盈余不变风险度量

如果ρ（X）=∞, 那么ρ（X）=ρ(-十、-) = ∞.因此，假设ρ（X）<∞ 取一个r位r元m>ρ（X）。因为ρ（X+mS）=ρ（X）- m<0，根据剩余不变性得出-（X+毫秒）-∈ {ρ ≤ 0}. 然后{ρ的单调性≤ 0}和-十、-+ 太太≥ -（X+毫秒）-暗示-十、-+ 太太∈ {ρ ≤ 0}，这反过来产生ρ(-十、-) ≤ m的S-可加性。由于m是任意的，我们推断ρ（X）≥ ρ(-十、-).如上所述，逆不等式通过单调性成立，因此我们得出ρ（X）=ρ(-十、-), 证明（a）成立。由于S-加性风险度量的每个子级集只是零子级集的一个平移，请参见引理18，我们可以应用定理8立即导出剩余不变性主题拓扑下Fatou性质的以下特征。请注意，拟凸S-可加泛函是自凸的。这就是为什么，与上面的定理21不同，我们陈述了凸函数的下一个定理。定理29。对于凸S-加性单调泛函ρ：X→ R∪ {∞} Isurplus不变量服从正性，以下语句等价：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。如果X~nis分离，则上述也等价于：（c）ρ是σ（X，I）对于每个分离理想I的下半连续 十、~n、 （d）ρ是σ（X，I）下半连续的，对于某些分离思想l I 十、~n、 26盈余不变风险度量标记30。备注2的变体2适用于上述定理。在这种情况下，条件ρ*(φ) < ∞ 很容易看出是指Д（S）=-1，因此表示（7）中的对偶域可以限制为I中的那些泛函，它们是负的且满足ν（S）=-1、在S-加性泛函中，在服从正态性的曲面不变性较弱的情况下，仍然可以得到上述推广结果。引理31。

设U是X的弱阶单位，考虑两个单调S-加函数ρ，ρ：X→ R∪ {∞ } 是服从正性的剩余不变量，具有Fatou性质。那么，Iu上的ρ=ρ意味着X上的ρ=ρ。证据修复X∈ 选择足够大的m>0，使ρ（X- mS）=ρ（X）+m>0和ρ（X- mS）=ρ（X）+m>0。然后，一个类似引理23的论点表明ρ（X- mS）=ρ（X- mS），通过S-加性得到ρ（X）=ρ（X）。每套A X我们用clo（A）表示A的阶闭包，即由A的元素组成的阶收敛网络的所有极限集。定理32。设U是X的弱序单位，假设S∈ （IU）+\\{0}。然后，每个单调S-ad双调泛函ρ：IU→ R∪ {∞} 它是服从正性的剩余不变量，具有Fatou性质，可以唯一地推广到单调微分泛函ρ：X→ R∪ {∞} 这是服从正的剩余不变量，具有Fatou性质。特别是，对于每个X∈ 我们有ρ（X）=inf{m∈ R-（X+毫秒）-∈ clo（A-)},其中A={ρ≤ 0}. 此外，如果ρ是凸的，那么ρ也是凸的。证据设置A={ρ≤ 0}. 作为monot-1和剩余不变量以及orderclosed，从命题2和命题5可以看出，A可以分解为asA=（IU）+- D、 其中D=-A.-订单关闭且在（IU）+中为实心。现在，定义′={X∈ 十、存在一个网（Xα） D使得Xαo-→ X中的X}。自D起 X+，很明显，D′ X+。我们认为D′在X~+中是固体。要看到这个，请选择X∈ D′和Y∈ X+使Y≤ 十、 注意，在（IU）+中为实数时，集合D在X+中为实数，因为IU是X的理想值。因此，通过引理6，存在一个网（Xα） D使得Xα↑ X在X中，所以Y∧ Xα↑ Y∧ X=X中的Y。从那时起∧ Xα∈ 对于a llα，通过D在X+中的稠度，我们得出结论Y∈ D′。接下来，我们证明了D′是序闭的。Let（Xα） D′和X∈ X是这样的Xαo-→ 十、

鉴于引理6和X+中D′的坚固性，我们可以假设tha-tSURPLUS不变风险测度27Xα↑ 十、 引理6的另一个应用表明，对于每个α，都存在一个集合Zα D向上，满足sup Zα=Xαin X。然后，这些集合αZα D是一个向上的lso（因此可以被视为一个递增的网络索引），supSαZα=supαsup Zα=supαXα=X in X。然后是X∈ D′定义为D′。这建立了订单紧密性。我们声称IU∩ D′=D。很明显，D 国际单位∩ D′。相反，取anyX∈ 国际单位∩ D′。然后，存在一个网（Xα） D使得Xα↑ X中的X。自塞克斯以来∈ IUand自（Xα） D Iu和Iu是X的理想值，很容易验证tXα↑ X英寸IU。因此，X∈ D，因为D在IU中处于闭合状态。现在，设置A′=X+- D′，并观察到A′是单调的，剩余不变的，并且由命题2和命题5关闭。然后，对于每个X∈ X定义ρ（X）=inf{m∈ RX+毫秒∈ A′}。（9） 首先，我们证明ρ（X）>-∞ 对于每X∈ 十、相反，补充ρ（X）=-∞ 对于某些X∈ 所以X- nS系列∈ A′代表所有n∈ N由A′的单调性决定。注意t帽子X+- nS系列∈ A′，因此（nS- X++=（X+- nS）-∈ D’forall n公司∈ N、 现在，fix N∈ N、 那么，对于N的每一个选择≥ 我们很容易看到-X+n）+≤ n（S）-X+n）+=（nS- X+）+∈ D′和n（S-X+n）+≤ nS系列∈ 国际单位。自D′起∩ IU=D，如上所述，我们从稠度推断n（S-X+n）+∈ D、 自n（S）起-X+n）+o-→ 宫内节育器中的nS和宫内节育器中的订单已关闭，接下来是nS∈ Dand因此，-nS系列∈ A、 但这将适用于每n∈ N、 这将导致控制偏差ρ（0）=-∞. 因此，我们必须有ρ（X）>-∞ 对于每X∈ 十、我们声称ρ具有所有期望的性质。为了证明ρ延伸ρ，取任意X∈ i并注意每m∈ R我们有X+mS∈ IUand THOUS（X+mS）-∈ 国际单位。

这意味着（X+mS）-∈ D′相当于（X+mS）-∈ D、 自（X+mS）-∈ D′相当于X+mS∈ A′和（X+mS）-∈ D等于X+mS∈ A、 从（6）可以得出ρ（X）=ρ（X）。很明显，ρ是monotone和S-加法。由于A′是剩余不变且序闭的，因此引理18和命题28表明，为了证明ρ是服从正性的剩余不变且具有Fatou性质，必须证明A′={ρ≤ 0}. “包含内容”” 是清楚的。显示反向包含“”, 取任意X∈ {ρ ≤ 0}，注意X+mnS∈ A′表示递减序列（mn） Rc接近ρ（X）。自X+mnS起↓ X+ρ（X）S，我们推断X+ρ（X）S∈ A’byorder接近。自ρ（X）起≤ 0，A′的单调性意味着X∈ A′和这产生所需的夹杂物。扩展的唯一性来自L emma 31。此外，ρf的上述表示来自（9）和命题2。最后，请注意，如果ρ是28剩余不变风险度量凸，那么A是凸的，推论3的D也是凸的。因此，我们很容易看到d′，因此a′，也是凸的，这意味着ρ也是凸的。推论33。设U是X的弱序单位，假设S∈ （IU）+\\{0}。此外，假设I是X的分离理想~n、 Letρ：IU→ R∪{∞} 是一个服从正性的剩余不变的凸单调微分泛函，具有F偶性，且设ρ：X→ R∪ {∞} 是其在定理32中确定的唯一扩展。然后，对于每个X∈ X我们有ρ（X）=supД∈我-, ^1（S）=-1.^1（X）- ρ*(φ),式中ρ*（Д）=supX∈国际单位^1（X）- ρ（X）.证据根据定理29和备注30，ρ具有ρ所需的表示形式*（Д）=supX∈十、^1（X）-ρ（X）对于每∈ 我-使得Д（S）=-1.

需要说明的是∈ 我-此类Д（S）=-1我们有SUPX∈十、^1（X）-ρ（X）= supX公司∈国际单位^1（X）- ρ（X）.显然，我们只需要证明不平等”≤”. 为此，取任意X∈ X和m<ρ（X）和集Y=-（X+毫秒）-和Yn=-（X+毫秒）-∧ nU代表n∈ N、 观察Yn∈ IU每n∈ N、 自Yn起↓ Y，我们有ν（Yn）→ ^1（Y）。此外，Fatou性质和monot onicity意味着ρ（Y）≤ lim信息→∞ρ（Yn）≤ lim支持→∞ρ（Yn）≤ ρ（Y），因此ρ（Yn）=ρ（Yn）→ ρ（Y）。现在，由于ρ（X+mS）=ρ（X）- m>0，我们有ρ（X+mS）=ρ（Y），因此是Д（X）-ρ（X）=Д（X+mS）- ρ（X+mS）≤ ^1（Y）- ρ（Y）=limn→∞^1（Yn）- ρ（Yn），其中我们使用了X+mS≥ Y，且该ν为负且满足Д（S）=-所需的不等式立即出现。盈余不变风险度量294。应用在本节中，我们将我们的一般结果应用于数学金融中使用的各种具体模型空间。通过本节，我们确定了一个可测量的空间(Ohm, F） andequip R及其标准Borel结构。可测量函数集X：Ohm → Ris由L表示。在未来预先规定的时间点，以给定货币表示的当前财务状况的要素（例如盈亏、股权价值、金融资产或投资组合的收益、货币风险敞口）。有界可测函数的Lconsisting子集用L表示∞.具有固定潜在概率的模型。设P为概率测度(Ohm, F） 。L中关于几乎确定等式（与P有关）的所有等价函数类的向量空间用L表示。通常，我们不会区分等价类和它们的表示元素。集是partialorderX下具有可数sup性质的序完备向量格≥ Y<==> P（X≥ Y）=1。此外，当具有概率收敛拓扑时，它成为一个完整的度量空间。

设X是L的理想。每个函数∈ 十、~ncan由一些Y代表∈ LviaД（X）=EP[XY]，其中Y满足EP[| XY |]<∞ 对于所有X∈ X，并且在X的支持下唯一确定。反之亦然。下面是X~NCA可以识别为一笔土地，因此，拥有可数sup财产。请注意，对于每个序列（Xn） X和每X∈ 我们有没有-→ 十、<==> |Xn |≤ Y代表一些Y∈ X和Xna。s--→ 十、 在其他情况下，阶收敛对应于支配的渐近收敛。同样，我们有XNUO-→ 十、<==> Xna。s--→ 十、 证明了无界序收敛对应于几乎确定的收敛。A函数Φ：[0，∞) → [0, ∞] 如果它是凸的、递增的、左连续的且满足Φ（0）=0，则称为Orlicz函数。Orlicz空间LΦ是所有随机变量X的理想值∈ Lsuch thatkXkΦ=inf{λ>0；EP[Φ（|X |/λ）]≤ 1} < ∞.函数k·kΦ是一个范数，称为卢森堡范数。如果Φ（x）=xp表示somep∈ [1, ∞), 那么我们有LΦ=Lp。如果Φ（x）=0表示0≤ x个≤ 1和Φ（x）=∞ 对于x>1,30剩余不变风险度量，当我们有LΦ=L∞. LΦ的Orlicz心脏是由hΦ={X定义的理想心脏∈ LΦ；EP[Φ（| X |/λ）]<∞ 对于每个λ>0}。如果Φ满足所谓的-条件，即存在x>0和k∈ R使得每xΦ（2x）<kΦ（x）≥ x、 那么LΦ=HΦ。Φ的共轭f函数是理论函数Φ*: [0, ∞) → [0, ∞] 由Φ给出*（y） =sup{xy- Φ（x）；x个≥ 0}.我们有标准标识（LΦ）~n=LΦ*. 特别是，我们有（Lp）~n=LQ，其中1≤ p、 q≤ ∞ andp+q=1。我们参考Edgar和Sucheston（1992）了解有关Orlicz空间的更多详细信息。具有多个潜在概率的模型。

考虑概率族P(Ohm, F） a和相关容量c:F→ [0，1]定义为C（E）=支持∈PP（E）。我们用lc表示lw中所有等价函数类的向量空间，其中关于x定义的准确定等式（关于P）~ Y<==> P（X=Y）=每P 1∈ P、 同样，我们不区分等价类和它们的代表性元素。集合LCI是由x定义的偏序下的向量格≥ Y<==> P（X≥ Y）=每P 1∈ P、 对于1≤ p≤ ∞ 我们用lpct表示由所有X组成的lc的理想∈ LCXKP=支持∈PkXkLp（P）<∞.空间Lpcis是范数为k·kp的Banach格。众所周知，经典lpspace的许多基本性质，尤其是可数sup性质和序完备性，一旦P族非支配，就可能在鲁棒环境中失效。特别是，由于缺少可数sup属性，很难确保从上方有界的LPC的任意子集存在上确界，除非子集是可数的（在这种情况下，LPCI中的上确界仅由点上确界给出）。下面的引理提供了Lcin的序完备性的特征，即LPCSPACE的序完备性。引理34。以下语句等效：（a）Lcis订单完成。（b） Lcis订单的每个理想都已完成。（c） Lpcis订单完成约1≤ p<∞.盈余不变风险测度31（d）L∞cis订单完成。证据很明显，（a）意味着（b），（b）意味着（c）。自L起∞cis是理想的ofLpc，我们也有（c）意味着（d）。为了总结证据，假设∞cis ordercomplete并设A为（Lc）+的子集，其上由一些Y限定∈ （Lc）+。前向n∈ N集合An={X∧ n1型Ohm; 十、∈ A} 包含在（L）中∞c） +并以Y为边界∧ n1型Ohm∈ L∞c、 对于每个n∈ N我们用AninL的XnN上确界表示∞c

由于在引理之前的备注，集合（Xn）在Y上有界，因此在Lc中有一个上确界，用x表示。现在可以直接验证xis是Lc中A的上确界。阶连续对偶（Lpc）的一个简单可处理特征~nis通常在强健的环境中不可用。这是因为≤ p、 q≤ ∞ 这样的tha tp+q=1，识别Lqc=（Lpc）~一般来说，nno不再适用。例如，如果P包含与元素相关的所有Dirac测度Ohm, 然后我们看到Lc=陆地Lpc=L∞适用于所有1≤ p≤ ∞. 特别是，缺少可数sup属性迫使我们在进行确定（Lpc）时处理顺序收敛网络，而不是序列~n、 接下来，我们通过关注（Lpc）的一个特殊可提取理想来避免这个问题~n、 设cacbe是所有可数加符号测度uover的空间(Ohm, F） 使得u（E）=0∈ F和c（E）=0。空间cac是一个关于全变分范数和集态偏序的Banach格。给定P∈ P和Z∈ L∞, 我们定义了有符号度量uP，Z∈ cacby设置uP，Z（E）=EP[1EZ]。我们用ca表示∞C由此类测度生成的CAC的线性子空间，即ca∞c=跨度（{uP，Z；P∈ P、 Z∈ L∞}).引理35。se t ca公司∞cis是cac的理想选择。证据有必要证明ca∞cis实体。为此，让u∈ 加利福尼亚州∞cand假设u=Pni=1aiuPi，zi表示P，Pn编号∈ P和Z，锌∈ L∞. 此外，取ν∈ cacand假设|ν|≤ |u|. 这意味着|ν|≤nXi=1 | ai |uPi，| Zi |。因此，通过Radon Nikodym，我们发现∈ L∞使| Z |≤ 1和ν=nXi=1 | ai |uPi，Z | Zi |。32剩余不变风险度量这证明了ν∈ 加利福尼亚州∞cand建立稳固性。

现在，考虑cacint的自然对偶嵌入到L的范数对偶∞c、 分别为ca∞cint到Lpcfor 1的范数对偶≤ p≤ ∞, 由Hx给出，ui=Eu[X]。当X=Y时，Eu[X]=Eu[Y]的二元性得到了很好的定义。这些嵌入也尊重顺序结构，即cac中两个有符号测度的上确界分别在ca中∞c、 与上述规范对偶中的supremumas functionals一致。在我们的应用中，我们遵循Maggis et al.（2018），并在假设下工作∞c=（cac）*,其中（cac）*表示cac的范数对偶。由于对偶空间是序完备的，这个假设意味着L∞cis订单完成。定理4.60 inAliprantis和Burkinshaw（2006）的应用表明，该假设还意味着（L∞c）~n=cac。根据Meyer Nieburg（1991）中的定理2.4.22，我们可以看到相反的情况也是正确的，即，如果L∞cis o r der complete和（L∞c）~n=cac，然后是L∞c类=（L）∞c）~n~n=（cac）~n=（cac）*. 然而，Maggis et al.（2018）中的命题3.10令人惊讶地证明了L∞calone足以产生L∞c=（cac）*.4.1. 剩余不变性下Fatou性质的对偶刻画。在本节中，我们根据定理21和29提供了Fatou性质的各种对偶刻画。为了突出我们的结果在文献中的嵌入，我们首先关注概率占主导地位的模型空间。Delbaen（2002）在空间X=L的上下文中获得了该设置中的原型双重特征∞. 在这种情况下，证明了对于每个凸单调函数，Fatou性质等价于σ（L∞, 五十） 下半连续性。因此，Fatou属性允许一个“好”的对偶表示，其中对偶元素可以通过上的可数相加度量来识别(Ohm, F） 。

我们的第一个结果表明，在剩余不变性（服从正性）下，我们总是可以将对偶空间限制到较小的域L∞. 这就需要在具有关于P的有界Radon-Nikodym导数的可数加性测度方面有一个更清晰的对偶表示。定理36。如果ρ：L∞→ R∪ {∞} 是拟凸、剩余不变量、D单调还是凸，剩余不变量服从正性、单调性和S-ad ditivewith S∈ L∞+\\{0}，则以下陈述是等价的：盈余不变风险测度33（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。（c） ρ是σ（L∞, 五十） 下部半连续。（d） ρ是σ（L∞, L∞) 下部半连续。备注37。Cont et al.（2013）利用（a）和（c）之间的一般等价性，以L中的对偶元素获得基于凸损失的风险度量与Fatou属性的对偶表示。由于基于损失的风险度量是盈余不变的，上述结果允许我们通过将对偶元素的空间限制为L来重新定义该表示∞. 此外，它还表明Fatou性质等价于强超Fatou性质，即关于几乎确定收敛的下半连续性。注意σ（L∞, 五十） =σ（X，X~n） 如果X=L∞如上所述。正如outin Gao和Xa nthos（2018）以及lat er in Gao et al.（2016）所指出的，Fatou性质与σ（X，X）之间的等价性~n） 在一般的Orliczspace X=LΦ中，拟凸函数（即使是标准的凸现金加性风险度量）的下半连续性分解，在这种情况下，X~n=LΦ*. 更具体地说，Gao等人（2016）表明，当Φ和Φ*未能满足-条件另见Delbaen和Owar i（2016）。最近成立于Gao etal。