盈余不变风险度量

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Surplus-invariant risk measures》
---
作者：
Niushan Gao, Cosimo Munari
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  This paper presents a systematic study of the notion of surplus invariance, which plays a natural and important role in the theory of risk measures and capital requirements. So far, this notion has been investigated in the setting of some special spaces of random variables. In this paper we develop a theory of surplus invariance in its natural framework, namely that of vector lattices. Besides providing a unifying perspective on the existing literature, we establish a variety of new results including dual representations and extensions of surplus-invariant risk measures and structural results for surplus-invariant acceptance sets. We illustrate the power of the lattice approach by specifying our results to model spaces with a dominating probability, including Orlicz spaces, as well as to robust model spaces without a dominating probability, where the standard topological techniques and exhaustion arguments cannot be applied.
---
中文摘要：
本文对盈余不变性的概念进行了系统的研究，盈余不变性在风险度量和资本要求理论中起着天然而重要的作用。到目前为止，这一概念已经在一些特殊的随机变量空间中得到了研究。在本文中，我们发展了一个自然框架下的剩余不变性理论，即向量格的剩余不变性理论。除了对现有文献提供统一的观点外，我们还建立了各种新的结果，包括剩余不变风险度量的对偶表示和扩展以及剩余不变接受集的结构结果。我们通过将结果指定给具有支配概率的模型空间（包括Orlicz空间）以及不具有支配概率的鲁棒模型空间（其中无法应用标准拓扑技术和穷举参数），来说明格方法的威力。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Surplus-invariant_risk_measures.pdf (401.11 KB)

2022-6-1 03:36:07 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：风险度量 风险度 Mathematical Presentation Quantitative

盈余不变风险度量纽山高多伦多瑞尔森大学数学系，加拿大金融和保险协会（adaCOSIMO MUNARICenter for Finance and Insurance）和瑞士苏黎世金融学院（Sw i ss Finance Institute of Zurich，SwitzerlandAbstract）。本文对盈余不变性的概念进行了系统的研究，盈余不变性在风险度量和资本要求理论中起着天然而重要的作用。到目前为止，这一概念已经在一些特殊的随机变量空间中得到了研究。在本文中，我们发展了一个自然框架下的剩余不变性理论，即向量格的剩余不变性理论。除了对现有文献提供统一的观点外，我们还建立了各种新的结果，包括剩余不变风险度量的对偶表示和扩展，以及剩余不变接受集的结构结果。我们通过将结果指定给具有支配概率的模型空间（包括Orlicz空间）以及不具有支配概率的稳健模型空间（其中无法应用标准拓扑技术和穷举参数），来说明格方法的威力。电子邮件地址：niushan@ryerson.ca，科西莫。munari@bf.uzh.ch.Key单词和短语。剩余不变性、风险度量、接受集、对偶表示、扩展、规范模型空间、鲁棒模型空间。1、引言1.1。剩余不变接受集。要在财务环境中引入盈余不变性的概念，请从内部或外部财务主管的角度出发，他们必须设计一个测试来评估未来财务状况的风险是否可接受。如果我们用向量格X的元素来表示财务状况，那么测试可以自然地用子集a来识别 X：只有当且仅当某个职位属于A时，该职位才被视为可接受。

在风险度量理论中，人们经常提到接受集；见Artzner等人（1999年）。该理论的主要目标是形式化和研究接受集的理想性质。虽然可取性的评估显然取决于具体的财务应用，但至少有一个普遍可取的特性，即单调性。如果我们像在续集中一样，将X的正元素解释为支付（利润或盈余），将X的负元素解释为支付（损失或违约），那么我们可以说，无论何时，a都不是色调∈ A、 Y型≥ X个==> Y∈ A、 这一特性形式化了一个基本理念，即每一个盈亏模式优于可接受头寸的头寸也应该是可接受的。另一个经常被视为可取的特性是凸性，它反映了多元化原则，根据这一原则，可接受头寸的“组合”应保持可接受；seeF¨ollmer和Schied（2002）以及Frittelli和Rosazza Gianin（2002）。盈余不变性的性质规定，可接受性不取决于财务状况的正部分（规模）。形式上，我们说A是盈余不变量whenverx∈ A、 最小值（Y，0）=最小值（X，0）==> Y∈ A、 盈余不变性是否可取将取决于特定的金融应用。如果通过风险和回报之间的权衡来确定可接受性的阈值，从而允许利润产生的利益来补偿损失带来的成本，那么盈余不变性显然会影响目标。Pricintheory中经常会遇到基于风险回报率的验收集；见Cochrane和Sa\'a-Requejo（2000），Bernardo和Ledoit（2000），Carr等人。（20 01），以及最近的Madan和Cherny（20 10）。

然而，如果可接受性必须仅捕获金融头寸的下行风险，那么盈余不变性是自然的和可取的属性。如以下示例所示，如果我们所处的情况是，不同的利益相关者可以重新享受利润带来的好处和损失造成的负担，则排他性地关注下行风险是有意义的，分别为Surplus不变风险度量3。这里，我们用X表示给定概率三元组上的一个合适的随机变量空间(Ohm, F、 P）。资本要求。在为有限责任金融机构设计资本充足率测试时，监管机构必须考虑以下基本对称性。一方面，如果公司有偿付能力，则所有债务都将得到偿还，公司通常会享有盈余，盈余将归股东所有（并可作为股息分配和/或重新分配给未来的业务）。在这种情况下，从资本充足率通常采用的单期模型的角度来看，盈余的规模对负债持有人来说并不重要，但对股东来说却是至关重要的。另一方面，如果公司资不抵债，则股东可行使其有限责任选择权，无义务为债务融资。在这种情况下，股东原则上将不受债务规模的影响，债务规模完全由责任持有人承担。因此，盈余不变性必须符合偿付能力监管的基本目标，即保护责任持有人。资本充足率背景下盈余不变接受集的各种结果可在Staum（2013），Koch Medina等人中找到。（2015），刘和王（2016），何和彭（20 17），科赫·梅迪纳等人（2017），比格诺齐等人（2018）。

特别是，基于值a t RiskA={X的验收集∈ 十、Va Rα（X）≤ 0}，VaRα（X）=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α} ，对于每个α都是剩余不变的∈ （0，1），而基于o n的期望ShortfallA={X∈ 十、ESα（X）≤ 0}，ESα（X）=αZαVaRβ（X）dβ，对于每个水平α，都不能是盈余不变量∈ (0, 1). 我们参考Koch Medina和Munari（2016）对基于ES的验收集盈余不变性失效的财务影响进行了深入讨论。保证金要求。考虑中央交易所或中央交易对手（CCP），其中多个交易对手之间的交易净额结算。要求每个交易对手持有保证金存款，以确保充足的流动性来吸收预期损失。正如Cont et al.（2013）所述，从CCP的角度来看，只有下行风险才重要，因此，基础资本充足率测试应该由盈余不变量接受集表示。计算保证金要求的SPAN（标准投资组合分析）方法是由芝加哥商品交易所开发并由许多其他交易所实施的，它基于formA＝{X的盈余不变接受集∈ 十、P（{X<0}∩ E） =0}，4个盈余不变风险度量，其中E∈ F是一组合适的测试场景。正如Koch-Medina et al.（2017）所证明的那样，这本质上是唯一一个同时是凸和圆锥的剩余不变接受集，或者在Artzner et al.（1999）的术语中是等效一致的。套期保值。考虑一个不愿冒险的经纪人，他想对冲一些未来的货币风险。

在这种情况下，正如F¨ollmer和Schied（2002）所讨论的那样，代理人可能希望根据对冲头寸的不足确定可接受性的概念。这自然会导致关注formA={X的剩余不变接受集∈ 十、E类[l(- 最小值（X，0））]≤ α} ，其中l : R→ R是一个合适的损失函数和α∈ R、 在这种情况下，可接受性归结为要求套期保值头寸缺口所附带的预期“无用性”非常小。1.2. 剩余不变风险泛函。到目前为止，我们主要从接受集的角度研究剩余不变性。一旦我们把注意力转向风险泛函ρ：X→R、 引入盈余不变性概念有两种自然的方式。一方面，我们说ρ对于每个X是剩余不变的∈ Xρ（X）=ρ（min（X，0））在这种情况下，ρ的结果仅取决于位置的下侧。如果ρ用于根据头寸的下行风险对头寸进行排序，则这是一个合理的定义。Cont et al.（2013）中基于损失的风险度量和Staum（2013）中的短缺风险度量是下行风险度量的示例。另一方面，我们说当ρ（X）>0时，ρ是服从正的盈余i变量==> ρ（X）=ρ（min（X，0））。当ρ被用作确定资本或利润要求的规则时，这种较弱的盈余不变性概念（Koch-Medina et al.（2015）在略有不同的定义中引入）适用。在这种情况下，数量ρ（X）被解释为资本要求。ρ（X）>0表示X未充分资本化，需要注入风险资本。上述性质告诉我们，在这种情况下，风险资本的金额将只取决于头寸X的下行。

另一方面，条件ρ（X）≤ 0表示X已经充分资本化，因此ρ（X）可以解释为可以返还给股东的资本金额。直觉上很清楚，在这种情况下，数量ρ（X）可能（通常会）也取决于盈余的大小。有趣的是，盈余不变性已经被列为一致风险度量的定义属性之一（！）Artzner等人在康奈尔大学的一份技术报告中（1996年）。该预印本的重点是偿付能力指标和盈余不变风险指标。在这种情况下，盈余不变被认为是一种自然属性。在Artzneret al.（1999）中，剩余不变性公理最终被translationVariance所取代，根据translationVariance，所有X∈ X和m∈ Rρ（X+mS）=ρ（X）- m、 其中S∈ X是给定的付款。平移不变性允许将ρ表示为ρ（X）=inf{m∈ RX+毫秒∈ {ρ ≤ 0}}对于每个X∈ 因此产生了一种方便的操作解释：ρ（X）可以表示为必须筹集并投资于资产的最低资本额，以确保“可接受性”。否定剩余不变性的原因在于其与翻译不变性的根本不相容性。然而，翻译不变性和剩余不变性之间并不存在不相容性，这取决于积极性。这说明了如何将资本充足率环境中盈余不变性的原始动机与一致性公理相协调。1.3。论文的结构和主要结果。在第二节中，我们介绍了一般向量格子集的剩余不变性的概念。主要结果是定理8中的序闭性r的特征，它构成了推导剩余不变风险测度的一些强大dua l表示的关键。

此外，我们在定理12中建立了剩余不变性接受集的一般分解结果，并用它来推导定理16中严格正支持泛函的存在性。在第三节中，我们研究剩余不变泛函。为了突出与剩余不变集的联系，我们应用你的结果在定理2 1和29中建立了拟凸surplus不变泛函Fatou性质的对偶刻画。此外，我们在定理24和32中讨论了剩余不变泛函的推广结果。我们将第4节专门讨论应用程序。我们主要研究具有和不具有递减概率的模型空间。在后一种情况下，我们采用Maggis et al.（2018）的设置。我们的晶格方法的普遍性允许我们处理非支配设置，基本上没有额外的影响。法头性与对偶性。它遵循了D elbaen（2002）的深远结果，即满足L上Fa t ou性质的每个凸泛函∞（P） I自动σ（L∞（P） ，L（P））下半连续，因此，允许一个“好”的对偶表示，其中对偶元素属于L（P），因此可以与可数加法符号测度识别。正如Gao等人（2016）最近所示，theFatou性质通常不会确保在generalOrlicz空间LΦ（P）上的“好”对偶表示。最近，Maggis等人（2018）在有界环境中获得了Delbaen结果的稳健版本。6盈余不变风险度量在盈余不变泛函的背景下，我们提供了一系列Fatou性质的双重特征，将Delbaen（2002）和Maggis et al.（2018）的结果定义并扩展到Bounded设置之外。在定理36中，我们首先展示L上的剩余不变性∞（P） 允许将dua l元素集从l（P）限制到较小的空间l∞（P） 。

这一结果导致了Cont等人（20 13）中双重代表的改进版本。在定理38中，我们证明了在剩余不变性的假设下，一般Orlicz空间LΦ（P）上的Fatou性质总是意味着“好”的对偶表示，其中对偶元素可以取为LΦ*（P） 或HΦ*（P） ，其中Φ*表示Φ或偶L的共轭∞（P） 。最后，我们关注r obust案例，并从两个方面扩展了Maggis et al.（2018）的结果。首先，我们考虑有界情况下的鲁棒模型空间。其次，我们证明了在剩余不变性（服从正性）下，Fatou特性产生了一种双重表示，其中对偶元素可以与具有有界Radon-Nikodym导数且与潜在概率测度族直接相关的可数可加性设计测度识别。无论是在占优还是在非占优情况下，我们实际上都证明了theFatou性质等价于（远）关于无界阶收敛的下半连续的更强性质（这对应于占优情况下的几乎确定收敛）。扩展结果。在定理42中，我们证明了L上具有Fatou性质的每个（拟）凸单调函数∞（P） 可以唯一地扩展到整个空间L（P），在不损失其性质的情况下，具有下曲面不变性（服从正性）。此外，L（P）的扩张也是唯一的，可以用对偶项来刻画。这表明Delbaen（2002）提出的可拓问题总是可以在剩余不变性（服从概率）下解决的。即使不存在支配概率，extensionresult也成立。分解结果。Koch-Medina等人获得了剩余不变量接受集的各种分解结果。

（2017）在包含L的L（P）的F子空间中∞（P） 以密集的方式。在定理44中，我们将分解推广到支配环境中随机变量的每个空间。事实上，使用我们的一般结果，我们能够将分解扩展到健壮的模型空间，而无需额外的工作。两极定理。作为最后一个应用，我们利用剩余不变集和正锥的实子集之间的联系，为Brannath和Schachermayer（1999）在定理46中提出的双极定理提供了一个新的基于晶格的证明，并将其扩展到定理48中的鲁棒设置。值得注意的是，Surplus不变风险度量7经典证明基于穷举论证，由于可数sup属性的失败，该论证无法应用于robustsetting。最终附录收集了与向量格相关的标准术语和符号。2、剩余不变单调集我们从引入剩余不变性的概念开始，建立了剩余不变单调集的各种基本性质。在凸环境中，我们讨论了序与拓扑闭度之间的联系，并利用这一联系导出了风险泛函的各种对偶表示，建立了剩余不变单调集的分解结果。在本节中，我们假设X是一个固定向量晶格。有关向量格的标准术语和符号的概述，请参阅附录。定义1。A子集A 如果对于每个X，Y，X是剩余不变的∈ X我们有X∈ A、 X个-= Y-==> Y∈ A、 我们说A是单调的，如果对于每个X，Y∈ X我们有X∈ A、 Y型≥ X个==> Y∈ A、 Staum（2013）以“过剩不变性”的名义在数学金融背景下引入了过剩不变性的性质，随后Koch-Medina等人（2015）和Koch-Medina等人（2017）对其进行了研究。