数据分析。数据分析和分类进展11（2），223–241。Jondeau，E.和M.Rockinger（2003年）。条件波动性、偏度和峰度：存在性、持续性和共动。《经济动力与控制杂志》27（10），1699-1737。Koenker，R.和G.Bassett（1978年）。回归分位数。计量经济学46（1），33–50。Kou，S.和X.Peng（2016年9月至10月）。关于经济尾部风险的度量。运筹学64（5），1056–1072。Kupiec，P.（1995年）。验证风险度量模型准确性的技术。TheJ。衍生工具3（2）中。Le Rademacher，J.和L.Billard（2011年）。符号数据的似然函数和一些极大似然估计。《统计规划与推理杂志》141（4），1593–1602。Li，H.、A.Munk、H.Sieling和G.Walther（2020年）。基本柱状图。Biometrika 107（2），347–364。Maheu、J.M.和T.H.McCurdy（2011年）。高频波动率指标是否改善了回报分布预测？《计量经济学杂志》160（1），69–76。Martens，M.、D.Van Dijk和M.De Pooter（2004年）。标普500指数波动性建模与预测：长记忆、结构突变和非线性。技术报告，廷伯根研究所讨论文件。Martinez，J.和B.Iglewicz（1984年）。Tukey g和h分布族的一些性质。

统计学理论与方法交流13（3），353–369。McDonald，J.和R.Michelfelder（2016）。资产模型的部分自适应和稳健估计：适应收益的偏度和峰度。《数学金融杂志》7（1），219–237。Meddahi，N.（2002年）。综合波动率和已实现波动率之间的理论比较。《应用计量经济学杂志》17（5），479–508。Nolde，N.和J.Ziegel（2017）。可引出性和回溯测试：银行监管的前景。应用统计年鉴。即将到来的Perreault，L.、B.Bob'ee和P.Rasmussen（1999a）。Halphen配电系统。一： 数学和统计特性。水文工程杂志4（3），189–199。Perreault，L.、B.Bob'ee和P.Rasmussen（1999b）。Halphen配电系统。二： 参数和分位数估计。水文工程杂志4（3），200–208。Peters，G.和S.Sisson（2006年）。贝叶斯推断、蒙特卡罗抽样和操作风险。运营风险杂志1（3），27–50。Peters、G.W.、W.Y.Chen和R.H.Gerlach（2016年）。通过L-矩估计非人寿保险模型中损失分布的分位数族。风险4（2），14。Rayner，G.和H.MacGillivray（2002年）。g-and-k分布和广义g-and-h分布的数值极大似然估计。统计与计算12（1），57–75。Roberts，G.O.和J.S.Rosenthal（2001年）。各种大都市广播算法的最佳缩放比例。统计科学16（4），351–367。Spiegelhalter，D.J.、N.G.Best、B.P.Carlin和A.Van Der Linde（2002）。模型复杂性和拟合的贝叶斯度量。皇家统计学会杂志：Serieb（统计方法学）64（4），583–639。Taylor，S.J.（2011年）。资产价格动态、波动性和预测。普林斯顿大学出版社。Tepper，M.和G.Sapiro（2012年）。

L1样条线用于网格数据的稳健、简单和快速平滑。Tepper，M.和G.Sapiro（2013年）。快速L1平滑样条曲线，并应用于KinectDepth数据。《图像处理》（ICIP），2013年第20届IEEE国际会议，第504–508页。IEEE。Tsay，R.S.（2010）。金融时间序列分析。约翰·威利父子公司。Tukey，J.W.（1977）。现代数据分析技术。在NSF主办的区域研究会议记录中。Xu，Y.、B.Iglewicz和I.Chervoneva（2014年）。G和h分布参数的稳健估计及其在离群点检测中的应用。计算统计与数据分析75（0），66–80。Yu，K.和R.A.Moyeed（2001年）。贝叶斯分位数回归。统计与概率表54（4），437–447。Zhang，X.和S.A.Sisson（2017）。构造区间值随机变量的似然函数。估算g和h参数的L-矩方法在本节中，我们简要总结了Peters等人（2016）的L-矩方法。由于我们关心的是给定时间段内单个分位数函数的估计，为了简化符号，只要不丢失清晰度，就在本节的其余部分删除下标t。Hosking（1990）将L-矩定义为订单统计预期的某些线性组合。具体而言，让y（1）≤ y（2）≤ ··· ≤ y（n）表示有序观察的样本。对于k∈ {1, 2, . . .}, 第k个L力矩定义为Lk=kk-1Xi=0(-1） 我k- 1iEy（k-（一）.当L矩表示为分位数函数在构成L基的正交多项式序列上的投影时，L矩和分位数函数之间的联系变得明显；lk=ZX（u）lk-1（u）du，（16），其中Lk是序列中的第k个移位勒让德多项式。

与经典矩相比，L-矩能够表征更大范围的分布，因为当且仅当平均值存在时，分布的所有L-矩都存在。此外，具有有限平均值的分布的唯一特征是其L-矩序列。使用（16）的表示，前四个L-矩由L=ZX（u）du，L=ZX（u）（2u）给出- 1） du，l=ZX（u）（6u- 6u+1）du，l=ZX（u）（20u- 30u+12u- 1） 杜。（17） 位置和尺度不变的L-矩比τ和τ类似于经典偏度和峰度，在Hosking（1990）中分别称为L-偏度和L-峰度，定义为τ=L/L，τ=L/L。与经典偏度和峰度不同，L-偏度和L-峰度是有界的，τ∈ (-1,1）和τ∈ [(5τ- 1), 1). L-力矩比的有界性使其易于解释。样本L-矩，也称为L-统计量，是基于观察样本的顺序统计量对L-矩的无偏估计。特别是，四个样本的L-力矩由^L=^M、^L=2^M给出-^M，^l=6^M- 6^M+^M，^l=20^M- 30^M+12^M-^M，其中^Mk是第k个样本概率加权矩（Greenwood et al.，1979），givenby^Mk=如果k=0nnXi=1（i），则nnXi=1y（i）- 1） （一）- 2） ···（一）- k） （n）- 1） （n）- 2） ···（n）- k） 如果k>0，则为y（i）。通过迭代最小化目标（τ- ^τ)+ (τ- ^τ），以0为准≤ h<1，其中^τ=^l/^lis为样本l-偏度，^τ=^l/^lis为样本l-峰度。（17）中的积分以闭合形式可用于g和H分位数函数（Peters et al.，2016），或者可以使用一维自适应求积进行数值计算。

给定g和h的估计值，b和a的估计值由b=^l/l，a=^l给出- B.关于磷灰石龙分布密度的补充材料：随机变量h~ FApat（h；u，σ，η，λ，ι，w）有一个密度函数给定为fyfapt（h；u，σ，η，λ，ι，w）=wfTrSkt（h；u，σ，η，λ）+（1- w） h的fExp（h；ι）（18）∈ [0, ∞), 式中，ftrskt和fexp是截短的倾斜分布和指数分布的密度函数，并且w∈ [0，1]是混合重量。截断斜交t分布具有以下密度函数。fTrSkt（h；u，σ，η，λ）=fSkt（h；u，σ，η，λ）1- FSkt（0；u，σ，η，λ），其中FSkt和FSkt是Hansen（1994）的斜态t分布的密度和分布函数，除不对称和自由度参数η和λ外，还通过其模式u和尺度σ进行参数化。斜t分布的密度函数fskt由fskt给出（h；u，σ，η，λ）=φσ\"1 +η - 2.h类- uσ(1 - λ)#-（η+1）/2如果h<u，Дσ“1+η- 2.h类- uσ(1 + λ)#-（η+1）/2if h≥ u，其中σ∈ （0，∞), η ∈ （2、，∞), λ ∈ (-1、1）和Д=Γη+1pπ（η- 2)Γη.分布函数fskt的推导方式与Jondeau和Rockinger（2003）的命题1相似，由fskt（h；u，σ，η，λ）给出=（1）- λ） 英尺，ηh类- uσ(1 - λ） rηη- 2.如果h<u，（1+λ）Ft，ηh类- uσ（1+λ）rηη- 2.- λ如果h≥ u，（19），其中Ft，η是具有η自由度的t分布的分布函数。方程（18）中指数分布的密度函数由fexp（h；ι）=ιexp给出-hι,其中ι∈ （0，∞) 是平均参数。平均值：通过注意MTRSkt=1，可以得出截断偏态t分布的平均值- FSkt（0；u，σ，η，λ）Z∞hfSkt（h；u，σ，η，λ）dh=1- FSkt公司(-u; 0，σ，η，λ）Z∞-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh+u。积分可以写成z∞-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh=Z-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh+Z∞hfSkt（h；0，σ，η，λ）dh。

（20） 假设u∈ [0, ∞) 使用替换u（h）=1+η- 2.hσ（1- λ),第一个积分由z给出-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh=Дσ（1- λ)(η - 2） 祖(-u）u-（η+1）/2du=-φσ(1 - λ)(η - 2） 祖(-u）u-（η+1）/2du=-φσ(1 - λ)η - 2η - 1.h1- u型(-u)(1-η） /2i。使用替换U（h）=1+η- 2.hσ（1+λ）, （21）（20）中的第二个积分由z给出∞hfSkt（h；0，σ，η，λ）dh=Дσ（1+λ）（η- 2） Z∞u-（η+1）/2du=Дσ（1+λ）η - 2η - 1..因此，mTrSkt=Дση-2η-1.(1 + λ)- （1）- λ)1.- u型(-u)(1-η)/21.- FSkt公司(-u; 0，σ，η，λ）+u，其中u(-u) = 1 +η - 2.-uσ(1 - λ).u的平均值∈ (-∞, 0）也可以使用（21）中给出的替换进行推导，但是对于大多数应用来说，将预截断斜交t分布的模式限制为非负，即u是很自然的∈ [0, ∞).指数分布的平均值为SimpleMexp=ι。根据（18）中的密度函数，磷灰石龙分布的平均值由MAPAT=wmTrSkt+（1）给出- w） mExp。（22）分布函数：磷灰石龙分布的分布函数由fapat（h；u，σ，η，λ，ι，w）=wFTrSkt（h；u，σ，η，λ）+（1）给出- w） FExp（h；ι），其中ftrskt和FExp是截断偏态t分布和指数分布的分布函数。我们可以直接导出截尾斜交t分布的分布函数，如下所示。FTrSkt（h；u，σ，η，λ）=ZhfTrSkt（y；u，σ，η，λ）dy=RhfSkt（y；u，σ，η，λ）dy1- FSkt（0；u，σ，η，λ）=FSkt（h；u，σ，η，λ）- FSkt（0；u，σ，η，λ）1- FSkt（0；u，σ，η，λ）。（23）指数分布的分布函数由fexp（h；ι）=1给出- 经验值-hι.随机数：我们可以从Apatosaurus分布中生成一个随机数h，方法是首先从带有参数W的伯努利分布中生成一个成分标签l，然后生成（h | l=1）~ FTrSkt（h；u，σ，η，λ）或（h | l=0）~ FExp（h；ι）。