混合标记点过程：特征、存在和

雅各布森（2006，命题4.3.5，推论4.4.4）遵循类似的方法，他进一步给出了强度泛函的支配条件，确保相应的标记点过程是非爆炸性的。命题4.15将在强环境中与该结果相对应。然而，这些弱存在性结果仅限于内部历史FN的强度。强背景的优势在于，当强度函数还依赖于辅助过程时，Massouli'e（1998）的结果和本文的路径结构也成立，这意味着可以考虑较大过滤的强度。此外，在强背景下考虑的标记点过程的泊松驱动SDE表示直接建议了一种模拟（细化）算法。事实上，泊松嵌入引理（下面的引理4.6）是通向强环境的垫脚石，它在模拟文献中得到了验证（Lewis和Shedler，1976；Ogata，1981）。最后，还有第三种方法可以基于度量值的变化来获得存在，参见Br'emaud（1981，定理11，第242页）和Sokol和Hansen（2015）。虽然这种技术也适用于比内部历史更大的过滤，但通常只在有限的时间间隔内获得存在。2.3.2泊松驱动的SDE。让(Ohm>0，F>0，P>0），并设M>0：Ohm>0→ N#R×M×Rbe-aPoisson过程在R×M×R上，平均测量dtuM（dm）dz。通常，用（FM>0t）t表示∈R M>0on的内部历史记录Ohm>在这一小节中，我们假设基本概率空间(Ohm, F、 P）是（2.3）定义的产品概率空间的完成。特别地，Ohm := Ohm≤0× Ohm>0，其中Ohm≤0对应于初始条件N的概率空间≤0，见第2.1.8小节。

我们将dm>0扩展到映射M：Ohm → N#R×M×Rby简单设置M（ω）：=M>0（ω>0），ω=（ω≤0, ω>0) ∈ Ohm. （2.9）设F=（Ft）t∈Rbe过滤Ohm 这样，对于所有t∈ R、 Ftis是FN的P-完成≤0吨 FM>0tinF。特别是，过滤F已完成（Kallenberg，2002，第123页）。与Massouli'e（1998）类似，我们想要解决以下泊松驱动的SDE。定义2.16（泊松驱动的SDE）。设ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞} 是给定的可测泛函。通过泊松驱动SDE的解，我们指的是一个F适应的非爆炸性标记点过程N：Ohm → N#gR×Mthat解决N（dt，dm）=M（dt，dm，（0，λ（t，M）），t∈ R> 0，a.s.，λ（ω，t，m）=ψ（m |θtN（ω）<0），t∈ R> 0，m∈ M，ω∈ Ohm,N≤0（ω）=N≤0(ω≤0), ω = (ω≤0, ω>0) ∈ Ohm, a、 s.，（2.10），其中N≤0是给定的初始条件（见第2.1.8小节）。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.Still注意到，我们的问题略有不同，因为我们只在非爆炸性标记点过程的空间中寻找解决方案，这个空间比Massouli\'e（1998）中考虑的更小。2.3.3假设。以下假设仅适用于强存在性结果（下面的定理2.17）。我们首先需要假设标记空间M具有有限的总质量。假设A.参考测量值uM，即uM（M）<∞.接下来，我们需要控制强度泛函ψ和初始条件N≤0.我们将为两种不同的场景提供OREM 2.17。在第一种情况下，强度由过去事件总数的递增函数决定，而时间0之前的事件数是有限的。假设B.存在一个非递减函数a:N∪ {∞} → N∪ {∞} 带a（n）<∞ 对于alln∈ N和a(∞) = ∞ 使得：（i）ψ（m |ξ）≤ a（ξ((-∞, 0）×M），M∈ M，ξ∈ N#R×M；（二）P∞n=0a（n）-1= ∞.假设C。

初始条件满足≤0(ω≤0, (-∞, 0]×M））<∞ 对于所有ω≤0∈ Ohm≤在第二种情况下，强度泛函ψ由霍克斯泛函控制。注意，该要求比Massouli'e（1998）中的Lipschitz条件（2.8）弱。假设D.存在λ∈ R≥0和可测函数k:R>0×M×M→ R≥0使得：（i）ψ（m |ξ）≤ λ+RR(-∞,0）×Mk(-t、 m，m）ξ（dt，dm），m∈ M，ξ∈ N#R×M；（ii）ρ：=supm∈MRR（0，∞)×Mk（t，m，m）um（dm）dt<1；（三）supm∈Mk（t，m，m）<∞ 对于所有t∈ R> 0，m∈ M假设E.初始条件N≤0满意度：（i）支持>0，m∈MEhRR公司(-∞,0]×Mk（t- t、 m，m）N≤0（dt，dm）i<∞ ;（ii）λ≤0(ω≤0，t）：=supm∈MRR公司(-∞,0]×Mk（t- t、 m，m）N≤0(ω≤0，dt，dm）<∞, ω≤0∈ Ohm≤0，t∈ R> 0。请注意，需要假设D.（ii）和E.（i），以便重用Massouli\'E（1998）中的定理2。它将允许我们通过一个内核为k.2.3.4的Hawkes过程来控制标记点过程N。我们通过两个主要步骤构造了泊松驱动SDE的解。首先，通过利用驱动泊松过程的离散性质，我们以路径方式构建映射N：Ohm → N∞R×Mthat求解（2.10）到每个事件时间，推广了C,nlar（2011年，第6章，第302-306页）和Lindvall（1988年，第127页）中的构造。其次，我们通过一个非爆炸性标记点过程控制N，以表明N本身是非爆炸性的，推广了Chevallier（2015，Lemma B.1，第30页）中的论点。在假设D和E下工作时，这两个步骤实际上必须同时执行。然后，证明这个构造的N允许ψ作为其在R>0上的强度泛函，从而解决了存在性问题。第4.2小节给出了以下定理的证明，该定理扩展了Massouli'e（1998）的存在性结果。混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性定理2.17（强存在性）。

在假设A、B、C或假设A、D、E下，存在非爆炸性标记点过程N：Ohm → N#gR×Mthat求解泊松驱动的SDE（定义2.16）。任何这样的N都满足强初始条件N≤0并允许ψ作为其在R>0上的强度泛函。作为推论，我们得到了保证混合标记点过程存在的条件。推论2.18（杂交标记点过程的存在性）。假设假设A成立，kφk成立∞< ∞. 此外，假设假设假设B和C或假设D和E保持不变，ψ（m |ξ）被η（E |ξ）替换，其中支配核k现在是函数k：R>0×m×E→ R≥0，且约束ρ<kφk-1.∞. 然后，存在一个混合标记点过程N：Ohm → N#gR×m具有满足强初始条件N的转移函数φ和事件函数η≤例2.19（状态相关Hawkes过程的存在）。当转移函数φ有界时，上述推论包括状态相关Hawkes过程（例2.15）的情况，即无可积约束的有界核或具有可积约束的无界核（直至约束D.（iii））。2.3.5唯一性。由于Massouli'e（1998）认为R×M上的点过程不一定是Rilynon爆炸标记点过程，他使用Lipschitz条件（2.8）在正则点过程空间中获得了强唯一性。这里，由于我们仅限于非爆炸性标记点过程，枚举表示允许我们更容易地证明强唯一性，而无需任何特殊假设。证明推迟到第4.3款。定理2.20（强唯一性）。让N：Ohm → N#gR×Mand N：Ohm → N#gR×Mbe求解泊松驱动SDE的两个非爆炸标记点过程（定义2.16）。

然后N=不适用。s、 通过应用Jacod（1975）中的定理3.4，我们也可以得到弱唯一性。或者，我们也可以应用定理14.2。《Daley and Vere Jones》第四卷（2008年，第381页）。其思想是强度和条件分布P（（Tn+1，Mn+1）∈ · | FNTn）相互唯一确定，另见Last andBrandt（1995）和Jacobsen（2006，定理4.3.2，第54页）。Massouli'e（1998）提出的另一种方法是，使用具有强度泛函的任何标记点过程都可以表示为泊松驱动的SDE的强解，如定义2.16所示，见Jacod（1979，定理14.56，第472页），并使用强唯一性结果。我们在第4.3小节中证明了以下结果。定理2.21（弱唯一性）。设Nand-Nbe为两个非爆炸性标记点过程（可能在不同的概率空间中），它们在R＞0上具有相同的强度泛函ψ。还假设Nand和NSA都满足弱初始条件N≤然后，我们得到PN=PN，即N#R×Mcoincide上的诱导概率度量。作为推论，我们得到了混合标记点过程的弱唯一性。推论2.22（杂交标记点过程的唯一性）。具有满足弱初始条件N的转移函数φ和事件函数η的所有混合标记点过程≤0在N#R×M上引入相同的概率度量。备注2.23。请注意，弱唯一性可能不适用于一般历史F。给定F-可预测过程λ，可能有两个标记点过程N和N，它们都承认λ为其F-强度，但PN6=PN，见命题9.54。（ii）以Kallenberg（2017）为例。事实上，我们只能进行自然过滤，这一点在这里至关重要。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M。

S、 3混合标记点过程的动力学在本节中，我们证明了定理2.13，它描述了混合标记点过程的动力学特性。3.1准备工作我们首先提出一个引理，帮助我们重用文献中需要特定过滤形式的一些结果。它简单地说，时间u之前的信息等于时间t之前的信息，我们将时间t和u之间的信息相加，其中t<u引理3.1。设N是R×U上的非爆点过程∈ 这样u>t。那么，我们得到FNu=FNt∨ FθtN>0u。证据注意fθtN>0u=σ{N（A×U）：A∈ B（R），A （t，u），u∈ B（U）}对于所有U>t，那么，显然FθtN>0u FNu。此外，FNt FNuand，因此FNt∨ FθtN>0u FNu。另一方面，letA∈ B（R）应确保 (-∞, u] 让你∈ B（U）。我们有N（A×U）=N（A∩ (-∞, t] ）×U）+N（A∩ （t，u）×u）。第一项是FNt可测量的，而第二项是FθtN>0u可测量的。因此，N（A×U）是fnt∨ FθtN>0可测量。因为，通过定义，FNu是使所有N（A×U）可测量的最小σ-代数，这意味着FNu FNt公司∨ FθtN>0u，从而得出结论。如第2.1.7小节所述，强度过程必须始终明确。我们验证，如果发现一个可能满足强度定义的有限过程，那么可以采用该过程的有限版本，并将其与强度进行识别。引理3.2。设N是R×M上的非爆炸标记点过程，设∧：Ohm ×R>0×M→R≥0∪ {∞} 是满足（2.1）所有非负F可预测过程H的F可预测过程。然后N允许F强度λ：Ohm ×R>0×M 7→ R≥0相对于um，λ（ω，t，m）=λ（ω，t，m）保持P（dω）um（dm）dt-a.e.证明。由于标记点过程N是非爆炸性的，因此使用了类似于Br'emaud引理L2（1981，p。

24），可以证明，对于所有有界集∈ B（R>0），ZZA×Mλ（t，M）uM（dm）dt<∞ , a、 这意味着∧（ω，t，m）<∞ 通过复合变元保持P（dω）dtuM（dm）-a.e.（参见引理4.6证明的开头），因为∧是F-可预测的，所以我们有（ω，t，M）7→ 1{λ（ω，t，m）<∞}也是可预测的。然后很容易检查λ（ω，t，m）：=1{λ（ω，t，m）<∞}λ（ω，t，m）是N的F-强度，其中我们使用约定0×∞ = 下一个引理说，通过将强度与状态变量x积分，我们可以得到跟踪事件类型的标记点过程的强度，忽略状态过程。混合标记点过程：特征、存在和唯一引理3.3。设N是R×M上的标记点过程，F强度λ相对于uM。那么，NE（·）：=N（·×X）是R×E上的非爆炸性标记点过程，F强度λE：Ohm ×R>0×E→ R≥0相对于uE，λE（ω，t，E）=RXλ（ω，t，E，x）ux（dx）保持P（dω）dtuE（de）-a.E.证明。设H：Ohm ×R>0×E→ R≥0是F-可预测的非负过程。然后，通过应用NEand的定义和Tonelli定理，我们得到ZZR>0×EH（t，e）NE（dt，de）= EZZZR>0×E×XH（t，E）N（dt，de，dx）= EZZZR>0×E×XH（t，E）λ（t，E，x）ux（dx）uE（de）dt= EZZR>0×EH（t，e）ZXλ（t，e，x）ux（dx）uE（de）dt.过程rxλ（t，e，x）ux（dx），t∈ R> 0，e∈ E是F-可预测的，参见Kallenberg（2002，第503页）中的引理25.23，我们使用引理3.2得出结论。现在，我们检查应用于点过程历史的强度函数是否定义了可预测的过程。引理3.4。设ψ：U×N#R×U→ R≥0∪ {∞} 是一个可测量的函数，N是R×U上的非爆炸点过程，该过程是F适应的。然后，过程λ：Ohm ×R×U→ R≥0∪ {∞} 定义为λ（ω，t，u）=ψ（u |θtN（ω）<0），ω∈ Ohm, t型∈ R、 u型∈ U、 是F-可预测的。证据

根据引理A.2.3，θtN（ω）<0在t中保持连续，根据假设，过程（θtN<0）t∈RisF已调整。因此，映射（ω，t）7→ θtN（ω）<0是F-可预测的，参见Kallenberg（2002，第491页，第6页）中的引理25.1和1.10。然后，通过将λ视为（ω，t，u）7的组合，我们得到λ是F-可预测的→ （u，θtN（ω）<0）7→ ψ（u |θtN（ω）<0）并使用ψ的可测性。下一个引理本质上说，如果两个可预测的过程在标记点过程的所有事件时间都重合，那么它们在正强度下处处重合。Br'emaud（1981，定理T12，第31页）提出了这一结果的一个不太一般的变体及其证明。引理3.5。设NEbe为R×E上的非爆炸性标记点过程，F强度λ与uE相关。设H：Ohm ×R>0×M→ R≥0∪ {∞} 和H：Ohm ×R>0×M→ R≥0∪ {∞} 是两个非负的可预测过程。然后，H=Hholds P（dω）NE（ω，dt，de）uX（dx）-a.e.当且仅当H=HholdsP（dω）λe（ω，t，e）dtuM（de，dx）-a.e.证明。通过复合变元，由于Hand Hare F-可预测，我们得到了函数（ω，t，m）7→{H（ω，t，m）6=H（ω，t，m）}是F-可预测的（参见引理4.6证明的开头）。根据引理25.23 inKallenberg（2002，第503页），我们还发现过程rx{H（·，·，·，·，x）6=H（·，·，·，x）}ux（dx）是F-可预测的。利用强度的定义和托内利定理，我们得到OhmZR>0×M{H（ω，t，M）6=H（ω，t，M）}uX（dx）NE（ω，dt，de）P（dω）=ZOhmZR>0×EZX{H（ω，t，m）6=H（ω，t，m）}uX（dx）NE（ω，dt，de）P（dω）=ZOhmZR>0×M{H（ω，t，M）6=H（ω，t，M）}uX（dx）λE（ω，t，E）uE（de）dtP（dω），MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.从中得出结论。最后，我们证明了当我们在子σ-代数上预处理时，连接密度和条件密度之间的联系仍然成立。由于M是一个完全可分度量空间，特别是Borel，M中的随机元素总是具有正则条件分布（Kallenberg，2002，p。

106，TheoremA1.2，第561页）。引理3.6。设（E，X）为M中的随机元素。设G为次σ代数，即G F、 让我们∈ 使P（A）>0。此外，让f：Ohm ×M→ R≥0∪ {∞} 是isG的非负可测函数 B（M）-可测量。如果我们有P（E∈ de，X∈ dx | G）1A=f（e，x）uM（de，dx）1A，a.s.，（3.1）然后p（x∈ dx |σ（E）∨ G） 1A=f（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A，a.s.证明。让B∈ B（X），G∈ G和H∈ σ（E）。一方面，EGH{X∈B} A= EGh（E）1{X∈B} A= E通用电气h（E）1{X∈B} A | G= EGAZEZBh（e）f（e，x）ux（dx）ue（de）, （3.2）我们在Kallenberg（2002，第7页）中连续使用引理1.13，使用可测函数h:E写出1H=h（E）→ {0，1}，Tower性质，Kallenberg（2002，定理6.4，第108页）中的分解定理，正则条件分布为（3.1），最终乘积形式为uM。注意，这里，分解定理应用于概率测度p(·∩A） /P（A）关于可测空间（A，A∩ F） 。另一方面，观察（2.4）和（3.1）暗示P（E∈ de | G）1A=ZXf（e，x）ux（dx）ue（de）1A，a.s.然后，使用类似参数，eGHZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A= EGh（E）ZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A= E通用电气h（E）ZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1AG= E凝视h（e）ZBf（e，x）RXf（e，x）ux（dx）ux（dx）ZXf（e，x）ux（dx）ue（de）.托内利定理和（3.2）则意味着GH{X∈B} A= EGHZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A.

（3.3）使用单调类参数，我们在下面展示了（3.3）可以扩展到F{X∈B} A= EFZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A（3.4）混合标记点过程：所有F的特征、存在性和唯一性∈ σ（E）∨ G、 也就是说p（X∈ B |σ（E）∨ G） 1A=ZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A，a.s.，如所述。为了证明（3.4），定义函数u：σ（E）∨ G→ [0，1]F 7→ u（F）：=EF{X∈B} A,u：σ（E）∨ G→ [0，1]F 7→ u（F）：=EFZBf（E，x）RXf（E，x）ux（dx）ux（dx）1A.可以检查u和u是上的有界度量值(Ohm, σ（E）∨ G） （要用有限和交换期望，请使用单调收敛定理，参见Kallenberg（2002，第11页）中的定理1.19）。同时确定C类：={G∩ H:G∈ G、 H类∈ σ（E）}。方程式（3.3）表示u（C）=所有C的u（C）∈ C、 此外，C是π系统，因此Ohm ∈ C、 此外，请注意σ（E）∪ G C σ（E）∨ G，因此σ（C）=σ（E）∨ G、 因此，我们可以应用Kallenberg（2002，第9页）中的引理1.17，得出u（F）=u（F）对于所有F∈ σ（E）∨ G、 意思是（3.4）适用。3.2隐含动力学和特征定理2.13的证明。回想一下，我们用λ表示N相对于u的FN强度，用λ表示NE的EtheFN强度：=N（·×X）相对于uE。假设N是具有转移函数φ和事件函数η的混合标记点过程。我们首先观察到，通过应用引理3.3并使用φ（·| e，x）是所有e的概率密度这一事实，陈述（i）成立∈ E和x∈ 十、接下来，我们展示了语句（ii）的正确性。当P（τt<∞) = 因此，我们假设P（τt<∞) > 通过应用Br’emaud（1981，第236页）中的定理T6，我们得出，对于所有M∈ B（M），P（E，X）∈ M | FNτt-{τt<∞}=RMλ（τt，m）um（dm）RMλ（τt，m）um（dm）{τt<∞}, a、 这是允许的，因为引理3.1告诉我们过滤FNis在这个结果的框架内。