奈特不确定性下的生存能力与套利

我们的模型包括很多交易期的情况。设F：=（Ft）Tt=0为过滤(Ohm, F） S=（St）Tt=0是一个适应的随机过程，对于某些J值为RJ+≥ 1.S对不确定资产进行建模。我们假设利率为零的无风险债券也被给出。然后，净交易的集合可以用交易过程的收益来描述：l ∈ 假设存在可预测的被积函数Ht∈L(Ohm, 英尺-1)Jfort=1，因此，l = （H·S）T：=TXt=1Ht·St，其中St：=（St- St公司-1).在无摩擦的情况下，净交易集是H的一个子空间。一般来说，可以对可接受的交易策略集施加限制。例如，可以排除卖空风险资产，或对代理人的信用额度施加限制；在这些情况下，上市子空间I是一个凸锥，CompareLattmer（1996）、Jouini和Kallal（1995）以及Araujo、Chateauneuf和Faro（2018），例如3。在Harrison和Kreps（1979）中，市场由marketedspace M描述 L(Ohm, F、 P）和M上的（连续）线性泛函π。在这种情况下，I是价格系统的核，即I={X∈ M：π（X）=0}。4、在连续时间内，净交易集由formI=（ZTθu·dSu：θ）的随机积分组成∈ Aadm），以获得一组合适的可接受策略Aadm。这样的一组可能有几种。

当股票价格过程S是半鞅时，Aadmis的一个例子是所有S-可积、可预测过程的集合，其积分从下有界。AADM的其他典型选择仅包括简单的被积函数；当S是一个连续过程，而Aadmis是一组具有有限变化的过程时，则可以通过零件分解来确定上述积分（seeDolinsky和Soner（2014a，2015））。一般来说，缺少共同先验知识会对未定权益和净交易的可积性提出一些非平凡的技术问题。显然，可以将商品空间限制为有界可测函数类（对于任何先验函数都是可积的）。条件I H在某些应用中可能会受到限制，我们在附录B中提供了克服这一困难的方法。在连续时间内，为了避免加倍策略，必须对随机积分施加一个下界（可能比上面更一般）。在这种情况下，集合I不是线性空间。哈里森和克雷普斯的生存能力（1979年）；Kreps（1981），“生存能力”是通过一个具有严格单调偏好关系的代表性个体来定义的。我们允许许多具有弱单调偏好的代理，但整个家族满足严格的单调条件（方程（2.2））。我们证明，在经典案例中，可以证明与Harrison和Kreps相同的结果，在涉及奈特不确定性的新案例中，可以很容易地获得与Epstein-Ji模型中相同的结果（示例2.7）。从经济学的角度来看，我们对生存能力的定义与经济均衡的直觉想法并不矛盾，因为这一想法确实考虑到了许多代理和弱单调的偏好。

因此，我们相信，我们新定义的使用是合理的（其有用性通过我们抽象定理的证明来说明）。读者可能会注意到，我们的均衡概念并没有明确地为禀赋建模，因为我们假设零交易对每个代理人都是最优的。这种简化的方法在我们的上下文中不会失去通用性。一般来说，代理是由偏好关系给出的∈ A和捐赠e∈ H、 给定净交易集，代理选择l*∈ I使e+l* e+l 福尔l ∈ 一、 通过适当修改偏好关系，这可以降低到零禀赋下零贸易的最优值，以获得适当修改的偏好关系。让X′Y当且仅当X+e+l* Y+e+l*. 这很容易检查′也是一个可容许的偏好关系。对于newpreference关系′, 然后我们有0′l 当且仅当e+l* e+l*+ l. AsI是一个圆锥体，l + l*∈ 一、 我们得出结论，我们确实有0′l 对于所有人l ∈ 一、 次线性期望我们的资产定价基本定理利用非加性期望E描述了没有套利的情况。在决策理论中，非加性概率有着悠久的历史；Schmeidler（1989）介绍了基于非加性概率的期望效用理论的扩展。Gilboa和Schmeidler（1989）广泛使用的最大-最小期望效用模型是另一个例子。如果我们将支付的主观预期定义为一类先验上的最小预期支付，那么由此产生的预期概念具有预期的一些共同属性，如单调性和常数保持性，但不是长期相加的。在我们的案例中，非加性预期比主观预期更客观，因为它描述了市场的定价功能。

它将非正价值分配给所有净交易；在这个意义上，净交易在这个期望下具有（超）鞅性质。如果为了讨论的目的，我们假设净交易集是一个线性子空间，那么PricingFunction必须是该子空间上的加法函数。因此，在次线性定价预期下，所有净交易的价值为零。对于市场子空间之外的未定权益，市场的定价操作是次加性的。虽然加性概率测度足以描述概率模型中的可变市场，但在不确定性情况下，更明智的做法是考虑预期的非加性概念，例如在示例2.5的框架中，因为它允许充分描述市场价格的模糊性。相关索赔我们使用相关索赔的概念来概括将套利定义为正净交易的典型方法。这种方法引入了一些额外的灵活性，并允许涵盖文献中讨论的各种套利概念。例如，如果一些积极的索赔不能在没有成本的情况下清算，那么如果清算成本大于潜在收益，代理商就不会将实现此类支付的净交易视为免费午餐。因此，有理由认为只有一类有限的积极债权才是相关的，可能只有现金。此外，相关支付确定了一些市场参与者严格倾向于零计划的非负性消费计划。用于用奈特不确定性建模市场的商品空间可能相当大，例如，当我们使用所有有界、可测函数的空间时。

在这样的模型中，处理一组小于正面声明锥的相关声明是有意义的，另请参见示例2.7。我们通过将我们的工作与数学金融学的最新成果联系起来，说明了相关索赔概念的有用性。我们的方法为“稳健”或“无模型”融资中无套利的描述提供了微观经济学基础。允许Ohm 是具有逐点序的度量空间≤. 在金融文献中，这种方法被称为独立于模型的，因为它不依赖于任何概率测量。当然，还有一个模型Ohm 以及逐点顺序。声明是非负的，X∈ P、 如果X（ω）≥ 每ω0∈ Ohm 和R∈ P+ifR∈ P存在ω∈ Ohm 使得R（ω）>0。文献中使用了几种不同的套利概念。我们的框架允许在相关索赔概念的帮助下，将这些不同的方法统一到一个框架下。我们从以下一大组相关索赔开始：=P+={R∈ P:ω∈ Ohm 使得R（ω）>0}。有了这种相关性的概念，一个投资机会l 是套利，如果l(ω) ≥ 0表示每个ω，其中一些ω具有严格不等式，对应于IEDEL（2015）中考虑的一点套利的通知。在这种情况下，无轨道等价于存在一组鞅测度Qopso，对于每个点都存在Q∈ q将正质量施加到该点。其他作者（Burzoni、Frittelli和Maggis（2016）；Riedel（2015）；Dolinsky和Soner（2014b））引入了开放式套利的概念。在概率空间框架中，零集族定义为“小”，即可忽略的事件。

贝斯纳（Beissner）和里德尔（Riedel）（2019）在这种非加性定价函数的基础上开发了一个一般均衡模型。在一些技术复杂的模型中，只有次线性泛函可以是严格正的。也可以比较一下Burzoni、Frittelli和Maggis（2016）中的类似方法。在参考概率中，区分大小事件可能仍然是合理的。当存在拓扑时，可以将“小”事件定义为具有空内部的闭集（Baire firstcategory set）的可数并集。然后将开放集视为相关。然后我们可能会打电话l ∈ 如果开放集上的非负且严格为正，则为开放套利。这种情况可以在我们的框架中建模，要求相关的索赔是连续的、非负的函数，这些函数在某个地方不同于零，即Ropen：={R∈ Cb公司(Ohm) ∩ P:ω∈ Ohm 使得R（ω）>0}。很明显，当R∈ 那么它在开集上是非零的。Acciaio、Beiglb¨ock、Penkner和Schachermayer（2016年）定义了一个在任何地方都为正的豆子套利主张，在我们的模型中，对应于选择者+：={R∈ P:R（ω）>0， ω∈ Ohm } .Bartl、Cheridito、Kupper和Tangpi（2017）认为相关索赔的概念稍强一些。他们的选择isRu={R∈ P:c∈ （0，∞) 使R≡ c}。（4.1）因此，l ∈ I是一致正的套利，有时称为非对称套利。注意，对于选择Ru，套利和风险消失的免费午餐的概念是等价的。5定理（H，τ，≤ 一、 R）是给定的金融市场。回想一下，（H，τ）是一个可度量的拓扑向量空间；我们为它的拓扑对偶写H′。

我们假设H′＋是所有正泛函的集合，即∈ H′+，前提是Д（X）≥ everyX为0≥ 0和X∈ H、 下面的泛函将超复制泛函的概念从概率推广到我们的序理论框架。它在我们的分析中起着中心作用。对于X∈ H、 letD（X）：=inf{c∈ R:{ln}∞n=1 一、 {en}∞n=1 H+，enτ→ 0，（5.1），使c+en+ln≥ 十} 。无套利条件中，RUI最弱，ROPI最强。第一个等价于鞅期望附近存在一个子指数。后者等价于存在一个次线性期望，该次线性期望对所有点都具有正测度。一般来说，基于R+的无套利条件并不等于没有统一套利。然而，没有一致套利意味着存在一个与市场一致的线性有界泛函。特别是，风险中性函数对Ru是积极的。此外，如果集合I足够大，则可以证明风险中性泛函已经上升到可数相加测度。Inaciaio、Beiglb¨ock、Penkner和Schachermayer（2016年），通过将集合I中的所谓“权力期权”作为静态对冲可能性，比较alsoBartl、Cheridito、Kupper和Tangpi（2017年），得出了这一结论。注意，D是实值扩展。特别是，它需要+∞ 当没有超级复制的投资组合时。它可能还需要-∞ 如果没有下限。我们首先观察到，没有风险消失的免费午餐可以用一句话来描述，即超级复制功能的Dassigns对所有相关声明都具有严格的正值。提案5.1。如果且仅当每R的D（R）>0时，金融市场完全没有套利∈ R、 证明。假设{ln}∞n=1 我是一顿免费的午餐，风险微乎其微。

然后是isR*∈ R和{en}∞n=1 H+带enτ→ 0，以便en+ln≥ R*. 根据定义，我们得到D（R*) ≤ 为了证明相反，假设D（R*) ≤ 某些R为0*∈ R、 然后，定义D（R*) 意味着有一个实数序列{ck}∞k=1，带ck↓ D（R*), 净交易额{lk、 n}∞n=1 一、 和{ek，n}∞n=1 H+带ek，nτ→ n为0→ ∞ 例如CK+ek，n+lk、 n个≥ R*,  n、 k级∈ N、 设Br（0）为半径r中心为零的球，其公制相容性为τ。对于每个k，选择n=n（k），使ek，n∈ 黑色（0）。设置▄lk： =lk、 n（k）和ek：=ek，n（k）+（ck∨ 0). 然后，▄ek+▄lk≥ R*自▄ekτ起，每k→ 0,{~lk}∞k=1是一顿免费午餐，风险消失。很明显，D是凸的，我们现在使用凸对偶的工具来更详细地描述这个泛函。回顾第2节中定义的绝对连续鞅泛函集Qacde。提案5.2。据统计，金融市场完全没有套利。然后，（5.1）中定义的超级复制函数D是一个具有完全支持的下半连续次线性鞅期望。此外，D（X）=supД∈QacД（X），X∈ H、 该声明的技术证明见附录A。重要的见解是，超级复制函数可以用一系列线性泛函来描述。在概率设置中，它们对应于（绝对连续）鞅测度族。借助这种对偶性，我们现在能够证明我们的第一个主要定理。定理证明2.1。首先假设市场是可行的，对于一些*∈R、 有序列{en}∞n=1 H+和{ln}∞n=1 I带enτ→ 0，安登+ln≥ R*. 根据生存能力，有一系列代理{a} a∈A. A对某些人来说是这样的A∈ A我们有R*a0.自≤ 是与向量空间运算兼容的预序，我们有-en+R*≤ ln、 作为一∈ A对于≤, 我们有-en+R*一ln

根据零贸易的最优性，lna0，我们得到-en+R*a0.通过下半连续性a、 我们的结论是*a0，矛盾。假设现在市场完全没有套利。根据命题5.1，D（R）>0，对于每个R∈ R、 特别是，这意味着族Qacis非空，否则qacw上的上确界将为-∞. 对于每个Д∈ Qac，定义由，X^1Y，<=> ^1（X）≤ ^1（Y）。可以直接验证^1∈ A、 此外，^1(l) ≤ ^1（0）=0，对于任何l ∈ 这意味着l*^1=0最适合^1和（2.1）已满足。最后，命题5.1和命题5.2意味着对于任何∈ R、 存在^1∈ QacsuchthatД（R）>0；因此，（2.2）是令人满意的。我们推断{φ}φ∈QAC支持金融市场（H，τ，≤, 一、 R）。前面的论点也暗示了我们对资产定价基本理论的看法。事实上，在没有套利的情况下，超复制函数是一个具有完全支持的下半连续次线性鞅期望。凸对偶允许证明相反。定理2.2的证明。假设市场是可行的。从定理2.1来看，它完全没有套利。从命题5.2来看，超复制函数是具有完全支持的期望下半连续次线性鞅期望。现在假设E是一个具有完全支持的下半连续次线性鞅期望。特别地，E是一个凸的、下半连续的真泛函。然后，根据Fenchel-Moreau定理，E（X）=sup^1∈dom（E*)^1（X），其中dom（E*) = {φ ∈ H′：Д（X）≤ E（X）， 十、∈ H}。在定理2.1的证明中，我们可以继续验证（H，τ，≤, 一、 R）使用参考关系{φ}φ∈dom（E*).我们最终展示了EQac的最大值。设E是一个具有完全支撑的下半连续次线性鞅期望。

借助于E的鞅性质，我们可以显示，如在Lemma中。5，每∈ dom（E*)是鞅泛函。因为E对于≤, 我们还得出结论，对于可忽略不计的报酬，ν消失。因此，我们获得了dom（E*)  Qac。根据EQac的上述双重表示，E（X）≤ EQac（X）每X∈ H继续。6结论本文在不假设概率空间框架的情况下研究了给定金融市场的经济可行性。我们表明，在共同秩序的基础上，可以理解经济生存能力的等价性和无套利的等价性；这个顺序（通常是不完全的）是一致的，因为代理的偏好对于toit是单调的。当且仅当次线性定价函数与给定资产价格一致时，给定的金融市场才可行。公共秩序的性质反映在预期的平衡回归中。当公共序由某个公共先验下的期望值给出时，该先验下的期望收益必须在均衡状态下相等，因此，Fama的有效市场假说就产生了。如果公共序是由某个公共先验下的几乎确定序决定的，那么我们得到了有效市场假设的弱形式，即在与公共先验共享相同空集的某个（鞅）测度下，预期收益是相等的。在骑士式的不确定性情况下，对所有代理人强制规定共同先验可能过于苛刻。当奈特不确定性用一组先验描述时，有必要用次线性期望代替线性（鞅）期望。这样就不可能再得出这样的结论，即在某种概率度量下，预期收益是相等的。因此，奈特不确定性可能是对经验上违反有效市场假说的一种解释。