混合标记点过程：特征、存在和

在算法4.10中，在假设A、B.（i）和C的情况下，对于每个ω∈ F、 卡片（Mn（ω））<∞, Nn（ω）∈ N#R×M，kλik（ω）：=supt>0，M∈Mλi（ω，t，M）<∞, 适用于所有n∈ N、 和（u>Tn（ω）：ZZ（Tn（ω），u）×MZ（0，λN（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6= 适用于所有n∈ N s.t.Tn（ω）<∞.因此，算法4.10在这些假设下得到了很好的定义。混合标记点过程：特征、存在性和唯一性证明。我们通过归纳给出了期望的结果。取任意ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 让n∈ N尽管我∈ n确保i<n和Ti（ω）<∞, 假设（u>Ti（ω）：ZZ（Ti（ω），u）×MZ（0，λi（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6=. （4.5）尽管我∈ N这样我≤ n、 假设Ni（ω）∈ N#R×Mand kλik（ω）：=supt>0，m∈Mλi（ω，t，M）<∞.如果Tn（ω）=∞, 然后，通过构造，这对于n+1也是如此。现在，假设Tn（ω）<∞. 我们首先表明（4.5）对于i=n也成立。取任何ε>0。我们有thatzz（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×MZ（0，λn（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）≤ M（ω，（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×M×（0，kλnk（ω）]）≤ Lpn（ω）（ω，（Tn（ω），Tn（ω）+ε））=：Un（ω，ε）<∞,其中pn（ω）∈ N等于kλnk（ω）≤ pn（ω），我们使用Lpn（ω）（ω）∈ N#R.如果Un（ω，ε）=0，则显然（4.5）满足i=N。如果不满足，则M（ω）在（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×M×（0，kλnk（ω）]中有一个有限的点数，并且存在0<ε<ε，使得Un（ω，ε）=0，在这种情况下（4.5）再次满足i=N。请注意，（4.5）中的积分定义良好，因为i（ω，ε）=ω，·，·）是R>0×M上所有ω的可测函数∈ Ohm. 要了解这一点，请考虑组成（t，m）7→ （m，θtNi（ω）<0）7→ ψ（m |θtNi（ω）<0）和useLemma A.2.3，Kallenberg（2002）中ψ和引理1.8的可测性。其次，我们展示了卡片（Mn+1）<∞ 和Nn+1（ω）∈ N#R×M。

如果Tn+1（ω）=∞, 那么这是立即的。如果不是，则再次使用该Lpn（ω）（ω）∈ N#R，Xm∈Mn+1M（ω，{Tn+1（ω）}×{m}×（0，λn（ω，Tn+1（ω），m）]）≤ M（ω，{Tn+1（ω）}×M×（0，kλnk（ω）]）≤ Lpn（ω）（ω，{Tn+1（ω）}）<∞,这意味着集合Mn+1（ω）是有限的，并且从（4.3）来看，Nn+1（ω）∈ N#R×M。注意，这也证明了Nn+1（ω，（0，Tn+1（ω））×M）<∞.第三，我们证明了kλn+1k（ω）<∞. 如果Tn+1（ω）=∞, 那么这是立即的。如果不是，通过（4.4）并使用假设B.（i）和（4.3），我们得到所有t>0，m=（x，e）∈ M，λn+1（ω，t，M）≤ a（Nn+1（ω(-∞, t） ×M））=a（Nn+1（ω(-∞, 0]×M）+Nn+1（ω，（0，t）×M））≤ a（N≤0(ω≤0, (-∞, 0]×M）+Nn+1（ω，（0，Tn+1（ω））×M））。（4.6）由于Nn+1（ω，（0，Tn+1（ω））×M）<∞ 假设C，N≤0(ω≤0, (-∞, 0]×M）<∞, 这意味着kλn+1k（ω）<∞.关于这个归纳的基础，N（ω）=N是直接的≤0(ω≤0）∈ N#R×M.见kλk（ω）<∞, 简单设置n=-1英寸（4.6）。我们证明构造的映射N：Ohm → N∞R×mStatis（2.10）直到每个事件时间。提案4.12。在假设A、B.（i）和C下，映射N：Ohm → N∞由算法4.10得到的R×m使得N（ω）在(-∞, 所有n的Tn（ω）∈ N、 对于所有ω∈ F、 MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.Proof。定义过程λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0），ω∈ Ohm, t型∈ （0，T∞（ω） ），m∈ M取任意ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 按构造，N（ω）≤0=N（ω）=N≤0(ω≤0），因此，N满足强初始条件N≤0、取任意n∈ N使得Tn+1（ω）<∞ 在算法4.10中，考虑时间间隔（Tn（ω），Tn+1（ω）]。通过构造，我们得到所有t的nn+1（ω，dt，dm）=M（ω，dt，dm，（0，λn（ω，t，M）]∈ （Tn（ω），Tn+1（ω）]。

（4.7）但是，根据定义(-∞, Tn+1（ω）]，N（ω）=Nn+1（ω），因此，对于所有t∈ （0，Tn+1（ω）]，m∈ M，λ（ω，t，M）=ψ（M |θtN（ω）<0）=ψ（M |θtN+1（ω）<0）=ψ（M |θtN（ω）<0）=λn（ω，t，M），通过λn的定义（4.4），因为Nn+1（ω）和Nn（ω）只能在时间tN+1（ω）时通过质量进行区分。因此，（4.7）可以在（Tn（ω），Tn+1（ω）]asN（ω，dt，dm）=M（ω，dt，dm，（0，λ（ω，t，M）]上重写。（4.8）这表明构造的N（ω）在(-∞, Tn（ω）]，对于所有n∈ N使得Tn（ω）<∞.现在，如果有n∈ N使得Tn（ω）<∞ 和Tn+1（ω）=∞, 很明显，构造的N（ω）在（Tn（ω）上为空，∞) 通过类似的论证，（4.8）保持不变（Tn（ω），∞). 现在我们可以得出结论，N（ω）在(-∞, 所有n的Tn（ω）∈ N在两种情况下，Tn（ω）<∞ 和Tn（ω）=∞.对于强大的存在性证明来说，证明所有n∈ N、 NNI适应过滤F和λnis F-可预测。提案4.13。在算法4.10中，对于所有n∈ N、 λnis F-可预测，Nnis是F-适应的非爆炸点过程，Tnis是F-停止时间。证据我们采用归纳法。就基础而言，由于过滤F已完成，显然已适应，这是一个F停止时间。现在假设Nnis F-adapted和Tnis是某个n的F-stopping时间∈ N、 首先，观察到这意味着λnis F-可以通过简单地使用恒等式λN（ω，t，m）=ψ（m |θtNn（ω）<0）1F（ω）并调用引理3.4预测，事实上FNnt 英尺，吨∈ R、 假设F是完备的。第二，让t∈ 注意{Tn+1≤ t}=ZZZR×M×R（Tn，t）（s）1（0，λn（s，M）]（z）M（ds，dm，dz）>0∩ {Tn<∞} ∩ F、 （4.9）因为Tn是F-停止时间，我们有（1（Tn，t）（s））s∈Ris F-适应并左连续，这意味着它是F-可预测的，参见Kallenberg中的引理25.1（2002，第491页）。

根据引理4.6证明的第三部分的论证，我们推断（4.9）右侧的第一个事件属于FTA，因此Tn+1是F停止时间。第三，使用命题4.12并查看算法4.10，注意Nn+1的满意度Nn+1（ω，dt，dm）=M（ω，dt，dm，（0，λn（ω，t，M）1{t≤Tn+1（ω）}），ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，N≤0（ω）=N≤0(ω≤0), ω = (ω≤0, ω>0) ∈ Ohm,式中λn（t，m）1{t≤Tn+1}作为F-可预测过程的产物是F-可预测的，请注意，1{t≤Tn+1}是F自适应的，并且保持连续，因为Tn+1是F停止时间。现在，应用引理4.6，可以得出NN+1确实是F适应的。混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性在假设a、B和C下，我们现在能够证明定理2.17，强度泛函如下：ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞}（m，ξ）7→ ψ（m |ξ）：=a（ξ((-∞, 0）×M）。不过，请注意，以下证明的第一步对于满足假设B的一般强度泛函ψ仍然成立，并将在定理2.17证明的其他部分中重复使用。定理2.17第1部分的证明。让N：Ohm → N∞算法4.10在假设A，带C下给出的R×Mbe，命题4.11很好地定义了这一点，这里考虑特殊情况ψ=ψ。我们将证明N承认了一个解决泊松驱动SDE的版本。我们分四步进行。首先，注意对于所有ω∈ Ohm, t<t∞（ω） ，存在n个∈ N使得θtN（ω）<0=θtNn（ω）<0，根据命题4.15，过程λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0）1F（ω）1{t<t∞(ω)}, ω ∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M，是定义明确的，对于所有ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M，λ（ω，t，M）=limn→∞ψ（m |θtNn（ω）<0）1F（ω）1{t<t∞（ω） }=limn→∞λn（ω，t，m）1{t<t∞(ω)}.根据命题4.12，由于我们构造N的方式，我们得到了N和λ满足（4.1）。ByProposition 4.13，适用于所有n∈ N、 λnis F-可预测，tn是F-停止时间。

自T起∞= 画→∞Tn，我们有那个T∞是F-可预测时间，引理25.3表示。（ii）在Kallenberg（2002，第492页）中，1{t<t∞}是F-可预测的。由于λ是F-可预测过程的一个极限，我们在Kallenberg（2002年，第6页）的引理1.9中发现λ也是F-可预测的。因此，我们可以应用引理4.6得到N是自适应整值随机测度。接下来步骤的主要目标是显示∞= ∞ a、 其次，根据4.11号提案，我们可以看到supm∈Mλ（ω，t，M）<∞ 对于所有t∈ R> 0，ω∈ Ohm.因此，根据引理4.9，存在并且几乎可以确定的事件G∈ 其中N（{t}×M}）的F≤ 所有t均为1∈ R、 设▄N，（▄Nn）N∈N、 （Tn）N∈NandT∞与N重合，（Nn）N∈N、 （Tn）N∈与非T∞在G上。在G外，设置▄N：=0，▄Nn：=0，▄Tn：=∞, 适用于所有n∈ N、 和▄T∞:= ∞. 定义RNM（·）：=~N（·×M），~NM，N（·）：=~Nn（·×M），N的随机测量值∈ N、 并定义过程λ（ω，t）：=limn→∞a（～NM，n（ω(-∞, t） ））1{t<t∞（ω） }=a（￠NM（ω(-∞, t） ））1{t<t∞(ω)}, ω ∈ Ohm, t型∈ R> 0。自{Tn≤ t} ={NM（（0，t）]）≥ n} ，tn实际上是一个F NM停止时间，因此，在第一步中重复使用参数，我们得到了1{t<t∞}FNM可预测。此外，通过引理3.4，我们得到了（a（~NM，n((-∞, t） ）））t>0表示FNM，n-可预测，因此，FNM可预测。因此，再次使用引理1.9 inKallenberg（2002，第6页），我们得出∧也是FNM可预测的。下一步，因为对于所有t，N=N a.s.；且λ（t）=λ（t，m）∈ R> 0，m∈ 因为引理4.6适用于N和λ，所以我们得到了，对于任何非负的morariu PATRICHI，M.和PAKKANEN，M。

S、 FNM可预测过程H：Ohm ×R>0→ R≥0，EZR>0H（t）~NM（dt）= EZZR>0×MH（t）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t）λ（t，m）um（dm）dt= EZR>0H（t）～λ（t）uM（M）dt.因此，▄NM，或等效（▄Tn）n∈N、 定义了一个简单的点过程，即R>0，FNM可预测投影（在Jacod（1975）的意义上，uM（M）Rtλ（s）ds）t>0。第三，引理3.1，FNMt=FNM∨ FN>0Mt，因此，Jacod（1975）的假设A.1成立，另请参见定理2.21和备注4.17的证明。然后，根据Jacod（1975）中的命题3.1，我们得到了，条件是N≤0((-∞, 0]）=n∈ N、 序号：=▄Tn+1-Tn，n∈ N、 遵循指数分布，参数a（N+N）uM（M）和（Sn）N∈Nare独立。由于假设B.（ii），通过Jacobsen（2006，第20页）中的示例3.1.4，我们推断出，以N为条件≤0((-∞, 0]）=n，~T∞= 画→∞Tn=∞a、 参见Kallenberg（2002年，第240页）中的12.19号提案。因此，它认为∞= ∞ a、 s.无条件。第四，遵循前三个步骤，我们证明了存在一个版本的N，即N∈ N#gR×M，即N的这个版本是一个非爆炸性标记点过程，见命题4.2，因此N解决了泊松驱动的SDE。我们通过推论4.8得出结论。为了在一般情况下证明定理2.17，在假设A、B和C下，我们将使用特殊情况ψ=ψ的解来证明构造的映射N：Ohm → N∞R×M实际上取N#gR×M。首先，我们需要确定标记点过程N被另一个标记点过程N支配的含义。定义4.14。设ξ，ξ∈ N∞R×M。我们说ξ受ξ支配，并写入ξ ξ如果，对于所有A∈ B（R×M），ξ（A）≤ ξ（A）。让T∈ R、 我们说ξ被ξon控制(-∞, T]ifθTξ≤0 θTξ≤考虑两个映射N：Ohm → N∞R×M和N：Ohm → N∞R×M。如果N为N，则N为N所支配 N时不适用 另一方面，人们也可以说，N是N的减薄。

实际上，请注意ξ ξ意味着ξ的所有原子也是ξ的原子。现在，我们将显示构造的映射N：Ohm → N∞R×Mis受特殊情况ψ=ψ的任何解支配。提案4.15。让N：Ohm → N#gR×Mbe具有强度泛函ψ的泊松驱动SDE的解。然后，在假设A、B.（i）和C下，映射N：Ohm → N∞R×从算法4.10Saties N中获得 不适用。s、 证明。固定ω=（ω≤0, ω>0) ∈ A.∩ F、 其中A∈ F是Nsolves（2.10）的几乎确定事件，其中ψ被ψ取代。很清楚，我们有N（ω） N（ω）开(-∞, 0]. 现在取任意n∈ N使得Tn（ω）<∞假设N（ω） N（ω）开(-∞, Tn（ω）]。如果Tn+1（ω）=∞, 那么N（ω）在（Tn，∞) 和weHYBRID标记点过程：特征化、存在性和唯一性shave N（ω） N（ω）。如果Tn+1（ω）<∞, 我们已经做到了∈ （Tn（ω），Tn+1（ω）]，m∈ M，λ（ω，t，M）=ψ（M |θtN（ω）<0）（通过构造）=ψ（M |θtNn（ω）<0）（通过假设B.（i））≤ ψ（m |θtNn（ω）<0）（根据ψ的定义，假设B和自Nn（ω） N（ω））≤ ψ（m |θtN（ω）<0）=：λ（ω，t，m）。根据N（ω）的命题4.12和N（ω）的假设，我们得到N（ω）和N（ω）都满足(-∞, Tn+1（ω）]，其中λ替换为λ表示N（ω）。因此，我们必须有N（ω） N（ω）开(-∞, Tn+1（ω）]。通过构造，N（ω）只有在T（ω）<T（ω）<…<∞,我们已经证明了N（ω） N（ω）。这意味着N 不适用。s、 这使我们能够在假设A、B和C下得出定理2.17的证明。定理2.17的证明，第2部分。重复第1部分的第一步。然后，通过命题4.15，我们推断出∈ N#gR×Mand T∞= ∞ a、 然后，我们在假设a、D、E下，重复第1.4.2.2部分的第四步。

为了在假设A、D和E下证明定理2.17，我们还将使用算法4.10构造候选解，但几乎确定的事件F需要被另一个几乎确定的事件F替换，以确保算法在这些新假设下得到很好的定义。然而，在假设B和C下，我们能够首先构造候选解，然后通过特例ψ=ψ的解来控制它，这里我们将在构造候选解的同时控制它。主要的非爆炸性标记点过程就是泊松驱动的随机微分方程的解，其强度泛函ψ为：M×N#R×M→ R> 0个∪ {∞}（m，ξ）7→ ψ（m |ξ）：=λ+ZZ(-∞,0）×Mk(-t、 m，m）ξ（dt，dm），其中λ和k与假设D相同。事实上，通过应用Massouli'e（1998）和Lemma4.9的结果，我们可以在假设A、D和e的特殊情况下证明定理2.17ψ=ψ。定理2.17第3部分的证明。显然，ψ用核k满足Lipschitz条件（2.8）。在假设A、D.（ii）和E.（i）下，根据Massouli\'E（1998）的定理2，我们知道存在一个非爆炸点过程N：Ohm → N#R×Mthat求解（2.10），其中ψ替换为ψ，因此N（·×M）∈ N#R.此外，应用假设D.（iii）和E.（ii），我们得到λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0）=λ+ZZ(-∞,t） ×Mk（t- t、 m，m）N（ω，dt，dm）≤ λ+~λ≤0(ω≤0，t）+ZZ（0，t）×Msupm∈Mk（t- t、 m，m）N（ω，dt，dm）<∞, ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ 这证明了supm∈Mλ（t，M）<∞, 对于所有t∈ R> 因此，通过引理4.9，我们得出结论，Nadmit的一个版本使得N（ω）∈ N#gR×M，ω∈ Ohm, 这意味着该版本解决了泊松驱动的SDE。由推论4.8得出结论。从现在起，MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.用N表示在特殊情况ψ=ψ和byF下泊松驱动的SDE的解∈ F N解（2.10）的几乎确定事件，其中ψ替换为ψ。

以下陈述类似于命题4.11，并确保算法4.10在这组不同的假设下得到了很好的定义。提案4.16。在算法4.10中，用F代替Fis，在假设A、D和E下，我们得到了，对于每个ω∈ F、 卡片（Mn（ω））≤ 1，Nn（ω） N（ω），对于所有N∈ N、 和（u>Tn（ω）：ZZ（Tn（ω），u）×MZ（0，λN（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6= 适用于所有n∈ N s.t.Tn（ω）<∞.因此，算法4.10在这些假设下得到了很好的定义。证据我们用归纳法证明了这个断言。取任意ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 让n∈ N而且我∈ n确保i<n和Ti（ω）<∞, 假设（u>Ti（ω）：ZZ（Ti（ω），u）×MZ（0，λi（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6=. （4.10）对于所有i∈ N这样我≤ n、 假设Ni（ω） N如果Tn（ω）=∞, 然后，通过构造，这也适用于n+1。现在，假设Tn（ω）<∞. 我们首先证明了（4.10）也适用于i=n。通过修改命题4.15的证明并使用假设D.（i），我们得到λn（ω，t，m）≤ λ（ω，t，m），对于所有t>Tn（ω），m∈ M因此，对于任何ε>0，我们有thatZZ（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×MZ（0，λn（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）≤ZZ（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×MZ（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=N（ω，（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×m）=：Un（ω，ε）<∞,自N（ω，·×M）∈ N#R.如果Un（ω，ε）=0，那么显然（4.10）对于i=N是满足的。如果不是，N（ω，·×M）在（Tn（ω），Tn（ω）+ε中有一个有限的点数，并且存在0<ε<ε，使得Un（ω，ε）=0，在这种情况下（4.10）对于i=N也是满足的。其次，我们证明了卡（Mn+1）≤ 1和Nn+1（ω） N（ω）。如果Tn+1（ω）=∞, 那么这是立即的。如果不是，则为λn（ω，t，m）≤ λ（ω，t，m），对于所有t>Tn（ω），注意mn+1（ω）：={m就足够了∈ M:M（ω，{Tn+1（ω）}×{M}×（0，λn（ω，Tn+1（ω），M）]）>0}m级∈ M:M（ω，{Tn+1（ω）}×{M}×（0，λ（ω，Tn+1（ω），M）]）>0=m级∈ M:N（ω，{Tn+1（ω）}×{M}）>0≤ 1，因为N（ω）∈ N#gR×M。

我们已经知道Nn（ω） N（ω），观察（4.3）并观察到Nn+1（ω）和Nn（ω）在时间Tn+1（ω）时只相差一个质量，我们进一步推断Nn+1（ω） N（ω）。关于这个归纳的基础，N（ω）是立即的 N（ω），因为N（ω）=N≤0(ω≤0）=N≤0(ω).我们现在可以在假设a、D和E下完成定理2.17的证明。混合标记点过程：定理2.17的特征化、存在性和唯一性证明，第4部分。让N：Ohm → N∞R×Mbe由算法4.10在假设A、D和E下给出，其中F代替了F。根据命题4.16，该映射得到了很好的定义。此外，我们注意到，在目前的假设下，命题4.12和4.13仍然成立。因此，我们可以重复证明第1部分的第一步。根据命题4.16，我们知道Nn（ω） N（ω）表示所有ω∈ F、 这意味着通过构造N（ω） 对于所有ω，R上的N（ω）>0∈ Ohm. 因此，我们得到N（ω）∈ N#gR×MandT∞(ω) = ∞ 对于所有ω∈ Ohm, 这意味着N求解泊松驱动的SDE。我们通过推论4.8.4.3定理2.20的强唯一性和弱唯一性证明再次得出结论。让▄Ohm ∈ F几乎可以肯定N和Nsolve都存在的事件（2.10）。Let（Tn，Mn）n∈Nand（Tn，Mn）n∈Nbe（0，∞]×M，其中N和Nare分别等效。现在fix任意ω∈~Ohm. 我们通过强归纳证明，对于所有n，Tn（ω）=Tn（ω），Mn（ω）=Mn（ω）∈ N、 让N∈ N并假设对于所有i=1，…，Ti（ω）=Ti（ω）和Mi（ω）=Mi（ω），n- 通过矛盾，假设Tn（ω）6=Tn（ω），并且在不丧失一般性的情况下，假设Tn（ω）<Tn（ω）。那么，这意味着n（ω，（0，Tn（ω）]×M）=Z（0，Tn（ω）]ZMZ（0，λ（ω，t，M）]M（ω，dt，dm，dz）=n，n（ω，（0，Tn（ω）]×M）=Z（0，Tn（ω）]ZMZ（0，λ（ω，t，M）]M（ω，dt，dm，dz）=n- 其中λ（ω，t，m）=ψ（m |θtN（ω）<0），λ（ω，t，m）=ψ（m |θtN（ω）<0）。但由于N（ω）≤0=N（ω）≤0并且对于所有i=1，…，Ti（ω）=Ti（ω）和Mi（ω）=Mi（ω）。