动态分位数函数模型

AL族具有以下密度函数fal（ε；u，σ，u）=u（1- u） σexp-ρuε - uσ,其中u∈ R、 σ∈ （0，∞), 和u∈ （0，1）分别是位置、比例和不对称参数。假设yDtis遵循AL分布，位置参数为Ydsuqmu，t，则似然函数由f（yD；su，σ）=TYt=1fAL（yDt；suqMu，t，σ，u）给出∝ σ-Texp“-σ-1TXt=1ρu（yDt- suqMu，t）#。然后，通过在SUA上放置一个不适当的FL优先级，在σ、su、σ上放置一个反向优先级，来确定先验密度p~ p（su，σ）∝ σ-1、后验密度π由u给出，σ| yD~ π（su，σ）∝ f（yD；su，σ）p（su，σ）∝ σ-（T+1）exp“-σ-1TXt=1ρu（yDt- suqMu，t）#。（12） 由于我们只对su系数感兴趣，因此我们对尺度参数σ进行积分，以获得su的边缘后验密度。利用（12）具有σ中逆伽马密度的核的形式，并且密度函数必须积分到一个的事实，可以以闭合形式获得sucan的边缘后验值（Gerlach et al.，2011）；Z∞π（su，σ）dσ=“TXi=1ρu（yDt- suqMu，t）#-T、 （13）为了计算概率水平u下每日收益的VaR估计，我们使用第3.2节所述的自适应MCMC采样器从（13）中的单变量后验数据中进行第一次抽样，其中我们插入了{qMu，T}Tt=1的{Xt（u）}Tt=1的后验平均估计。然后，通过su的MCMC输出来近似{qDu，t}Tt=1条件在{qMu，t}Tt=1上的后验分布。5.6预测每日收益风险值在本实证研究的最后部分，第5.5节中描述的QR-DQF模型用于在5%和1%概率水平上预测每日收益的VaR度量提前一天。

所有模型参数，包括DQF模型和分位数回归系数su的参数，都是使用自适应MCMC算法估计的，该算法基于第5.4节中使用的协议，其中每个VaR预测都是使用使用过去3000天的滑动窗口估计的参数计算的。如图10所示，标普500指数的日收益率（dailyreturns）上绘制了前一天样本外VaR预测；图11中绘制了分位数回归系数的相应估计值，即^s5%和^s1%。我们进行了一些观察：（i）VaR预测密切跟踪每日回报数据的底部，并对波动性的变化作出即时反应。这表明，一分钟收益率的尾部动态可以按比例调整，以接近每日收益率。一、 例如，预测日内收益率是获得每日VaR估计值的明智方法。（ii）整个预测期内的^s5%>^s1%这一事实表明，日收益率可能比日内收益率的尾部更小，这与文献中的观察结果一致。（iii）在高波动期，^sui的值较高，这表明sumay不会随时间保持不变。可引出性理论为风险度量预测的比较后验提供了决策理论框架；例如，参见Gneiting（2011）、Kou和Peng（2016）、Brehmer（2017）以及Nolde和Ziegel（2017）。考虑概率分布F∈ F在状态空间Y上。风险度量可以被视为函数K:F→ Y、 这里是actiondomain。评分函数S:Y×Y→ [0, ∞) 对于K ifK（F）=arg minyZYS（y，·）dF，是严格F一致的，F∈ F、 （14）如果风险度量K存在严格的F一致性评分函数，则称其为可引出的（Gneiting，2011）。

当风险度量是u分位数函数（即VaR）时，严格的F一致性评分函数由s（y，y）：=[i[y，∞)（y）- u] （y）- y） 。（15） 这表明，可以通过公式（14）中积分的经验近似值对VaR预测序列进行排序：=T- 3000TXt=3001S（qDu、t、yDt）。根据公式（15）中的得分函数，QR-DQF模型与日收益预测VaR文献中的一系列流行模型进行了排名：Engle和Manganelli（2004）（CAViaR）的对称绝对值CAViaR，Glosten等人（1993）的GJR-GARCH，以及t（GJR-t）和歪斜t（GJR-skt）分布，Hansen et al.（2012）用t（Real-t）和skewed-t（Real-skt）分布实现了Arch。对于Real-t和Real-skt模型，使用“对数线性”规格。对于每个VaR预测序列{qDu，t}Tt=3001，u=5%时的'S值分别报告在表9中，u=1%时的'S值分别报告在表10中。在跨越不同地理区域的十个市场指数中，QR-DQF模型在6/10的市场中最受青睐，无论是5%还是1%的VaR预测。仔细检查后，QR-DQF似乎是北美和欧洲市场（SPX、DJIA、Nasdaq、FTSE、DAX、CAC）的主导模式。

然而，对于亚太地区（日经指数、恒生指数、SSEC和AORD），GJR skt是最适合的平均模型。图10：提前一步预测qDu、tfor u∈ {5%，1%}由标准普尔500指数的后验平均值给出。（a） u=5%（b）u=1%图11：用于预测qDu、tfor u的比例因子∈ {5%，1%}由标准普尔500指数的后验者给出。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.1434 0.1295 0.1543 0.1316 0.1498 0.1643 0.1839 0.1607 0.1896 0.1158GJR-t 0.1368 0.1238 0.1503 0.1307 0.1493 0.1631 0.1785 0.1582 0.1896 0.1167GJR-skt 0.1355 0.1227 0.1495 0.1298 0.1477 0.1619 0.1775 0.1579 0.1893 0.1151Real-t 0.1325 0.1193 0.1443 0.1323 0.1477 0.1604 0.1807 0.1637 0.1914 0.1147Real-skt 0.1313 0.1184 0.1445 0.1313 0.14680.1603 0.1795 0.1629 0.1939 0.1144QR-DQF 0.1306 0.1182 0.1442 0.1291 0.1469 0.1601 0.1772 0.1638 0.1926 0.1163表9：5%VaR预测的S值。粗体文字表示最受欢迎的车型。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.0411 0.0346 0.0417 0.0365 0.0388 0.0446 0.0523 0.0442 0.0557 0.0313GJR-t 0.0372 0.0316 0.0398 0.0352 0.0401 0.0441 0.0505 0.0429 0.0566 0.0304GJR-skt 0.0367 0.0312 0.0388 0.0344 0.0399 0.0442 0.0498 0.0427 0.0558 0.0297Real-t 0.0360 0.0306 0.0390 0.0362 0.0388 0.0441 0.0508 0.0454 0.0582 0.0301Real-skt 0.0358 0.0306 0.0392 0.0354 0.03830.0439 0.0498 0.0450 0.0595 0.0305QR-DQF 0.0349 0.0296 0.0378 0.0342 0.0379 0.0435 0.0514 0.0473 0.0581 0.0314表10：1%VaR预测的S值。粗体文字表示最受欢迎的车型。可以使用分位数损失函数进行成对DM测试，以从统计上评估表9和表10中报告的值之间的差异。

然而，我们发现，对于许多对，实际损失差异的尾部指数估计值（来自Hill估计值）远低于2，这表明在许多情况下，损失差异的方差很可能是无界的。由于有限方差是DM测试有效性的必要条件（Diebold，2015），我们将转向基于违规的测试，这已成为VaR回溯测试文献中的标准。违规率（VRate）是评估VARFecast准确性的常用指标。定义为预测期内超过VaR预测的回报比例。一、 e.，VRateu：=T- 3000TXt=3001I(-∞,yDt）（qDu，t）。首选VRATEUBE接近标称概率水平u的模型。Kupiec（1995）的无条件覆盖（UC）检验旨在检验Vrateu=u的无效假设。表11和表12中分别报告了u=5%和u=1%时UC检验的p值。较小的p值表明，经验VRate与名义VaR阈值存在显著差异。另一方面，较大的p值意味着VRATEUI接近美国。对于5%的VaR预测（表11），QR-DQF模型在SPX、DJIA、FTSE和DAX中的VRate排名最好，同时在四个亚太市场中被UC测试拒绝。在所有十个指数中，鱼子酱模型平均表现最好，没有任何对UC无效假设的否定。GJR-t和Real-t模型平均排名最差，两种模型中有7/10被拒。对于1%VaR预测（表12），QR-DQF模型在道琼斯工业平均指数、纳斯达克指数和SSEC指数中拥有最受欢迎的VRATE（即最接近1%），而在3/10个市场中被UC测试拒绝。平均而言，GJR skt是十个市场中表现最好的模型，在6/10市场中排名最靠前，其次是真实skt模型，在3/10市场中排名最靠前。

这两种歪斜t模型均未被UC市场检验所拒绝。在整个系列中，GJR-t和Real-t模型是最差的rankedon平均值，UC无效假设分别在8/10和7/10市场被拒绝。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.128 0.101 0.085 0.123 0.463 0.184 0.394 0.496 0.898 0.082GJR-t 0.001 0.001 0.013 0.001 0.002 0.001 0.018 0.060 0 0.386 0.000GJR-skt 0.128 0.123 0.401 0.210 0.023 0.087 0.290 0.236 0.932 0.034Real-t 0.000 0.104 0.002 0.001 0.218 0.001 0.000 0.000 0.148Real-skt 0.128 0.027 0.634 0.101 0.295 0.724 0.011 0.001 0.000 0.891QR-DQF 0.154 0.0670.127 0.393 0.530 0.877 0.024 0.000 0.000 0.026表11:5%VaR预测的Kupiec（1995）UC检验的p值。首选较大的p值。粗体文本表示基于违规率的最受欢迎模型，而红色文本表示违规率与UC测试的5%有显著差异。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.005 0.068 0.010 0.124 0.131 0.027 0.019 0.410 0.021 0.473GJR-t 0.003 0.000 0.000 0.000 0.011 0.067 0.002 0.211 0.036 0.000GJR-skt 0.428 0.422 0.426 0.473 0.280 0.810 0.494 0.872 0.092 0.942Real-t 0.002 0.016 0.016 0.000 0.003 0.009 0.003 0.096 0.185 0.771Real-skt 0.939 0.319 0.941 0.124 0.680 0 0.406 0.124 0.096 0.062 0.117QR-DQF 0.027 0.4220.941 0.282 0.003 0.067 0.051 0.014 0.571 0.069表12:1%VaR预测的Kupiec（1995）UC检验的p值。首选较大的p值。粗体文本表示基于违规率的最受欢迎模型，而红色文本表示违规率与UC测试的1%有显著差异。除了VRate之外，违规的独立性也是回溯测试VaR预测准确性需要考虑的另一个重要因素。

Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ）测试旨在联合测试违规的VRate和独立性。根据预测期内的点击数系列{Hitu，t}Tt=3001，其中Hitu，t：=I(-∞,yDt）（qDu，t）- u、 DQ零假设isE（Hitu，t）=0，且Hitu，t与信息集中的变量不相关。对于信息集，在VaR预测文献中，通常包括五次滞后点击和同期VaR预测。表13和表14分别报告了u=5%和u=1%时DQ测试的p值。较小的p值表明VaR预测是正确的比例或序列相关，或两者都正确。对于5%VaR预测（表13），QR-DQF是SPX和FTSE中表现最好的模型，但被日经指数、恒生指数和SSEC的DQ测试所拒绝。平均而言，在十个系列中，GJR skt是排名最好的模型，有2/10的人拒绝DQnull假设。GJR-t和Real-t模型总体排名垫底，分别有8/10和7/10被拒。对于1%VaR预测（表14），QR-DQF是SSEC中最受青睐的DQ统计模型，但在6/10的市场中被拒绝。GJR skt是8/10市场中排名第一的模型，在日经指数中只有一个DQ无效拒绝。真正的sktmodel被拒绝的次数第二少（3/10）。

在十个市场中，GJR和Real-t模型平均最不受欢迎，两种模型的DQ无效假设在9/10个市场中均被拒绝。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.000 0.025 0.003 0.621 0.263 0.673 0.000 0.578 0.370 0.206GJR-t 0.001 0.003 0.016 0.004 0.032 0.033 0.002 0.394 0.889 0.000GJR-skt 0.231 0.121 0.319 0.451 0.279 0.501 0.004 0.659 0.917 0.035Real-t 0.000 0.001 0.083 0.001 0.000 0.472 0.000 0.000 0.079 0.445Real-skt 0.041 0.053 0.573 0.222 0.080 0 0.823 0.000 0.007 0.027 0.815QR-DQF 0.240 0.0570.459 0.812 0.183 0.584 0.001 0.000 0.039 0.422表13：5%VaR预测的Engle和Manganelli（2004）DQ检验的p值。首选较大值。粗体文本表示基于DQ统计的最受欢迎模型，而红色文本表示在0.05阈值下拒绝了无效假设。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.000 0.000 0.145 0.367 0.001 0.009 0.433 0.159 0.744GJR-t 0.001 0.000 0.002 0.001 0.005 0.034 0.002 0.005 0.177 0.000GJR-skt 0.497 0.362 0.428 0.928 0.084 0.487 0.013 0.524 0.314 0.850Real-t 0.000 0.015 0.000 0.001 0.001 0.000 0.002 0.965 0.025Real-skt 0.110 0.121 0.292 0.015 0.113 0.142 0.000 0.002 0.868 0.211QR-DQF 0.000 0.0000.305 0.078 0.008 0.015 0.000 0.005 0.992 0.849表14：1%VaR预测的Engle和Manganelli（2004）DQ检验的p值。首选较大值。粗体文本表示基于DQ统计的最受欢迎模型，而红色文本表示在0.05阈值下拒绝了无效假设。总之，所提出的QR-DQF模型与VaR预测文献中一些最流行的模型进行了排名，包括那些采用已实现方差的模型。预测研究包括十个地理位置不同的市场指标的收益率序列和大约2000天的预测期。

使用严格一致的评分函数（即分位数损失函数）和基于违规的标准测试，从VaR预测精度的角度对模型进行比较。在所有十个市场中，没有一个模型在5%和1%的概率水平上都能始终如一地超越其他模型。根据评分函数，QR-DQF模型在5%和1%VaR预测的6/10市场中排名最好。基于UC和DQ测试，QR-DQF模型在SPX和FTSE中最受青睐，用于5%的VaR预测，在SSEC中排名最靠前，为1%。精度度量之间的模型排序差异可能是由于以下原因造成的。（1） UC和DQ测试只考虑违规的比例，而评分函数同时考虑违规的比例和程度。（2） 分位数损失函数是VaR的一个严格一致的评分函数，而与VRateuto u andE（Hitu，t）的距离则不是。（3） 正如Giot和Laurent（2004）以及Chen和Gerlach（2013）等作者所发现的那样，基于违规的测试对条件分布的规定比波动动力学的规定更敏感。这在UC和DQ测试结果（表11、12、13、14）中也很明显，其中GJR skt模型始终优于GJR-t模型，尽管实际skt模型使用日内数据（实现方差），GJR skt仅依赖日收益，但两个偏态t模型的结果非常相似。我们可以得出结论，在某些市场中，QR-DQF模型能够为每日回报提供有竞争力的VAR预测。6结论受SDA文献中柱状图值数据时间序列模型最新发展的推动，我们建议考虑将可变参数分位数函数作为总结日内收益的新符号类型。

基于四参数g和h分位数函数，提出了一种新的QF值观测时间序列模型。我们将此模型称为DQF模型。为了考虑参数的不确定性并利用与基于采样的程序相关的固有数值稳定性，提出了DQF模型的贝叶斯公式，以及精心设计的自适应MCMC算法。通过广泛的预测研究，DQF模型在预测日内收益的5%和1%VaR方面显著优于之前提出的ITS-ES和HTS-ES模型。DQF模型在更极端的1%概率水平上的表现更为突出，表明DQF模型能够更准确地捕捉日内收益的动态尾部行为。通过额外的预测实验，证明了DQF模型的产出（即QF值预测）可以被简单的量化回归模型（QR-DQF）用于预测每日收益的VaR。与VaR预测文献中的一系列流行模型相比，QR-DQF模型使用了严格一致的评分函数和基于标准违规的测试，对于5%的VaR预测，QR-DQF模型在SPX和FTSE中的排名始终是最好的，对于1%的VaR预测，QR-DQF模型在SSEC中的排名始终是最好的。7代码重现实验的MATLAB代码可从：github获得。com/wilson ye chen/aqua8致谢我们感谢Chris J.Oates对手稿的仔细阅读和有益的评论。WYC和SAS通过澳大利亚数学和统计前沿卓越中心（AustralianCentre of Excellence for Mathematic and Statistic Frontiers，ACEMS，CE140100049）得到澳大利亚研究委员会的支持，SAS通过探索项目计划（FT170100079）得到支持。参考Sakaike，H.（1998）。信息论和最大可能性原则的扩展。《赤池弘土古论文选》，第199-213页。