混合标记点过程：特征、存在和

n- 1，我们有θtN（ω）<0=θtN（ω）<0表示所有t≤ Tn（ω），因此λ（ω，t，m）=λ（ω，t，m），对于所有t≤ Tn（ω），m∈ M这意味着n=n- 这是矛盾的，因此，Tn（ω）=Tn（ω）。类似地，如果我们假设Mn（ω）6=Mn（ω），那么这意味着N（ω，{Tn（ω）}×{Mn（ω）}）=Z{Tn（ω）}Z{Mn（ω）}Z（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=1，N（ω，{Tn（ω）}×{Mn（ω）}）=Z{Tn（ω）}Z{Mn（ω）}Z（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0。但同样，因为λ（ω，t，m）=λ（ω，t，m）对于所有t≤ Tn（ω），m∈ M，这导致矛盾1=0，因此，Mn（ω）=Mn（ω）。同样的推理允许我们证明强归纳法的基础（即，证明T（ω）=T（ω）和M（ω）=M（ω））。定理2.21的证明。考虑正则可测空间（N#gR×M，B（N#gR×M）），其中B（N#gR×M）=N#gR×M∩ B（N#R×M），以及由N（ω）=ω定义的所有ω的规范非爆炸标记点过程N∈ N#gR×M。在PN和PN（它们只充电N#gR×M）下，N满足弱初始条件N≤0并允许（2.2）给出的强度。现在我们将应用Jacod（1975，第242页）中的定理3.4来证明PN=PN。通过引理3.1，我们得到fnt=FN∨ FθN>0t=FN≤0∨ FN>0t，t∈ R≥0，因此，满足了Jacod（1975）的假设A.1（见备注4.17）。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.为了应用Jacod（1975）中的定理3.4，仍需验证Pn和Pn的限制与FN重合。注意，fn是由{N形式的集合的π系统C生成的∈ N#gR×M:N（A×M）≥ nN（Ak×Mk）≥ nk}，n，nk公司∈ N、 k级∈ N、 其中A，Ak，∈ B（R≤0）和M，Mk公司∈ B（米）。对于任何此类集合F∈ C、 设置Bi：=Ai×Mifori=1，并调用Nand和NSA都满足弱初始条件N的事实≤0，我们推断PN（F）=PN（N（B）≥ nN（黑色）≥ nk）=PN（N≤0（B）≥ nN≤0（黑色）≥ nk）=PN≤0（N≤0（B）≥ nN≤0（黑色）≥ nk）=PN（N≤0（B）≥ n

N≤0（黑色）≥ nk）=PN（N（B）≥ nN（黑色）≥ nk）=PN（F）。因此，PN和PN在C上重合，C是一个包含N#gR×M的π-系统。因此，PN=PNonFN，参见Kallenberg（2002，第9页）中的引理1.17，我们可以应用Jacod（1975，第242页）中的定理3.4来推断PN=PNon（N#gR×M，B（N#gR×M））。备注4.17。让我们澄清一下我们的符号与Jacod（1975）中的符号之间的关系。我们的正则可测空间（N#gR×M，B（N#gR×M））起着他的可测空间的作用(Ohm, F∞). 我们的标记点过程N>0对应于他的标记点过程u。我们的概率测度pn和pnare分别对应于P和P。我们的过滤FN和FN>0与他的过滤（Ft）t相对应≥0和（Gt）t≥分别为0。附录A。1子空间N#gR×Mis-boreth以下结果不太可能是原始结果，但我们无法在Daley和Vere-Jones（2008）中找到它。引理A.1.1。集合N#gR×Mis是N#R×M的Borel子集，即N#gR×M∈ B（N#R×M）。证据适用于所有n∈ N、 确定设置fn：=Nξ∈ N#R×M：ξ([-n、 n]×M）<∞, ξ（{t}×M）≤ 所有t均为1∈ [-n、 n]o注意n#gR×M=Tn∈NFn。接下来，让n∈ N、 根据提议A2.1。《Daley and Vere Jones》（2003，第385页）中的第四节[-n、 n]包含解剖系统（（Aij）j∈{1，…，ji}）i∈N此处Aij∈ 任何j的B（R）∈ {1，…，ji}和i∈ N、 见Daley和Vere Jones（2003，第382页）中的定义A1.6.1。我们证明fn=（ξ∈ N#R×M：ξ([-n、 n]×M）<∞, lim supi公司→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）≤ 1） =：Gn。Letξ∈ Fn。那么ξ（·×M）有很多原子t，tpin[-n、 n]对于某些p∈ N编号p∈ 它们的质量不能超过一。解剖系统的一个关键特性是，对于q6=q的每对distinctatoms tqand tqs，存在n（q，q）∈ 这样，对于所有i>N（q，q），tq∈ Aijimpliestq/∈ 哎呀。

因此*:= maxq，q∈{1，…，p}，q6=qn（q，q）混合标记点过程：特征化，存在性和唯一性，ξ（Aij×M）≤ 1代表所有j∈ {1，…，ji}和i>i*, 这意味着Lim supi→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）≤ 1表示ξ∈ Gn。现在，让ξ∈ Gnand t公司∈ [-n、 n]。分割系统的另一个显著特性是存在一个序列（ji）i∈n确保ξ（{t}×M）=limi→∞ξ（Aiji×M）。但由于ξ∈ Gn，我们有ξ（{t}×M）=limi→∞ξ（Aiji×M）≤ lim supi公司→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）≤ 1，这意味着ξ∈ Fn。现在我们已经证明了Fn=Gn，我们调用定理A2.6。III inDaley和Vere Jones（2003，第404页）推导出ξ7→ ξ([-n、 n]×M）和ξ7→ ξ（Aij×M），对于anyj∈ {1，…，ji}和i∈ N、 可测量，并使用Kallenberg（2002，第6页）中的引理1.9得出ξ7→ lim supi公司→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）是可测的。然后，Fn∈ B（N#R×M），当N#gR×M=Tn∈NFn公司∈ B（N#R×M）。A、 2移位和Restrictions的可测性和连续性从Daley和Vere-Jones（2008，p.178，Lemma 12.1.I），我们知道移位算子在w#拓扑下是连续的。我们可以进一步证明θtξ在ξ和t中实际上是联合连续的。我们还证明了对有界有限测度的正实线或负实线的限制是一个可测操作。此外，我们还证明了θtξ<0作为t的函数是左连续的∈ R表示任何ξ∈ N#U，这对于我们证明应用于点过程历史的强度泛函生成可预测过程（引理3.4）至关重要。在给出正式声明之前，我们定义了一些符号。回想一下，d#是N#U空间上的w#距离（Daley and Vere Jones，2003，第403页）。中心为U的开放球∈ U和半径r用Br（U）表示。

对于任何子集A U和ε>0时，A的ε-邻域由Aε定义：=Sa∈ABε（a），a的边界表示为A.引理A.2.1。当N#R×Uis配备w#距离d#且N#R×U×R配备productmetric时，映射N#R×U×R→ N#R×U（ξ，t）7→ θtξ是连续的。证据Letξ∈ N#R×U，t∈ R和let（ξn，tn）n∈N#R×U×R中的一个序列，使得d#（ξN，ξ）→ 0和TN→ t作为n→ ∞. 根据提议A2.6。II在Daley and Vere Jones（2003，第403页）中，足以证明ξn（A+tn）→ ξ（A+t）为n→ ∞ 对于任何有界A∈ B（R×U）使得ξ(（A+t））=0。对于这样一个集合a，我们可以假定它是非空的，而不丧失一般性，存在δ>0，这样b2δ（an） （A+t）和ξ(Bδ（an））=0，n=1，N，其中a，A表示A+t中ξ的原子，因此ξ（（A+t）δ）=ξ（A+t）与ξ(（（A+t）δ））=0。引入两个有界集合：=（A+t）δ\\（A+t）和S：=（A+t）\\N[N=1Bδ（an）！MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.注意ξ（S）=ξ（S）=ξ(S） =ξ(S） =0。自d#（ξn，ξ）→ 0作为n→ ∞, 我们有ξn（S）=ξn（S）=ξn(S） =ξn(S） =0表示n足够大。这意味着，对于足够大的n，ξnin（A+t）δ的所有原子实际上都位于（A+t），它们到（A+t）边界的距离大于δ（所有原子都在球Bδ（an））。这意味着，对于足够大的n，对于所有s，ξn（（A+t）\\（A+s））=ξn（（A+s）\\（A+t））=0∈ R使得| t- s |<δ，意味着ξn（A+t）=ξn（A+s），对于所有suchn和s。但对于足够大的n，我们也有| tn- t |<δ和ξn（A+t）=ξ（A+t），最终得出，对于足够大的n，ξn（A+tn）=ξn（A+t+（tn- t） ）=ξn（A+t）=ξ（A+t）。引理A.2.2。限制ξ<0，ξ≤0，ξ>0和ξ≥0是从N#R×u到自身的可测量映射。证据我们证明了ξ<0的断言，其他三个限制条件可以类似地处理。

考虑函数f:N#R×U3ξ7→ ξ<0∈ N#R×U。记住，根据定理A2.6。III在Daley和Vere-Jones（2003，第404页）中，Borelσ-代数B（N#R×U）由setsFA生成，N：={ξ∈ N#R×U：ξ（A）∈ [n，∞]}, A.∈ B（N#R×U），N∈ R、 Sincef公司-1（FA，n）={ξ∈ N#R×U：ξ（A∩ R<0×U）∈ [n，∞]} ∈ B（N#R×U），我们得出结论，f可以通过Kallenberg（2002年，第4页）中的引理1.4来测量。引理A.2.3。Letξ∈ N#R×U.然后映射器→ N#R×Ut 7→ 当N#R×Uis配备w#-距离d#时，（θtξ）<0保持连续。证据修复t∈ R，取任意非递减序列（tn）n∈Nin R使tn↑ t作为n→ ∞. 根据提议A2.6。II在Daley和Vere Jones（2003，第403页）中，足以证明（θtnξ）<0（A）→（θtξ）<0（A）作为n→ ∞ 对于所有有界A∈ B（R×U），使得（θtξ）<0(A） =0。显然，它需要考虑有界Borel集A，以便 R<0×U。首先，考虑以下情况：A. R<0×U。这意味着（θtξ）(A） =（θtξ）<0(A） =0。引理A.2.1，并再次使用命题A2.6的特征化。II在Daley和Vere-Jones（2003，第403页）中，这意味着（θtnξ）<0（A）=（θtnξ）（A）→ （θtξ）（A）=（θtξ）<0（A），n→ ∞.其次，考虑剩下的情况，其中A.∩ {0}×U 6=. 然后，（θtξ）<0(A） =0并不意味着（θtξ）(A） =0。然而，让ξ-是省略时间坐标为t的所有原子的测度ξ。那么，对于这个测度ξ-, 我们再次得到（θtξ-)(A） =（θtξ）<0(A） =0。自tn起≤ t、 并将前面的参数改为ξ-, 我们最终发现（θtnξ）<0（A）=（θtnξ）（A）=（θtnξ-)（A）→ （θtξ-)（A） =（θtξ）<0（A），n→ ∞.混合标记点过程：特征、存在性和唯一性。3标记点过程的枚举表示以下结果证实，R>0×M的非爆炸性枚举确实对应于非爆炸性标记点过程。引理A.3.1。Let（Tn，Mn）n∈Nbe R>0×M中的一个枚举，使得limn→∞Tn=∞ a、 s。

让F∈ Fbe几乎可以肯定limn→∞Tn=∞ 和定义（ω）：=Pnδ（Tn（ω），Mn（ω））{Tn（ω）<∞}, 如果ω∈ F、 0，如果ω/∈ F、 然后，在R上定义一个非爆炸性标记点过程≥0×M。证据根据提案9.1。X在Daley和Vere Jones（2008年，第13页）中，N定义了非爆炸点过程R≥0×M。此外，序列（Tn）n的单调性∈N（{t}×M）=0或1的所有ω的倍数∈ Ohm. 还有，使用limn→∞Tn=∞ 在F上，注意N（ω，A×M）<∞, 对于每个有界集∈ B（R≥0），对于所有ω∈ Ohm. 这意味着N∈ N#gR≥因此，0×Mand定义了非爆炸性标记点过程。相反，每个非爆炸性标记点过程都会生成一个枚举。引理A.3.2。设N是R上的非爆炸标记点过程≥0×M，使得N（{0}×M）=0 a.s。确定序列（Tn）N∈Nby Tn：=sup{t>0:N（（0，t）×M）≤ n} 。然后（Tn）n∈Nis（0，∞]. 此外，对于每个n∈ N、 在{Tn<∞}, 可以将Mn定义为M中唯一的元素，使得N（{Tn}×{Mn}）>0。在{Tn=∞}, 简单设置Mn=m∞对于某些高管而言∞∈ M然后，（Tn，Mn）n∈Nis R中的枚举≥0×M，使n=Xn∈Nδ（Tn，Mn）{Tn<∞}（A.1）和limn→∞Tn（ω）=∞ 对于所有ω∈ Ohm.证据我们分几个步骤进行。（i） 对于每个n∈ N、 映射ω7→ Tn（ω）是可测量的。实际上，请注意{Tn<t}={N（（0，t）×M）>N}。然后回想一下，根据定理A2.6。《Daley and Vere Jones》（2003，第404页）第三卷，N#R≥0×Mξ7→ ξ（（0，t）×M）是可测量的，因此，作为一种成分（Kallenberg，2002，引理1.7，第5页），映射ω7→ N（ω，（0，t）×M）是可测的。因此，{Tn<t}∈ F、 我们使用Kallenberg（2002，第4页）中的inglemma 1.4得出结论，映射ω7→ Tn（ω）是可测量的。（ii）利用地面测量简单的事实，Tn<∞ 表示Tn<Tn+1。此外，当Tn=∞, 然后Tn+1=∞.

因此，（Tn）n∈（0，∞]满足枚举的单调性。（iii）对于每个n∈ N、 映射ω7→ Mn（ω）定义良好（再次使用地面测量简单的事实）。此外，该映射是可测量的。的确，让我们∈ B（M）并考虑最微妙的情况，其中M∞∈ A、 注意{Mn∈ A} =（{Tn<∞} ∩ {N（{Tn}×A）>0}）∪ {Tn=∞}.MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.根据我们目前所看到的，我们知道{Tn=∞} ∈ F、 因此，必须显示集合{Tn<∞} ∩ {N（{Tn}×A）>0}是可测量的。为此，请注意{Tn<∞} ∩ {N（{Tn}×A）>0}={Tn<∞} ∩ {θTnN（{0}×A）>0}，其中θtn是第2.1.6小节中定义的移位运算符。然后，通过引理A.2.1，我们知道映射N#R≥0×M×R≥03（ξ，t）7→ θtξ∈ N#R≥0×Mis连续，因此，引理1.5 inKallenberg（2002，第4页）可测量。同样，通过Kallenberg（2002，第5页）中的引理1.8，映射ω7→ （N（ω），Tn（ω））是可测量的，因此，作为一种成分（Kallenberg，2002，引理1.7，第5页），映射ω7→ θTn（ω）N（ω）是可测量的。再次使用定理A2.6。III在Daley和Vere Jones（2003，第404页）中，我们得出结论{Tn<∞} ∩ {θTnN（{0}×A）>0}∈ F和映射ω7→ Mn（ω）是可测量的。到目前为止，前三个步骤确定（Tn，Mn）n∈Nis是一个枚举。此外，（A.1）通过构造保持。（iv）自N（·×M）∈ N#R≥0，我们有那个limn→∞Tn（ω）=∞ 对于所有ω∈ Ohm.备注A.3.3。一方面，引理A.3.1为我们提供了一个映射，该映射从非爆炸性枚举中生成一个非爆炸性标记点过程。可以看出，如果两个非爆炸性枚举几乎不一定相等，那么相应的非爆炸性标记点过程也不能几乎肯定相等。换句话说，引理A.3.1的映射是内射的。另一方面，引理A.3.2告诉我们这个映射是满射的。

因此，上述两个引理告诉我们，非爆炸性枚举和非爆炸性标记点过程是看待同一对象的两种等效方法。A、 4 Hawkes泛函可以将引言中提出的多元线性Hawkes过程推广为强度泛函ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞} ψ（m |ξ）=ν（m）+ZZ形式(-∞,0）×Mk(-t、 m，m）ξ（dt，dm），m∈ M，ξ∈ N#R×M，（A.2），其中ν：M→ R≥0和k:R×M×M→ R≥0是非负的可测量函数。我们证明了这些事件泛函是可测的，因此它们在我们的框架中是可容许的。提案A.4.1。形式（A.2）的Hawkes泛函可在m中联合测量∈ M和ξ∈ 不适用于美国。只要证明（A.2）中的积分项（现在用I（m，ξ）表示）是作为m的函数可测的就足够了∈ E和ξ∈ N#R×M。首先，考虑形式为k（t，M，M）=1S（t，M，M）的函数k，其中S∈ B（R×M×M），设C是集S的类∈ B（R×M×M）使得（M，ξ）7→ I（m，ξ）是可测量的。通过单调收敛，类C是一个单调类（即，它在单调递增序列下是闭合的）。用R表示形式的集合类sni=1Ai×Mi×Mi，其中Ai∈ B（R），Mi∈ B（M），Mi∈ B（M），n∈ N、 这一类形成一个环（即，它在有限的相交和对称差下是闭合的）。事实上，笛卡尔产品联盟的差异就是笛卡尔产品的联盟。此外，由于笛卡尔积的任何并集都可以分解为不相交笛卡尔积的并集，因此我们得到了R C、 事实上，根据定理A2.6。Daley和Vere-Jones（2003，第404页）中关于任何混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性∈ B（R），M∈ B（M），M∈ B（M），函数（M，ξ）7→ZZ公司(-∞,0）×MA(-t） 1M（m）1M（m）ξ（dt，dm）=1M（m）ξ((-（A）∩ (-∞, 0）×M）是可测量的。

然后，根据单调类定理（Daley和Vere-Jones，2003，第369页），我们得到了b（R×M×M）=σ（R） C、 积分的线性意味着（m，ξ）7→ I（m，ξ）对于所有简单函数k是可测的，通过单调收敛，对于所有非负可测函数k也是可测的（Kallenberg，2002，引理1.11，第7页）。致谢我们要感谢拉马·孔特、法布里齐奥·利洛、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒、让·菲利普·布沙德和多拉夫·卡伦伯格的有趣讨论。Maxime Morariu Patrichi感谢伦敦帝国理工学院数学系颁发的MiniDTC奖学金。Mikko S.Pakkanena感谢丹麦国家研究基金会资助的CREATES（DNRF78）的部分支持。参考Bacry，E.，Jaisson，T.，和Muzy，J.-F.（2016）。缓慢递减Hawkes核的估计：应用于高频订单动态。定量金融，16（8）：1179–1201。Bacry，E.，Mastromatteo，I.，和Muzy，J.-F.（2015）。Hawkes流程融资。《市场微观结构与流动性》，1（1）：1550005，59页。Blundell，C.、Beck，J.和Heller，K.A.（2012年）。用霍克斯过程模拟往复关系。在Pereira，F.、Burges，C.J.C.、Bottou，L.和Weinberger，K.Q.的《神经信息处理系统的进展》，编辑，第25期，第2600–2608页。Bowsher，C.G.（2007）。连续时间证券市场事件建模：基于强度的多变量过程模型。《计量经济学杂志》，141（2）：876–912。Br'emaud，P.（1981年）。点过程和队列：鞅动力学。斯普林格，纽约。Br\'emaud，P.和Massouli\'e，L.（1996年）。非线性Hawkes过程的稳定性。《概率年鉴》，24（3）：1563–1588。Cartea，A.、Donnelly，R.F.和Jaimungal，S.（2015年）。通过订单簿信号加强交易策略。预印本，网址：http://ssrn.com/abstract=2668277.Chevallier，J.（2015）。

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