市场微观结构及其他方面的控制停止博弈

（20） 最终，我们的目标是证明存在（9），（pa，pb，\'Va，\'Vb）的解，使得（\'Va，\'Vb）满足1-移位特性，并且C-接近x。然后，重要的第一步是验证这些特性由映射v 7保留→ 弗吉尼亚州·, pa、pb、v, Vb·, pa、pb、v. 下面的引理表明1-shiftproperty是保留的。在将目标改写为形式（22）后，它的证明很容易进行。引理1。假设pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v具有1-移位性质。那么，doVa（·，pa，pb，v）和Vb（·，pa，pb，v），而Va（·，pa，pb，Vb）和Vb（·，pa，pb，Va）是1周期的。此外，对于所有x，我们有c（x+1，pa+1，pb+1）=c（x，pa，pb），ga/bc（x+1，pa+1，pb+1）=ga/bc（x，pa，pb）+1∈ R、 这意味着c（·，pa（·），pb（·））是1-周期的，（ga/b/c）（·，pa（·），pb（·））具有1-移位性质。在下面的内容中，我们将经常从符号中抑制对pa（x）、pb（x）的依赖，以避免混乱。因此，我们表示c（x）：=cp（x）：=c（pa（x），pb（x），x），ga（x）：=间隙（x）：=ga（pa（x），pb（x），x），gb（x）：=gbp（x）：=gb（pa（x），pb（x），x），Fb（x）：=Fbp（x）：=Zpb（x）-x个-∞bx+αycdF（y），Fa（x）：=Fap（x）：=Z∞pa（x）-xdx+αyedF（y），（21），当我们想要强调对pa，pb的依赖时，我们使用下标p。下一个问题是“C-close to x”属性被保留。引理2。假设v是容许势垒，pa∈ Aa、pb∈ 假设ga/b/c是c-接近x。然后，Va（·，pa，pb，vb）和vb（·，pa，pb，Va）是c-接近x的，而Va（·，pa，pb，vb）和vb（·，pa，pb，Va）是绝对受c约束的。证明：我们展示了Va的声明，其他声明是类似的。根据定义（14）和（10），我们得到：Va（x，pa，pb，vb）- x=supτExZτexp-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt+exp-Zτc（Xs）dsbvbc公司- x=supτExZτgac（x）- x个d-经验值-Ztc（Xs）ds+ 经验值-Zτc（Xs）dsbvbc公司- xc公司.

（22）要获得上限，请注意上面的右侧是≤ supτExZτCd-经验值-Ztc（Xs）ds+ 经验值-Zτc（Xs）dsC= C、 我们使用GAC的地方- x个≤ C、 bvbc公司- x个≤ vb- x个≤ C、 根据引理的假设。要获得下限，请注意相同的表达式也≥ 前任Z∞gac（x）- 除息的-经验值-Ztc（Xs）ds≥ 前任Z∞-Cd光盘-经验值-Ztc（Xs）ds≥ -C、 我们使用τ=∞. Va和Vb的说法更简单，可以在这个引理的第一部分得到证明。在下面的内容中，我们更仔细地分析Va（x，pa，pb，v）（Vb（x，pa，pb，v）是类似的）。最后，在第3.3小节中，我们在适当的条件下建立了它在x上的单调性和在v上的连续性。在整个分析过程中，我们认为pas和pbas固定了x的函数，而我们改变了x和vb（va）。3.2价值函数的表示在本小节中，我们开发了价值函数Va（x，pa，pb，v）的方便表示（参见命题3），与命题2一起，需要证明第3.3小节的主要结果。我们将大量使用线性扩散和二阶常微分方程之间众所周知的联系。我们的贴现和运行成本函数比文献中常见的假设要少一些规则性（可测量和局部有界，但不是连续的），因此，需要稍微小心，以使这种联系更加严格。首先，如【13】中所述，对于任何给定的pa∈ Aa、pb∈ Ab，我们定义ψ（x）：=ψp（x）：=（Ex经验值-Rτcp（Xs）ds, x个≤ 0，E经验值-Rτxcp（Xs）ds-1，x>0，（23）和φ（x）：=φp（x）：=（Ex经验值-Rτcp（Xs）ds, x>0，E经验值-Rτxcp（Xs）ds-1，x≤ 0，（24），其中τxis是x的首次命中时间∈ 很明显，ψ（0）=φ（0）=1，ψ严格递增，φ严格递减。

[13]的结果（以及本例中扩散的killing度量的绝对连续性）表明，f=φ，ψ有右导数，f+，处处定义，其满足σZ（a，b）c（x）f（x）dx=f+（b）- f+（a），对于所有b>a。通过限制为b↓ a和a↑ b表示f+是连续的。我们还可以展示以下内容。引理3。如果f是连续的并且在[a，b]上有连续的右导数，那么f∈ C（a，b）。这一事实的证明是基本的，因此省略了。因此，f=φ，ψ的方程可以重写为σZ（a，b）c（x）f（x）dx=f（b）- f（a）（25）作为c∈ L∞（R） 和f∈ C（R），fxx存在a.e.和满足σfxx- cf=0，a.e.，对于f=ψ，φ，尤其是f属于Sobolev空间W2，loc（R）。接下来，我们定义fa（x）：=fap（x）：=σWφ（x）Zx-∞ψ（y）ga（y）dy+ψ（x）Z∞xφ（y）ga（y）dy, （26）fb（x）：=fbp（x）：=-σWφ（x）Zx-∞ψ（y）gb（y）dy+ψ（x）Z∞xφ（y）gb（y）dy, （27）其中Wronskian W=ψ（x）φ（x）- φ（x）ψ（x）独立于x且严格正。使用x 7的事实→ φ（x）Rx-∞ψ（y）ga（y）dy（以及其他类似项）是绝对连续的，作为两个绝对连续函数的乘积，我们得出结论：fahas连续导数σWφ（x）Zx-∞ψ（y）ga（y）dy+ψ（x）Z∞xφ（y）ga（y）dy,这反过来又是可微的，而且σfaxx- cfa=-ga，a.e.（28）类似的索赔适用于fb。这尤其意味着fa和fb属于W2，loc（R）。应用Dynkin\'sformula，以及exp-Rtc（Xs）dsfa（Xt），我们沿着增加到实际停止时间的序列传递到极限，以获得以下概率表示fa（x）=ExZ∞经验值-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt. （29）fb也有类似的表述。最后，我们在φ，ψ上建立了以下初等界（whoseproof也省略）。引理4。设cl>0（cu>0）为函数c的下界（分别为上界）。

那么，对于所有x∈ R、 ψ（x）≤ expr2clσx！∨ expr2cuσx！和φ（x）≤ 经验值-r2clσx！∨ 经验值-r2cuσx！。接下来，我们证明fa和fb继承了pa和pb的C-接近x和1-移位性质。引理5。假设pa∈ AA和pb∈ a确保ga/b/c接近x。然后，fa和fb也一样。证据：关于fa的说法来自fa（x）- x=ExZ∞gac（Xt）- Xt公司d经验值-Ztc（Xs）ds. （30）与fb类似。引理6。如果pa∈ AA和pb∈ Ab具有1-shift属性，Fa和fb也具有1-shift属性。证明：遵循表示（30）和引理1。结果表明，Pa和Pb的1-移位性质意味着Fa和Fb收敛到f:x 7→ Cnorm中的x，随着基础扩散x的波动率σ增加到单位。特别是，我们可以对fa和fb的导数建立以下双边估计。提案2。假设pa∈ AA和pb∈ Ab具有1-移位性质，并且使得ga/b/c是c-接近x的。然后，存在一个函数（c，cl，cu，σ）7→ w（C，cl，cu，σ），使得1- w≤ （前/后）（x）≤ 1+w，x个∈ R、 （31）和W（σ）→ 0，作为σ→ ∞. （32）证明：我们只显示fa导数的上界，其他部分的证明是类似的。微分表示（26），我们得到（fa）（x）=|φ（x）|ψ（x）WZ∞xgac（y）φ（y）c（y）σ|φ（x）| dy-Zx公司-∞gac（y）ψ（y）c（y）σψ（x）dy. （33）作为我们的扩散X，以c（X）的速率杀死- cl，有±∞ 作为自然边界点，[13]的结果意味着φ(-∞) = 0, ψ(∞) = 因此，通过（25）中适当的极限，我们得到ψ（x）=σZx-∞ψ（y）c（y）dy（34）和φ（x）=-σZ∞xφ（y）c（y）dy.（35）从上面的表示中，我们可以看到函数y 7→ 2φ（y）c（y）/（σ|φ（x）|）是[x]上的概率密度，∞), 那是y 7→ 2ψ（y）c（y）/（σψ（x））是(-∞, x] 。使用此项和不等式ga（x）c（x）≤ x+C，我们得到（fa）（x）≤ 2C |φ（x）|ψ（x）W+fa（x） 。式中，fa（x）定义为fa（x），ga（x）替换为ga（x）：=xc（x）。

特别地，f=~fa是σf（x）的唯一解- c（x）f（x）=-xc（x），可以很容易地看到由▄fa（x）=x给出。因此，fa= 1，我们得出结论：（fa）（x）≤ 1+2C |φ（x）|ψ（x）W。因此，为了证明这一主张，只需在上述最后一个和上建立适当的界限。为此，我们首先注意到，由于引理1，c（x+1）=c（x），这意味着：φ（x+1）=γφ（x）和ψ（x+1）=γψ（x），0<γ=φ（1）<1。因此，x 7→ |φ（x）|ψ（x）是1-周期的，对于x，可以估计2c |φ（x）|ψ（x）/W∈ [0, 1]. 为此，回想一下|φ（x）|=σZ∞x的xc（y）φ（y）dy≥ 0，使用引理4和c上的边界，我们得出结论，上述表现主义的右侧从上方以2cuσZ为界∞xexp-r2clσy！dy=2cuσ√2clexp-r2clσx！。结合下面的类似估计，上述结果为：2clσ√2cuexp-r2cuσx！≤ |φ（x）|≤2cuσ√2clexp-r2clσx！，（36）对于x≥ 0。同样，对于x≤ 0，我们得到2clσ√2cuexpr2cuσx！≤ |ψ（x）|≤2cuσ√2clexpr2clσx！，其中，使用ψ（x+1）=γψ（x），得到γ2clσ√2cuexpr2cuσ（x- 1)!≤ |ψ（x）|≤γ2cuσ√2clexpr2clσ（x- 1)!, （37）对于x∈ [0, 1]. 综合以上情况，并用指数项的最坏情况边界替换指数项，我们得出结论：|φ（x）|ψ（x）≤γ2cuσ√2毫升, x个∈ [0, 1].注意，在[0，1]上，我们有γ≤ φ ≤ 1.≤ ψ ≤ 1/γ，加上上述|φ|和ψ的估计，得出x∈ [0，1]，W=φψ+ψ|φ|≥ γ·γ2clσ√2cuexpr2cuσ（x- 1)!!+ 1·2clσ√2cuexp-r2cuσx！≥4clσ√2cuexp-r2cuσ！，（38）和|φ（x）|ψ（x）W≤σγ2cu√2毫升√2cu4clexp√2cu-√2clσ, x个∈ [0, 1].最后，我们注意到，当ψ（1）=1/γ时，引理4中ψ上的界意味着γ≤ expr2cuσ！。这与前面的不等式一起，意味着2C |φ（x）|ψ（x）/W上的期望上界，以及（fa）（x）上的期望上界。接下来，我们使用[5]的结果，根据fa和fb建立值函数的期望表示。

为此，我们定义f（x）：=Fp（x）：=ψ（x）φ（x），x∈ R、 （39）并介绍以下转换：b·：h 7→bh，bh（y）=hφ（F-1（y）），（40）映射任意函数h:R→ R进入函数BH：（0，∞) → R、 下面的引理特别描述了变换函数的移位性质。它的证明很琐碎，因此省略了。引理7。对于任何pa∈ Aa、pb∈ Ab，满足1-移位性质，我们有φ（x+1）=γφ（x），ψ（x+1）=γψ（x），F（x+1）=γF（x），x个∈ R、 （41）其中φ、ψ、F由（24）、（23）、（39）和γ=φ（1）给出∈ (0, 1). 因此，^Hyγ=γ^H（y），y>0，（42）对于任何1-周期函数H:R→ R、 特别地，通过引理6，上述性质适用于H=v- fa、fb- v、 任何v：R→ R满足1-shift性质。使用（40）定义的变换，我们获得了单个停止问题的valuefunction的以下“几何”描述。提案3。对于任何pa∈ Aa、pb∈ Ab和任何容许势垒v，函数x 7→ Va（x）：=x+Va（x，pa，pb，v）和x 7→ Vb（x）：=x+Vb（x，pa，pb，v）由BVA（y）=mcm \\（v）唯一确定- fa（y）+bfa（y），bVb（y）=-mcm \\（fb- v） （y）+bfb（y），（43），其中mcm（f）表示函数f的最小非负凹主分量（如果不存在此类主分量，则等于单位）。类似地，各个代理的值函数由Va（·，pa，pb，v）（y）=mcm（bvc）唯一确定- fa）（y）+bfa（y）\\Vb（·，pa，pb，v）（y）=-mcm \\（fb- dve）（y）+bfb（y）（44）证明：我们仅证明Va的索赔。首先，我们回顾（17），以获得JA（x，τ，pa，pb，v）+x=ExZτexp-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt+exp-Zτc（Xs）dsv（Xτ）= ExhZ公司∞经验值-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt- 经验值-Zτc（Xs）dsZ∞经验值-Ztc（Xτ+s）dsga（Xτ+t）dt+exp-Zτc（Xs）dsv（Xτ）i=fa（X）+Ex经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- fa（Xτ））,其中，最后一个等式来自（29）和X的强马尔可夫性质。

因此，Va（x，pa，pb，v）+x=fa（x）+supτEx经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- fa（Xτ））.作为v- Fa是可测且局部有界的，上面的最后一项（即纯停止问题的值函数（带折扣））具有[5]中命题3.4所声称的mcm特征。3.3通过单调性的连续性在本小节中，我们建立了Va/b（·，pa，pb，v）的充分强单调性，这使得我们能够显示映射v 7的连续性→ Va/b（x、pa、pb、v）。请注意，由于lattermappings涉及不连续的舍入操作符，因此它在先验上是不连续的。然而，正如本文开头所讨论的那样，如果过程v（X）具有“足够的噪声”，则这些映射确实是连续的。特别是后一个性质，可以从v（·）的严格单调性推导出来。下面的命题表明，映射v 7保持了x中所需的单调性→ Va/b（x、pa、pb、v）。提案4。假设pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v具有1-移位性质，使得ga/b/c与x接近。然后，v（x）=Va/b（x，pa，pb，v），x+Va/b（x，pa，pb，v）是绝对连续的，其导数满足：| v（x）- 1| ≤ w、 a.e.x公司∈ R、 （45）带w（σ）→ 0，作为σ→ ∞, 满足上述特性（假设剩余的模型参数（λ、F、α）是固定的）的总体一致（pa、pb、v）。特别是，存在 > 0，s.t.V（x）≥ , a、 e.x公司∈ R、 对于所有足够大的σ>0。证明：我们只证明V（x）=x+Va（x，pa，pb，V）导数的下界，其他部分类似。

注意，命题3意味着v（x）=fa（x）+φ（x）mcm\\v- fa公司（F（x）），x个∈ R、 注意fa，φ，F∈ C（R），上述“mcm”的值是绝对连续的，因为它是凹的（注意，它也是有限的，因为v- 由于引理5，fa是绝对有界的，这反过来意味着- FAI由一个函数定义）。那么V也是绝对连续的，其（即定义的）导数是：V（x）=（fa）（x）+φ（x）mcm\\v- fa公司（F（x））+φ（x）F（x）mcm\\v- fa公司（F（x））。从命题2，我们得到（fa）≥ 1.- w、 在命题陈述中用w表示。因此，我们只需要证明，对于a.e.x∈ R、 V（x）- （fa）（x）=φ（x）mcm\\v- fa公司（F（x））+φ（x）F（x）mcm\\v- fa公司（F（x））≥ - ~w（σ），（46），~w具有适当的渐近性质。回想一下，根据引理1，V（x）=Va（x）+x是1周期的，因此，有必要考虑长度至少为1的任何有界区间上的x，而不是整个实线。为了简化符号，我们表示h（y）：=\\v- fa（y），h（y）：=mcm（h）（y），y>0。注意，通过引理6，假设v的1-移位性质意味着v- fais 1-周期。后者和引理7依次表示h（y/γ）=h（y）/γ，y>0。可以很容易地检查（使用mcm的标度特性）上述特性是否传递到最小凹主参数h（y）。接下来，我们定义φ（y）：=cφ（y）=φ（F-1（y））很容易检查σx个- c（φ） >0，因此，(R)φ通过以下引理是凸的，这可以通过简单的计算来证明。引理8。让H∈ W2，locand-∞ < x<x<∞ 应确保σHxx- 通道>0，（分别<0）a.e.开启（x，x）。然后，bH在（y，y）上是凸的（分别是凹的），yi=F（xi）。此外，“φ”在减小，满足“φ（y/γ）=γ”φ（y）。

在其余的证明中，我们使用φ、h和h的既定性质来证明（46）中的不等式。让我们定义▄c:=supy∈[1,1/γ]h（y）(R)φ（y）。注意，当（h’φ）（y/γ）=（h’φ）（y）时，我们得到h（y）≤ c/(R)φ（y），对于所有y>0（而不仅仅是y∈ [1，1/γ]）的定义如下。首先，我们假设≤ 我们将证明，在这种情况下，h（y）≡ 0，且▄w=0给出（46）中所需的下限。实际上，在这种情况下，常数函数0是一个凹函数。如果存在大于0 s.t.h（y）=z<0，则当h（y/γ）=h（y）/γ时，整数k的所有点（y/γ2k，z/γk）都位于图h上。然而，很容易看出，如果z<0，则该族中两个连续点之间的斜率会增加，这与h的凹度相矛盾。在处理了较简单的￠c情况后≤ 0，我们假设其余证明中的▄c>0。灰分（y）(R)φ（y）=（v- fa）（F-1（y）），并且v和fa是C-接近x的（见引理5），我们得出结论▄C≤ 2C。此外，1/(R)φ（y）=^1（即，应用于常数函数1的“b·”变换）被前面的引理凹，如下所示：σddx- c(1) < 0.因此，▄c/▄φ是h的凹主。上面还显示h≥ 这些观察结果意味着0<h（y）≤ c/(R)φ（y），y∈ (0, ∞).根据▄c的定义，我们可以在[1，1/γ]s.t.（h'φ）（yi）中找到点{yi}的有限序列→ c.莱蒂*是该序列的任何集中点。然后，从凹主函数h的连续性，和byh≤ ~c/’φ，我们得到h（y*) = c/(R)φ（y*).回想一下，我们只需要在长度的某个x-区间上建立（46）≥ 1、可以方便地使用xinterval对应（通过F-1） 到y间隔*, y*/γ]. 注意，作为y*∈ [1，1/γ]，结果x区间必然位于[0，2]之内。还要注意，φ（x）=φ（F（x）），φ（x）=φ（F（x））F（x），因此，（46）的左侧可以重写为asF（x）\'（F（x））h（F（x））+\'（F（x））h（F（x））.

（47）作为F≥ 0，从下面估算（47），对于x∈ [0，2]，我们将导出‘（y）h（y）+‘（y）h（y）的估计，（48）y∈ [是*, y*/γ]  [1, 1/γ]. 作为φ≤ 0，h>0，并且，如下图所示，h>0，我们将从下方估算φ，从上方估算h。很明显，’φ（y）≥ γ、 对于y∈ [1, 1/γ]. 此外，作为h≤ c/(R)φ，我们得到h（y）≤ ~c/γ，在我们考虑的y范围内。估算hon【y】*, y*/γ] ，请注意，h（y）在该间隔的端点处与▄c/▄φ（y）重合，且h≤ 在整个间隔上为？c/？φ。那么，由于▄c/▄φ是可微的，我们必须c'φy*γ≤ h类y*γ,否则，在y的左邻域中，我们得到了两个函数之间的支配关系的矛盾*/γ. 在上面和参数的其余部分中，h（y）被理解为左导数y=y*/γ、 作为y=y的右导数*, 和y超微分中的任何元素一样∈ （y）*, y*/γ).最后一个不等式和h的凹度意味着，对于所有y∈ [是*, y*/γ] ，h（y）≥c'φy*γ= -c'φ（y*/γ） \'\'φ（y*/γ) ≥ -cγ′φ（y*/γ).进一步注意，作为y*/γ≤ y/γ，对于任何y∈ [是*, y*/γ] ，和as-“φ”是非负且递减的（由于“φ”的凸性和单调性），我们得到-cγ′φ（y*/γ) ≥ -~cγ′φ（y/γ）=-~cγ′φ（y），y∈ [是*, y*/γ] ，其中我们还使用了“φ（y/γ）=γ”φ（y）。上述不等式意味着（48）的下界为φ。转到（47），我们得到，forx∈ [F-1（y*), F-1（y*) + 1] ：F（x）\'（F（x））h（F（x））+\'（F（x））h（F（x））≥ F（x）(R)φ（F（x））~cγ- ~cγ′φ（F（x））= F（x）(R)φ（F（x））~cγ- γ. （49）作为F（x）(R)φ（F（x））=φ（x）≥ φ（0）和￠c≤ 2C，上述右侧为≥ φ（0）2Cγ- γ.φ（0）的值可以使用它的积分表示来估计，就像命题2的证明一样，使用引理4中φ的辛性质。