混合标记点过程：特征、存在和

因此，我们确定了给定FNτt的（E，X）的唯一正则条件分布-关于可测空间（{τt<∞}, {τt<∞} ∩ F） 配备测量P（·）∩ {τt<∞})/P（{τt<∞}) （Kallenberg，2002，定理6.3，第107页）。此外，观察映射（ω，m）7→ λ（ω，τt（ω），m）1{τt（ω）<∞}is FNτt-B（M）可测量，参见Kallenberg（2002，第492页）中的引理25.3。使用Kallenberg（2002，第14页）中的引理1.26，我们得出由f（ω，e，x）定义的函数=λ（ω，τt（ω），e，x）RMλ（ω，τt（ω），m）um（dm）{τt（ω）<∞}, ω∈ Ohm, e∈ E，x∈ X是FNτt- B（M）-可测量。然后我们可以应用引理3.6，G=FNτt-和A={τt<∞}. 这个庄园十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}=λ（τt，E，x）RXλ（τt，E，x）ux（dx）ux（dx）1{τt<∞}, a、 s.（3.5）MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.s.通过将术语φ（x | e，Xt）视为应用于（e，x，θtN<0）的可测函数，其中φ（x，e |ξ）=φ（x | e，F（ξ）），并使用状态函数F和转移函数φ的可测性，我们通过引理3.4得出φ（x | e，θtN<0），t∈ R、 e类∈ E，m∈ M，FN是可预测的。同样，注意η（e |θtN<0），t∈ R、 e类∈ E，也是FN可预测的（这在证明效率时很有用）。此外，由于λ的假设，λ（ω，t，e，x）RXλ（ω，t，e，x）ux（dx）=φ（x | e，Xt（ω）），P（dω）dtuM（de，dx）-a.e。因此，使用引理3.5，（3.5）成为十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}= φ（x | E，xτt）ux（dx）1{τt<∞}, a、 为了得到（2.6），需要注意的是，Xτt=Xt+on{τt<∞} 由于通过定义τt，时间间隔（t，τt）上没有事件。此外，由于基点过程N（·×M）允许FN强度，我们得到N（{t}×M）=0 a.s.，这意味着Xt+=Xta。s

要显示备注2.14中的陈述，只需使用（2.6）和塔楼属性即可获得F{τt<∞}十、∈B= EF{τt<∞}E十、∈B |σ（E）∨ FNτt-= EF{τt<∞}ZBφ（x | E，Xt）ux（dx）对于所有F∈ σ（E）∨ FNt，B∈ B（X）并观察rbφ（X | E，Xt）uX（dx）是σ（E）∨ FNt可测量。效率。假设N是R×M上的一个非爆炸性标记点过程，因此它允许相对于uMand的anFN强度，因此陈述（i）和（ii）成立。我们想证明λ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）<0）对于所有t∈ R≥0，通过使用语句（ii）、（3.5）、引理3.3和3.5以及语句（i），我们得到φ（x | E，xτt）ux（dx）1{τt<∞}= P十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}=λ（τt，E，x）RXλ（τt，E，x）ux（dx）ux（dx）1{τt<∞}=λ（τt，E，x）λE（τt，E）ux（dx）1{τt<∞}=λ（τt，E，x）η（E |θτtN<0）ux（dx）1{τt<∞}, a、 这意味着∈ R≥0，我们有λ（τt，E，x）1{τt<∞}= φ（x | E，xτt）η（E |θτtN<0）1{τt<∞}, uX（dx）-a.e.，a.s.这将同时保持所有t∈ Q∩ R≥0，其中，使用N中的事件数是可数的且在任何有界时间间隔内是有限的，λ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）<0），P（dω）NE（ω，dt，de）ux（dx）-a.e。通过引理3.5，上述等式意味着λ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）P（dω）λe（ω，t，e）dtuM（de，dx）-a.e.注意，在λe（ω，t，e）=0时，我们得到η（e |θtN（ω）<0）=0保持P（dω）dtue（de）-a.e，λ（ω，t，e，x）=0保持P（dω）dtue（de）ux（dx）-a.e。（再次使用引理3.3），我们得出上述方程实际上保持P（dω）dtuM（de，dx）-a.e。混合标记点过程：特征化、存在和唯一性4在本节中，我们用下面给出的泊松嵌入引理证明了强存在性结果（定理2.17）。

随后，我们还证明了强唯一性和弱唯一性结果（定理2.20和2.21）。4.1序言4.1.1违反Lipschitz条件的示例。这里我们给出了一个不满足Lipschitz条件（2.8）的混合标记点过程的例子，这意味着Massouli'e（1998）中的存在性和唯一性结果不适用。示例4.1。设置E={0，1}和X={0，1}，其中uE=δ+δ，uX=δ+δ。考虑与过渡函数φ和事件函数η的混合标记点过程相对应的强度函数ψ（见定义2.9）。取η为形式为η（e |ξ）=ν+ZZR<0×Mk的Hawkes泛函(-t、 x，e）ξ（dt，de，dx），其中ν∈ R> 0和k：R>0×X×E→ R> 0在时间上是连续的，并且严格为正。让t∈ R<0并选择ξ，ξ∈ N#gR×Msuchξ和ξ重合(-∞, t] （即θtξ≤0=θtξ≤0），但F（ξ）=0，F（ξ）=1（因此，ξ和ξ在（t，0）上不重合）。还假设φ（0 | 0，1）>φ（0 | 0，0），η（0 |ξ）<∞,andRR（t，0）×Mk(-t、 x，0）ξ（dt，de，dx）>RR（t，0）×Mk(-t、 x，0）ξ（dt，de，dx）。然后，在留给读者的一些计算之后，|ψ（0，0 |ξ）- ψ(0, 0 | ξ)| ≥ (φ(0 | 0, 1) - φ（0 | 0，0））ZZ(-∞,t] ×Mk(-t、 x，0）ξ（dt，dx）。接下来，考虑任何非负核k:R>0×M×M→ R≥0.我们有thatZZR<0×Mk(-t、 m，0，0）|ξ- ξ|（dt，dm）=ZZ（t，0）×Mk(-t、 m，0，0）|ξ- ξ|（dt，dm）。现在我们可以根据需要在ξ和ξ上添加任意多的点(-∞, t] 保证|ψ（0，0 |ξ）- ψ（0，0 |ξ）|>ZZR<0×Mk(-t、 m，0，0）|ξ- ξ|（dt，dm）。因此，强度泛函ψ不满足Lipschitz条件（2.8）。4.1.2泊松过程的积分。我们首先明确了点过程和随机测量之间的联系。

可测空间（S，S）上的随机测度M是映射M：Ohm ×S→ R≥0∪ {∞} 使得M（ω，·）是（S，S）上所有ω的度量∈ Ohm M（·，A）是所有A的随机变量∈ S、 见Kallenberg（2002年，第106页）和Cinlar（2011年，第6章，第243页）。注意，第2.1.6小节的内部历史和适应性概念可以直接扩展到随机测量。毫不奇怪，点过程正是有界整数值随机测度。提案4.2。设N是（U，B（U））上的随机测度，使得N（ω，·）∈ N#uF全部ω∈ Ohm. N是U上的非爆炸点过程。反过来，U上的任何非爆炸点过程N是（U，B（U））上的随机测度，使得N（ω，·）∈ N#uF全部ω∈ Ohm.MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.Proof。见提案9.1。《Daley和Vere Jones》第八卷（2008年，第8页）。可以证明，泊松过程是C,nlar意义上的泊松随机测度（2011年，第6章，第249页）。这使我们能够应用关于泊松随机测度的积分的一个重要结果。在说明结果之前，我们需要明确泊松过程相对于过滤的泊松意义。定义4.3。设N是R×U上的泊松过程，F=（Ft）t∈Rbe a过滤。我们说，对于所有t，N是相对于F的泊松∈ R、 点过程θtN≤0ft是可测的，σ（θtN>0）与Ft无关。很平常，泊松过程N相对于其内部历史FN总是泊松的。下一个结果在泊松嵌入技术中起着至关重要的作用，该技术后来被用于构造具有给定强度的标记点过程。定理4.4。设N是R×U上的泊松过程，参数测度为ν。设F=（Ft）t∈Rbe a过滤，并假设N是相对于F的泊松。

然后，对于每个非负F-可预测过程h：Ohm ×R×U→ R≥0，我们有ZZR×UH（t，u）N（dt，du）= EZZR×UH（t，u）ν（dt，du）.证据参见C,inlar（2011年，第6章，第299页）中的定理6.2。4.1.3驱动泊松过程。我们证明了映射M：Ohm → （2.9）定义的N#R×M×rd仍然是一个泊松过程。引理4.5。映射M：Ohm → N#R×M×Ris是R×M×R上的泊松过程，参数为uM（dm）dz。此外，M是相对于F.Proof的泊松分布。通过合成，利用M>0的可测性，很容易检查M是可测映射，因此，它是一个非爆发点过程。为了证明M是一个泊松过程，参数测量为uM（dm）dz，请注意，对于任何n∈ N、 对于每个有界集族（Ai）i∈{1，…，n}，对于所有k，千牛∈ N、 P（M（Ai）=ki，i=1，n） =P>0（M>0（Ai）=ki，i=1，n） ，并使用M>0是一个泊松过程的事实，其参数度量为dtuM（dm）dz。显示θtM≤0英尺是否可测量任何t∈ R、 使用θtM≤0>0是FM>0t可测量的（因为泊松过程始终是相对于其内部历史的泊松）以及组合参数。类似地，可以显示σ（θtM>0） {, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0），因此，为了证明σ（θtM>0）与Ft无关，可以证明{, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0）与Ft无关。为此，让A≤0∈ {, Ohm≤0}，A>0∈ σ（θtM>0>0），B≤0∈ FN公司≤0和B>0∈ FM>0t。然后，利用M>0是相对于FM>0的泊松的事实，我们得到了p（A≤0×A>0∩ B≤0×B>0）=P（A≤0∩ B≤0×A>0∩ B> 0）=P≤0（A≤0∩ B≤0）P>0（A>0∩ B> 0）=P≤0（A≤0）P≤0（B≤0）P>0（A>0）P>0（B>0）=P（A≤0×A>0）P（B≤0×B>0）。混合标记点过程：特征、存在性和唯一性这表明两个π-系统生成{, Ohm≤0}σ（θtM>0>0）和FN≤0吨FM>0t分别是独立的。我们使用Kallenberg（2002，p。

50）该{, Ohm≤0}σ（θtM>0>0）和FN≤0吨FM>0独立。然后我们可以验证{, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0）保持独立于完成fn≤0吨 FM>0t，定义为Ft。事实上，请记住，Ft：=σ（C），C：=（FN≤0吨 FM>0t）∪ A其中A表示F中P-null集的所有子集的类。然后注意到C是π-系统{, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0）与C.4.1.4泊松嵌入引理无关。我们现在可以展示以下关键引理，它演示了泊松过程M的额外维度如何允许我们生成具有给定强度的标记点过程。引理4.6（泊松嵌入）。设λ：Ohm ×R>0×M→ R≥0是F-可预测的流程。然后，映射n：Ohm ×B（R>0×M）→ R≥0∪ {∞}（ω，A）7→ N（ω，A）：=ZZAZ（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）（4.1）是R>0×m上的F-自适应整值随机测度。此外，对于每个非负F-可预测过程H：Ohm ×R>0×M→ R≥0，我们有ZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt.证据首先，让我们∈ B（R>0×M），并考虑以下成分（ω，t，M，z）7→ （λ（ω，t，m），z）7→ 1（0，λ（ω，t，m）]（z）注意到1（0，λ（ω，t，m）]（z）通过Kallenberg（2002，第5页）中的引理1.7和引理1.8是F可预测的。然后，两个F-可预测过程的乘积1A（t，m）1（0，λ（ω，t，m）]（z）也是Kallenberg（2002，第7页）中的Emma 1.12的F-可预测。这确保了所有ω的积分zzaz（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=ZZZR>0×m×RA（t，m）1（0，λ（ω，t，m）]（z）m（ω，dt，dm，dz）均已定义∈ Ohm N（·，A）是一个随机变量（见第2.1.5小节）。第二，让ω∈ Ohm. 对于任何不相交集A的有限族，一∈ B（R>0×M），n∈ N、 我们显然有N（ω，Si≤nAi）=Pi≤nN（ω，Ai），这意味着N（ω，·）是完全相加的。为了证明N（ω，·）是可数可加的，调用有限可加性并应用单调收敛定理。

前两个步骤表明，N确实是一个随机度量。第三，为了证明N是F适应的，首先考虑过程λ：Ohm ×R>0×M→ R≥形式为λ（ω，t，m）=1F（ω）1（s，u）（t）1C（m），其中F∈ Fs、s、u∈ R> 0，s<u，C∈ B（米）。对于任何t∈ R> 0，anyA∈ B（R>0），使得A （0，t）和任何B∈ B（M），我们得到n（ω，A×B）=1F（ω）M（ω，A∩ （s，u）×B∩ C×（0，1）），这是Ft可测量的，因为M是引理4.5的F适应。因此，N是F自适应的。为了将此结果推广到任何F-可预测过程λ，可以使用单调类参数，如命题a.4.1的证明中的例子。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.第四，letω∈ Ohm. 通过N的定义和积分的线性，对于R>0×M上的所有简单非负函数f，我们得到了zzr>0×Mf（t，M）N（ω，dt，dm）=ZZZR>0×M×Rf（t，M）1（0，λ（ω，t，M）]（z）M（ω，dt，dm，dz）。然后，通过Kallenberg（2002，第7页）中的引理1.11和单调收敛定理，我们得到了上述等式适用于任何B（R>0×M）-可测非负函数f。特别是，对于所有ω∈ Ohm,ZZR>0×MH（ω，t，m）N（ω，dt，dm）=ZZZR>0×m×RH（ω，t，m）1（0，λ（ω，t，m）]（z）m（ω，dt，dm，dz）。第五，利用引理4.5和定理4.4，我们推导出ZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZZR>0×M×RH（t，M）1（0，λ（t，M）]（z）M（dt，dm，dz）= EZZZR>0×M×RH（t，M）1（0，λ（t，M）]（z）dtuM（dm）dz= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt.备注4.7。Br'emaud和Massouli'e（1996，引理3，第1571页）、Massouli'e（1998，引理1，第3页）和Torrisi（2016，引理2.1，第4页）给出了类似的结果。他们参考Lewis和Shedler（1976）和Ogata（1981）进行证明。我们证明的第五部分遵循Daley和Vere Jones（2008，命题14.7.I，第427页），但我们无法在任何地方找到前四部分。对于特殊情况M={0}（即，对于单变量点过程），C,nlar（2011，定理6.11，p。

303）而Chevallier et al.（2015，定理B.11）给出了一个替代性证明。此外，我们的引理版本没有对λ施加任何局部可积条件，因此也没有说明所获得的随机测度是否有界。最后，请注意，（4.1）可以使用Massouli'e（1998）的紧凑表示法重写为N（dt，dm）=M（dt，dm，[0，λ（t，M）]），t∈ R> 0。现在，我们可以证明Thorem 2.17中的最终陈述，我们在此重申这一推论。推论4.8。让N：Ohm → N#gR×Mbe在假设a、B、C或假设a、D、E下，泊松驱动的SDE（定义2.16）的解。然后，N将ψ作为其在R>0上的强度函数。证据让G∈ F是（2.10）中几乎可以确定的事件。考虑以下对N和λ的修改，其中λ的定义如（2.10）所示：~N（ω）：=N（ω）1G（ω），ω∈ Ohm, 和∧（ω，t，m）：=λ（ω，t，m）1G（ω），ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M然后，N和λ满足（4.1），使用假设B.（i）和C或假设D.（i）和E.（ii），可以检查λ（ω，t，m）<∞ 对于所有ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M此外，根据引理3.4，λ是FN可预测的，因此，F可预测，因为N是F自适应的。由于过滤F是完整的，这意味着∧也是可预测的。现在，考虑任何非负FN可预测过程H：Ohm ×R>0×M→ R≥0和applyHYBRID标记点过程：特征化、存在性和唯一性引理4.6到obtainEZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）~N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）～λ（t，m）um（dm）dt= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt.我们使用引理3.2得出结论，N允许ψ作为其强度泛函。给定R×M上解（2.10）或通过引理4.6中的泊松嵌入定义的非爆炸点过程N，我们可以问，N实际上是一个非爆炸标记点过程。

为此，确定由驱动泊松过程M引起的以下随机测度是有用的：Ln（ω，·）：=M（ω，·×M×（0，n）），ω∈ Ohm, n∈ N、 然后，我们可以在λ上找到以下有效条件。引理4.9（简单地面测量）。设λ：Ohm ×R>0×M→ R≥0是一个F-可预测过程，并且是（4.1）定义的R>0×M上的F-自适应整值随机测度。那么，如果假设Aholds和假设supm∈Mλ（t，M）<∞ 对于所有t∈ R> 0，a.s.，我们有N（{t}×M）≤ 所有t均为1∈ R> 0，a.s.证明。每个ln都是R上的泊松随机测度，在C,nlar（2011年，第6章，第249页）的意义上，具有有界的有限参数测度nuM（M）dt。将C,nlar（2011年，第6章，第256页）中的定理2.17应用于每个n∈ N、 存在集合B∈ F使得P（B）=1，并且对于所有ω∈ B和n∈ N、 Ln（ω）∈ N#gR（即Ln，N∈ N、 同时也很简单）。接下来，让A成为几乎可以肯定的事件∈Mλ（t，M）<∞ 对于所有t∈ R> 0。固定ω∈ A.∩ B并使用λ的假设来确定n（ω，{t}×M）=Z{t}ZMZ（0，λ（ω，s，M）]M（ω，ds，dm，dz）≤ Mω、 {t}×M×0，supm∈Mλ（ω，t，M）≤ M（ω，{t}×M×（0，p（ω，t）]）=Lp（ω，t）（ω，{t}）≤ 1，其中p（ω，t）∈ N表示supm∈Mλ（ω，t，M）≤ p（ω，t）。4.2强存在性：通过泊松嵌入的路径构造4.2.1假设A、B、C下的存在性。我们首先提出候选解N的构造：Ohm → N∞R×Mto（2.10）。我们以一种循序渐进的方式前进。在假设A下，使用泊松过程的定义，不难看出，给定n∈ N、 Ln公司∈ N#Ra。s、 这意味着f：={ω∈ Ohm | Ln（ω）∈ N#R，N∈ N}∈ Fis是一个几乎可以肯定的事件，它在我们的路径构建中起着关键作用。算法4.10。构造映射N：Ohm → N∞R×Mas如下。

对于所有ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 初始值（ω）：=N≤0(ω≤0），T（ω）：=0，M（ω）：=, λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0），对于所有t∈ R> 0，m∈ M递归定义序列（Nn）n∈N、 （Tn）N∈N、 （Mn）N∈N、 和（λN）N∈Nas紧随其后。适用于所有n∈ N、 MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.o如果Tn（ω）<∞, thenTn+1（ω）：=sup（u>Tn（ω）：ZZ（Tn（ω），u）×MZ（0，λn（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0；（4.2）–如果Tn+1（ω）<∞, thenMn+1（ω）：={m∈ M:M（ω，{Tn+1（ω）}×{M}×（0，λn（ω，Tn+1（ω），M）]）>0}；Nn+1（ω）：=n+1Xi=1Xm∈Mi（ω）M（ω，{Ti（ω）}×{M}×（0，λi-1（ω，Ti（ω），m）]）δ（Ti（ω），m）；（4.3）λn+1（ω，t，m）：=ψ（m |θtNn+1（ω）<0），t∈ R> 0，m∈ M（4.4）–如果Tn+1（ω）=∞, thenMn+1（ω）：= ;Nn+1（ω）：=Nn（ω）；λn+1（ω，t，m）：=λn（ω，t，m），t∈ R> 0，m∈ M；o如果Tn（ω）=∞, thenTn+1（ω）：=∞ ;Mn+1（ω）：= ;Nn+1（ω）：=Nn（ω）；λn+1（ω，t，m）：=λn（ω，t，m），t∈ R> 0，m∈ M对于所有ω=（ω≤0, ω>0) ∈ Ohm \\ F、 设置Nn（ω）：=N≤0(ω≤0），Tn（ω）：=∞, Mn（ω）：= , λn（ω，t，m）：=0，t∈ R> 0，m∈ M，表示所有n∈ N、 那么，对于所有ω∈ Ohm, 适用于所有n∈ N、 定义N（ω）开(-∞, Tn+1（ω））乘以θTn+1（ω）N（ω）<0：=θTn+1（ω）Nn（ω）<0。还应确定爆炸时间T∞（ω） ：=limn→∞Tn（ω）。如果T∞(ω) <∞, 将N（ω）扩展到[T∞(ω), ∞) 按θT∞（ω） N（ω）≥0:= 0. 这相当于定义N（ω）asN（ω）：=limn→∞Nn（ω）=∞Xn=1Xm∈Mn（ω）M（ω，{Tn（ω）}×{M}×（0，λn）-1（ω，Tn（ω），m）]）δ（Tn（ω），m）{Tn（ω）<∞}.如果（4.2）中的集合为空，则算法4.10将无法定义。这意味着在时间Tn之后会有很多事件。以下命题表明，这实际上从未发生过，因此，确保了算法4.10得到了很好的定义。我们还需要证明集合Mnis fine和thatNn（ω）∈ N#R×m对于所有N∈ N、 因为否则λN（ω，t，m）可能定义不清（ψ是函数onM×N#R×m）。提案4.11。