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英文标题：
《Hybrid marked point processes: characterisation, existence and
  uniqueness》
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作者：
Maxime Morariu-Patrichi, Mikko S. Pakkanen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a class of hybrid marked point processes, which encompasses and extends continuous-time Markov chains and Hawkes processes. While this flexible class amalgamates such existing processes, it also contains novel processes with complex dynamics. These processes are defined implicitly via their intensity and are endowed with a state process that interacts with past-dependent events. The key example we entertain is an extension of a Hawkes process, a state-dependent Hawkes process interacting with its state process. We show the existence and uniqueness of hybrid marked point processes under general assumptions, extending the results of Massouli\\\'e (1998) on interacting point processes.
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中文摘要：
我们引入了一类混合标记点过程，它包含并扩展了连续时间马尔可夫链和霍克斯过程。虽然这个灵活的类合并了这些现有流程，但它还包含具有复杂动力学的新流程。这些过程是通过其强度隐式定义的，并被赋予一个与过去相关事件交互的状态过程。我们考虑的关键例子是霍克斯过程的扩展，一个状态相关的霍克斯过程与其状态过程相互作用。在一般假设下，我们证明了混合标记点过程的存在性和唯一性，推广了Massouli \\（1998）关于相互作用点过程的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Hybrid_marked_point_processes:_characterisation,_existence_and_uniqueness.pdf (734.96 KB)

2022-6-1 04:19:54 上传

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关键词：点过程 Applications Differential Quantitative Probability

混合标记点过程：特征、存在性和唯一性最大值Morariu Patrichi*Mikko S.Pakkanen+2018年10月16日摘要我们引入了一类混合标记点过程，它包含并扩展了连续时间马尔可夫链和霍克斯过程。虽然这个灵活的类合并了这些现有的过程，但它也包含具有复杂动力学的新过程。这些过程通过其自身的敏感性被隐含地定义，并被赋予一个与过去相关事件交互的状态过程。我们考虑的关键例子是霍克斯过程的扩展，一个状态相关的霍克斯过程与其状态过程相互作用。我们在一般假设下证明了混合标记点过程的存在性和唯一性，推广了Massouli'e（1998）关于相互作用点过程的结果。关键词：标记点过程；霍克斯过程；随机强度；转移概率；泊松嵌入；强大的存在；强唯一性和弱唯一性。2010年数学学科分类：60G55、60H20、60K35、91G99.1简介让N=（N，…，Nd）是一个d维计数过程，意味着Ni（t），i=1，d、 是时间t之前发生的i型事件的数量（Br’emaud，1981；Daley and Vere Jones，2003；Last and Brandt，1995；Sigman，1995；Jacobsen，2006）。描述N动力学的一个基本概念是强度过程λ=（λ，…，λd）。粗略地说，当它存在时，Niattime t的强度λi（t）是这样的Ni（t+dt）- Ni（t）| FNt≈ λi（t）dt，其中FN=（FNt）t≥0是由N生成的自然过滤。

直观地说，上述方程式表明，λi（t）dt是在最小时间窗口（t，t+dt）中i型事件的预期数量，考虑到目前为止出现的哈希值。除了描述计数过程外，强度过程实际上还可以用来隐式地指定它们。线性霍克斯过程（Hawkes，1971；Hawkes和Oakes，1974）就是一个很好的例子，*通讯作者。英国伦敦SW72AZ南肯辛顿校区伦敦帝国理工学院数学系。电子邮件：m.morariu-patrichi14@imperial.ac.ukURL：http://www.maximemorariu.com+英国伦敦皇家学院南肯辛顿校区数学系，英国伦敦SW7 2AZ，丹麦奥胡斯大学CREATES。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukURL：http://www.mikkopakkanen.fiMORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.表示强度λi（t）=νi+dXj=1Z[0，t）kji（t- s） dNj（s），t≥ 0，i=1，d、 （1.1）其中每个νi∈ R> 0固定，每个kji：R≥0→ R≥0是一个非负函数，通常称为内核，请参见Laub et al.（2015）的介绍。这类过程考虑到自激和交叉激励效应：j型事件在时间t到达会将时间t+h时i型事件的强度λi（t+h）增加kji（h）。因此，霍克斯过程是不同类型事件之间相互作用模型的良好候选者。

霍克斯过程在过去十年中越来越受欢迎，在许多领域都有应用，包括地震建模（Ogata，1998；T¨urkyilmaz et al.，2013；Fox et al.，2016）、犯罪学（Lewis et al.，2012；Mohler，2013；Loe-Freeer and Flaxman，2016）、社会网络分析（Blundell et al.，2012；Zhou et al.，2013；Farajtabar et al.，2017），神经病学（Chornoboyet al.，1988；Chevallier et al.，2015；Gerhard et al.，2017）和金融学（Bowsher，2007；Bacry et al.，2015；Jaisson和Rosenbaum，2016）。尽管这些霍克斯过程模型很成功，也很有吸引力，但我们注意到，它们只考虑了事件的动态，而忽略了它们可能影响的潜在系统的状态。例如，当应用于金融市场时，霍克斯过程描述了买卖订单的及时到达（Large，2007；Bacry et al.，2016；Rambaldi et al.，2016），但既没有捕获资产价格，也没有捕获受到达订单影响的供需不平衡。事实上，霍克斯过程可以与基于连续时间马尔可夫链的模型相比较，其中重点是代表基础系统的状态过程（Cont et al.，2010；Cont and de Larrard，2013；Huang et al.，2015；Huang and Rosenbaum，2015）。然而，由于第二组模型固有的马尔可夫特性，到达率仅取决于当前状态，因此，不可能像一般的霍克斯过程那样进行交互。因此，霍克斯过程和连续时间马尔可夫链可以分别具有事件观点或状态观点。请注意，Bacry et al.（2016，第1190-1191页）已经提出霍克斯过程和马尔可夫模型之间的二分法，以及需要某种东西将二者联系起来。

在最近的一篇论文中，Gonzalez和Schervish（2017）进行了类似的观察，并提出了一个离散时间马尔可夫链来建模对最近事件和系统当前状态的依赖性。开始本工作的最初想法是通过赋予计数进程N一个状态进程X来解决这个差距，该状态进程X以以下方式与N完全耦合。一方面，我们希望通过将（1.1）更改为λi（t）=νi+dXj=1Z[0，t）kji（t），使强度依赖于过去的事件和状态- s、 Xs）dNj（s），t≥ 0，i=1，d、 其中内核现在依赖于状态进程X。另一方面，我们设想n中的每个事件都会根据依赖于事件类型的转移概率进行状态更改。自然地，我们把这个新过程（N，X）称为状态相关的霍克斯过程。Morariu Patrichi和Pakkanen（2018）证明了这一新模型的实际相关性和强大潜力，其中从高频金融数据中对核进行的参数估计确实揭示了显著的状态依赖性。事实上，霍克斯过程的这种扩展为高频数据的新模型开辟了一条道路，该模型具有激励效应和事件与基础系统状态之间的反馈回路。混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性本文的第一个贡献是将这一思想转化为一类包含和扩展连续时间马尔可夫链和霍克斯过程的混合标记点过程。为了将状态相关的Hawkes过程推广到混合标记点过程，我们将过程（N，X）视为产品标记空间上的单个标记点过程，并允许事件强度是过去事件和状态的任何可测量函数。

这些新的混合标记点流程实际上是通过采用特定产品形式的信息密度隐式定义的。我们证明了该积生成的动力学形式完全刻画了一类混合标记点过程（定理2.13）。提供了一个事件-状态观点，这个新类非常适合于事件的联合建模和系统状态的时间演化。虽然这个通用且灵活的类为各种现有过程提供了统一的框架，但它也包含具有复杂动力学的新过程，如状态相关的霍克斯过程所示。本文的第二个贡献是证明了非爆炸状态相关Hawkes过程和更一般的混合标记点过程的强存在唯一性。事实上，通过免除Lipschitz条件，我们扩展了现有文献中通过强度定义的标记点过程的结果。众所周知，强度λ用强度泛函ψ表示的标记点过程可以表示为泊松驱动的随机微分方程（SDE）的解（Massouli\'e，1998；Br\'emaud和Massouli\'e，1996）。然而，这些工作中可用的存在性和唯一性结果不能应用于混合标记点过程，因为它们的强度泛函可能无法满足其中施加的Lipschitz条件。我们证明，在一定的可积性或衰变条件下，ψ受过去事件总数的Hawkes泛函或递增函数支配就足够了，以便获得泊松驱动的SDE的强解的存在性（定理2.17），特别是混合标记点过程的存在性（推论2.18）。

利用驱动泊松随机测度的离散特性，沿时间轴以路径方式逐段构造解。然后使用支配参数来表示非爆炸性。在多元点过程的背景下，C,inlar（2011）中已经考虑了类似的构造，而Chevallier（2015）中给出了类似的支配论点。我们将二者结合在一个更一般的设置中（即，一般标记空间、初始条件和强度函数）。我们还能够在没有任何特定假设的情况下获得强唯一性和弱唯一性（定理2.20和2.21），特别是混合标记点过程的唯一性（推论2.22）。本文的组织结构如下。第2节介绍了我们使用的框架并给出了主要结果。第3节证明了关于混合标记点过程动力学的结果。第4节验证了存在唯一性结果。附录收集了有关spaceN#R×Mof有界整数值测度和标记点过程枚举表示的技术结果。2框架和主要结果2.1点处理的框架在下面，U指一个完全可分度量空间，我们用B（U）表示它的Borelσ-代数。对于表示标记点过程上下文中标记集的完全可分度量空间，我们保留了符号M。对于大多数定义，我们密切关注Daley和Vere Jones（2008）以及Br’emaud（1981）。前一个参考将特别用于介绍（标记的）点过程，而后一个参考在定义强度过程时至关重要。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.2.1.1整值测度空间。设ξ为U上的Borel测度。如果ξ（a）<∞ 对于每个有界Borel集A∈ B（U）。

我们用N表示∞U值为N的Borel测度空间∪ {∞}. 我们用N#Uthe表示所有ξ的集合∈ N∞通常ξ是有界的。Wedenote by N#gR×mt所有ξ的集合∈ N#R×M其地面测量值ξg（·）：=ξ（·×M）满足：（i）ξg∈ N#R；（ii）ξg（{t}）=0或1表示所有t∈ R（我们说地面测量很简单）。观察N#gR×M N#R×M N∞R×M.空间N∞R×M对应于潜在爆炸点过程的实现，而空间N#R×M对应于非爆炸点过程的实现，包含潜在爆炸标记点过程的所有实现。关于空间N#gR×M，每个ξ∈ N#gR×Mis实现了非爆炸性标记点过程。当ξ（{（t，m）}）=1对于某些t∈ R和m∈ M，这应解释为在时间t发生的事件，其特征为M。地面测量的有限属性确保在任何有限的时间内，只能发生很多事件（即，标记点过程是非爆炸性的）。地面测量的简单性约束意味着不能同时有两个事件。Daley和Vere-Jones（2003，第403页）提出的所谓w距离d（“弱散列”）使SN#Ua完全可分度量空间，见定理A2.6。《Daley and Vere Jones》（2003年，第404页）第三章。相应的σ-代数B（N#U）与所有映射ξ7生成的σ-代数B（N#U）一致→ ξ（A），ξ∈ N#U，A∈ B（U）。提议A2.6。Daley和Vere-Jones的II（2003，第403页）描述了这种拓扑中的收敛，称为w#-拓扑。空间N#Uplay的这些属性在这项工作中起着重要作用。请注意，Morariu Patrichi（2018）澄清了命题A2.6的证明。II和定理A2.6。Daleyand Vere Jones的III（2003）。事实上，原始证明假设某个函数是单调的。

由于这似乎并不成立，Morariu Patrichi（2018）在需要时提出了替代论点。此外，在附录中，我们证明了N#gR×Mis确实是N#R×M的Borel集，参见引理a.1.1。最后，对于任何u∈ U、 在U.2.1.2非爆炸标记点过程中，我们用δuthe Dirac测度表示。在下面的符号中(Ohm, F、 P）指概率空间。对于任何σ-代数S，A的迹∈ S上的S由A定义∩ S：={A∩ S：S∈ S} 。定义2.1（非爆炸点工艺）。U上的非爆发点过程是一个可测量的映射(Ohm, F） 进入（N#U，B（N#U））。定义2.2（非爆炸性标记点工艺）。R×Mis上的非爆炸标记点过程N R×M上的非爆炸标记点过程N，使得N（ω）∈ N#gR×Mfor allω∈ Ohm.备注2.3。通过应用Kallenberg（2002，第4页）中的引理1.6，我们得到B（N#gR×M）=N#gR×M∩B（N#R×M），其中N#gR×Mis还配备了w#-度量d。这意味着定义2.2等同于说非爆炸性标记点过程是从(Ohm, F） 进入（N#gR×M，B（N#gR×M））。接下来，非爆炸点过程在N#U.definition 2.4（诱导概率）上引入概率度量。设N是U上的非爆发点过程。我们通过关系pn（a）：=P定义了可测空间（N#U，B（N#U））上的诱导概率测度pnN-1（A）, A.∈ B（N#U）。混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性2.1.3枚举表示。通常在R上定义标记点流程≥0×Mas a序列（Tn，Mn）n∈（0，∞]×M，使（Tn）n∈Nis非递减且Tn<∞表示Tn<Tn+1（Jacod，1975；Br\'emaud，1981）。我们将这种序列称为枚举。这里，tn被解释为第n个事件发生的时间，而mn描述了该事件的特征。

此外，Tn<∞ Tn+1=∞ 表示时间Tn后不再有事件发生。请注意，此定义允许limn发生爆炸→∞Tn<∞ 有可能是正概率的。这就是为什么我们在定义2.2中强调标记点过程的非爆炸性。R上的非爆炸性标记点过程之间存在一对一的对应关系≥0×M和计数，使limn→∞Tn=∞ a、 我们在附录a.3中提供了该信函的完整性证明。2.1.4泊松过程。设ν是（U，B（U））上的有界有限测度。我们说U上的非爆炸点过程N是U上的泊松过程，参数测度为νif N（a），N（An）对于所有不相交和有界集A，…，都是相互依赖的，一∈ B（U），n∈ N、 对于所有有界集A，N（A）遵循参数为ν（A）的泊松分布∈ B（U）。可使用第9.2条验证其存在。Daley and Vere Jones（2008，第30页）中的X，见其中第31页的示例9.2（b）。2.1.5路径集成。设N是U上的非爆炸点过程。设H：Ohm ×U→ R≥0bean F B（U）-可测非负映射。特别地，H是R≥U上的0值随机过程。可以用路径方式asI（ω）：=ZUH（ω，U）N（ω，du），ω定义H对N的积分∈ Ohm.此外，通过单调类参数，可以检查ω7→ I（ω）是F-可测的。在特殊情况下，N实际上是R上的非爆炸性标记点过程≥0×M，积分可重写为ZZR≥0×MH（t，m）N（dt，dm）=Xn∈NH（Tn，Mn）1{Tn<∞}, a、 s.，其中（Tn，Mn）n∈Nis——对应于N的枚举。对于任何ξ∈ N#gR×Mand任意τ∈ R使得ξ（{τ}×M）>0，我们滥用符号，并将R{τ}×Mmξ（dt，dm）定义为唯一元素M∈ 例如ξ（{τ}×{M}）=1.2.1.6位移、限制、历史和可预测性。