混合标记点过程：特征、存在和

对于所有t∈ R、 定义移位运算符θt:N#R×U→ N#R×Ubyθtξ（A）：=ξ（A+t），A∈ B（R×U），其中A+t：={（s+t，U）∈ R×U：（s，U）∈ A} 。然后，对于R×U上的任何非爆炸点过程N，定义θtN到（θtN）（ω）：=θt（N（ω）），ω∈ Ohm.证明θtξ在t和ξ中联合连续是有用的（引理A.2.1）。表示对任何实现ξ的负实线的限制∈ N#R×Ubyξ<0，由ξ<0（A）定义：=ξ（A∩ R<0×U），A∈ B（R×U）。然后，我们可以通过N<0（ω）：=（N（ω））<0，ω来定义对R×U上任何非爆炸点过程N的负实线的限制∈ Ohm. 同样，定义旋转ξ≤0（A）：=ξ（A）∩ R≤0×U），N≤0（ω）：=N（ω）≤0, ξ≥0（A）：=ξ（A）∩ R≥0×U），N≥0（ω）：=N（ω）≥0，ξ>0（A）：=ξ（A∩ R> 0×U）和N>0（ω）：=N（ω）>0。这些符号将允许我们参考N的内部历史。例如，对于任何t∈ R、 （θtN）<0包含截至时间t的过程历史，不包括时间t。为了减轻这些标记，我们将使用约定θtξ<0：=（θtξ）<0，θtξ≤0：=（θtξ）≤0，θtξ>0：=（θtξ）>0和θtξ≥0：=（θtξ）≥Morariu PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.注意到这些限制映射是可测量的（引理A.2.2），θtξ<0作为t∈ R（引理A.2.3）。设N是R×U上的非爆发点过程。我们可以定义过滤FN=（FNt）t∈Rhat对应于N byFNt的内部历史：=σ{N（A×U）：A∈ B（R），A (-∞, t] ，U∈ B（U）}对于所有t∈ R、 使用Kallenberg（2002，第4页）中的引理1.4以及定理2.6中给出的B（N#R×U）的特征。III在Daley和Vere-Jones（2003，第404页）中，可以检查FNt=σ（θtN≤0).在下文中，我们将历史称为包含N的内部历史的任何过滤，即任何过滤F=（Ft）t∈R如此FNt 英尺，吨∈ R、 等价地，有人说N是F适应的。

符号F=（Ft）t∈Rwill总是用来指代历史。我们还需要定义可预测的σ-代数FponOhm ×R×U对应于一个历史F。σ-代数fp是由×（s，t）×U，s，t的所有集合生成的∈ R、 s<t，U∈ B（U），A∈ Fs。任何映射H：Ohm ×R×U→ Fp可测量的R称为F可预测过程。任何映射：Ohm ×R>0×U→ R就是(Ohm ×R>0×U）∩ Fp可测量也被称为F可预测过程。给定F-停止时间τ，严格过去Fτ-定义为所有类{t<τ}生成的σ-代数∩ 英尺，吨∈ R、 2.1.7强度过程和功能。我们为标记空间（M，B（M））配备了一个参考度量单位uM，使我们能够严格定义强度的概念。设N是R×M上的标记点过程，f=（Ft）t∈Ra历史记录。设λ：Ohm×R>0×M→ R≥0是非负F-可预测流程。我们说λ是每个非负F-可预测过程H中N相对于uMif的F-强度：Ohm ×R>0×M→ R≥0，EZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt. （2.1）注意，如果存在强度，则由于可预测性要求，其在P（dω）uM（dm）dt null集之前是唯一的，见Br'emaud（1981年，第II.4节）和Daley and Vere Jones（2008年，第391页）。在本文中，我们将特别感兴趣的是，强度是用应用于pointprocess的泛函表示的。定义2.5（强度函数）。设ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞} 成为可测量的功能。我们认为非爆炸性标记点过程N：Ohm → N#gR×Madmitsψ作为其强度泛函，如果Nadmits为FN强度λ：Ohm ×R>0×M→ R≥0相对于um，λ（ω，t，m）=ψ（m |θtN（ω）<0），P（dω）dtum（dm）-a.e.（2.2）2.1.8初始条件。

让(Ohm≤0，F≤0，P≤0）是给定的概率空间，N≤0是R×M上的给定标记点过程，使得N≤0(ω≤0）≤0=N≤0(ω≤0）对于所有ω≤0∈ Ohm≤0（即R>0时没有事件）。我们将保留符号N≤0参考初始条件。让(Ohm>0，F>0，P>0）是另一个概率空间，对应于下面第2.3小节介绍的SDE中的驱动泊松过程。在强存在的背景下，我们将研究混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性概率空间(Ohm, F、 P）我们定义为产品概率空间的完成（Kallenberg，2002，第13页），由Ohm := Ohm≤0× Ohm>0，~F：=F≤0 F> 0，~P：=P≤0×P＞0。（2.3）这种概率空间结构的动机是驱动噪声和初始条件是独立的。定义2.6（强初始条件）。让N：Ohm → N#gR×Mbe是一种非爆炸性标记点处理R×M。我们说，N满足一个强初始条件N≤0如果N（ω）≤0=N≤0(ω≤0）a.s.，其中ω=（ω≤0, ω>0) ∈ Ohm.在弱唯一性的情况下，需要另一个初始条件的概念。让(Ohm, F、 P）其他概率空间可能不同于(Ohm, F、 P）。定义2.7（弱初始条件）。让N：Ohm→ N#gR×Mbe在r×M上的非爆炸性标记点过程。我们说Nsatis是一个弱的初始条件N≤0如果诱导概率PN0≤0与PN连接≤0.2.2混合标记点过程：事件-状态视图点2.2.1标记空间和状态过程。设（E，B（E），uE）和（X，B（X），uX）是两个度量空间，其中E和X都是完全可分离的度量空间，uean和uxa都是有界有限的Borelmeasures。每个e∈ E表示一种类型的事件，我们称E为事件空间。每个x∈ X代表系统的一种可能状态，我们称X为状态空间。

出于对事件和系统状态进行联合建模的需要（见引言），我们考虑以下形式的标记空间（M，B（M），uM）：=E×X，B（M）=B（E） B（X），uM：=uE×uX.（2.4）标记空间的这种分解允许以下解释。Letξ∈ N#gR×Mbe在R×M上实现标记点过程。A点t∈ R和a点m=（e，x）∈ M使得ξ（{t，M}）=1现在可以解释为在时间t发生的类型e的事件，并将系统的状态移动到x。为了使这一观点正式化，我们定义了状态函数和状态过程，如下所示。定义2.8（状态功能和状态过程）。我们定义了可测状态函数f:N#R×M→ X byF（ξ）：=RR{κ（ξ）}×Mxξ（dt，de，dx），ifξ∈ N#gR×Mandκ（ξ）>-∞,x、 否则，其中κ（ξ）：=inf{t<0：ξ（（t，0）×M）=0}和x∈ X是任意初始状态。给定M上的非爆炸标记点过程N，我们定义了状态过程（Xt）t∈RbyXt：=F（θtN<0），t∈ R、 注意，κ（θtN<0）是时间t之前最后一个事件的时间，因此，x是坐标x∈ 标记m的X=（e，X）∈ 最近事件的M。因此，我们确实有一个点t∈ RMORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.和a点M=（e，x）∈ M使得N（{t，M}）=1可以被解释为在t时发生的e型事件，并将系统的状态移动到x。基于此观点，R×Mallows上的一个标记点过程，用状态过程（Xt）t联合建模系统的演化∈Rin X和事件类型E的到达时间。为了检查状态函数F确实是可测量的，可以修改附录中的Lemma A.3.2的证明。2.2.2通过强度、隐含动力和特征的隐含定义。

我们现在可以引入一类混合标记点过程，它提供了对各种类型过程的统一处理，包括连续时间马尔可夫链和霍克斯过程，这是质量混杂的地方。此外，此类包含新类型的过程，如状态相关的霍克斯过程（下面的示例2.15），适用于事件和系统的联合建模。这一类是通过一种特定的强度形式隐式指定的。我们受到Cartea等人（2015，第13页）的启发，他们在连续时间马尔可夫链模型的背景下，提出了一种精神上相似的强度分解。我们还应提及将连续时间马尔可夫链的速率核α分解为速率函数c和过渡核u（即，α=uc）的关系，参见Kallenberg（2002，第238-239页），尽管这略有不同，因为c是总强度，不依赖于事件变量e∈ E定义2.9（混合标记点流程）。设φ：X×E×X→ R≥0是一个可测量的非负函数，使得φ（·| e，x）是所有e的概率密度（x，B（x），ux）∈ E，x∈ 十、设η：E×N#R×M→ R≥0∪ {∞} 成为可测量的非负函数。确定可测量的强度泛函ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞} byψ（m |ξ）：=φ（x | e，F（ξ））η（e |ξ），对于所有m=（e，x）∈ M，ξ∈ N#R×M。具有转移函数φ和事件函数η的混合标记点过程是一个非爆炸标记点过程N：Ohm → N#gR×mt允许ψ作为其强度泛函。换句话说，N允许FN强度λ：Ohm ×R>0×M→ R≥0相对于uMthat satifiesλ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）<0），P（dω）dtuM（de，dx）-a.e.（2.5）为了证明混合标记点过程的通用性和灵活性，我们给出了三个属于该类的已知过程的示例。

虽然这些例子最初可能只能在直观的层面上理解，但一旦引入定理2.13，读者应该完全相信它们的有效性。示例2.10（复合泊松过程）。设E={0}（即，仅一种类型的事件），uE=δ，X=R，uX（dx）=dx（即Lebesgue度量），并假设f:R→ R≥0是概率密度函数。考虑一个具有常数事件泛函η的混合标记点过程N≡ ν ∈ R> 0和传递函数φ（x | x）=f（x- x） ，x，x∈ R、 然后，N满足度的FN强度λ（t，x）=f（x- Xt）ν和状态过程（Xt）t∈R≥0是一个复合泊松过程，具有速率ν和跳跃大小分布f（x）dx。示例2.11（连续时间马尔可夫链）。设E、uE、X和uXbe，如实施例2.10所示。假设混合标记点过程N的事件泛函形式为η（ξ）=c（F（ξ）），ξ∈ N#R，其中c是正函数。N的FN强度由λ（t，x）=φ（x | Xt）c（Xt）和状态过程（Xt）t给出∈R≥0是一个连续时间马尔可夫链，具有速率函数c和转移核u（x，B）=RBφ（y | x）dy，x∈ R、 B类∈ B（R）。混合标记点过程：特征、存在和唯一性示例2.12（多元霍克斯过程）。设E={1，…，d}，d∈ N、 uE=Pdn=1δN，X={0}（即，只有一种可能的状态），uX=δ，ν=（ν，…，νd）∈ Rd>0和k：R>0×E→ R≥考虑一个事件泛函η（e |ξ）=νe+ZZ的混合标记点过程N(-∞,0）×Ek(-t、 e，e）ξ（dt，de），e=1，d、 ξ∈ N#R×E，注意转移函数必须满足φ≡ 1、N是一个多元Hawkes过程，基本速率为ν，核为k。接下来让我们解释强度（2.5）所暗示的动力学。

如果利用φ（·| e，Xt）是概率密度这一事实对状态变量X进行积分，可以看到R×e上标记点过程N（·×X）的FN强度正好是η（e·|θtN<0）。换句话说，η（e |θtN<0）是e类事件聚集的强度（不考虑它们如何影响状态过程Xt）。然后，η（e |θtN<0）根据φ（X | e，Xt）分布在状态空间X中，用标记（e，X）指定事件的强度。这表明φ（·| e，Xt）是系统下一个状态的概率密度，前提是下一个事件为e型，当前状态为Xt。定理2.13证实了这一直觉，该定理实际上更进一步，指出这些动力学特征是混合标记点过程。证明见第3.2小节。定理2.13（隐含动力学和特征化）。设φ和η如定义2.9所示。此外，假设N是R×M上的非爆炸性标记点过程，FN强度相对于uM。那么，N是具有转移函数φ和事件函数η的混合标记点过程，当且仅当以下两个陈述成立时。（i） NE（·）：=N（·×X）是R×E上的非爆炸性标记点过程，允许FN强度λE：Ohm×R>0×E→ R≥0相对于uE，λE（ω，t，E）=η（E |θtN（ω）<0）保持P（dω）dtuE（de）-a.E.（ii）让t∈ R≥0并定义停止时间τt：=sup{u>t:N（（t，u）×M）=0}和随机元素（E，X）：=RR{τt}×M（E，X）N（du，de，dx），使得τ是时间tand（E，X）之后的第一个事件的时间是相应的标记。我们有那个十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}= φ（x | E，Xt）ux（dx）1{τt<∞}, a、 s.（2.6）备注2.14。

如定理2.13的证明所示，方程式（2.6）暗示P十、∈ dx |σ（E）∨ FNt，{τt<∞}= φ（x | E，Xt）ux（dx）a.s.我们现在添加第四个示例，以表明定义2.9也包含新类型的过程。该示例将霍克斯过程扩展到所谓的状态相关霍克斯过程。总之，四个示例表明，混合标记点流程为构建和分析各种类型的流程提供了一个通用框架。示例2.15（状态相关的霍克斯过程）。考虑具有形式为η（e |ξ）=ν（e）+ZZ的事件泛函η的混合标记点过程(-∞,0）×Mk(-t、 m，e）ξ（dt，dm），e∈ E，ξ∈ N#R×M，（2.7）MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.其中ν：E→ R≥0和k:R×M×E→ R≥0是非负的可测量函数。我们证明了这些函数确实是可测量的（命题A.4.1）。根据定理2.13，这产生了一个标记点过程new，其标记在E中，强度η与状态过程（Xt）t相互作用∈具有转移概率φ的Ron X。一方面，NEoccur中的事件类似于霍克斯过程，只是现在内核也依赖于状态过程。例如，类型为e的事件∈ E可能引发E类事件∈ E仅当它将系统移动到某个特定状态x时∈ X，即k（·，e，X，e）≡ x6=x时，0。另一方面，NEP中事件的发生会根据转移概率φ改变状态。因此，这种标记点过程定义了一个依赖于状态的霍克斯过程，其中状态过程与霍克斯过程完全耦合。

查看NEand（Xt）t∈强度为φη的E×X上的Ras单标记点过程N将允许我们证明这种动力学的存在，参见推论2.18和示例2.19。混合标记点过程的子类扩展了Vinkovskaya（2014）的状态切换模型，其中触发状态切换的状态过程未建模。此外，由于这里的事件驱动了状态过程的动力学，因此该子类不同于Cohen和Elliott（2013）或Swishchuk（2017）提出的马尔可夫调制霍克斯过程，其中状态过程是一个独立于事件跳跃的连续时间马尔可夫链。此外，Cohen和Elliott（2013）中的强度仅取决于当前状态，而这里和Swishchuk（2017）中的强度可能取决于所有过去的状态。2.3混合标记点过程的存在性和唯一性在本小节中，M不需要像第2.2小节那样是乘积空间，但也可以是任意完全可分度量空间。2.3.1存在唯一性问题。混合标记点过程（定义2.9）通过其强度过程隐含定义，而强度过程又取决于混合标记点过程的历史。由于定义的自我参照性质，目前尚不清楚是否存在这种标记点过程。更一般地，给定初始条件N≤0（见第2.1.8小节）和可测强度泛函ψ：M×N#R×M→ R≥0∪{∞}, 人们可以问，是否存在唯一的非爆炸性标记点过程N，它满足初始条件N≤R上的0≤0并允许ψ作为其强度泛函onR>0。Massouli\'e（1998）通过将存在问题重新表述为泊松驱动的SDE来解决这个问题，扩展了Br\'emaud和Massouli\'e（1996）、Grigelionis（1971）和Kerstan（1964）的工作。

Delattre et al.（2016）还将这种泊松嵌入技术应用于有限方向图上的Hawkes过程。然而，在这些文献中，通过对强度泛函ψ施加lipschitz条件，获得了强存在唯一性。更准确地说，假设存在一个非负的核函数：R>0×M×M→ R≥0使得|ψ（m |ξ）- ψ（m |ξ）|≤ZZR<0×Mk(-t、 m，m）|ξ- ξ|（dt，dm），m∈ M，ξ，ξ∈ N#R×M.（2.8）不幸的是，在混合标记点过程的上下文中，这个条件限制太多。第4.1.1小节给出了一个不满足（2.8）的简单、自然的混合标记点过程示例。因此，我们的目标是构造泊松驱动SDE的强解，而不对强度泛函ψ施加Lipschitz条件（2.8）。事实上，我们将通过在ψ上施加混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性——仅一个较弱的次线性条件，来扩展Massouli'e（1998）中的存在性结果。Jacod（1979）也研究了将随机测度定义为由另一个随机测度驱动的anSDE的强解的想法。同样，需要一个似乎不适用于Hawkes过程和混合标记点过程的Lipschitz条件（Jacod，1979，第14章，第1节）。让我们简要回顾一些弱存在性和唯一性结果。Jacod（1975）证明了标点过程的正则空间上存在唯一的概率测度，使得正则标点过程允许给定的补偿器。然而，这个标记点过程可能是爆炸性的。然而，我们将在下面定理2.21的证明中应用这个结果，以获得弱唯一性。