盈余不变风险度量

自X起~Nadmit是一个严格的po sitiveelement，因此是分离的，根据定理8，C是σ（X，X~n） 已关闭。由于Hahn-Banach分离，存在一个函数ДX∈ 十、~nsatisfyingsupY∈CхX（Y）<λXхX（X）。（4） 由于C在X+中是实心的，因此上述上确界与supY一致∈根据RieszKantorovich公式，见Aliprantis和Burkinshaw（2006）中的定理1.18。因此，我们获得了∈CД+X（Y）<λXДX（X）≤ λXД+X（X），其中我们使用了X∈ X+。因此，我们可以在不缺乏一般性的情况下假设Xis是一个正泛函。现在，取一个严格正泛函ψ∈ 十、~n、 假设存在，且定义Д=supX∈C（ДX∧ ψ).上确界存在于X中~N原因X~nis始终完成订单。通过X的countablesup属性~n、 我们找到一个序列（Xn） C，使得Д=supn∈N（ДXn∧ ψ). （5） 此外，选择一个严格正实数序列（λn） R使xn∈NλN苏比∈CхXn（Y）∈ Rand defineД=支持∈N（λnДXn）∧ ψ.请注意，supX∈CД（X）<∞ 因为Д（X）=limk→∞supn公司≤k（λnДXn）∧ ψ（十）≤Xn公司∈NλNДXn（X）≤Xn公司∈NλN苏比∈CхXn（Y）每X的盈余不变风险度量17∈ C、 我们表明，^1对Cdd是严格正的。为此，假设相反，我们发现一个非零正U∈ CDD设置为Д（U）=0。那么，我们必须有0≤ 最小值（λn，1）（ДXn∧ ψ） （U）≤（λnДXn）∧ ψ（U） =0每n∈ N、 特别是，我们得到（νXn∧ ψ） （U）=0表示所有n∈ N、 立即修复N∈ Nand setДk=supn≤k（ДXn∧ ψ） 对于k∈ N、 每k∈ N我们可以使用不等式νk≤Pn编号≤kхXn∧ ψ以获得φk（U）=0。因为（Дk）是一个递增序列，其阶数收敛于X中的Д~n、 我们可以将Aliprantis和Burkinshaw（2006）中的定理1.18应用于以下情况：Д（U）=limk→∞^1k（U）=0。这意味着（ДX∧ ψ） （U）=所有X的0∈ C、 选择任意X∈ C、 我们声称，ДX（U）=0。

要了解这一点，请取ε>0，并使用Aliprantis和Burkinshaw（2006）中的定理1.18来查找每个n∈ N an元素∈ X+令人满意的Un≤ U和0≤ ^1X（U- Un）+ψ（Un）≤εn.Set Vn=Vnm=1对于n∈ 注意，（Vn）是递减的，ψ（Vn）→ 然后，通过ψ的严格正性，很容易看出infn∈NVn=0，因此U- Vno公司-→ U和ДX（U- Vn）→ ^1X（U）。但每n∈ N我们有φX（U- Vn）=ДXn\\U m=1（U- Um）≤nXm=1хX（U- Um）≤ ε、 表示ДX（U）=0。这证明了这一说法。现在，取一些元素V∈ C此类tha tU∧ V为非零。假设存在这样一个元素，否则U将属于Cd和Cddb，导致矛盾U=0。然后，U∧ 五、∈ C的坚固性。因此，上述权利要求和^1U的积极性∧Vyield0=ДU∧V（U）≥ ^1U∧V（U∧ 五）≥ 0以便∧V（U∧ V）=0。但是，由于0∈ C、 这与（4）相矛盾。综上所述，可以得出如下结论：Д对Cdd是严格积极的。最后，setД（X）=sup{ψ（X∧ Y）；Y∈ Cd光盘∩ X+}表示X∈ X+。然后，Aliprantis和Burkinshaw（2006）中定理1.22的类似论证表明，И延伸到整个X上的唯一正泛函。显然，^1≤ ψ使18个盈余不变风险度量∈ 十、~n、 此外，Cd上的φ=0，Cd上的φ=ψ。现在，定义*= φ+ φ.然后，^1*∈ 十、~nand，自C起 Cdd，supX∈C^1*（十） =supX∈CД（X）<∞.为了总结证据，必须证明*在X上严格为正。为此，取非零X∈ 从Aliprantis和Burkinshaw（2006）的定理1.36中可以看出，存在正的U∈ CDV和V∈ CDD使0<U+V≤ 十、 这将产生^1*（十）≥ φ*（U+V）≥ ν（U）+Д（V）>0，通过在Cdd上的νonCdand的严格正性。

这里，我们定义了集合a的有序连续势垒锥 X通过设置栏（A）=φ ∈ 十、~ninfX公司∈A^1（X）>-∞.下一个结果表明，在适当的基础空间假设下，凸序闭剩余不变单调集的“非平凡”部分可以由严格正序连续线性泛函支持。定理16。假设X具有投影属性，X~NHA是可数的支持性质，并允许严格的积极因素。考虑一个凸序闭剩余不变单调集a X由（B；B，D；B）表示。然后，存在∈B上严格为正的条（A）⊕ B、 证明。回想定理12，A可以分解为asA=（B）+⊕（B）+- D⊕ B、 其中D=-A.-∩ X+中的双凸、阶闭、径向有界和实心。注意，条（A）中的每个泛函都必须对向量空间B进行n化。可以通过应用引理15并将B上对应的泛函设置为零来获得所需的泛函。3、剩余不变风险泛函在这一节中，我们讨论了两种可能的方法，可以将剩余不变的概念转移到泛函领域。我们主要关注剩余不变函数的对偶表示和扩展。在本节中，我们一直假设X是一个固定向量平面。定义17。A函数ρ：X→R是单调的，如果对于每个X，Y∈ X我们有X≥ Y型==> ρ（X）≤ ρ（Y）。盈余不变风险测度19我们说ρ是拟凸的，如果对于每个X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们有ρ（λX+（1- λ） Y）≤ 最大值（ρ（X），ρ（Y））。我们说ρ是S的S-加性∈ X+\\{0}如果对于每个X∈ X和m∈ R我们有ρ（X+mS）=ρ（X）- m、 我们说，如果ρ相对于有序收敛是下半连续的，则ρ满足Fatou性质，即。

对于每个网络（Xα） X和X∈ X我们有Xαo-→ X个==> ρ（X）≤ lim infαρ（Xα）。类似地，如果ρ对于无界阶收敛是下半连续的，即对于每个（Xα），则ρ满足超Fatou性质 X和X∈ X我们有Xαuo-→ X个==> ρ（X）≤ lim infαρ（Xα）。单调性的性质是风险度量理论的标准，参见F¨ollmer and Schied（2017）。拟凸性的概念也在arisk测度背景下得到了广泛研究，参见Cerreia Vioglio et al.（2011）和Dra peau and Kupper（2013）。Artzner等人（1999）引入了S-可加性的性质，这对于为风险函数指定操作解释很重要。实际上，在这种情况下，ρ（X）=inf{m∈ RX+毫秒∈ A} （6）对于每个位置X∈ X，其中A={ρ≤ 0}. 因此，数量ρ（X）可以自然地解释为为了确保“可接受性”而必须获得的“参考资产”的最小单位数。我们参考Munari（2015）对此类风险函数的综合处理。Fatou性质在获得凸风险测度的可处理对偶表示中起着关键作用。在有界随机变量的设置中，最初的贡献可以追溯到Delbaen（2002）。注意，如果X具有可数sup性质，则每当X是L的理想时，情况就是这样(Ohm, F、 P），则可以用定义（超级）Fatou属性的序列替换网络（Xα）。事实上，根据可计算的支持，如果净（Xα）（无界-）阶收敛到X，那么我们可以找到可计算的族（αn），使得（Xαn）（无界-）阶也收敛到X。下一个结果记录了上述性质在子级集方面的简单表征。省略了简单的证明。引理18。

对于函数alρ：X→R和S∈ X+\\{0}以下成立：（a）ρ是单调的i f{ρ≤ m} 对于每个m都是单调的∈ R、 （b）ρ是拟凸{ρ≤ m} 对于每m是凸的∈ R、 （c）ρ是S-加法{ρ≤ m} ={ρ≤ 0} - 每米毫秒∈ R、 20剩余不变风险测度（d）ρ具有{ρ}的Fatou性质≤ m} 每m是否关闭订单∈ R、 （e）ρ具有超Fa-tou性质{ρ≤ m} uo是否每m关闭∈ R、 3.1。剩余不变性。我们首先关注剩余不变单调映射。定义19。A函数ρ：X→ 对于每X，R是v变量中的盈余∈ Xρ（X）=ρ(-十、-).Cont等人（2013）以基于损失的财产的名义研究了风险泛函的盈余不变性，Staum（2013）以有界随机变量空间的盈余不变性的名义研究了风险泛函的盈余不变性。有趣的是，Artzner等人（1996年）在康奈尔大学的一份技术报告中，盈余不变性已被列为一致性风险度量的定义属性之一，其中指出，符合根深蒂固的精算传统的良好偿付能力指标应与收益规模不同，只关注损失。我们稍后将看到为什么剩余不变性最终从Artzner等人（1999）的一致性公理中消失。下一个简单结果表明，当一个泛函的每个子级集都是剩余不变时，该泛函是剩余不变的。提案20。对于函数ρ：X→R以下是等价的：（a）ρ是剩余不变的。（b） {ρ≤ m} 是每m的剩余不变量∈ R、 证明。很明显，（a）意味着（b）。为了显示相反的含义，假设t（b）成立并注意到ρ（X）=inf{m∈ R十、∈ {ρ ≤ m} }每X∈ 十、自{ρ≤ m} 每m的剩余不变∈ R、 我们很容易看到ρ（X）=ρ(-十、-) 外汇兑换X∈ 因此（a）成立。

下一个结果给出了拟凸剩余不变量单调泛函的Fatou性质的特征。该声明是第8项的直接结果。定理21。对于拟凸剩余不变单调泛函ρ：X→R∪ {∞} 以下陈述是等效的：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。如果X~nis分离，则上述也等价于：（c）ρ是σ（X，I）对于每个分离理想I的下半连续 十、~n、 （d）ρ是σ（X，I）下半连续的，对于某些分离思想l I 十、~n、 盈余不变风险度量21备注22。（i） 一般来说，理想i越小，点（d）中的陈述就越有力。在定理的假设下，第（c）点说，我的所有选择都具有相同的强度。因此，可以根据需要选择尽可能小的I或尽可能方便的I。（ii）根据经典的凸对偶性，如果ρ是额外凸的，而不是仅仅是拟凸的，则（d）等价于ρ（X）=supν∈我^1（X）- ρ*(φ)（7） 对于每X∈ X，其中ρ*（Д）=supX∈十、^1（X）- ρ（X）.注意，由于ρ是单调的，ρ*(φ) < ∞ 表示Д为负值。因此，我们可以将ρ表示中的上确界限制为集合I-. 此外，考虑到曲面不变性，我们可以等价地写出ρ（X）=supν∈我-φ(-十、-) - ρ*(φ)对于每X∈ 十、一般来说，希望选择一小组对偶元素来产生更易于处理的对偶表示。我们将在下一节的经典金融头寸模型和反泡沫金融头寸模型中展示这一结果的威力。我们继续讨论剩余不变泛函的扩张性质。

特别地，我们证明了通过保持剩余不变性、单调性和（超）Fatou性质，由X中的aweak序单元生成的主理想上定义的每个函数都可以始终扩展到整个X。A元素U∈ 如果| X |，则X+表示为弱序单位∧ 如新大学↑ |X |每X∈ 十、最小理想容器U用IU表示。引理23。设U是X的弱序单位，考虑具有Fatou性质ρ，ρ：X的方差单调泛函中的两个盈余→ R∪ {∞}. 那么，Iu上的ρ=ρ意味着X上的ρ=ρ。证据修复X∈ 十、自（X）起-∧ nU）≤ 十、-对于每n∈ N和X-∧ 诺-→ 十、-, wehavelim supn公司→∞ρ(-十、-∧ nU）≤ ρ(-十、-) ≤ lim信息→∞ρ(-十、-∧ nU）。因此，剩余不变性产生ρ（X）=limn→∞ρ(-十、-∧ nU）。（8） 显然，ρ也是如此。自从-十、-∧ 如新大学∈ IU适用于所有n∈ N和ρ与主理想IU上的ρ重合，我们推断ρ（X）=ρ（X）。22盈余不变风险度量理论24。设U是X的弱序单位。然后，每个具有Fatou性质ρ：IU的剩余不变单音泛函→ R∪ {∞} 可以唯一地推广到具有Fatou性质ρ：X的剩余变元monotone泛函→ R∪ {∞}. 特别是，每X∈ X我们有ρ（X）=limn→∞ρ(-十、-∧ nU）。此外，如果ρ是（准）凸的，那么ρ也是（准）凸x。证据函数ρ：X→ R∪ {∞} 定义明确，因为-十、-∧ 如新大学∈ I所有X∈ X和n∈ N和ρ(-十、-∧ nU）↑ρ（X）每X∈ 十、鉴于（8）适用于ρ，因此ρ是ρ的推广。马上就可以看出ρissurplus是不变的和单调的。为了证明tρ具有Fatou性质，请考虑前面的n∈ 函数ρN:X→ R∪ {∞} 定义为ρn（X）=ρ(-十、-∧ nU）对于X∈ 十、取一个网（Xα） X这样的that Xαo-→ X代表某些X∈ 十、那么，我们有X-α∧ 诺-→ 十、-∧ nU。

特别是，我们发现了一个净值（Yβ） X+带Yβ↓ X中的0，使得f或每个β都存在满足| X的α-α∧ 如新大学- 十、-∧ nU |≤ Yβ表示所有α≥ α. 因为我们显然有| X-α∧ 如新大学- 十、-∧ nU |≤ 对于每一个α，它都遵循| X-α∧ 如新大学- 十、-∧ nU |≤ Yβ∧ nUfor allα≥ α. 现在我们从Yβ推断∧ 如新大学↓ IUX中的0-α∧ 诺-→ 十、-∧ nU in IU。因此，ρ的Fatou性质意味着ρn（X）=ρ(-十、-∧ nU）≤ lim infαρ(-十、-α∧ nU）=lim infαρn（Xα）。这表明ρnhas为Fatou性质。因为每m∈ 我们有{ρ≤ m} =\\n∈N{ρN≤ m} 通过引理18，可以得出ρ也具有Fatou性质。仍然需要证明ρ是ρ的唯一剩余不变单调扩张，具有Fat-ou性质。但这是引理23的直接结果。最后，我们证明了扩张保持（拟）凸性。为此，首先假设ρ为拟凸。选择任意X、Y∈ X和λ∈ [0, 1]. 对于每n∈ Nde FINE Xn=X+∧ 如新大学- 十、-∧ nU和Yn=Y+∧ 如新大学- Y-∧ nU并观察thatX-n=X-∧ nU和Y-n=Y-∧ nU。很明显，Xno-→ X和Yno-→ Y，所以盈余不变风险度量为23λXn+（1- λ） Yno公司-→ λX+（1- λ） 是的。因此，根据ρ的Fatou性质，我们得到ρ（λX+（1- λ） Y）≤ lim信息→∞ρ（λXn+（1- λ） Yn）=lim infn→∞ρ（λXn+（1- λ） Yn）≤ lim信息→∞最大值（ρ（Xn），ρ（Yn））=lim infn→∞最大值（ρ(-十、-n） ，ρ(-Y-n） ）=lim infn→∞最大值（ρ(-十、-∧ nU），ρ(-Y-∧ nU））=max（ρ（X），ρ（Y）），其中在第二个不等式中，我们使用了ρ的拟凸性。这证明了ρ是拟凸的。可以沿相同的直线获得凸性的概率。下一个推论提供了在convexcase中上述扩展的双重公式。要做到这一点，我们需要X~nis分离。推论25。设U是X的弱序单位，并假设I是X的分离理想~n

Letρ：IU→ R∪ {∞} 是一个具有Fatou性质的凸剩余不变单调函数，且设ρ：X→ R∪{∞} 是它在定理24中确定的唯一扩展。然后，f或每X∈ X我们有ρ（X）=supД∈我-φ(-十、-) - ρ*(φ),式中ρ*（Д）=supX∈国际单位^1（X）- ρ（X）.证据从注释22可以看出，ρ具有ρ所需的表示形式*（Д）=supX∈十、^1（X）-ρ（X）对于^1∈ 我-. 因此，仍需证明SUPX∈十、^1（X）-ρ（X）= supX公司∈国际单位^1（X）- ρ（X）对于每个固定的Д∈ 我-. 显然，我们只需要确定不平等”≤”. 为此，取X∈ X并设置Xn=X+∧如新大学-十、-∧nU代表所有n∈ N、 请注意Xn∈ IU每n∈ N、 自Xno起-→ X个+- 十、-= 十、 我们有^1（Xn）→ Д（X）和ρ（Xn）=ρ(-十、-n） =ρ(-十、-∧ nU）→ρ（X）。这意味着不平等“≤” 举行并结束公关活动。24盈余不变风险度量3.2。服从正性的剩余不变性。在这一节中，我们将重点讨论与S-可加性兼容的剩余不变性的一个弱方向。因此，这一概念在资本充足率方面尤其具有吸引力。从现在起，我们固定元素∈ X+\\{0}。我们首先强调，正如Staum（2013）所述，盈余不变性和S-可加性之间存在着根本的联系。提案26。不存在单调泛函ρ：X→ R∪{∞} 这是盈余不变量，S-a加法，ρ（X）∈ R代表一些X∈ 十、证据如果ρ满足上述性质，则必须有ρ（X）- m=ρ（X+mS）=ρ(-（X+毫秒）-) ≥ ρ（0）每X∈ X和m∈ R、 只有当ρ（X）=∞ 对于所有X∈ 十、前面的结果表明，必须在剩余不变性和可加性之间做出选择。如上所述，S加和性的性质在资本充足性上下文中起着至关重要的作用，因为它具有可操作性。

这解释了为什么最初在Artzner等人（1996）的一致性风险度量定义公理中列出的Surplus不变性最终被Artzneret等人（1999）的S-可加性所取代。在资本充足率框架下协调盈余不变性和S-可加性的关键思想是，只有当从监管角度来看头寸不可接受，因此实际需要注资时，资本要求规则才应取决于金融头寸的默认比例。这导致引入以下较弱形式的剩余不变性。定义27。A函数ρ：X→R是盈余不变量，如果外汇为X，则服从正性∈ 我们有ρ（X）>0==> ρ（X）=ρ(-十、-).Koch-Medina等人（2015年）在有界单变量位置的设置中，以略微不同的形式引入了受正性约束的剩余不变性的概念。通过修改论文中的命题3.10，我们可以证明，对于S-加和单调泛函，服从正性的剩余不变性对应于潜在“接受集”的剩余不变性。提案28。对于S-加性单调泛函ρ：X→ R∪ {∞} 以下是一个re等价物：（a）ρ是服从正性的剩余不变量。（b） {ρ≤ 0}是剩余不变的。盈余不变风险度量25Proof。假设（a）保持并取X∈ {ρ ≤ 0}. 注意ρ（X）∈ R、 那么，在ε>0之前，我们有ρ（X+（ρ（X））- ε） S）=ρ（X）- （ρ（X）- ε） =ε>0，通过S-相加。根据我们的假设，ρ(-（X+（ρ（X））- ε） S）-) = ρ（X+（ρ（X））- ε） S）=ε。自从-十、-≥ -（X+（ρ（X））- ε） S）-, 我们从单调性推断ρ(-十、-) ≤ ρ(-（X+（ρ（X））- ε） S）-) = ε.这对ε>0的情况保持不变，并产生ρ(-十、-) ≤ 0，证明（b）满足。相反，假设（b）保持并取n个任意X∈ ρ（X）>0的X。注意ρ（X）≤ ρ(-十、-) 通过单调性。