动态分位数函数模型

如果A边界上的后验密度π很小（这是本文考虑的所有经验数据的情况），则所提出的自适应采样器能够处理受约束的参数空间，而不会有任何明显的效率损失。在事先选择w和s，以及固定协方差矩阵∑i（见下文∑i）的情况下[i] 在调整时段内，为每个块自动调整。对于给定的∑i，我们更新[i] 每n链的迭代至目标特定验收率，用r（tar）[i]表示。让Nepode记录在一个调优纪元中花费的迭代次数，并让k∈ {n（1，…，bnepo-1nc） }表示发生ascale更新的迭代。的新值[i] 然后由给出（k+1，…，k+n)[i] =Υ（r（obs）[i]；r（焦油）[i]）（k）-n+1.k） [i]，其中Υ是一个合理选择的调谐函数，它以自上次更新以来的实现接收率为参数，用r（obs）[i]表示。我们选择Υ为Υ（r（obs）[i]；r（tar）[i]=Φ-1（r（tar）[i]/2）Φ-1（r（obs）[i]/2）。（10） 这个特殊的调整函数利用了提议分布的规模之间的关系 当提议分布和目标分布均为d维正态分布时，RWM算法r的接受率（Roberts和Rosenthal，2001）；r=2Φ(-√d/2）。即使这种关系在实践中不成立，因为Υ在区间（0，1）上是正的且单调递增的，同时等于r（obs）[i]=r（tar）[i]的1，所以（10）中的调谐函数仍会表现出合理的行为。根据Gelman等人（1996）的结果，我们遵循经验上成功的启发式方法，根据区块d【i】的大小设定目标接受率。具体而言，我们选择r（tar）[i]=0.44福特[i]=1，r（tar）[i]=0.35为2≤ d[我]≤ 当d[i]>4时，r（tar）[i]=0.234。

每个块的初始比例（1，…，n）)[i] 设置为2.38/天【i】。我们通过运行多个调整周期，逐步改进每个块∑[i]的建议分布协方差矩阵的估计。除了第一步之外，我们使用上一个历元最后生成的参数向量初始化每个历元的链，并将每个块的协方差矩阵设置为上一个历元对应块的样本协方差矩阵。在计算样本协方差矩阵时，丢弃了每个样本的几个初始迭代；我们用n（epo）圆盘表示这个数字。根据平均绝对百分比变化（MAPC）（由MAPCJ=Xi=1给出）的简单停止标准来判断所需的调谐周期数^σhjiθ，i- ^σhj-1iθ，i^σhj-1iθ，i,式中，^σhjiθ，Ide表示链的第i维与第j个历元的样本标准偏差。如果jmin，则在j个时代之后停止自适应≤ j≤ JMAX和MAPCj≤εmapc，其中jminan和jmax是最少和最多的调整时期，εmapcis是一个公差级别。在所有应用中，我们将jmin=2，jmax=30，εmapc=0.1，nepo=12000，n（epo）disc=2000。请注意，可以使用任何收敛标准来确定自适应，但我们发现MAPC在实践中是有效的，同时具有计算简单的优点。一旦自适应阶段结束，RWM采样器将过渡到采样阶段，在该阶段中，所有自适应都将得到调整。也就是说，我们根据我们的抽样方案生成一个马尔可夫链[i] 和∑固定。天平[i] 和协方差矩阵∑[i]分别固定在丢弃前n个（epo）DISCON后的最终调整期迭代中，调整后的尺度的平均值和生成参数的样本协方差矩阵。

在这些迭代中生成的参数的样本平均值用作采样相位链的初始状态。请注意，在我们的采样方案中，在计算（9）中每个块更新的接受概率时，必须至少评估一次（8）中的后验核。天真地为每个子移动计算整个后验核可能会导致计算代价高昂。然而，由于块的选择方式和ξtin（5）的条件节理密度的特殊结构，只需更新与每个子移动相关的部分似然，即可大幅降低计算成本。例如，向量（f1,1（ξ1,1），f1，T（ξ1，T）），（u1,1，…，u1，T）=（f1,1（ξ1,1），F1，T（ξ1，T）），和（F-第一（u1,1），F-仅当更新块θ（j+1）[1]和θ（j+1）[2]时，才需要重新计算1St（u1，T））。4仿真研究进行仿真研究是为了研究第3.2节中提出的自适应MCMCS采样算法的有效性。我们从真实数据生成过程（DGP）生成1000个独立的数据集，每个数据集包含3000个观测值。真实DGP是第2.5节中规定的ξt的条件联合分布模型，其参数值的选择与实际数据中的参数估计值相似。MCMC算法的采样阶段设置为运行105000次迭代。使用采样阶段的最后100000次迭代计算参数的后验平均值估计。在表1中，对于每个参数，我们报告了真实参数值（true）、1000个后验平均值估计值的MonteCarlo（MC）平均值（mean）和95%MC区间（Lower，Upper）。

后验平均值估计值都非常接近真值，所有MC区间都覆盖了真值。θΔψφωαβηλ真值0.000 0.060 0.910 6.000E-08 0.150 0.840 8.000-0.160平均值1.914E-07 0.062 0.902 6.679E-08 0.151 0.837 8.244-0.161下限-4.714E-06 0.048 0.869 4.440E-08 0.125 0.807 6.512-0.206上限5.330E-06 0.078 0.925 9.616E-08 0.180 0.863 10.991-0.114θΔψφωαβηλ真值-0.130 0.430 0.530 5.000E-03 0.060 0.880 15.000 0.000平均值-0.135 0.432 0.527 5.981E-03 0.064 0.865 15.4100.011下限-0.168 0.405 0.500 3.230E-03 0.043 0.799 10.300-0.038上限-0.106 0.456 0.556 1.039E-02 0.087 0.912 24.104 0.057θΔψφωαηλ真0.000 0.050 0 0.930 7.000E-05 0.070 0 0 0.920 18.000 0.140Mean-9.664E-06 0.053 0.921 8.360E-05 0.915 19.011 0.138下-2.251E-04 0.040 0.894 4.428E-05 0.055 0.893 11.922 0.089上2.197E-04 0.069 0.942 1.466E-04 0.092 0.937 28.197 0.187θΔψφγ*cσλι真值3.000E-03 0.220 0.740 3.700 0.030 0.060 6.000 0.150 1.000E-04平均值3.804E-03 0.218 0.737 3.689 0.031 0.060 6.100 0.151 8.164E-05下2.063E-03 0.199 0.712 3.458 0.012 0.057 4.905 0.098 5 5.528E-05上5.906E-03 0.239 0.761 3.960 0.049 0.063 7.804 0.204 1.095E-04θcR2,1R3,1R4,1R3,2R4,2R4,3ν真值-0.300-0.100 0.200-0.220-0.600 0.120 15.000平均值-0.299-0.099 0.193-0.220-0.5800.115 14.583下-0.331-0.136 0.158-0.257-0.606 0.076 11.344上-0.267-0.062 0.227-0.184-0.553 0.152 19.737表1:DQF模型参数后验平均值估计的真实值和汇总统计数据。表2中报告了每个参数块的采样阶段最后10次迭代的MC平均验收率。实现的验收率与Gelman等人建议的目标非常接近。

（1996），表明通过方程式10的更新机制有效地调整了方案分布的规模，Metropolis算法在采样阶段有效运行。区块（尺寸）1（3）2（5）3（3）4（5）5（3）6（5）7（5）8（4）9（6）10（1）目标0.350 0.234 0.350 0.234 0.350 0.234 0.350 0.234 0.440平均0.345 0.223 0.344 0.230 0.345 0.230 0.231 0.348 0.230 0.438表2：取样阶段每个区块的平均验收率。5实证研究5.1高频数据的清理以下所有实证研究都依赖于主要国际股指的高频价格数据。由于通过异步消息的实时流收集高频日内数据，原始数据中存在记录错误。此外，原始数据还包含因交易暂停、午休和正常交易时间以外的特殊订单等事件而产生的人工制品。因此，必须对原始数据进行预处理，以尽可能多地删除错误记录的价格（Brownlees和Gallo，2006）。对于我们的实证分析，我们使用每隔一分钟抽样的交易价格。原始数据由汤森路透Tick History提供。设ζt=（ζt，1，…，ζt，nt）表示第t天的日内价格向量。为了清理数据，我们对每个t应用以下规则集：I.对于I∈ {1，…，nt}，移除ζt，iif其时间戳在正常交易时间之外。二、对于i∈ {1，…，nt}，删除ζt，iifζt，i≤ j为0.III∈ {2，…，nt}，删除ζt，1，ζt，j-1如果ζt，1=···=ζt，j.IV.对于j∈ {2，…，nt}，删除ζt，nt-j+1，ζt，nt-1ifζt，nt-j+1=···=ζt，nt。五、 对于i∈ {1，…，nt- j+1}和j∈ {31，…，nt}，删除ζt，i，ζt，i+j-2如果ζt，i=···=ζt，i+j-1.VI.对于i∈ {1，…，nt}，移除ζt，iif其异常值得分大于20。七、移除ζt，1。

，ζt，ntif nt<60。请注意，规则是按顺序应用的。一、 e.，ζ和n在应用每个规则后更新。实施第一条规则的困难在于，许多主要证券交易所的正常交易时间随着时间的推移而发生了变化。因此，我们必须跟踪样本期内每个证券交易所的所有变化。附录F中记录了完整的休息时间历史。规则II删除了任何明显的错误。规则II和IV负责消除每天开始和结束时的静态价格，通常表示延迟开始和交易暂停等事件。同样，ruleV会删除任何超过30分钟的静态间隙。对于规则VI，计算每个ζt，i的离群值得分，这是ζt，i与其相邻观测值之间的尺度不变距离度量。有关计算离群值得分的详细信息，请参见附录G。最后，如果应用前六条规则后剩下的观察值少于60个，则第七条规则删除整个交易日。我们的数据包括十大主要股指的一分钟价格系列：标准普尔500指数（SPX）、道琼斯工业平均指数（DJIA）、纳斯达克综合指数（NASDAQ）、富时100指数（FTSE）、DAX、CAC 40指数（CAC）、日经225指数（日经）、恒生指数（HSI）、上海综合指数（SSEC）和所有普通指数（AORD）。样本期自1996年1月3日起至2016年5月24日止。表3显示了对每个股票指数应用所有规则后，removedobservations的百分比。它还记录了每个指数在清仓前的交易日数和观察次数。Obs天数。删除。

（%）SPX 5103 1979767 0.12DJIA 5105 1977270 0.02Nasdaq 5112 1975540 0.17FTSE 5380 2562661 0.23DAX 5036 2470843 0.09CAC 5167 2533410 0.17Nikkei 4977 1345816 0.04HSI 4998 1299330 0.01SSEC 4906 1175712 0.05AORD 5138 1779671 0.09表3：数据清理摘要5.2标准普尔500一分钟收益案例研究在这部分实证研究中，目标是通过关注备受关注的市场指数之一——标准普尔500指数，展示QF模型的各个方面。我们动态地模拟了一分钟百分比日志回报的每日分布。对于每个交易日，大约有390个一分钟的回报。Letyt=（yt，1，…，yt，nt）表示t天的一分钟回报。对于每个t∈ {1，…，T}，通过应用y，i=100[对数（ζT，i+1）计算返回向量- 对数（ζt，i）]，对于每个i∈ {1，…，nt- 1}. 然后，我们通过QF值观测xt=S（yt）总结每个yt。这里的总结函数S对应于g和h参数的L-矩估计。L-矩估计器将g和h分布的前四个L-矩与样本L-矩相匹配，样本L-矩使用一天内的所有一分钟收益计算得出。L矩法的实施细节见附录A。通过ξt=M（Xt）获得每个t的四维映射向量∈ {1，…，T}。ξtis的条件联合分布由第2.5节中的模型给出。使用第3.2节中描述的自适应MCMC算法估计参数，该算法的配置与模拟研究的配置相同。为了说明g和h分位数函数是一分钟收益分布特征的充分总结，图3显示了QQ图，其中一分钟收益的样本分位数与三天风格化的估计g和h分位数绘制。

2009年12月31日，这是一个非常不稳定的年份的最后一个交易日，收益率出现了严重的负偏差。2010年5月6日，一场声名狼藉的“飞灰崩盘”发生，导致一分钟内的回报率极为严重。2014年4月4日，日内收益率大致为正态分布。从QQ图可以看出，g和h分位数函数可以为这些分布形状提供合理的近似值。（a） 2009年12月31日（b）2010年5月6日（c）2014年4月4日图3：三个特定交易日的一分钟收益率与g和hquantiles的QQ图。表4中报告了估计后验概率的汇总统计数据。驱动条件平均动力学ψ的参数，ψ和φ，根据可信区间，φ均估计为零。ψ和ψ的估计值比ψ和ψ的估计值更接近零这一事实表明，At和Gt的观测值比b的观测值信息量小得多*t+1期间的相应条件平均值。logistic链函数参数γ的估计*并且证实，只有当HTS较小时，才需要磷灰石龙分布的指数成分。copula参数R2,1和R3,2都被估计为负值，这表明波动性的增加更有可能伴随着负回报。这一观察结果与每日股权回报中观察到的有据可查的“杠杆效应”一致。然而，有趣的是，观察到R4,2有一个相当大的负性估计，这表明波动性和峰度之间存在负相关。标度Bt与峰度Ht之间的负相关表明，高波动日的日内收益率分布比低波动日的尾部更细。

这一现象可以在图5的子图（b）和（d）中观察到标准普尔500指数。为了进一步研究，我们将峰度最低（用ht测量）的一分钟返回序列与方差最低（用b*t） 。这两天标记在图4（左）的散点图上。从时间序列和核密度图可以看出，在低方差日（LVD）有许多外围观测，导致了重尾分布，而低峰度日（LKD）有更高的方差，但没有极端观测。换言之，与动荡的一天相比，投资者更有可能在平静的一天经历偶尔的大幅价格上涨。

据我们所知，日内收益的波动性和重尾性之间的负相关性在文献中没有记载。DQF模型必须捕捉到这种负相关性，因为它将有助于预测尾部风险度量的性能。θΔψφωαβηλ平均值1.741E-06 0.034 0.924 6.492E-08 0.144 0.846 7.332-0.162下-1.248E-06 0.024 0.892 4.456E-08 0.120 0.820 6.097-0.200上5.369E-06 0.046 0.951 8.959E-08 0.170 0.870 8.943-0.123θΔφαβψλ平均值-0.124 0.435 0.533 4.161E-03 0.047 0.890 21.702 0.059下部-0.149 0.411 0.505 2.209E-03 0.032 0.832 13.826 0.022上部-0.100 0.460 0.560 7.143E-03 0.066 0.931 34.7790.096θΔψφωαβηλ平均值2.002E-04 0.023 0.932 1.982E-05 0.020 0.978 19.546 0.145下9.734E-06 0.012 0.872 5.323E-10 0.013 0.967 13.028 0.089上5.249E-04 0.035 0.970 5 5.366E-05 0.030 0.986 31.264 0.185θΔψφγ*cσηλι平均值2.737E-03 0.193 0.773 3.743 0.014 0.061 6.815 0.134 6.337E-05下1.152E-03 0.175 0.749 3.569 0.001 0.059 5.569 0.087 4.109E-05上4.433E-03 0.212 0.796 3.956 0.032 0.063 8.507 0.181 9.450E-05θcR2,1R4,1R3,2R4,2R4,2R4,3νMean-0.288-0.065 0.176-0.229-0.524 0.086 20.120下-0.315-0.094 0.147-0.256-0.545 0.058 15.843上-0.262-0.037 0.203-0.202-0.503 0.11426.117表4：标准普尔500指数的DQF后验汇总，显示了每个参数的后验平均值（mean）和95%可信区间（Lower，Upper）。图4：左侧：HTB实现值散点图*t标准普尔500指数；红色圆圈表示ht（LKD）值最低的一天，蓝色三角形表示b值最低的一天*t（LVD）。中心：LKD和LVD的一分钟返回。右图：LKD和LVD一分钟收益的核密度估计。条件均值{E（ξt | Ft）的后验均值估计-1） }与{ξt}的实际值一起绘制在图5中。