动态分位数函数模型

首先，与{at}和{gt}相比，{b的无条件方差*t} 条件平均数的变化似乎能更好地解释{ht}。正如预期的那样，HTS的值在大多数日子里都明显高于零，这表明一分钟的回报率是重尾的。最后，b*在子图（b）和（d）中，tand-htis是明显的；在高波动期，HTC可能会变得接近于零。（a） at（b）b*t（c）gt（d）htFigure 5{E（ξt | Ft）的后验平均估计-1） }（红线）绘制在{ξt}（灰点）上。回想一下，过滤后的分位数函数（即，提前一步预测）可以通过应用逆映射（Xt=M）从ξtb的条件平均值中获得-1（E[ξt | Ft-1]).为了说明这一点，在图6中，我们绘制了样本内估计值X（u），XT（u）表示不同的u值。请注意，在多个分位数水平上评估 XT不需要对DQF模型进行多次估计，并且分位数估计值不会随时间而交叉。图6:u的{Xt（u）}后验平均估计∈ {0.01, 0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95, 0.99}.在构建具有{ht}时变权重的条件性磷灰石龙边缘模型上花费了大量精力。图7中绘制了条件权重的后验平均估计值以及实现的{ht}。正如预期的那样，大多数天的权重都接近1；指数分量仅在Ht接近零时起作用。由于平均权重接近于1，因此值得了解的是，与更简单的截断-倾斜-t替代方案相比，是否获得了优势。为了看到这一点，我们估计了一个截断的倾斜t模型ht~ FTrSkt（·；ut，σ，η，λ），其中ut=δ+ψht-1+φut-1、设uTrSkt，t=FTrSkt（ht；^ut，^σ，^η，^λ）为ht的概率积分变换（PIT），其中^ut，^σ，^η，和^λ为后验平均估计。

如果截断的skewedt模型足够，则Z（uTrSkt，t）将是标准正态分布的一个图，其中Z表示标准正态分位数函数。类似地，让uApat，tdenote在（7）给出的Apatosaurus模型下计算HTIT，其中后验平均值也用于时变和常数参数。我们根据图8中的标准正态分位数绘制{Z（uTrSkt，t）}和{Z（uApat，t）}。很明显，如果没有增加的指数分量，截断斜交t模型对于{ht}的左尾是不够灵活的。图7{wt}（蓝线，左轴）的后验平均估计值与{ht}（橙色，右轴）一起绘制。（a） 截尾斜交t（b）Apatosaurus图8：截尾斜交t和Apatosaurus模型下转换{ht}相对于标准正态分位数的QQ图。值得注意的是，拟议的DQF模型具有高度的灵活性，这种灵活性对于准确建模真实数据是必要的。就模型充分性而言，附录D显示，拟议模型的性能明显优于基于独立AR（1）利润率的简单模型。5.3对时间序列信息的调查我们的方法的一个优点是，它使我们能够单独研究日内收益分布各种特征的时间序列可预测性。通过检查图5中的曲线图和ψ的参数估计，ψ和φ，φ、 很明显，一些边缘过程比其他过程更“信息丰富”。例如，可以合理地说，b的时间序列*与atand gt相比，tand HT似乎更具可预测性。在这里，我们通过提出一种基于模型的度量，即信号比，正式量化了时间序列中的这种信息量。设{ξt:t∈ Z} 是一个实值方差平稳过程。

然后，用RSig表示的信号比被定义为RSig=Var[E（ξt | Ft-1） ]Var（ξt），其中Ft-1=σ（{ξs:s≤ t型- 1} ）是自然过滤。直观地说，RSIGmeasures无条件方差的比例由条件均值的变化来解释。信号比术语来源于对有噪声过程的无噪声信号的条件平均值的解释。很容易检查i.i.d.进程的信号比是否为零，而完全确定性进程的信号比是否为一。对于{at}，{b）的边际模型，RSigis以闭合形式可用的表达式*t} ，和{gt}。它可以通过模拟{ht}的磷灰石龙模型进行数值计算。附录E中给出了关于信号比的其他资料。图9绘制了每个边缘的RSI和95%可信区间的后验平均值估计值。对于{b，Thersig估计值一直很高*t} 在所有指数中，对利用已实现的离散度度量的模型进行调整。对于{ht}，估计值与交叉指数相差很大，日经指数最高，SSEC指数最低；对于某些指数，与{b）的指数相比，后验数的使用要差得多*t} 。{at}和{gt}的所有RSigestimates都接近于零，但SSEC除外，这表明预测一分钟收益的位置和不对称性通常很困难。（a） at（b）b*t（c）gt（d）htFigure 9：每个边缘模型的信号比后验平均估计值（dots）和可信区间（bar）。数字1，10用于识别十个指数：1-SPX、2-DJIA、3-Nasdaq、4-FTSE、5-DAX、6-CAC、7-Nikkei、8-HSI、9-SSEC、10-AORD。5.4日内收益风险值预测我们注重尾部风险预测的实证应用。

为了评估样本外绩效，提出的DQF模型用于预测日内收益的每日VaR度量，即一分钟收益的分位数。通过评估u处gand-h分位数函数的一步超前预测，计算任何选定概率水平u的VaR预测。u的低尾VaR预测∈ 将{1%，5%}与Arroyo et al.（2010）、Arroyo et al.（2011）和Gonz\'alez Rivera andArroyo（2012）提出的区间值和直方图值时间序列的最新模型进行比较。给定区间值时间序列（ITS）{[x]t}Tt=1，指数平滑（ES）预测（Arroyo et al.，2010；Gonz'alez Rivera and Arroyo，2012）写为：[x]t=α[x]t-1+ (1 - α） [x]t-1，其中区间【x】：=【xL，xU】由xL<xU的有序端点对（xL，xU）定义。平滑参数α∈ [0，1]通过简单的一维网格搜索获得，最小化平均距离误差Tptt=1D（[x]t，[~x]t），其中D（[x]，~x]）：=[（xL- xL）+（xU- xU）]1/2。类似地，对于直方图值时间序列（HTS）{hXt}Tt=1，ES预测（Arroyoet al.，2011；Gonz'alez Rivera和Arroyo，2012）由以下公式得出：▄hXt=αhXt-1+ (1 - α） hXt-1，其中直方图hX：={（[x]i，πi）}ni=1由一组箱{[x]i}ni=1和相应的频率{πi}ni=1定义。直方图的加权平均值被定义为“重心”直方图。平滑参数α∈ [0，1]是使用agrid搜索获得的，在DMis允许距离的情况下，最小化平均距离误差tptt=1DM（hXt，~hXt）。继Arroyo等人（2010年、2011年）和Gonz'alez Rivera和Arroyo（2012年）之后，每个每日直方图的二进制边界由一分钟返回的样本分位数给出{1%、5%、10%、20%、…、90%、95%、99%}。

类似地，对于ITS，每个日间隔的端点对应于日内收益的1%和5%样本分位数。正如Arroyo等人（2011年）所言，虽然我们对收益分布的下尾最感兴趣，但构建完整直方图（带有中分位数和上分位数）的想法是跨多个分位数借用信息。另一方面，ITS模型直接针对感兴趣的分位数。根据第5.1节中记录的规则，仔细清理一分钟的退货。从1996年1月到2016年5月，每个收益序列包含大约5000个交易日的日内观察。对于每一天的提前预报，我们采用了3000天左右的滑动窗口。每个系列的最后大约2000天用于样本外评估。为了保持计算成本可控，每10次连续预测后，将重新估计每个模型。对于DQF模型，点预测由u级预测分位数的后验平均值给出∈ {5%，1%}，通过对模型参数的后验分布进行积分得到。ZAXt（u）π（θ）dθ。注意，以观测数据和选定的分位数水平u为条件，~Xt（u）只是模型参数θ的函数。上述积分给出的后验平均值预测通过对后验分布赋予的所有可能参数值进行平均来解释参数不确定性，并使用CMC算法给出的输出进行计算。具体而言，t∈ {3001，…，T}使用最新的后验样本。自适应MCMC算法每10天运行一次，以更新估计点t处的后验图∈ {3000，3010，…，T- [（T-3000）mod 10]}使用过去3000个QF值观测值{Xt-3000+1, . . .

，Xt}。为了评估样本外性能，计算每个模型在特定分位数水平u的预测期内的平均绝对预测误差（MAFE）∈{1%，5%}:MAFEu:=T- 3000TXt=3001 | qu，t- qu，t |，其中qu，是观察到的一分钟u分位数在第t天返回，而▄qu，是从提前一天符号值预测中检索到的提前一天u分位数预测（间隔、直方图或g和h分位数函数）。将所提出的DQF模型（DQF-Full）与基于区间值（ITS-ES）和直方图值（HTS-ES）时间序列的指数平滑方法进行了比较。ξt | Ft条件联合分布的更简单规范（DQF-AR1）-1isalso添加用于比较，其中假设每个裕度独立地遵循高斯创新的AR（1）过程。附录D中提供了有关该简化模型的更多详细信息。表5和表6分别报告了MAFE5%和MAFE1%。通过进行异方差和自相关一致性（HAC）Diebold-Mariano（DM）检验（Diebold和Mariano，1995），对DQF-Full和每个竞争模型之间的MAFE差异进行统计评估。表7和表8中报告了DM测试的p值。较小的p值表明，在样本外期间，平均而言，一个模型的预测误差小于另一个模型的预测误差。对于5%的VaR预测，DQF完整模型为十个市场指数中的九个提供了最小的实现MAFE，CAC除外。与DQF-AR1和HTSES相比，在5/10个市场中，DM无效假设在惯常的0.05水平上被拒绝，DQF完全是首选方法。与ITS-ES模型相比，DQF完全issigni明显优先于4/10市场。

在DM null在0.05水平上未被拒绝的情况下，建议的DQF完整模型的性能至少与基准模型一样好。对于1%VaR预测，DQF全模型实现了所有十个市场指数的最小实现MAFE。与DQF-AR1和HTS-ES模型相比，分别在10/10和8/10市场的0.025水平上，DM检验的无效假设被强烈拒绝。与ITS-ES模型相比，DM null在9/10市场条件下被拒绝。在总共30个成对DM测试中，在22个案例中，无效假设在远低于0.01的水平上被强烈拒绝，DQF-Full是最受欢迎的模型。综上所述，通过对十个国际市场大约2000天长样本期的广泛预测研究，建议的DQF模型（DQF Full）被证明是提供日内收益5%和1%VaR的总体最佳预测方法。当预测更极端的1%VaR时，DQF模型的表现尤为突出，这表明DQF模型能够比竞争模型更准确地捕捉高频回报的条件尾部形状。这并不奇怪，因为（1）g和h分布可以在很大程度上近似各种各样的分布，包括极值理论方法中使用的广义帕累托分布（Dutta和Perry，2006），以及（2）我们专门设计的条件性Apatosaursmarginal模型能够准确捕捉{ht}的时间序列动力学，控制g和h分布的尾部行为。

此外，在大多数情况下，DQF-full的预测误差比DQF-AR1小得多，这一事实证实了ξt | Ft条件分布的完整规范的额外灵活性-1有助于为基础数据生成过程建立更精确的模型。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDITS-ES 0.0140 0.0130 0.0135 0.0106 0.0137 0.0144 0.0176 0.0126 0.0174 0.0090HTS-ES 0.0140 0 0.0130 0.0136 0.0106 0.0137 0.0145 0.0177 0.0127 0.0175 0.0089DQF-AR1 0.0140 0 0 0 0.0139 0.0135 0.0109 0.0138 0.0150 0.0177 0.0178 0.0177 0.0094DQF-Full 0.0138 0.0127 0.0133 0.0106 0.0136 0.0145 0.0171 0.0121 0.0167 0.0085表5：平均绝对预测误差日内收益的5%VaR预测。粗体文本表示最受欢迎的型号。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生证券交易所AORDITS-ES 0.0249 0.0240 0.0231 0.0195 0.0288 0.0279 0.0383 0.0279 0.0321 0.0276HTS-ES 0.0249 0.0240 0.0231 0.0195 0.0288 0.0279 0.0384 0.0280 0.0321 0.0276DQF-AR1 0.0249 0.0239 0.0236 0.0202 0.0294 0.0289 0.0381 0.0298 0.0312 0.0266DQF-Full 0.0240 0.0232 0.0224 0.0191 0.0283 0.0274 0.0361 0.0268 0.0300 0.0252表6：平均绝对预测误差日内收益的1%VaR预测。粗体文本表示最受欢迎的型号。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDITS-ES 0.295 0.047 0.200 0.736 0.262 0.651 0.090 0 0.000 0.001 0.000HTS-ES 0.277 0.038 0.082 0.534 0.187 0.822 0.041 0.000 0.000 0.001DQF-AR1 0.190 0.313 0.297 0.058 0.166 0.012 0.024 0.000 0.000 0.000表7：DIE的p值加粗的马里亚诺测试“DQF满”，对日内收益率进行5%的VaR预测。

粗体文本表示p值小于习惯阈值0.05。SPX DJIA NASDAQ FTSE DAX CAC日经恒生证券交易所AORDITS-ES 0.002 0.001 0.001 0.141 0.048 0.025 0.000 0.000 0.000 0.000 HTS-ES 0.002 0.001 0.001 0.117 0.053 0.019 0.000 0.000 0.000 0.000 DQF-AR1 0.013 0.024 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000表8:Diebold Mariano针对“DQF Full”测试的p值日内收益的1%VaR预测。粗体文本表明，通过分位数回归，p值小于0.05.5.5低频风险值的惯常阈值。除了预测日内收益的日VaR，我们还证明，DQF模型提供的QF值预测可以通过一个简单的日收益分位数回归模型，用于预测日内时间尺度上的VaR度量。之所以使用简单分位数回归方法，是因为它不会改变一分钟回报的分位数预测动态（规模除外），这使我们能够研究DQF预测是否可以在预测每日规模VaR度量时有用，而无需太多额外的影响（即，使用非常简单的每日回报模型）。我们将这种量化回归模型称为QR-DQF模型。让qMu，tand qDu，tb分别为一分钟和每日收益的u级分位数。设yD：={yD，…，yDT}是每日收盘至收盘收益的序列。我们假设每日收益率的分位数可以用线性关系Qdu，t=suqMu，t来建模。由于DQF模型提供了每天一分钟收益率的u级分位数的过滤值，qMu，tca可以被视为观察值，并由Xt（u）给出。

如果SUI在所有u上保持不变∈ （0，1），系数su被解释为单分形或多重分形过程的分布比例因子，其中过程在给定时间尺度上的分布通过比例定律与任何其他时间尺度上的分布相关。例如，请参见Hallam和Olmo（2014a）和Hallam和Olmo（2014b），了解通过分布比例律估算日内数据每日收益密度的最新方法。在这里，我们不假设在不同时间尺度上的收益分布之间存在任何缩放特性，如Di Matteo（2007）中所讨论的，并允许缩放因子在分位数水平上变化。系数^suc的估计可以通过解决分位数回归最小化问题（Koenker和Bassett，1978）^su=arg minsuTXt=1ρu来计算yDt公司- 苏古木，t, （11） 其中损失函数ρuis由ρu（ε）定义：=ε[u- 我(-∞,0)(ε)].Yu和Moyeed（2001）表明，最小化（11）中的目标函数在数值上等同于最大化似然函数，其中观测值假定遵循非对称拉普拉斯（AL）分布。