奈特不确定性下的生存能力与套利

我们用较弱的条件（2.2）代替了严格的单调性假设，特别是排除了在所有支付之间不同的代理人的琐碎情况。还比较了我们在下面第4节中对生存能力概念的讨论。净交易l ∈ 如果存在相关索赔R，则I为套利*∈ R如此l ≥ R*. 更一般地说，一系列净交易{ln}∞n=1 I如果存在相关索赔，则为免费午餐，风险消失*∈ R和A序列{en}∞n=1 具有enτ的非负消耗计划的H→ 0令人满意的英语+ln≥ R*适用于所有n∈ N、 我们认为，如果没有风险消失的免费午餐，金融市场就不会发生灾难。总的来说，没有障碍并不等于没有风险消失的免费午餐。在附录C中，我们建立了有限期离散时间金融市场的等价性。两个理论第一个定理建立了生存能力与无套利的等价性。定理2.1。只有在可行的情况下，金融市场才完全没有套利。我们认为捐赠在定义上为零；这并不缺乏一般性，另请参见第4节中的讨论。我们关于风险消失的免费午餐的概念是对Kreps（1981）所用概念的修正。这与Delbaen和Schachermayer（1998）提出的概率空间框架下连续时间金融市场的概念相对应。与toKreps（1981）相比，这一概念和我们适应的vi能力概念允许证明生存能力、无套利和存在合适的定价函数的等价性。在标准文献中，经济模型是在概率空间上构建的，具有给定的参考概率P，它决定了模型的零集和拓扑结构。

在这种常见的先验模型中，当且仅当存在风险中性概率测度P形式的线性定价测度时，金融市场才是可行的*这相当于P，asHarrison和Kreps（1979）已经证明。在没有共同先验知识的情况下，我们必须使用更一般的次线性定价概念。A函数：H→ R∪ {∞}是次线性期望，如果它对于≤, TranslationVariant，即e（X+c）=e（X）+c，对于所有常量声明c∈ H和X∈ H、 和次线性，即对于所有X，Y∈ H和λ>0，我们有E（X+Y）≤ E（X）+E（Y）和E（λX）=λE（X）。如果每个R的E（R）>0，则E具有完全支持∈ R、 最后但并非最不重要的是，如果E具有鞅性质(l) ≤ 0表示每l ∈ 一、 我们认为，在满足所有上述性质的情况下，E是一个完全支持的次线性鞅期望。决策理论中众所周知，次线性期望可以写成一组概率测度上的上期望。在我们更抽象的框架中，概率测度被适当的规范化泛函所取代。我们这么说∈ H′＋是一个鞅函数，如果它满足φ（1）=1（归一化）和φ(l) ≤ 全部为0l ∈ 一、 根据概率论语言的精神，如果线性泛函对所有可忽略的断言赋值为零，我们称其为绝对连续的。我们用Qact表示绝对连续鞅泛函的集合。我们现在介绍的概念允许我们在序理论的背景下陈述资产定价基本定理的一般版本。定理2。2（资产定价基本定理）。

当且仅当存在下半连续次线性鞅期望并得到充分支持时，金融市场才可行。在可行市场中，绝对连续鞅函数集Qacis not empty and Qac（X）：=supφ∈Qacφ（X）是完全支持的下半连续的次线性鞅期望。此外，EQacis极大，在这个意义上，任何其他下半连续次线性鞅期望与完全支持E满足E（X）≤ 所有X的EQac（X）∈ H备注2.3。在非线性期望下，必须区分鞅和对称鞅；对称鞅的性质是H′是H的拓扑对偶，H′＋是H′中的正元素集。在这种普遍性中，术语“功能”更合适。当对偶空间H′可以与度量空间相识别时，我们将使用术语鞅度量。附录D讨论了这些测度是否可数相加的技术问题。过程本身及其负是鞅。在我们的上下文中，这个条件转化为等式EQac(l) = 全部为0l ∈ 一、 当净交易集I是一个线性空间，如无摩擦市场，则净交易l 以及它的负面影响-l 属于I。在这种情况下，次线性和条件EQac(l) ≤ 0适用于所有人l ∈ 我是说EQac(l) = 所有净交易为0l ∈ 一、 因此，净交易l是对称鞅。四个例子一种新颖的方法在不强加任何先验概率结构的情况下构建了金融经济学的基础，从而将骑士不确定性的新范式纳入了理论。我们用四个例子来说明模型的统一能力，从经典的风险情形到新的模糊情形。示例2.4。

（金融原子与完全市场）基本的一步二项模型，我们称之为金融原子，由世界上的两种状态组成，Ohm = {1, 2}. 元素X∈ H可通过矢量inR识别。允许≤ 通常是R的偏序。相关的断言是正的，R=P+。存在无风险资产B和风险资产S。在时间零点，两种资产的值B=S=1。利率r>-1在时间1，而风险资产在状态1中取u，在状态2中取d，u>d。我们使用无风险资产B作为数值。therisky资产的贴现净回报为l := S/（1+r）- 1、I为^所跨越的线性空间l. 当且仅当状态onep鞅概率的唯一候选者*=1+r- 杜邦- dbelongs to（0，1），相当于u>1+r>d。p*导出了唯一鞅测度P*带着期待*[十] =p*X（1）+（1）- p*)X（2）。P*是一个线性度量；此外，自年以来，该公司拥有全部支持资产∈ R我们有E*[R] >0。单一代理经济体的市场是可行的a={*} 其中偏好关系*由线性期望P给出*, i、 e.X公司*Y当且仅当E*[X]≤ E*[Y]。事实上，在这种偏好下l ~*0表示任何l ∈ I和X*任意X的X+R∈ H和R∈ P+。特别是l ∈ 我是一个最优的投资组合，市场是可行的。上述分析一直延续到最后Ohm 以及完善的金融市场。示例2.5。（埃尔斯伯格市场）我们借助一个受埃尔斯伯格思维实验启发的市场，即经济学和决策理论中模糊性的原型实例，阐释了我们在生存能力定义和定理2.2中使用的概念。在这些实验中，如果参与者不知道确切的成分，则称urn为模糊。

为了简单起见，假设我们建立了一个包含黑色和红色球的模糊urn模型；让我们知道红球的比例在区间内[p*, p*]  [0, 1]. 有限状态空间如下所示：Ohm := {红色，黑色}。商品空间H=ROhm功能集是否打开Ohm 按常规顺序。考虑这样一种说法，即如果抽到一个红球，就要付一美元，即X（ω）=如果ω为红色，则为1；如果ω为黑色，则为0。与无摩擦的金融原子不同，我们现在假设，由于模棱两可，资产可以以p的价格购买*以p价出售*> p*. 然后，净交易集由正锥（而不是线性子空间）给出，该锥由l（ω） =X（ω）- p*和l（ω） =p*- X（ω），即i={λl+ ul: λ、 u≥ 0 } .设Ppbe为事件{red}分配概率p的度量。风险中性的主观预期效用主体的偏好与这种主观信念ppp表示为p、 对于这个金融市场，QAC给出的一组绝对连续鞅期望Qaci={Pp；p∈ [p*, p*]}.代理集A*= {pp∈ [p*, p*]} 从我们的生存能力定义的角度支持这个市场。相应的次线性鞅期望由（ξ）=max{Ep给出*[ξ] ，Ep*[ξ] }.与无摩擦、无歧义和完整的金融原子不同，我们现在有一系列异构的风险中性代理*支持市场（而不是唯一的风险中性代理）。模型的模糊度（或不精确的概率信息）由次线性优先级函数E（ξ）描述。相应的模糊厌恶Gilboa Schmeidler代理的引用由效用函数ugs（ξ）：=infp表示∈[p*,p*]Ep[ξ]。我们有UGS(l) ≤ 全部为0l ∈ 一、 当0<p*< p*< 1、UGSis严格单调，支持市场。

然而，请注意，当p*= 0或p*= 1、具有效用函数UGS的代理不再支持市场，因为严格单调性失效。在当今受监管的金融市场中，当银行考虑到其算法的模型不确定性或模糊性，并进行大量压力测试以计算可能的价格区间，比较Tzner、Delbaen、Eber和Heath（1999）对此类实践的早期解释时，这种定价行为是很自然的。示例2.6（多优先级）。奈特的不确定性导致了一种框架，在这种框架中，单一的模糊厌恶者或预期效用最大化者可能无法支持给定的无套利市场。考虑一个只允许在时间零点进行交易的一步式金融市场。假设潜在的金融市场回报过于模糊或非平稳，无法通过单一概率分布进行准确估计或建模，但代理人愿意对一系列可能的回报模型采取立场。这种关于资产收益分布的不精确概率信息的情况可以用一组可测量空间上的先验Q来建模(Ohm, F） 。设公共序为先验族诱导的准确定序，即X≤ Y<=> Q（X）≤ Y）=1， Q∈ Q、 然后，事件A Ohm 如果Q（A）=0，则每个之前的Q都是可忽略的∈ Q、 代表该市场中所有索赔的公共空间由h=\\Q给出∈QL系列(Ohm, Q） 。由于LSpace被定义为等价类，H中的两个声明如果仅在一个可忽略的集合上存在差异，则属于同一等价类。调用索赔R≥ 0如果集合{R>0}不可忽略，即R=P+，则相关。净交易集可以是inI={l ∈ H：等式[l] ≤ 0 Q∈ Q}。有人可能会猜测，具有实用函数ugs（X）：=infQ的单个Gilboa Scheidler代理∈QEP【X】，X∈ h支持金融市场。

然而，只有当该代理满足单调性条件（2.2）时，该代理才会支持金融市场，即每R一个UGS（R）>0∈ R、 这种单调性意味着所有先验都必须具有相同的集合。确实，假设有两个先验P，P∈ Q和满足P（A）>0=P（A）的事件。那么，A是不可忽略的，因此，该laim R=χAis是相关的。另一方面，UGS（χA）=0表明当存在具有不同空集的先验时，Gilboa-Schmeidler代理不是严格单调的。类似地，假设单个代理具有线性偏好关系q由主观预期效用函数U（X）=等式[X]给出，用于先前的q支持金融市场。假设A是Q的一个空集。然后，在最近的一篇论文中，Bartl（2019）分析了这种离散时间模型中的投资组合和消费选择。这些事件在准确定性分析的数学文献中被称为极性事件。请注意，如果我们用任何一组与Q等价的概率度量来定义UGS，同样的结论也成立。我们采用风险中性代理来实现复杂性。对于具有标准伯努利效用函数的风险厌恶者来说，这种观点也成立。χA和零索赔之间没有差异。因此，单调性条件（2.2）意味着χA不相关，A必须可以忽略不计。由于每个先验的可忽略集都是空的，我们得出结论，Q的空集和可忽略集是重合的。我们的结论是，我们需要重新考虑模型中的生存能力概念，这些模型不允许用单个概率度量来描述可忽略的集合。特别要注意的是，异构代理家族{Q} Q∈Qwith LINEARPEREFERFENCES由一组先验参数Q诱导，支持金融市场。示例2.7（波动性不确定性）。

在经典的Samuelson-Merton-BlackScholes模型中，股票价格是一个几何布朗运动，满足随机微分方程dSt=σstdbtw，其中B是一个标准布朗运动，σ是一个正常数，用于建模波动性。人们普遍认为，波动率是时变性和随机性的，经验证明也是如此；人们依次提出了各种复杂的基本动力学随机模型。有人可能会质疑，假设代理可以唯一地识别其中一个模型是否合理，尤其是当相关波动率无法直接观察到时。因此，robustmodeling方法允许使用整个类别的波动率模型。让我们考虑一个对价格过程的波动性具有奈特式不确定性的金融市场，如inEpstein和Ji（2013）关于基于消费的资产定价和Vorbrink（2014）关于期权定价所述；任何在一定区间内取值的自适应过程σ[σ，σ]都是一个似是而非的挥发性过程。我们用∑表示此类；对于给定σ∈ ∑，我们假设Pσ是股票价格过程的相应分布。因此，关于可用性的模糊性由先验集M={Pσ：σ建模∈ Σ}. TakeR=P+，并通过将I取为所有随机积分的集合来建模金融市场，其中简单的被积函数从下方有界。在这种情况下，M中的先验值不是相互等价的；事实上，它们通常是单数的。单一的概率空间框架无法捕捉波动率的不确定性。在大多数金融模型中，引用概率的假设是出于技术原因，以便能够应用Girsanov定理。对扩散模型中单个概率空间框架的限制限制限制了可能的模型集；此类模型只能捕捉漂移不确定性，而不能捕捉波动不确定性。

如果想要捕捉到涉及跳跃的更复杂的金融模型，这个问题就变得更加相关。由于可忽略的M集无法通过任何单一的概率度量生成，因此经典的概率空间框架并未涵盖该金融市场。然而，异种药物家族{σ}σ∈∑由先验Pσ引起的，确实支持了金融市场。实际上，对于每个先验Pσl ∈ I是Pσ-局部鞅，因此是EPσ[l] ≤ 从Heston模型（Heston（1993））开始，整个文献探讨了evermore complex dynamics，seeGhysels，H arvey和Renault（1996）的概述。我们请读者参考Soner、Touzi和Zhang（2012、2013）的所有技术细节，特别是{Pσ：σ的正式构造∈ ∑}及其ubtle性质。我们现在讨论brie fly，这是一个示例的变体，在该示例中，相关权利主张集源自偏好。在第一步中，让我们考虑那些没有锋利的波动率模型，但愿意对任何参考波动率σ使用统计学中称为“-污染”（Huber（1965））和决策理论（Eichberger和Kelsey（1999））中称为“-污染”的稳健版本的代理∈ ∑和污染度>0，let∑σ，：={σ∈ ∑：kσ- σk∞≤ }描述接近σ的波动率模型集。-污染偏好σ、 由效用函数suσ表示，（X）：=infσ∈∑σ，EPσ[X]。我们使用这些偏好通过设置R={R来定义相关声明集，如下所示∈ P+：Uσ，对于某些σ，（R）>0∈ Σ,  > 0}.因此，如果对某个事件的押注对某些具有-污染偏好的模糊厌恶者来说很重要，那么对该事件的支付是相关的。这个技术上更复杂的模型也包含在我们的框架中。确实，对于σ∈ ∑和l ∈ 一、 EPσ[l] ≤ 0，因此Uσ，(l) ≤ 0，证明了最优性条件（2.1）。

R的定义直接表明，异源代理家族满足单调性条件（2.2）{σ,}{σ∈Σ, >0}.3有效市场假说有效市场假说（EMH）在金融经济学史上起着基础性作用。Fama（1970）认为，如果所有可用信息都正确反映在当前资产价格中，那么市场信息效率就很高。这个猜想有几种解释；在其出现后的早期，有效市场假说通常被解释为资产价格是随机游走的，即（对数）回报独立于过去，并以平均回报等于安全债券回报的身份分布（Malkiel（2003））。后来，资产价格的信息效率被解释为鞅性质；（有条件的）所有资产的预期回报率等于某种概率度量下的安全债券回报率。这种关于金融市场是一场“公平游戏”的猜测可以追溯到托巴切利尔（1900），保罗·萨缪尔森（Samuelson（19651973））重新发现了这一点。在动态环境中，市场效率因此与（公开可用的）信息密切相关。在奈特不确定性下，需要适当调整信息的作用和价格的鞅性质，我们将在本节中看到这一点。我们参考Jarrow和Larsson（2012）对不同信息集与市场效率之间的相互作用进行了详细分析。在我们的框架中，信息流视为给定；它隐含在可用权利主张集I中。我们不考虑内幕人士的私人信息问题。在本节中，我们假设我们有一个无摩擦的单周期或离散时间多周期金融市场，如例4.1所示。