奈特不确定性下的生存能力与套利

特别是，净交易集I是H.3.1的一个子空间，这是有效市场假说的一个强大版本。风险下有多种方法可以将有效市场假说形式化。对信息效率的一种特别有力的解释要求所有风险投资的预期回报在一个共同的先验条件下是相等的。在我们的框架中，如果公共序是从公共先验推导出来的，则会得出这样的结论。设P为上的概率测度(Ohm, F） 。设置H=L(Ohm, F、 P）。将常用顺序定义为X≤ Y当且仅当预期收益满足P【X】≤ EP【Y】。（3.1）我们称P为该模型的公共先验。在这种情况下，可忽略的索赔与P下平均值为零的索赔一致。此外，X∈ P如果EP【X】≥ 0.Wetake R=P+。提案3.1。根据本小节的假设，当且仅当公共先验P是鞅测度时，金融市场才是可行的。在这种情况下，P是唯一鞅测度。证据请注意，（3.1）给出的公共顺序是完整的。如果P是鞅测度，则公共序≤ 其本身定义了一种线性偏好关系，在这种关系下，市场是可行的，a={≤}.另一方面，如果市场是可行的，则定理2.2确保存在完全支持的次线性鞅期望。通过Riesz对偶Theorem，一个鞅泛函φ∈ QACC可通过概率测量Q确定(Ohm, F） 。当且仅当它将值0分配给所有可忽略的索赔时，它是绝对连续的（在我们上述定义的意义上）。因此，每当EP【X】=0时，我们的等式【X】=0。然后Q=P紧随其后。唯一的绝对连续鞅测度是公共优先级本身。因此，所有交易资产在共同优先权下的净预期收益为零。

因此，只有当且仅当预期假设的强形式成立时，金融市场才是可行的。3.2有效市场假说的弱版本在风险下有效市场假说的弱版本指出，在某些（定价）概率测度P下，预期回报是相等的*这相当于常见的先验概率（或“真实世界”概率）P。如果Q 6=P，则存在事件A∈ F，Q（A）<P（A）。设置X=1A- P（A）。然后0=EP[X]>Q（A）- P（A）=等式[X]。设P为上的概率(Ohm, F） H=L(Ohm, F、 P）。在本例中，公共顺序由公共先验P（即X）下的几乎确定顺序给出≤ Y<=> P（X≤ Y）=1。如果payoff为P（几乎可以肯定），那么它可以忽略不计；如果payoff为P，那么它是正的，几乎可以肯定它是非负的。让相关索赔R由P-几乎肯定是非负的支付组成，该支付严格为正，P-概率为正，R=R∈ L(Ohm, F、 P）+：P（R>0）>0.A函数φ∈ H′＋是一个绝对连续的鞅函数，且仅当H′＋可以用相对于P绝对连续的概率测度Q来识别，且所有净交易的期望值均在φ下为零时，H′＋才是一个绝对连续的鞅函数。换句话说，贴现资产价格是Q鞅。因此，我们得到了风险下资产定价基本定理的一个版本，类似于Harrison和Kreps（1979）以及Dalang、Morton和Willinger（1990）。提案3.2。根据本小节的假设，金融市场是可行的，当且仅当存在一个鞅测度Q，该测度对于P.Proof具有有界密度。如果Q是与P等价的鞅测度，则定义X*Y如果且仅当等式[X]≤ 公式[Y]。那么市场是可行的，A={*}. 条件（2.2）是满足的，因为Q等于P。如果市场可行，理论2.2确保存在完全支持的次线性马丁格尔期望。

利用Riesz对偶定理，得到了amartingale泛函φ∈ qacc可以用概率度量Qφ来识别，该度量对于P是绝对连续的，对于P具有有界密度，并且所有净交易在Qφ下的期望值为零。换句话说，贴现资产价格是Qφ-鞅。从full supportproperty中，族{Qφ}φ∈Qacis相当于P，表示每个φ的Qφ（A）=0∈ Qacif，且仅当P（A）=0时。根据Halmos-Savage定理（Halmos and Savage（1949）？定理1.61]FoellmerSchied11），存在一个可数子族{Qφn}n∈N {Qφ}φ∈Qacw等于P。测量值Q：=P∞n=1-nQφ是期望的等价鞅测度。3.3奈特不确定性下的有效市场假说我们将注意力转向奈特不确定性下的有效市场假说。我们首先考虑的情况是，受决策理论中多重先验方法的启发，公共顺序来自一组公共先验（Bewley（2002）；Gilboa和Schmeidler（1989））。然后，我们讨论了受平滑模糊模型启发的二阶贝叶斯方法（Klibano-fff、Marinacci和Mukerji（2005））。3.3.1奈特不确定性下的强版本我们考虑将原始EMH推广到奈特不确定性，这与贝利的不完全预期效用模型（贝利（2002））和吉尔博阿和施梅德勒的最大预期效用（吉尔博阿和施梅德勒（1989））有一定的相似性。允许Ohm 是具有度量d和Borel集F的度量空间。设M是凸的，弱的*-上的闭合先验集(Ohm, F） 。定义半标准Kxkm：=支持∈MEP | X |。让我(Ohm, F、 M）是上连续和有界函数的闭包Ohm 在半范数k·kM下。如果我们确定对于每一个P几乎确定相等的函数∈ M、 那么H=L(Ohm, F、 M）是Banach空间。

L的拓扑对偶(Ohm, F、 M）可以通过概率度量来识别，该概率度量允许在M中的某些度量中存在丰富的密度（Bion-Nadal、Kervarec等（2012）；Beissner和Denis（2018））。因此，任何绝对连续鞅泛函Q∈ Qacis是一个概率测度，M在弱中是封闭的*L诱导的拓扑(Ohm, F、 M）。考虑由M，X上的期望引起的一致顺序≤ Y<=> P∈ M EP【X】≤ EP【Y】。然后，Z∈ 如果每P的EP[Z]=0，则为Z∈ M、 索赔X是非负ifEP[X]≥ 每P 0∈ M、 让相关索赔由在某种先验信念下具有正回报的非负索赔组成，即R={R∈ H：0≤ infP公司∈MEP【R】和0<支持∈MEP【R】}。提案3.3。在本小节的假设下，如果金融市场是可行的，则绝对连续鞅函数集是先验M证明集的子集。设置EM（X）：=支持∈MEP【X】。然后，Y≤ 0当且仅当EM（Y）≤ 0、修复Q∈ Qacw的偏好关系由X给出QY如果公式[X- Y]≤ 0、假设Q/∈ M、 因为M是个弱者*-L的拓扑对偶的闭凸子(Ohm, F、 M），存在X*∈ L(Ohm, F、 M）带em（X*) < 0<等式[X*] 根据哈恩-巴拿赫定理。特别是，X*∈L(Ohm, F、 M）和X*≤ 0.自关于的Qis弱单调≤,十、*因此，等式[X*] ≤ 0与X的选择相矛盾*. 因此，Qac M、 因此，在所有P∈ M、 然而，这里的鞅测度集是M的子集，因此EMH的强形式在先验M集的子集上成立。对于这两种方法之间的关系，还比较了Ilboa、Maccheroni、Marinacci和Schmeidler（2010）对客观和主观模糊性的讨论。一般来说，不可能更详细地刻画鞅测度集。

然而，我们可以确定一个子空间的要求，在所有先验条件下的期望一致。设HMbe是平均值无歧义的声明的子空间，在这个意义上，EP[X]是allP的相同常数∈ M、 考虑子市场（HM，τ，≤, IM，RM），IM：=I∩ HMandRM：=R∩ HM.仅限于该市场，Qacand和Mare的指标集是相同的，强EMH是正确的。下面的简单示例说明了这些要点。示例3.4。允许Ohm = {0，1}，H是所有函数的Ohm. 然后，H=Randwe为任意X写X=（X，y，v，w）∈ H、 设I={（x，y，0，0）：x+y=0}。考虑byM给出的优先级：=p- p: p∈,.前两个州存在骑士式的不确定性，但后两个州没有骑士式的不确定性。索赔Z=（Z，Z，Z，Z）可以忽略-2Z- Z、 特别地，X=（1，1，0，-2） Y=（0，0，1，-1） 可以忽略不计。现在letQ*= （q，q，q，q）∈ Qac。鞅性质意味着q=q。绝对连续性要求*[十] =0和EQ*[Y]=0，或q+q- 2q=0和q=q。从这里，我们用q=qt得出q=q=q=q，soQ*=,,,. 请注意，Q*∈ M、 在这种情况下，HM={X=（X，y，v，w）∈ H:x=y}。特别是，所有的priorsin M与Q一致*当仅限于HM时。因此，对于均值无歧义的主张，强有效市场假说是正确的。3.3.2奈特不确定性下的弱版本是(Ohm, F） 。设H是有界可测函数的空间。设公共序由公共先验集M，即X下的拟确定序给出≤ Y<=> P（X≤ Y）=1， P∈ M、 在这种情况下，如果索赔X消失了M–准肯定，即所有P的概率为1，则索赔X可以忽略不计∈ M、 因此，如果集合A是极性的，即相对于M中的每个概率的零集合，则指示函数1a可以忽略不计。

将这组相关索赔提交给beR={R∈ P: P∈ 使得P（R＞0）＞0}。这些积极和相关的主张可以从Gilboa–Schmeidler公用事业公司得到。定义X Y当且仅当infP∈MEP【U（X）】≤ infP公司∈MU（Y）]，对于所有严格增凹实函数U。然后0 Y意味着对于所有先验P∈ M、 每个风险厌恶预期效用代理都倾向于Y而不是空声明。众所周知，这相当于在二阶随机优势意义下，对每一个P∈ M、 这意味着Y对于所有P几乎肯定是非负的∈ M、 提案3.5。根据本小节的假设，金融市场是可行的，当且仅当存在一组完全可加鞅测度q，其极集与常见的先验M证明集相同。假设市场是可行的。我们证明了类Qacfrom定理2.2满足所需的性质。鞅性质由定义和I是线性空间这一事实引出。假设A是极性的。那么，1a可以忽略不计，从绝对连续性性质来看，对于任何φ，它都遵循φ（A）=0∈ Qac。另一方面，如果A不是极性的，1A∈ 从全支撑性质来看，存在φA∈ QacsuchφA（A）>0。因此，A不是Qac极性。我们得出结论，M和QacSharethes是相同的极集。对于相反的含义，定义E（·）：=supφ∈QEφ[·]。使用与上述相同的参数，E是一个完全支持的次线性鞅期望。从理论2.2来看，市场是可行的。在奈特不确定性下，套利-自由价格可能存在不确定性，因为通常存在一系列经济上合理的套利-自由价格。在全面一般均衡分析中也观察到了这种不确定性（Rigotti和Shannon（2005）；Dana和Riedel（2013）；Beissner和Riedel（2019））。

从这个意义上讲，骑士式的不确定性与不完全市场和交易成本等其他摩擦有着相似之处，但不确定性的经济原因是不同的。3.3.3有效市场的二阶贝叶斯模型我们现在考虑一个共同的订单≤ 根据平滑模糊度模型的精神，通过二阶贝叶斯方法获得（Klibano Off、Marinacci和Mukerji（2005））。设F是sigma代数Ohm 和P=P(Ohm) 上的所有概率度量集(Ohm, F） 。设u为二阶先验，即概率测度P。此设置中的公共先验由概率测度^P:F给出→ [0，1]定义为^P（A）=RPP（A）u（dP）。设H=L(Ohm, F、 ^P）。常用顺序为byX≤ Y<=> u（{P∈ P:P（X≤ Y）=1}）=1。如果声明为P，则声明为正–几乎可以肯定，在支持二阶先验u的情况下，所有先验都是非负的。如果根据二阶先验知识，具有正概率的索赔严格为正的置信集不可忽略，则索赔是相关的。根据Liparantis和Border（1999）的定理15.18，概率测度空间是Borel空间当且仅当Ohm 是一个Borel空间。这允许定义二阶先验知识。本节中使用的or der可以从平滑模糊度实用函数中导出。定义X≤ Y当且仅当ifZPψ（EP[U（X）]）u（dP）≤ZPψ（EP[U（X）]）u（dP）命题3.6。根据本小节的假设，金融市场是可行的，当且仅当存在一个鞅测度Q，其形式Q（a）=ZPZAD dPu（dP），对于某些状态价格密度D证明。集合函数^P:F→ [0，1]定义为^P（A）=RPP（A）u（dP）是(Ohm, F） 。诱导的^P-a.s.顺序与≤ 这一小节。

因此，结果遵循命题3.2和关于^P的积分规则。因此，光滑模糊模型导致了资产回报的二阶贝叶斯方法。所有资产收益都等于某个二阶鞅测度的安全收益；该期望值是与Q.4之前的风险中性二阶相对应的平均预期回报。建模哲学的进一步讨论本节更详细地讨论了建模方法的各个方面。我们首先讨论使用共同顺序而不是概率框架的动机。然后，我们解释了各种静态和动态金融市场是如何嵌入到我们的抽象模型中的。我们的生存能力概念与具有异质代理的竞争市场的通常均衡概念有关。我们讨论了次线性与线性价格在我们的理论中的作用，最后讨论了如何使用我们的相关索赔概念来统一金融文献中的各种轨道概念。市场中所有代理共享的共同顺序与共同概率框架偏好属性将反映在均衡价格中。代理人共享公共优先权的事实描述了风险情况；在实验室里，一项基于轮盘赌或掷硬币等客观设备的随机实验模拟了这样的市场环境。如果不能像在现实世界中那样调用这种客观手段，人们可能仍然会假定所有市场参与者都存在一种共同的主观信念，因为这是在资本资产定价模型及其基于消费的版本中（隐含地）实现的。这种假设可能过于强烈；埃尔斯伯格的实验展示了如何在实验室中创造一种奈特式的不确定性环境。

在信用风险要求的复杂金融市场中，所有严格递增和凹实函数U和ψ的期权。回想一下，ψ反映了不确定性厌恶。然后0≤ Y相当于Y在u–几乎所有P的二阶随机优势意义下支配零声明∈ P、 在交易的期限结构形状和波动率动力学方面，奈特不确定性起着重要作用，因为代理人缺乏对关键模型参数的精确概率估计，他们可能对数据中潜在的结构突变持谨慎态度。此外，asEpstein和Ji（2013）表明（另见示例2.7），如果我们对波动性的奈特不确定性建模，从逻辑上来说，构建参考概率度量是不可能的。我们将这些考虑作为放弃任何显式或隐式概率假设的动机，无论是公共先验P还是公共参考概率的较弱假设。相反，我们的分析基于一个共同的秩序≤, 一个弱得多的假设，只需要一个（通常不完整的）一致优势标准。常见顺序的一个最小示例是点式顺序。点式优势当然是一个标准，我们可以假设在货币或单一商品支付的情况下是一致共享的。我们方法的通用性允许涵盖多种情况，包括经过充分研究的风险情况以及我们在上一节中看到的骑士不确定性情况。金融市场我们借助凸锥I以一种相当简化的形式对金融市场进行建模。这种抽象方法有助于我们讨论套利与生存能力的关系。在下一个示例中，我们将展示静态和动态交易的常见模型是如何嵌入的。示例4.1。我们考虑四个日益复杂的市场。1.

在一个时期内，有很多州Ohm = {1，…，N}，具有J+1证券的金融市场可以用其初始价格xj来描述≥ 0，j=0，J和a（J+1）×N–支付矩阵F，比较LeRoy和Werner（2014）。投资组合H=（H，…，HJ）∈ RJ+1拥有HF支付权=PJj=0HjFjωω=1,...,N其初始成本满足H·x=PJj=0Hjxj。如果第0项资产是无风险的，价格为x=1，在世界所有国家支付1，那么初始成本为零的净交易可以用风险资产组合H=（H，…，HJ）表示∈ rj和返回矩阵^F=（Fjω- xj）j=1，。。。，J、 ω=1，。。。，N、 注意到另一种建立模型的方法可能很有趣，在这种方法中，共同顺序是从一类给定的偏好关系中派生出来的。假设没有先验的公共秩序。相反，我们从公共空间H上的一类偏好关系开始，它是凸的且τ-下s半连续的。然后，我们可以确定从以下优先关系集得出的统一顺序。莱茨:= {Z∈ H:X Z+X 十、 十、∈ H} ，是偏好关系的可忽略（或空）声明集∈ A、 我们称之为Zuni：=T∈亚利桑那州一组完全可以忽略不计的主张。让制服≤由X开始的并集H≤唯一当且仅当存在Z∈ Zunisuch X（ω）≤ Y（ω）+Z（ω）表示所有ω∈ Ohm. 注意，我们使用实数上的逐点顺序和一致可忽略的Epayo ffs集从A.（H，≤uni）是一个预序向量空间，agent的偏好是单调的，与均匀预序有关。设一组关于公共阶单调的（凸等）偏好。注意，A包含A，但通常大于A。I由J×N返回矩阵^F的图像给出，即I={H^F:H∈ RJ}。2.