盈余不变风险度量

（2018），在法律不变性的附加属性下，仍然可以确保每个Orlicz空间中的等价性。在这种情况下，Fatou性质也相当于关于（通常更）粗糙拓扑σ（LΦ，HΦ）的下半连续性*) 和σ（LΦ，L∞). 我们的下一个结果表明，如果我们用剩余不变性（服从正性）代替定律不变性，同样的结论成立。定理38。如果ρ：LΦ→ R∪ {∞} 是拟凸、剩余不变和单调还是凸x、剩余不变服从正、单调和S-ad与S的微分∈ LΦ+\\{0}，则以下状态ts等价：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。（c） ρ是σ（LΦ，LΦ*) 下部半连续。（d） ρ是σ（LΦ，HΦ*) 电源半连续。（e） ρ是σ（LΦ，L∞) 下部半连续。我们转向稳健模型空间。在Maggis et al.（2018）中，作者研究了L∞cvia双空间cac。这里，我们证明了盈余不变性（服从正性）允许我们在Lpcvia ca上建立风险函数的双重表示∞c、 这很有吸引力，因为ca∞CAC中与具有有界RadonNikodym导数的P和t直接相关的“nice”34个盈余不变风险度量元素的分量。为此，我们首先需要证明∞cis a分离理想值（Lpc）~n、 引理39。se t ca公司∞cis a分离理想值（Lpc）~对于每1个≤ p≤ ∞.证据我们从引理35知道∞cis是cac的理想值=（L∞c）~n、 因此，假设1≤ p<∞. 我们首先表明∞c （Lpc）~在上述二元性下。为此，取任意u∈ 加利福尼亚州∞c在不损失一般性的情况下，假设u≥ 0.Let（Xα） （Lpc）+和X∈ （Lpc）+Xα↑ Lpc中的X。必须显示hXα，ui↑ hX，ui。假设存在一些ε>0，使得hXα，ui≤ hX，ui-ε表示所有α。

在这种情况下，hXα∧n、 ui≤ hX，ui-ε表示所有n∈ N和α。自Xα起∧n↑ 十、∧n在Lpc中，因此在L中∞c、 自从加利福尼亚州∞c （L）∞c）~在我们的假设下，我们看到hXα∧ n、 ui↑ hX公司∧ n、 ui.这意味着hX∧ n、 ui≤ hX，ui- ε表示所有n∈ N、 出租N→ ∞, 我们遇到了矛盾。这证明了ca∞c （Lpc）~n、 我们声称ca∞cis理想值（Lpc）~n、 要显示这一点，请使用∈ （Lpc）~nandu∈ 加利福尼亚州∞C如|Д|≤ |u|. 通过考虑Д+和Д-通过将u替换为u，我们可以假设≥ 0以及u≥ 0，因此0≤ φ ≤ u. 对于每个E∈ F定义ν（E）=Д（1E）。取成对不相交序列（En） F、 自1起∪nk=1Ek↑ 1.∪∞k=1Ek，我们有nXk=1ν（Ek）=nXk=1Д（1Ek）=nXk=1Ek！=φ(1∪nk=1Ek）→ φ(1∪∞k=1Ek）=ν(∪∞k=1Ek）。换句话说，ν是一个可数相加的有限度量。很明显，当v（E）=0时，v（E）=0，所以v∈ cac。现在，每X∈ （Lpc）+我们可以找到一系列简单函数（Xn） （Lpc）+使Xn↑ 十、 因此，ν（X）=limn→∞^1（Xn）=limn→∞Eν【Xn】=Eν【X】。这就产生了所有X的ν（X）=Eν[X]∈ Lpcand表明，在我们的二重性中，ν与ν是一致的。显然，0≤ ν ≤ u，意味着ν∈ 加利福尼亚州∞csince ca公司∞cis是cac的理想选择。显示ca∞C每1个分离LPC的点≤ p≤ ∞, 需要注意的是，f或每个非零X∈ 对于某些P，Lpcwe的P（X 6=0）>0∈ P和thushX，uP，Zi 6=0，其中，如果P（X>0）>0，则Z=1{X>0}，否则Z=1{X<0}。根据前面的引理，Fatouproperty的anno-unded对偶刻画是定理21和29的直接结果。盈余不变风险测度35定理40。让1≤ p≤ ∞. 如果ρ：Lpc→ R∪ {∞} 是拟凸的、剩余不变的、d单调的或凸的、剩余不变的，服从于正性、单调e和S加S∈ （Lpc）+\\{0}，则以下语句等价：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。（c） ρ是σ（Lpc，ca∞c） 下部半连续。备注41。

（i） 地形yσ（Lpc，ca∞c） 可视为拓扑σ（Lp，L）的“稳健”对应物∞) 在占主导地位的情况下。（ii）前面的结果强调了定理21和29的威力。在这种情况下，我们不知道如何表示阶连续对偶（Lpc）~以一种易于驾驭的方式。然而，这不是问题，因为我们可以选择任意的分离理想，如ca∞cto自动确保较低的半连续性。（iii）注意，与支配情况不同，（超级）Fatou属性不能用序列表示，因为基本向量格一般不能满足可数sup属性。为了确保这一点，必须施加附加条件，如ρ的子级集的P敏感性，见Maggis et al.（20 18）。4.2. 剩余不变泛函的推广。风险度量的标准理论最初是在空间L的背景下发展起来的∞. 由于金融和保险中使用的标准分布（如正态分布）不受有界随机变量的支持，因此从理论和实践角度来看，将风险度量的定义范围扩展到有界头寸的设定之外是至关重要的。更具体地说，人们对某类风险度量的“规范”或“自然”模型空间感兴趣，即对于给定类别的定义属性仍然满足的最大模型空间。这一问题已在许多研究中进行了研究，包括Delbaen（2002）、Delbaen（2009）、Filipovi\'c和Svindland（2012）、Pichler（2013），Liebrich和Svindland（2017）。定理24和32中的一般推广结果可用于证明L上定义的每个剩余不变泛函∞可以在不失去单调性（拟）凸性和Fat-ou性质的情况下推广到整个空间。

如果我们将剩余不变性减弱为服从正性的剩余不变性，但需要S-加性，则同样的结论成立。这揭示了盈余不变泛函与其他类别风险度量相比的一个显著方面，对于其他类别的风险度量，36个盈余不变风险度量通常不可能确保扩展到空间L之外。本着菲利波维奇和斯文德兰（20 12）的精神，因此，可以说剩余不变量泛函的cano-nical模型空间是L。由于我们的晶格方法的通用性，我们实际上可以在ro-bust设置中直接建立扩展结果，而不需要额外的影响。从L开始的扩展∞Tol对应于P={P}的特殊情况。定理42。考虑一个具有Fatou性质ρ：L的拟凸单调泛函∞c→ R∪ {∞}.（i） 如果ρ是剩余不变的，那么它可以唯一地推广到一个具有Fatou性质的拟凸剩余不变单调泛函ρ：Lc→ R∪{∞}. 特别是，对于每个X∈ Lcwe有ρ（X）=limn→∞ρ(-十、-∧ n） ）。如果ρ是额外凸的，那么ρ也是凸的，并且对于每个X∈ Lcwe有ρ（X）=supu∈（加利福尼亚州∞c）+Eu[X-] - ρ*(u),式中ρ*（u）=supX∈L∞cEu[-X]- ρ（X）.（ii）如果ρ是S-加性w i th S∈ （L）∞c） +\\{0}和盈余不变量服从正性，则它可以唯一地推广到具有Fatou性质ρ：Lc的凸单调泛函→ R∪ {∞} 这是S-ad抖动，剩余不变量服从正性。特别是，对于每个X∈ Lcwe有ρ（X）=inf{m∈ R-（X+毫秒）-∈ clo（A-)},其中A={ρ≤ 0}. 如果ρ是额外凸的，那么so是ρ，并且对于每个X∈ Lcρ（X）=supu∈（加利福尼亚州∞c） +，Eu[秒]=1Eu[-X]- ρ*(u),式中ρ*（u）=supX∈L∞cEu[-X]- ρ（X）.证据注意，对于每个X∈ Lc，序列的上确界（| X|∧ n1型Ohm) 由对应的逐点上确界表示的等价类给出。

因此，1Ohm是L中的弱序单位，由1生成的主理想Ohm很容易与L重合∞c、 该主张随后应用定理24和32。盈余不变风险度量374.3。剩余不变集的分解。在本节中，我们将定理12中建立的分解结果指定为随机变量的框架。我们关注鲁棒模型空间中的一般公式。作为初步观察，回顾一下∞根据我们的假设完成cis订单∞c=（cac）*因此，Lcis的每一个理想也是由引理34完成的。特别是，lc的每一个理想都具有投影性质。在接下来的内容中 L和每个E∈ F我们使用符号a：={1EX；X∈ A} 。引理43。Le t X是Lc的理想选择。当某些E的X的每条带都是1EX形式时∈ F、 证明。对于每个E∈ F、 因为X=1EX⊕ 1EcX，因此B是（投影）带。现在，让B是X的一个带。自L起∞cis订单完成，我们有∞c=（B∩ L∞c） dd公司⊕ （B）∩ L∞c） d，其中不相交的补码都取在L中∞c、 让1Ohm= U+V，其中U∈（B）∩ L∞c） dd+和V∈ （B）∩ L∞c） d+。设置E={U>0}并使用该U∧ V=0，可以看到U=1和V=1。如果X∈ B+，然后是X∧ 1.Ohm∈ B∩ L∞c （B）∩ L∞c） dd，所以0=（X∧ 1.Ohm) ∧ 1Ec=X∧ 1Ec因此X=X1E∈ 1EX。这证明了B 1EX。相反，取X∈ 1EX和假设，但不丧失一般性X≥ 因为X是完全的，所以X=B⊕ Bd，其中Bd是X中B的不相交补。写入X=Y+Z，其中Y∈ B+和Z∈ Bd+。请注意，Z∧ 1.Ohm∈ L∞坎德（Z∧1.Ohm)∧|W |=每W为0∈ B∩ L∞c、 然后，Z∧1.Ohm∈ （B）∩L∞c） d，所以0=（Z∧ 1.Ohm) ∧ 1E=Z∧ 1E。这将产生Z1E=0。此外，0≤ Z≤ 十、∈ 1最大值Z1Ec=0。因此，我们得到Z=0和X=Y∈ B、 这证明了1EX B、 总结证据。

下一个分解结果扩展了Koch-Medina et al.（2017）中的定理3，该定理是为Lby的一类特殊子空间建立的，通过一个方便的穷举论证。在这里，我们将分解扩展到robustmodel空间Lc的任意理想。特别是，由于缺乏可数支持，在我们的案例中不能应用穷竭论证。通过设置P={P}，可以简单地得到LCA的任意理想的情况。定理44。设X是Lc的一个概念l。对于任意凸阶闭剩余不变单调s t A X我们找到的可测分区{E，E，E}Ohm a=1EX时+⊕ 1E（X+- D）⊕ 1EX，38剩余不变风险度量，其中D是1EX+的凸阶闭径向有界子集，该子集在X+中是实心的，并且对于每个E∈ F带E EAN和c（E）>0存在X∈ D，其中1EX 6=0。如果额外假设A为con e，则c（e）=0。事件Eis是唯一确定的（直到对c-null集进行修改）。如果X包含sOhm, 然后，EAN和Eare也是唯一确定的（直到对c-null集进行修改）。证据自Lc=（X）dd起⊕ （X）d，存在E∈ F使得（X）dd=1elc和（X）d=1EcL。它跟在t的后面 1对于每个F∈ F带F E和C（F）>0，我们有1F∧对于某些X，X>0∈ 十、现在，应用定理12，我们得到E的唯一可测划分{E′，E，E′}，这样a=1E′X+⊕ 1E（X+- D）⊕ 1E′X对于某些D 1倍以上，满足所需性能。最后，设置E=E′∪ E和E=E′或E=E′和E=E′∪ 欧共体。4.4. 正锥实子集的双极定理。在本节结束时，我们展示了我们关于实体集的一般结果，可以用来推导Brannath和Schachermayer（1999）提出的双极性定理的简单“基于晶格”的证明。

首先，我们强调以下正随机变量实数集的封闭性概念之间的等价性，这些实数集在序列意义上都低于od。这是引理7和定理8的直接结果。提案45。设X是L的理想。对于凸集C X+在X+中是实心的，以下g是等价的：（a）C在X中关于支配几乎确定收敛是闭合的。（b） 关于几乎确定的收敛，C在X中是闭合的。（c） c在X中关于概率收敛是闭合的。如果X~nis分离时，abov e也相当于：（d）C是σ（X，I），对于每个分离评级I交易I 十、~n、 （e）C是σ（X，I），对于某个分离的想法l I是闭合的 十、~n、 在下一个声明中，我们采用以下符号。对于集合C L+我们定义o=\\十、∈C{Z∈ L∞+; E【ZX】≤ 1} 和Co+= Co∩ {Z∈ L∞; P（Z>0）=1}。定理46（Brannath和Schachermayer（1999））。假设C L+是凸的，关于几乎确定的收敛是闭的，在L+中是实的。那么，我们有c=\\Z∈Co{X∈ L+；E【ZX】≤ 1 } .剩余不变风险度量39此外，如果C是径向有界的，则Co+6=  andC=\\Z∈Co+{X∈ L+；E【ZX】≤ 1 } .证据“包含内容”” 首先，身份是明确的。要建立逆向包含，请取X∈ L+，并假设E[ZX]≤ 所有Z为1∈ Co. 特别地，E[Z（X∧ n） ]≤ E【ZX】≤ 1（10）适用于所有Z∈ Co和n∈ N、 请注意，C∩ L∞在L中是凸的且阶闭的∞.此外，它在L中也是固态的∞+. 自L起∞是L=（L）的分离理想∞)~n、 根据命题45，C∩L∞isσ（L∞, L∞) 关闭在L中应用标准双极定理∞关于局部凸拓扑σ（L∞, L∞), 我们从（10）中推断出X∧ n∈ C∩ L∞适用于所有n∈ N和X∈ C按订单关闭。这确立了“包容性”” 并完成了第一个等式的证明。现在，假设C是径向有界的。

自C起o是凸的，很容易看出，第二个恒等式将紧跟在我们证明C之后o包含严格正的随机变量。为了证明这一点，请注意C∩ Lis-凸，在L中阶闭，在L+中径向有界和实心。因此，我们可以应用引理15来确保严格正Z的存在∈ L∞（回顾（L）~n=L∞) 满足{E[ZX]；X∈ C∩ 五十} <∞ .显然，对于一个简单的规范化，我们总是可以假定sup{E[ZX]；X∈ C∩ L}≤ 1、现在取一个ar二进制X∈ C、 自E[Z（X∧ n） ]≤ 1代表所有n∈ N、 我们从theFatou引理推断出E[ZX]≤ 1也适用。这表明Z∈ Co并得出证据。备注47。Brannath和Schachermayer（1999）中的原始双极定理是关于L+的凸子集的，这些子集在L+中是实的，并且在概率上是封闭的和有界的。根据Koch-Medina et al.（2018）的定理3.4，欠凸性和稳健性，概率有界性等价于径向有界性。我们的结论是，我们的一般结果可以推导出双极定理的以下“稳健”版本。这里，对于集合C （Lc）+我们定义o=\\十、∈C{u∈ （加利福尼亚州∞c） +；Eu[X]≤ 1}.40盈余不变风险度量理论48。假设C （Lc）+在（Lc）+中是凸的、阶闭的和实心的。那么，c=\\u∈Co{X∈ （Lc）+；Eu[X]≤ 1}.证据“包含内容”” 是清楚的。要建立逆向包含，请取X∈ （Lc）+并假设Eu[X]≤ 所有u为1∈ Co. 特别是Eu[X∧ n]≤ Eu[X]≤ 1（11）对于所有u∈ Co和n∈ N、 请注意，C∩ L∞L中的顺凸与序闭∞c、 此外，它在（L）中也是固态的∞c） +。自ca起∞cis a分离理想（L∞c）~n、 根据定理8，C∩ L∞cisσ（L∞c、 加利福尼亚州∞c） 已关闭。

在L中应用标准双极定理∞关于局部凸拓扑σ（L∞c、 加利福尼亚州∞c） ，weinfer（11）中的X∧ n∈ C∩ L∞C对于所有n∈ N和X∈ C按订单关闭。这确立了“包含”” 并完成了证明。附录A.向量格在本附录中，我们回顾了本文中自由使用的向量格理论中的各种概念。我们参考了Aliprant is和Burkinshaw（2003）的专著，从经济学（和金融学）应用的角度对向量格进行了综合处理。一个实向量空间X被称为一个向量格，也被称为Riesz空间，如果它被设置了一个格序≥ 正元素的集合X+={X∈ 十、十、≥ 0}是满足X的凸锥+∩ (-X+={0}。对于任意元素X∈ X我们使用标准符号X+=X∨ 0，X-= -（十）∧ 0），| X |=X∨ (-十） 。注意，我们有X=X+-十、-和| X |=X++X-. 正如Aliprantis a和Burkinshaw（2003）或任何其他晶格理论的标准参考文献一样，我们做了一个小假设，即所考虑的所有向量lattice都是阿基米德的，因此nX≤ Y代表所有n∈ 每X，Y的n倍X=0∈ X+。我们说，如果向量格X的每一个子集都有一个上界，则向量格X是序完备的。每个向量格X都有一个序完备Xδ，它本身就是一个序完备向量格，并且包含X作为一个序密子格，即对于每个Z∈ Xδ+\\{0}，存在X∈ X使得0<X<Z。事实上，对于每个Z∈ Xδ+\\{0}，集合{X的上确界∈ 十、0<X<Z}剩余不变风险度量41in Xδ是Z。

如果X的每个具有上确界的子集都有一个具有相同上确界的可数子集，则X具有可数sup性质。对于任何子集A 我们使用标准符号A+=A∩ X+和A-= A.∩ (-X+。A子集A 当X在任何时候都是固态的∈ A、 | Y |≤ |X |==> Y∈ A、 如果A X+，我们说A在X+中是固体∈ A、 0个≤ Y≤ X个==> Y∈ A、 X的线性子空间是实心的，称为理想。注意，每个理想都与格运算有关。对于任何X∈ X，包含X的最小理想称为X的主理想，用ix={Y表示∈ 十、λ>0：| Y |≤ λ| X |}。注意，序完备向量格的每个理想本身都是序完备的。负责任的支持，如果满足，也会传递给理想。对于网络（Xα） X和元素X∈ X我们写Xα↑ 每当（Xα）增加且supαXα=X in X时，X。类似地，我们写Xα↓ 每当（Xα）减小且infαXα=X in X时，X。我们说一个网（Xα） X收敛于元素X∈ X，写入Xαo-→ 十、 如果存在网络（Yβ） X，可能超过不同的指数集，例如Yβ↓ 0，对于每个β，存在α和yβ≥ |Xα- X |对于每个α≥ α. 我们对有序收敛的定义与inAliprantis和Burkinshaw（20 03）的定义略有不同，但在当前的lattice理论中更为常见。注意，如果X是顺序完成的，并且存在Z>0，那么-Z≤ Xα≤ 先是Z，然后是Xαo-→ X相当于toX=supαinfβ≥αXβ=infαsupβ≥αXβ。此外，我们说（Xα）以无界顺序收敛于X，写为Xαuo-→ 十、 每当| Xα- X |∧ 哟-→ 每Y 0∈ X+。显然，阶收敛意味着无界阶收敛，但这两个收敛概念并不等价。Gao、Troitsky和Xanthos（2017）对无界有序收敛的性质进行了深入研究。