奈特不确定性下的生存能力与套利

特别是，始终存在一系列经济上合理的套利——自由价格。从这个意义上讲，奈特不确定性与有摩擦或不完全的市场具有相似性，但价格不确定性的经济原因是不同的。命题5.2的证明我们将证明分为几个步骤。回想一下，（5.1）中定义了超级复制功能D。引理A.1。假设金融市场完全没有套利。那么，D是凸的，下半连续的，D（X）>-∞ 对于每X∈ H、 证明。D的凸性紧随定义。为了证明较低的半连续性，考虑序列Xkτ→ X带D（Xk）≤ c、 然后，通过定义，对于每个k，存在一个序列{ek，n}∞n=1 H+带ek，nτ→ n为0→ ∞ 和一个序列{lk、 n}∞n=1 I使得c+k+ek，n+lk、 n个≥ Xk，forevery k，n。设Br（0）为半径r的球，在与τ相容的度量中以零为中心。选择n=n（k），使ek，n∈ BK和设置▄ek：=ek，n（k），▄lk： =lk、 n（k）。然后，c+k+～ek+（X- Xk）+lk≥ X和K+～ek+（X- Xk）τ→ 0as k→ ∞. 因此，D（X）≤ c、 这证明了D是下半连续的。常量权利要求1是相关的，根据命题5.1，D（1）∈ （0，1）；特别是，它是有限的。对于相反的位置，假设存在sx∈ H使得D（X）=-∞. 对于λ∈ [0，1]，设置Xλ：=X+λ（1- 十） 。D的凸性意味着D（Xλ）=-∞ 对于每个λ∈ [0，1）。由于D是下半连续的，0<D（1）≤ limλ→1D（Xλ）=-∞, 矛盾。引理A.2。假设金融市场完全没有套利。超级复制功能D是一个具有全面支持的简单期望。此外，对于每个c，D（c）=c∈ R、 andD（X+l) ≤ D（X）， l ∈ 一、 X个∈ H、 （A.1）特别地，D具有鞅性质。证据我们分两步来证明这个结果。第1步。在这一步中，我们证明了D是一个次线性期望。

设X，Y∈ H如X所示≤ Y假设有c∈ R{ln}∞n=1 I和{en}∞n=1H+带enτ→ 0满意，Y≤ c+en+ln、 然后，从≤,我们还有X≤ c+en+ln、 因此，D（X）≤ 关于≤.平移不变性D（c+g）=c+D（g），直接来自定义。接下来，我们证明D是次加性的。固定X、Y∈ H、 假设eitherD（X）=∞ 或D（Y）=∞. 然后，从Lemma开始。1天>-∞, 我们有D（X）+D（Y）=∞ 次可加性直接遵循。现在我们考虑情况D（X），D（Y）<∞. 因此，有cX、cY∈ R{lXn}∞n=1，{lYn}∞n=1 Iand{eXn}∞n=1，{eYn}∞n=1 H+带eXn，eYnτ→ 0满意，cX+lXn+eXn≥ 十、 cY+lYn+eYn≥ Y、 设置“c：=cX+cY，”ln： =lXn+lYn，’en：=eXn+eYn。因为我是一个正锥，{ln}∞n=1 一、 \'enτ→ 0和“c+”en+“”ln≥ X+Y=> D（X+Y）≤ 因为这适用于任何此类cX，cY，我们得出结论D（X+Y）≤ D（X）+D（Y）。最后，我们证明了D是一次正齐次的。假设c+en+ln≥ X表示常数c{ln}∞n=1 I和{en}∞n=1 H+带enτ→ 然后，对于任何λ>0和任何n∈ N、 λc+λen+λln≥ λX.自λ起ln∈ I和λenτ→ 0，这意味着d（λX）≤ λD（X），λ>0，X∈ H、 （A.2）注意，当D（X）=+∞. 相反，如果D（λX）=+∞ 我们完成了。否则，我们将（A.2）与λX和1/λ一起使用，D（X）=DλλX≤λD（λX），=> λD（X）≤ D（λX）。因此，D是正齐次的，它是一个次线性期望。第2步。在这一步中，我们假设金融市场完全没有风险。自0起∈ 一、 我们有D（0）≤ 如果不等式是严格的，我们显然有一顿免费的午餐，风险为零，因此D（0）=0，从平移方差来看，这同样适用于每个c∈ R、 此外，根据命题5.1，DHA完全支持。因此，我们只需要证明（A.1）。假设X∈ Hl ∈ I和c+en+lXn公司≥ 十、

因为我是一个凸锥，lXn+l ∈ I和c+en+(l + lXn）≥ X+l. 因此，D（X+l) ≤ c、 由于这适用于所有此类常数，我们得出结论，D（X+l) ≤ D（X）表示所有X∈ H、 尤其是D(l) ≤ 0且鞅性质满足。备注A.3。注意，对于H=（Bb，k·k∞), D的定义简化为经典定义：D（X）：=inf{c∈ R: l ∈ 一、 这样c+l ≥ X}。（A.3）如果c+l ≥ X代表一些c和l, 可以使用常量序列ln≡ l 和en≡ 0表示（5.1）中的D小于或等于（A.3）中的D。对于逆不等式，观察如果c+en+ln≥ X代表一些c，l带k enk的NANDENK∞→ 0，则（A.3）中的最大值小于或等于c。结论如下。引理A.1符合众所周知的事实，即Bbis-Lipschitz中的经典超级复制函数相对于上范数拓扑是连续的。引理A.1和引理A.2的结果表明，（5.1）中定义的超级复制函数在凸分析语言中是一个适当的凸函数，例如Rockafellar（2015）。通过经典的Fenchel-Moreautheorem，我们得到了以下D的对偶表示，D（X）=sup^1∈H′{Д（X）- D*（Д）}，X∈ H、 何处*（Д）=supY∈H{И（Y）- D（Y）}，ν∈ H′。因为Д（0）=D（0）=0，D*(φ) ≥ φ(0) - D（0）=0（每英寸）∈ H′。然而，它可能会采用价值加成的形式。集合，dom（D*) := { φ ∈ H′：D*(φ) < ∞} .引理A.4。我们有dom（D*) =φ ∈ H′+：D*(φ) = 0=φ ∈ H′+：Д（X）≤ D（X）， 十、∈ H.（A.4）尤其是，D（X）=supД∈dom（D*)^1（X），X∈ H、 此外，在金融市场上，只要dom（D*) 为空。证据显然（A.4）右边的两组是相等的，包括印度教（D）*). D的定义*意味着Д（X）≤ D（X）+D*(φ),  十、∈ H、 ^1∈ H′。均匀性，ν（λX）≤ D（λX）+D*(φ), => ^1（X）≤ D（X）+λD*（Д），对于每λ>0和X∈ H假设∈ dom（D*).

然后，我们让λ进入到单位，以达到Д（X）≤ D（X）表示所有X∈ Bb。因此，D*(φ) = 0.修复X∈ H+。自从≤ 对于逐点顺序是单调的，-十、≤ 然后，通过D的单调性，ν(-X）≤ D(-X）≤ D（0）≤ 0.因此，ν∈ H′+。现在假设dom（D*) 为空或等效为D*≡ ∞. 然后，双表示意味着D≡ -∞. 根据命题5.1，金融市场中存在风险消失的免费午餐。接下来，我们证明，在没有免费午餐且风险为零的假设下，对于任何R，集dom（D*) 等于第2节中的Qacde fined。由于任何相关的假设集R包含（4.1）中的粗略定义，为了得出这一结论，有必要假设任何Ru都没有免费午餐，风险消失。引理A.5。假设金融市场对利率没有套利。那么，dom（D*) 等于绝对连续鞅泛函集Qac。证据dom（D*) 引自Lemma的是非空的。2和Lemma。4、固定任意的∈ dom（D*). 根据引理A.2，D（c）=每常数c∈ R、 鉴于Lemma的双重表示。4，cД（1）=Д（c）≤ D（c）=c，c∈ R、 因此，Д（1）=1。我们继续证明单调性。假设X∈ P、 自0起∈ 一、 我们显然有D(-X）≤ 0.双重表示意味着(-X）≤ D(-X）≤ 0.因此，Д（X）≥ 我们现在证明了超鞅性质。允许l ∈ 一、 显然是D(l ) ≤ 0、双重表示法(l) ≤ D(l) ≤ 因此ν是鞅泛函。绝对连续性如下引理E.3所示。因此，^1∈ Qac。为了证明相反的结果，fix是任意的∈ Qac。假设X∈ H、 c类∈ R{ln}∞n=1 I和{en}∞n=1 H+带enτ→ 0满足，c+en+ln≥ 十、 根据И的属性，0≤ ^1（c+en+ln- 十） =^1（c+en- 十） +^1(ln）≤ c- ^1（X- en）。自enτ起→ 0和Д是连续的，Д（X）≤ D（X）每X∈ H

因此，^1∈ dom（D*).命题5.2的证明。它直接来自引理A.4和引理A.5。我们有以下直接推论，证明了在这种情况下资产定价基本定理的第一部分。推论A.6。如果且仅当QAC6= 对于任何R∈ R、 存在^1R∈ Qacsuch，即ДR（R）>0。证据通过矛盾，假设存在R*使en+ln≥R*带enτ→ 0.取ДR*以便*（R）*) > 0并观察0<ДR*（R）*) ≤ ^1（英语+ln）≤ ^1（en）。自^1起∈ H′+，Д（en）→ 0作为n→ ∞, 这是矛盾的。另一方面，假设金融市场完全没有风险。作者：Lemma。5，dom（D*) = Qac。让R∈ 注意，根据命题5.1，D（R）>0。因此，存在ДR∈ dom（D*) = QacSatizingДR（R）>0。备注A.7。正泛函集Qac H′＋类似于经典背景下的局部鞅测度集。事实上，所有元素∈ QACCA可被视为超级马丁格尔“措施”，因为(l) ≤ 0预测l ∈ 一、 此外，对于每个Z，特性Д（Z）=0∈ Z可以被视为相对于空集的绝对连续性。完全支持性质类似于反向绝对连续性。然而，Qac的单个元素无法实现完全支持特性。Bouchard和Nutz（2015）研究了一组先验M的套利。然后，绝对连续性和完全支持性质转化为“M和Q具有相同的极集”的陈述。在Burzoni、Frittelli和Maggis（2016）的论文中，给出了一类相关集S，这两个属性可以用“集S不包含在Q的极集合中”的语句来概括。此外，当H=Bb时，H′是一类有界可加测度ba。能否将Q限制在可数可加测度集上，这是一个经典问题(Ohm).

在第4节和第3节中描述的几个示例中，这一点得到了证明。然而，有些例子并非如此。B延伸对于符号和定义，我们参考正文。让B(Ohm, F） 上所有F可测实值函数的集合Ohm. B中包含的任何Banach空间(Ohm, F） 满足H的要求。在我们的示例中，我们使用空间L(Ohm, F、 P），L(Ohm, F、 P），L(Ohm, F、 M）和Bb(Ohm, F） ，B中所有有界函数的集合(Ohm, F） ，具有最高范数。在后一种情况下，超级套期保值功能具有若干属性，如正文备注2.3所述。既然我们要求我 H、 在H=Bb的情况下(Ohm, F） 这意味着所有的交易工具都是有界的。这在某些应用程序中可能会受到限制，我们现在提供另一个克服这一困难的示例。要定义此集合，请*∈ B类(Ohm, F） 带L*(ω) ≥ 每ω1∈ Ohm. 考虑线性空间Bl:=十、∈ B类(Ohm, F） : α ∈ R+使得| X（ω）|≤ αL*(ω) ω∈ Ohm配备标准kXkl:= inf{α∈ R+：| X（ω）|≤ αL*(ω) ω∈ Ohm} =XL码*∞.我们用τ表示这个范数诱导的拓扑l. 那么，Bl(Ohm, F） 带τl是一个Banach空间，满足我们的假设。注意，如果L*= 1，然后Bl(Ohm, F） =Bb(Ohm, F） 。现在，假设我*（ω） ：=c*+^l(ω), ω ∈ Ohm, （B.1）对于某些c*> 0,^l ∈ 一、 然后，可以在主要论文的备注A.3中定义超级复制功能。另一个重要的扩展是放宽消费集等于整个空间H的假设。古典文学和本文的主体都采用了这一假设，但在某些应用中可能会受到限制。我们在这里表明，在我们的框架内，我们可以容纳一个较小的消费集，特别是，我们能够限制到从下面限定的消费集。

为了便于讨论，我们将下限设为0，这也对应于非负消费的最相关情况。考虑一个市场（H，τ，≤, 一、 R）拓扑是由关于（严格）顺序的开放区间生成的；根据定义，集合O：={X>0}是打开的。给定O上的一个偏好关系，我们可以通过处理{X的所有元素将其推广到整个空间≤ 0}作为不同的andX 如果X为Y/∈ O和Y∈ O、 由于我们对A的定义中的偏好仅要求为τ-下半连续性，因此此类满足所有要求的性质。特别是，在正文定理2.1和2.2的证明中构造的线性代理类可以相应地修改：对于一个更线性的连续函数，我们可以将效用设置为O的负整数。诱导偏好关系在A中。此外，具有幂效用的代理U（X）=E（X+c）1-γ1- γa中可以包含常数c。限制消费为正可能导致定价函数的不可扩展性，因此Harrison和Kreps（1979）的经典理论；Kreps（1981）不适用。相反，由于我们不坚持单一代表代理人，这一方面不影响正文第2节的结果。我们感谢一位匿名裁判指出了这一点。C无套利与无免费午餐，VaningRisklet（H，τ，≤, 一、 R）成为金融市场。套利机会永远是一顿风险消失的免费午餐。本节的目的是调查这两个概念何时相等。C、 1成就定义C.1。我们说，如果每X∈ H在正文的等式（5.1）中存在一个极小值，即存在l十、∈ I满足，D（X）+l十、≥ 十、 提案C.2。

假设金融市场具有获得性。那么，当且仅当它没有套利时，它是强无套利的。证据让R*∈ R、 根据假设，存在l ∈ 我*所以D（R*) + l*≥ R*.如果市场没有套利，那么我们得出结论，D（R*) > 0、鉴于正文的命题5.1，这证明了金融市场也非常没有套利。由于无套利是较弱的条件，因此它们是等价的。C、 2有限期限的离散时间市场在本小节和下一节中，我们仅考虑有限离散时间市场中的套利因素。我们首先在以下子集上引入离散过滤F：=（Ft）Tt=0Ohm.设S=（St）Tt=0是一个自适应随机过程30,31，对于某些M，其值为RM+l ∈ I存在可预测的被积函数Ht∈ Bb型(Ohm, 英尺-1） 对于所有t=1，因此，l = （H·S）T：=TXt=1Ht·St，其中St：=（St- St公司-1).表示为lt： =（H·S）t用于t∈ 我和l := lT、 设置^l =Pk，iSik- 硅。然后，我们可以直接用适当的C*, 我们有我*:= c*+^l ≥ 1、定义Bl使用^l, 设置H=Bl并用I表示l对于每t=1，…，具有Htbounded的I的子集，T接下来，我们规定了等价关系和相关集合。我们的出发点是我们假定给定的可忽略集Z的集合。我们还做出以下结构假设。当使用N个股票时，一个典型的选择Ohm 可能是Ohm = {ω=（ω，…，ωT）：ωi∈ [ 0, ∞)N、 i=0，T}。然后，可以将St（ω）=ωtand F作为S生成的过滤。请注意，我们没有指定任何概率度量。假设C.3。假设只允许在标记为1、2、…、的最后时间点进行交易，T

设我如上所示，设Z是一个关于点态收敛闭的格。我们还假设R=P+，预阶由X给出≤ Y<=> Z∈ Z使得X≤OhmY+Z，其中≤Ohm表示函数的逐点顺序。特别是，X∈ P当且仅当存在Z时∈ Z使Z≤Ohm十、 有关上述结构的示例，请参阅正文的示例2.6。在该示例中，Z由给定概率类Q的极性集组成。那么，在这种情况下，所有不等式都应该理解为Q准肯定。还请注意，当Z={0}时，Z上的假设基本满足。在后一种情况下，不等式是逐点的。鉴于≤ 事实上R=P+，l ∈ I是套利当且仅当存在R*∈ P+和Z*∈ Z、 所以l ≥OhmR*+ Z*.因此l ∈ 我是套利当且仅当l ∈ P+。我们继续展示套利的存在与单步套利的存在的等价性。引理C.4。假设假设C。3个保持。然后，存在套利f，且仅当存在t∈ {1，…，T}，h∈ Bb型(Ohm, 英尺-1） 因此l := h·STI是一种套利。证据效率是显而易见的。为了证明这一必要性，假设l ∈ 我是一个失败者。然后，有一个可预测的过程H，以便l = （H·S）T.也是l ∈ P+，因此，l /∈ Z，存在Z∈ Z这样l ≥ Z、 定义t：=最小{t∈ {1，…，T}：（H·S）T∈ P+}≤ T、 首先，我们研究以下情况：l^t-1.∈ Z、 定义l*:= H^t·S^t，并观察到l^t=l^t-1+l*. 自从l^t-1.∈ Z、 我们有l*∈ P+i功能l^t∈ P+，从而证明了引理。假设现在l^t-1/∈ Z、 如果l^t-1.≥Ohm0，那么l^t-1.∈ P，因此，也在P+中，这在^t的最小值中是不可能的。因此，集合A：={l^t-1个<Ohm0}为非空且F^t-1-可测量。定义，h：=h^tχa和l*:= h·S^t.注意，l*= χA(l^t- l^t-（1）≥OhmχAl^t≥OhmχAZ∈ Z、 这意味着l*∈ P

对于矛盾，假设l*∈ Z、 然后，l^t-1.≥OhmχAl^t-1.≥ χA（Z- l*) ∈ Z、 根据假设，l^t-1/∈ Z我们有l^t-1.∈ P+，其中^t不是最小值。以下是本节的主要结果。为了证明这一点，我们遵循了卡巴诺夫和斯特里克（2001）的方法，这一方法也在布查德和努茨（2015）中使用。我们考虑金融市场*= （B）l, k·kl, ≤Ohm, 一、 P+）如上所述。定理C.5。在满足假设的有限离散时间金融市场中。3、以下是等效的：1。金融市场Θ*没有套利。2、取得财产持有*没有套利。3、金融市场*完全没有套利。证据鉴于命题。2我们只需要证明蕴涵1=> 2、对于X∈ H使得D（X）是有限的，我们有cn+D（H）+ln≥OhmX+Zn，对于某些cn↓ 0, ln∈ I和Zn∈ Z、 注意，由于Z是一个晶格，我们假设，在不丧失一般性的情况下，Zn=（Zn）-并用Z表示-:= {Z-| Z∈ Z} 。我们证明C：=I-（L）+(Ohm, F） +Z-) 在逐点收敛下闭合，其中L+(Ohm, F） 表示逐点非负随机变量类。一旦显示该结果，通过观察X-中国大陆-D（X）=Wn∈ C向X点收敛- D（X）我们获得了获得属性。我们根据时间步数进行归纳。假设第一个T=1。下线=ln- 千牛- 锌→ W、 （C.1）其中ln∈ 一、 千牛≥Ohm0和Zn∈ Z-. 我们需要展示W∈ C、 请注意，任何lNCA可以表示为ln=Hn·瑞士Hn∈ L(Ohm, F） 。允许Ohm:= {ω ∈ Ohm | lim inf|Hn|<∞}. 根据引理2 inKabanov和Stricker（2001），存在一个序列{Hk}，使得{Hk（ω）}是每个ω的{Hk（ω）}的收敛子序列∈ Ohm. 设H：=lim inf HnχOhm和l :=H·S、 现在请注意，Zn≤Ohm因此，如果lim inf | Zn |=∞ 我们有lim inf Zn=-∞.我们证明了我们可以选择▄Zn∈ Z-,Kn≥Ohm0，以便▄Wn：=ln-Kn-锌→W和lim infZnis finite onOhm.