奈特不确定性下的生存能力与套利

在上{ln≥OhmW}设置▄Zn=0和▄Kn=ln- W在上{ln个<OhmW}集▄Zn=Zn∨ (ln- W），~Kn=Knχ{Zn=~Zn}。很明显，Zn≤Ohm锌≤Ohm0.来自LemmaE。1我们有锌∈ Z、 此外，可以很容易地检查▄Wn：=ln-Kn-锌→ W然而，从l不Ohm和锌≥Ohm-（W）- ln） +，我们得到{ω∈ Ohm| lim infZn>-∞} = Ohm. 因此，也限制了Ohm, 否则我们就不会有那样的→ W因此，通过设置▄Z：=lim inf▄zn和▄K：=lim inf▄Kn，我们得到W=l -K-Z∈ C、 在上OhmCwe可以取Gn：=Hn/| Hn |，让G：=lim inf GnχOhmC、 定义，lG： =克·S、 我们现在观察到，{ω∈ OhmC |lG（ω）≤ 0}  {ω ∈ OhmC | lim inf Zn（ω）=-∞}.的确，如果ω∈ Ohm使lim inf Zn（ω）>-∞, 再次应用引理2 inKabanov和Stricker（2001），我们得到了thatlim infn→∞X（ω）+Zn（ω）| Hn（ω）|=0，表示lG（ω）是非负的。立即设置▄Zn：=Zn∨ -(lG）-.来自Zn≤Ohm锌≤Ohm0，又是LemmaE。1，锌∈ Z、 以n为界→ ∞ 我们获得(lG）-∈ 因此，lG∈ P、 由于金融市场没有套利S=Z∈ Z，因此一个资产是多余的。考虑分区Ohmiof公司OhmCon，其中Gi6=0。因为Z在乘法下是稳定的（LemmaE.2），对于任何l*∈ 一、 存在Z*∈ Z和H*∈ L(Ohmi、 F）带（H*)i=0，因此l*= H*· S+Z*在…上Ohmi、 因此lnin（C.1）由只涉及d的交易策略组成- 1.资产。将过程迭代到d步，我们得到了结论。假设现在是C。1适用于具有T的市场- 1个周期，同样的，我们证明了我们可以扩展到具有T个周期的市场。再次设置Ohm:= {ω ∈ Ohm | lim inf|Hn|<∞}. 从开始Ohm我们有，Wn- Hn·S=TXt=2Hnt·St公司- 千牛- 锌→ W- H·S、 归纳假设可以得出以下结论：- H·S∈ C及其后∈ C

在…上OhmCwe可以取Gn：=Hn/| Hn |，让G：=lim inf GnχOhmC、 请注意，Wn/| Hn |→ 0和HenceText=2Hnt | Hn |·St公司-Kn | Hn|-Zn | Hn|→ -G·S、 因为Z在乘法zn | Hn下是稳定的|∈ 因此，通过归纳假设，对于t=2，…，存在▄hth，T和▄Z∈ Z，以便l := G·S+TXt=2Ht·St公司≥OhmZ∈ Z、 无套利条件意味着l ∈ Z、 再一次，这意味着oneasset是冗余的，并且通过考虑分区Ohmiof公司Ohm如果Gi6=0，我们可以重写这个术语lnin（C.1）带d- 1.资产。将程序迭代到d步骤，我们得到了结论。上述结果与以下事实一致：在有限离散时间市场的经典“概率”模型中，仅使用了无套利条件，而非无免费午餐条件。D可数加性测度在这一部分中，我们表明，在一般有限离散时间市场中，可以通过可数加性泛函来刻画生存能力。在本节中，≤Ohm表示函数的逐点顺序。我们通过结合我们在E.2节中收集的Burzoni、Frittelli、Hou、Maggis和Ob l’oj（2019）的一些结果来证明这一结果。我们参考该文件了解(Ohm, F、 S），我们只指出，除了之前的设置，Ohm 需要一个抛光空间。我们让Qcabe是一组具有有限支持度的可数加性正概率测度Q，使得S是Q-鞅，Z-:= {-Z-| Z∈ Z} 。对于X∈ H、 setZ（X）：=Z∈ Z-: l ∈ I使得D（X）+l ≥OhmX+Z,当D（X）时，它总是非空的，例如。十、∈ Bb。根据Z的晶格性质，如果D（X）+l ≥OhmX+Z如果我们取Z=Z，则相同-. 来自EMC。5我们知道，在无套利的情况下，获得财产持有量为，因此，Z（X）对于每个X都是非空的∈ H

对于∈ F、 我们定义了a（X）：=inf{c∈ R:l ∈ I使c+l(ω) ≥ X（ω），ω∈ A}QcaA：={Q∈ Qca:Q（A）=1}。在证明主要定理时，我们需要以下技术结果。提案D.1。假设假设C。3持有，金融市场无套利。然后，对于每个X∈ H和Z∈ Z（X），存在AX，ZsuchthatAX，Z { ω ∈ Ohm : Z（ω）=0}，（D.1）和D（X）=DAX，Z（X）=supQ∈QcaAX，ZEQ【X】。在证明这个结果之前，我们先陈述一下本节的主要结果。定理D.2。假设假设C。3个保持。那么，金融市场没有套利当且仅当for every（Z，R）∈ Z-×P+存在QZ，R∈ QcasatisfyingEQZ，R[R]>0，EQZ，R[Z]=0。（D.2）证明。假设金融市场没有套利。固定（Z，R）∈ Z-×P+和ZR∈ Z（R）。设置Z*:= ZR+Z∈ Z（R）。被提议的。1，存在一个*:= AR，Z*满足此处列出的属性。特别是，0<D（R）=supQ∈QcaA公司*等式【R】。因此，有Q*∈ QcaA公司*因此，EQ*[R] >0。此外，由于ZR，Z∈ Z-,A.* {Z*= 0}={ZR=0}∩ {Z=0}。特别是*[Z] =0。为了证明相反的含义，假设存在R∈ P+，l ∈ 土地Z∈ Z这样l ≥OhmR+Z。那么，很明显l ≥OhmR- Z-. LetQ公司*:= Q-Z-,R∈ QCA合格（D.2）。通过将两侧与Q积分*,我们得到0=等式*[l] ≥ 均衡器*[R]- Z-] = 均衡器*[R] >0。这是一个矛盾。因此，不存在套利。我们继续证明命题D.1。命题的证明。由于不存在套利，根据定理C.5，我们具有获得性。因此，对于给定的X∈ H、 集合Z（X）是非空的。第1步。我们证明了，对于任何Z∈ Z（X），D（X）=D{Z=0}（X）。注意，由于D（X）+l ≥OhmX+Z，对于一些l ∈ 一、 不等式D{Z=0}（X）≤D（X）始终为真。对于矛盾，假设不等式是严格的，即存在c<D（X）和l ∈ I使c+~l(ω) ≥ 任意ω的X（ω）∈ {Z=0}。

我们证明▄Z：=（c+▄l - X）-χ{Z<0}∈ Z、 这与c+一起l ≥OhmX+~Z产生矛盾。回想一下，Z是线性空间，因此nZ∈ Z表示任意n∈ N、 来自新西兰≤OhmZ∨（新西兰）≤Ohm0，我们也有▄Zn：=▄Z∨ （新西兰）∈ Z、 由LemmaE编写。1、注意{Z<0} {Z<0}我们有▄Zn（ω）→对于每个ω，Z（ω）∈ Ohm. 从Z点下收敛的闭包，我们得出结论Z∈ Z、 第2步。对于给定集合a∈ FT，我们让* A是鞅度量所访问的场景集（有关更多详细信息，请参见附录中的（E.2））。我们证明了，对于任何Z∈ Z（X），D（X）=D{Z=0}*（十） 。假设{Z=0}*是{Z=0}的一个适当子集，否则，从步骤1开始，没有任何显示。来自LemmaE。6有一个策略▄l ∈ 我就是这样l ≥ 在{Z=0}上为0。引理E.5（尤其是（E.4））产生了一系列策略lt、 。ltβtwith t=1。T，使得{Z=0}={Z=0}*式中，^Z：=Z-TXt=1βtXi=1χ{Z=0}(lti）+。（D.3）请注意，仅限于{Z=0}这一策略不会产生风险，也可能产生正收益，换言之，这是一种很好的套利选择。此外，对于任何ω∈ {Z=0}\\{Z=0}*, 存在（i，t）使得lti（ω）>0。我们将证明，在无套利假设下，lti公司∈ Z表示anyi=1。βt，t=1。T特别地，从线性空间Z的晶格性质来看，我们得到了^Z∈ Z、 我们通过重复相同的论点直到t=1来说明t=t的原因，我们得到了这篇论文。我们从i开始归纳。从i=1开始。来自LemmaE。5我们有lTi公司≥ 在{Z=0}上为0，因此{lT<0} {Z<0}。定义Z：=-(lT）-≤Ohm通过使用与步骤1相同的参数，我们观察到nZ≤OhmZ∨ （新西兰）≤Ohm0新西兰∈ Z表示任意n∈ N、 发件人{lT<0} {Z<0}和Z在逐点收敛下的闭包，我们得出▄Z∈ Z、 从无套利开始，我们必须lT∈ Z、 现在假设lTj公司∈ Z每1个≤ j≤ 我-1.

来自LemmaE。5，我们有lTi公司≥ {Z上的0-圆周率-1j=1lTi=0}，因此{lTi<0} {Z-圆周率-1j=1lTi<0}。步骤1的参数可以得出以下结论：lTi公司∈ Z、 我们现在可以提出索赔。不等式D{Z=0}*（十）≤ D{Z=0}（X）=D（X）始终为真。对于矛盾，假设不等式是严格的，即存在c<D（X）和l ∈ I使c+~l(ω) ≥ 任意ω的X（ω）∈ {Z=0}*. 我们证明▄Z：=（c+▄l - X）-χOhm\\{Z=0}*∈ Z、 这与c+一起l ≥OhmX+~Z，产生矛盾。要了解这一点，请从上述参数中调用^Z∈ Z带^Z，如（D.3）所示。此外，通过（D.3），我们得到{Z<0} {^Z<0}。步骤1的参数允许得出▄Z∈ Z、 第3步。我们现在可以得出结论。固定Z∈ Z（X）和setAX，Z：={Z=0}*. 那么，D（X）=D{Z=0}（X）=D（AX，Z）*（十） =supQ∈QcaAX，ZEQ[X]，其中前两个等式来自步骤1和步骤2，最后一个等式来自命题。7.E一些技术工具。我们从一个简单但有用的可忽略性条件开始。引理E.1。考虑两个可忽略不计的索赔^Z，^Z∈ Z、 那么，任何索赔Z∈ Hsatizing^Z≤ Z≤~Z也可以忽略不计。证据根据定义，我们有，X≤ X+^Z≤ X+Z≤ X+~Z≤ 十、=> 十、~ X+Z。因此，Z∈ Z、 引理E.2。假设Z在逐点收敛下是闭合的。那么，Zi在乘法下是稳定的，即ZH∈ Z表示任意H∈ H、 证明。首先注意，Zn：=Z（（H∧n）∨-n）∈ Z、 这源于LemmaE。1和Z是圆锥体的事实。取n的极限→ ∞, 结果如下。接下来，我们证明E（Z）=0∈ Z、 引理E.3。设E为次线性期望。那么，E（c+λ[X+Y]）=c+E（λ[X+Y]）=c+λE（X+Y）（E.1）≤ c+λ[- (-E（X）- E（Y））]，对于每个c∈, λ ≥ 0，X，Y∈ H、 特别地，E（Z）=0， Z∈ Z、 证明。设X，Y∈ H、 UE的次可加性意味着UE（X′）+UE（Y′）≤ UE（X′+Y′）， X′，Y′∈ H、 即使他们取数值±∞.

UEnow产量的定义，E（X+Y）=-UE公司(-十、- Y）≤ - [UE(-十） +UE(-Y）]=- (-E（X）- E（Y））。然后，（E.1）直接来自定义。让Z∈ Z、 然后，-Z、 Z∈ P和E（Z），E(-Z）≥ 0.自-Z∈ P、 E的单调性意味着E（X-Z）≥ E（X）表示任意X∈ H、 选择X=ZT到达0=E（0）=E（Z- Z）≥ E（Z）≥ 因此，E（Z）等于零。E、 2有限时间市场我们在此回顾了Burzoni、Frittelli、Hou、Maggis和Ob l’oj（2019）的一些结果（关于框架的精确规格，请参见其中第2节）。我们得到了一个过滤空间(Ohm, F、 F）带Ohm 一个Polish空间和F，其中包含由Borel可测过程S生成的过滤。我们用Q表示过程S的鞅测度集，其支持是有限个点数。对于给定集合a∈ F、 QA={Q∈ Q | Q（A）=1}。我们定义了由鞅测度引起的场景集*:= {ω ∈ Ohm | Q∈ QAs。t、 Q（ω）>0}=[Q∈QAsupp（Q）。（E.2）定义E.4。我们这么说l ∈ 如果l = Ht·（St- St公司-1） 带Ht∈ L（X，Ft-1） 对于一些t∈ {1，…，T}。我们说a∈ I是I ffa（ω）上的一点套利≥ 0ω∈ 对于某些ω，A和A（ω）>0∈ A、 下面的引理对于集合A的特征化至关重要*套利考虑因素。引理E.5。修复任何t∈ {1，…，T}和Γ∈ F、 存在指数β∈{0，…，d}，一步策略l, . . . , lβ∈ I和B。。。，Bβ，Γ的划分，满足：1。如果β=0，则B=Γ，且不存在单点套利，即。，l(ω) ≥ 0ω∈ B=> l(ω) = 0 ω∈ B、 2。如果β>0且i=1，β然后： Bi6=, l对于所有ω，i（ω）>0∈ Bi， li（ω）≥ 所有ω为0∈ ∪βj=iBj∪ B、 我们现在使用之前的结果（对于某些固定t）来识别a*. 定义：=AAt-1： =在βt时[i=1比特，t∈ {1，…，T}，（E.3），其中位：=Bi，ΓT，βT：=βΓtar是在LemmaE中构造的集合和索引。5withΓ=At，对于1≤ t型≤ T

注意，对于相应的策略ltiwehaveA=T\\T=1βT\\i=1{lti=0}。（E.4）引理E.6。（E.3）中构建的Aas满足A=A*. 此外，在<=> A.*= A、 提案E.7。让A∈ F、 对于任何F-可测的随机变量g，πA*（g） =supQ∈QAEQ[克]。（E.5）带πA*（g） =inf{x∈ R |一∈ I使得x+aT（ω）≥ g（ω）ω∈ A.*}. 特别地，（E.5）的左侧是通过某种策略a实现的∈ 一、 参考Sacciaio，B.、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer（2016）：“资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本”，数学金融，26（2），233–251。Aliprantis，C.D.和K.C.Border（1999）：有限维分析。斯普林格。Araujo，A.、A.Chateauneuf和J.H.Faro（2018）：“定价规则揭示的金融市场结构：有效的完全市场普遍存在”，《经济理论杂志》，173257–288。Arrow，K.（1953）：“波尔·德瓦勒·布尔西（Le r^ole des valeurs boursi\'eres pour la r\'epartition lamilleure des risques），《计量经济学》，国家科学研究中心国际学术讨论会。国家科学研究中心。Artzner，P.、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath（1999）：“风险的一致性度量”，数学金融，9203-228。Bachelier，L.（1900）：《高等教育科学年鉴》，第21-86页。Bartl，D.（2019）：“无限捐赠的模型不确定性下的指数效用最大化”，《应用概率年鉴》，29（1），577–612。Bartl，D.、P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi（2017）：“具有可数个边际约束的增凸泛函的对偶性”，《数学分析杂志》，11（1），72–89。贝斯纳，P.和L。

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