盈余不变风险度量

单调性是接受集和风险度量理论的标准，见F¨ollmerand Schied（2017）。下面的命题收集了（单调）集是剩余不变的各种等价条件。特别地，每个剩余不变单调集都可以分解为正锥和正锥的实子集之间的差。这突出了剩余不变性和稳定性之间的密切联系。提案2。对于集合a 以下语句是等价的：（a）a是盈余不变量。（b） A={X∈ 十、十、-∈ D} 对我来说 X+。如果A是单调的，则上述也等价于：（c）X∈ A im plies公司-十、-∈ A、 （d）X∈ A和d Y-≤ 十、-暗示Y∈ A、 （e）A=X+- D代表一些D 在X+中为实心的X+。在（b）和（e）中，我们都有D=-A.-.8剩余不变风险度量。很明显，（b）意味着（a）。为了证明相反的含义，假设（a）成立并注意到X和-十、-每个X都有相同的否定部分∈ 十、因此，根据剩余不变性，X∈ A if和o only if-十、-∈ A.-, 或等效X-∈ -A.-. 这表明（b）成立，D=-A.-.现在，假设A是单调的。同样，由于X和-十、-每X重合一次∈ 很明显，（a）意味着（c）。接下来，假设（c）保持并取X∈ A和Y∈ X使得Y-≤ 十、-. 自从-十、-∈ A假设andY≥ -Y-≥ -十、-, 我们必须有Y∈ A单调性。这表明（d）成立。显然，（d）意味着（a）。现在，假设t（c）成立，并设置D=-A.-. 众所周知，我们显然有+- D A、 在她手上，每X∈ A、 我们有X-∈ D，因此它由X=X得出+- 十、-那是 X个+- D、 因此，A=X+- D、 现在，取0≤ Y≤ 十、∈ D、 自-Y≥ -十、∈ A.-, 我们推断-Y∈ A.-通过单调性，从而∈ D

这证明了D在X+中是实心的，并建立了（e）。相反，假设（e）保持并取任意的X∈ A、 假设我们发现∈ X+和Z∈ D使得X=Y- Z、 然后，我们很容易看到0≤ 十、-= 最大值(-十、 0）=最大值（Z- Y、 0）≤ Z∈ D、 这意味着X-∈ D -A.-通过D的坚固性，这表明-十、-∈ 并证明（c）成立。在fa ct中，这也表明对于每个X∈ A.-我们有-X=X-∈ Dand因此-A.- D、 表明（e）仅在D=-A.-. 作为上述结果的直接结果，可以证明剩余不变单调集的凸性和锥性可以在其负部分的水平上刻画。回想一下，a集合a 当λX+（1）时，称X为凸的-λ） Y型∈ A对于每个λ∈ [0，1]和X，Y∈ A、 如果λX，我们说A是一个单位∈ A每当λ≥ 0和X∈ A、 推论3。对于剩余不变单调集a 我们有：（a）a是凸的i ffa-是凸面的。（b） A是圆锥体-是一个圆锥体。证据“仅当”的含义很清楚，因为X-是一个凸锥。一旦我们观察到A=X++A，“if”的含义立即出现-根据提案2。在X具有投影特性的情况下，每个带都自动成为投影带，我们发现投影算子的剩余不变性具有以下有用的特征。盈余不变风险度量9提案4。假设X具有投影属性。那么，f是单调集a 下面的陈述a是等价的：（a）a是盈余不变量。（b） X个∈ A叠加P（X）∈ A表示X上的每个带投影P。证据首先假设（a）成立，让X∈ A和P是X上的带状投影。那么，我们有P（X）=P（X+）- P（X-) ≥ -P（X-) ≥ -十、-.自从-十、-∈ A根据命题2，由单调性得出P（X）∈ A（b）适用。接下来，假设（b）成立。取任意X∈ 设P为主带BX的带投影-.

自X起-∈ BX-根据定义，我们显然有P（X-) = 十、-. 此外，由于X+∧ 十、-= 0，我们推断X+∧ |Y |=0表示联盟∈ BX公司-所以P（X+）=0。因此，它遵循（b）t-十、-= P（X+）- P（X-) = P（X）∈ A.鉴于命题2，这意味着（a）持有并得出证明。2.1. 剩余不变单调集的闭性。在这一节中，我们研究了剩余不变单调集的一些（序和拓扑）闭性质之间的联系。首先，我们证明了剩余不变单调集的（序和拓扑）闭性是由相应负部分的闭性系统地获得的。提案5。对于剩余不变单调集a X we h ave：（a）a订单已关闭-订单已关闭。（b） A是uo关闭的i ff A-uo已关闭。假设τ是X上的局部实心hausdorff拓扑。那么，我们有：（c）A是τ闭的i ffa-是τ闭合的。证据由于由X的负元素组成的序收敛网的极限仍然是负的，我们可以看到-从A的。如果我们用无界阶收敛，orbyτ收敛来代替阶收敛，那么当我们回忆起X-是由Aliprantisand Burkinshaw（2003）中的定理2.21封闭的。相反，假设-序闭且考虑网络（Xα） A和X∈ X满足Xαo-→ 十、 自-十、-α∈ A表示所有α的bysurplus不变性-十、-αo-→ -十、-, 因此-十、-∈ A的按序封闭性-因此，X∈ A单调性。这证明A是orderclosed。如果我们用无界阶10剩余不变风险度量convergence代替阶收敛，或者考虑到格运算的τ连续性，用τ收敛代替阶收敛，同样的论点也成立，参见Aliprantis和Burkinshaw（2003）中的定理2.17。

第二个初步结果突出了无界阶收敛的一些性质，这些性质也带来了一些独立的兴趣。引理6。考虑r a ne t（Xα） X+和X∈ X+使得Xαuo-→ 十、 （a）如果X是顺序复数，则X=supαinfβ≥αXβ。（b） 如果（Xα）包含在X+中为实数的集合D中，则存在一个递增网络（Zγ） 满足X=supγZγ的D。证据证明（a），x Y∈ X+并注意t | Xα- X |∧ 哟-→ 0的定义为无边界阶收敛。因为对于每个α，我们有| Xα∧ Y- 十、∧ Y |≤ |Xα- X |∧ Y、 我们推断Xα∧ 哟-→ 十、∧ Y反过来，这意味着X∧ Y=supαinfβ≥α（Xβ∧ Y）=supα（infβ≥αXβ）∧ Y. （1） 特别是对于任何Y∈ 对于任何指数α，我们都有infβ≥αXβ∧ Y≤ 十、 取Y=infβ≥αXβ，我们推断infβ≥αXβ≤ X和supαinfβ≥αXβ存在。因此，我们可以应用（1）中的进一步分布定律，得到x∧ Y型=supαinfβ≥αXβ∧ Y对于任何Y∈ X+。取Y=X+supαinfβ≥αXβ我们得到了所需的恒等式。为了证明（b），设Xδ为X a的序完成，并注意Xαuo-→ X中的Xδ，参见Gao、Troitsky和Xanthos（2017）中的定理3.2。因此，通过点（a），我们得到x=supαinfβ≥αXβ，其中晶格操作在Xδ中理解。对于每个α，定义Zα=infβ≥αXβ和setZα={X∈ 十、0≤ 十、≤ Zα}。此外，确定集合Z=[αZα。因为对于每个α，我们都有Zα≤ Xα，因此Zα 通过D的坚固性，我们推断Z D、 此外，Z在X+中向上。看到这个，因为我∈ {1，2}考虑任何0≤ xi≤ Zα和α取α≥ αi对于所有i∈ {1, 2}. 然后，我们有盈余不变风险测度11X∨ 十、≤ Zα∨ Zα≤ Zα，因此X∨ 十、∈ Z、 因此，Z可以被视为X+上的一个递增网络，在其自身上建立索引。为了总结证明，回想一下X在Xδ和t中是有序稠密的，因此我们有sup Zα=Zα，其中上确界在Xδ中。Thussup Z=supαsup Zα=supαZα=X，其中suprema再次取Xδ。

根据X在Xδ中的阶数密度，sup Z=X在X中，完成了证明。第三个也是最后一个初步结果紧接着是Aliprant is和Burkinshaw（2003）中的引理4.2和定理4.20的结合。引理7。假设τ是X上的一个阶连续局部固体hausdorff拓扑。然后，对于每个实数集 X以下语句是等效的：（a）S是顺序clos ed.（b）S是τ闭合的。我们现在准备建立这一部分的主要结果，它提供了剩余不变单调集的序闭性的二重特征。在第一步中，我们证明了有序闭度等价于无界有序闭度（通常比有序闭度强得多）。第二步，在凸性条件下，我们建立了序闭性和关于一个局部弱拓扑的闭性之间的等价性。这一结果将是在续集中推导盈余不变风险函数强大对偶表示的关键。这里，我们用X表示~X的阶连续对偶。我们说一个家庭 十、~nis为每个不同的元素X、Y分离if∈ X存在^1∈ I使得Д（X）6=Д（Y）。回想一下，当我分离时，σ（X，I）正是hausdorff。定理8。对于每个剩余不变单调集 下面的陈述是等价的：（a）a是订单关闭的。（b） A已关闭。如果X~nis分离且A是凸x，上述也等价于：（c）A对于每个分离理想I是σ（x，I）闭合的 十、~n、 （d）A对于某个分离理想I是σ（X，I）闭合的 十、~n、 证明。在整个过程中，我们设置D=-A.-. 回想命题2，t hat D is solid in X+。由于阶收敛总是意味着无界阶收敛，我们可以立即看到（b）意味着（a）。

为了证明逆蕴涵，假设12个盈余不变风险测度是序闭的，因此D也是命题5的序闭的。通过将引理6中的点（b）应用于实数集D，我们很容易得出D是无界序闭的结论。因此，如果（A）意味着（b），那么A是无界序，根据命题5，A是s好闭的。现在，假设X~nis分离，A是凸的。很明显，（c）意味着（d）。接下来，假设I是X的分离理想~n、 由于σ（X，I）显然是有序连续的，因此可以立即看出，有序收敛意味着σ（X，I）收敛，因此，（d）意味着（a）。为了总结证明，假设A是序闭的，因此D本身或序由命题5闭。没有te，它={X∈ X|X |∈ D} 是X中的实数集。由于格运算是顺序连续的，所以可以立即看到S也是顺序闭的。回想一下|σ|（X，I）是局部实数且顺序连续的。然后，我们可以应用引理7来推断S相对于绝对拓扑|σ|（X，I）是闭合的。特别是，因为D=S∩ X+，这意味着D，因此Aby命题5，也是|σ|（X，I）闭的。回想一下，I是由定理2定义的拓扑|σ|（X，I）的拓扑对偶。33 Aliprantis和Burkinshaw（2003年）。由于是凸的，所以集合A是一个自然σ（X，I）闭的。这确立了（a）意味着（c），并得出了等价性的证明。备注9。（i） 通常，理想i越小，上述点（d）越强。在定理的假设下，point（c）告诉我们，I的所有选择都具有相同的强度。

因此，一个人可以自由选择尽可能小的I，或者根据需要选择方便的I。（ii）在上述结果的背景下，我们没有将引理7应用于拓扑σ（X，I）以立即建立所需的等效性的原因是σ（X，I）通常不是局部实心的。备注10（关于X+的实子集）。如果我们替换凸剩余不变单调集A，定理8仍然有效 具有凸集C的X 也就是索利多卡因。鉴于命题2，考虑到A=X，这一点立即从推论3和命题5b中得出+- C、 2.2。剩余不变单调集的分解结果。现在，我们来看看公布的凸、剩余不变、单调集的分解结果。为了简化证明，首先陈述以下关于向量格中凸集的简单结果很有用。盈余不变风险度量13引理11。对于每个凸序闭集A X包含一个圆锥体C，我们有a+C A.证据取任意X∈ A和Y∈ C和无t，即Y+（1-n） Xo公司-→ Y+X。自此以后n∈ 我们有纽约∈ 假设为C，因此为nY∈ A、 安迪+1.-nX=n（纽约）+1.-n十、∈ A、 我们从A的阶贴近度推断出X+Y∈ A、 总结证据。现在我们可以陈述并证明我们的分解结果。这里，给定一个凸集a X，我们用rec（A）表示其衰退锥，即我们设置rec（A）=\\λ>0λ（A- Z） 。对于固定Z∈ A（上述交点与Z的选择无关∈ A） 。此外，我们用lin（A）表示其线性空间，即我们设置lin（A）=rec（A）∩ (- rec（A））。注意，如果A包含零元素（如单调性和剩余不变性下的情况），则rec（A）与包含inA的最大凸锥重合。类似地，lin（A）是A中包含的最大向量空间。

此外，我们说如果对于每个X，a是径向的∈ 存在λX>0使得λX/∈ A对于所有λ≥ λX.定理12。假设X具有“投影”属性。然后，每个凸序闭surplus不变单调集A X允许独特的装饰组合a=（B）+⊕（B）+- D⊕ B（2），其中B，B，裸带，X=B⊕ B⊕ 带D是（B）+的子集，满足以下性质：（a）D是X+中的凸、阶闭、径向边界和立体。（b） D=-A.-∩ B、 （c）X∈ （B） +\\{0}表示X∧ 对于某些Y，Y 6=0∈ D、 （D）B=波段（D）。在这种情况下，我们有rec（A）=（B）+⊕ （B）+⊕ 频带lin（A）=我们说的频带A由（B；B，D；B）表示。证据首先，确定bandsB=（A-)d、 B=频带（rec（A-)), B=（B⊕ B） d.14盈余不变风险度量请注意，通过定义B，我们显然得到X=B⊕ B⊕ B、 此外，考虑（B）+给定byD=-A.-∩ B、 显然，D满意度（B）。此外，很容易看到它是凸的、阶闭的和索利多丹X+。为了证明D也是径向有界的，相反地假设λnX∈ 一类严格递增序列λn的df↑ ∞ 还有一些X∈ D \\{0}。在这种情况下，我们会-十、∈ rec（A-) 通过坚固性，因此X∈ B、 然而，由于我们假设X∈ B、 与我们最初的假设相比，这意味着X=0。因此，D必须是径向有界的。这确立了（a）。为了显示（c），假设存在一些X∈ （B） +\\{0}这样X∧ Y=0表示联盟∈ D、 对于每个i∈ {1，2，3}，设Pibe为Bi的带投影。根据命题4，我们很容易看到pi（A）=A∩ Biand Pi（A-) = A.-∩ Bi（3）适用于所有i∈ {1, 2, 3} . 现在，任意取一个Z∈ -A.-注意，由于X∈ B、 我们显然有X∧ P（Z）=X∧ P（Z）=0。此外，我们有X∧ P（Z）=0，由D定义。这意味着t X∧ Z=0。因为Z是在-A.-,下面是X∈ B

然而，这是不可能的，因为X是属于B的非零元素。这证明（c）必须成立。由于Aliprantis和Burkinshaw（2006）中的定理1.39适用于B中的D，因此B=带（D）与（c）等价，我们得出结论（D）也成立。我们继续建立分解（2）。Fir st，取X∈ A.∩ 乐队注意到-十、-∈ A.-∩ B=A-∩ （A）-)d={0}。这表明∩ B （B） +。因为我们可以写X=P（X）+（P（X+）- P（X-)) + P（X）表示所有X∈ X，我们从（3）中推断a （B）+⊕（B）+- D⊕ B、 为了证明逆包含，请首先注意A包含-因此，通过单调性，也就是（B）+⊕（B）+- D. 我们声称A含有Bas井。要展示这一点，请使用任意n∈ N、 任意λ，λn>0，任意X，Xn公司∈ rec（A-) 和任何Y∈ X等| Y |≤Pni=1λi | Xi |=-Pni=1λiXi。注意thatY≥nXi=1λiXi=nXi=1λiPnj=1λjnXj=1λjxi∈ ASURPLUS-不变风险度量15by A的凸性，表明Y∈ A单调性。这意味着A包含由r ec（A）生成的理想-) 并且，在订单关闭时，a lso由EC（a）生成的频带-) 或者，等价地，B。因此，它遵循引理11，a A+B （B）+⊕（B）+- D⊕ B、 然后建立分解（2）。证明rec（A）=（B）+⊕ （B）+⊕ 因此，lin（A）=B，请首先注意rec（A）明确包含（B）+⊕ （B）+⊕ B、 要显示反向包含，必须证明rec（A∩ （B） X+。为此，取X∈ rec（A∩ B） 而不是那个-十、-∈ rec（A∩B） 以及剩余不变性。特别是，X-属于rec（D）。由于D是径向有界的，我们必须有rec（D）={0}，这表明X∈ X+。最后，为了证明上述分解的唯一性，假设a=（B′）+⊕（B′）+- D′⊕ B′，其中B′，B′，B′是X=B′的带⊕ B′⊕ B′和D′是（B′）+满足条件（a）和（D）的子集（一旦我们用D′和Bby B′替换D）。显然，B′=（A-)d=频带B′=lin（A）=B。这意味着B′=B。

通过命题2，也很容易证明-= -D′⊕ （B′）-, 所以D′=-A.-∩ B′。这意味着D′=D，从而得出唯一性的结论。下一个推论将上述分解具体化为圆锥余数不变量集的情况。推论13。假设X具有“投影”属性。然后，每个凸项闭剩余不变单调集 X是另外一个圆锥体，它可以容纳唯一的d生态成分a=B+⊕ 其中，B是一个带。证据假设A由（B；B，D；B）表示。由于A=rec（A），因此从定理1到定理2，A=（B）+⊕ （B）+⊕ B、 设置B=B⊕ BIM立即生成所需的声明。备注14（关于X+的实子集）。鉴于命题2、推论3和命题5，上述分解结果可以很容易地适用于每个凸序闭集C 在X+中为实心的X+。在这种情况下，如果X具有投影属性，C允许唯一分解C=D⊕ B+其中，B是B，D是B的凸序闭径向有界子集，在X+中为实心。在这种情况下，我们说C由（D；B）表示。如果额外假设C为acone，那么我们必须将C=B+用于合适的B带。16剩余不变风险度量2.3。严格正支撑泛函。我们应用上述闭性和分解结果研究了支持凸剩余不变单调集的严格正序连续泛函的存在性。我们从下面的初步有界结果开始。引理15。假设X~NHA是可数的支持，并允许严格的正元素。让C X+是X+的凸序闭径向有界固体子集。然后，存在一个严格的正函数lν∈ 十、~确认supX∈CД（X）<∞.证据显然，我们可以假设C包含非零元素。修复非零X∈ C注意λXX/∈ 对于合适的λX>0。