市场微观结构及其他方面的控制停止博弈

通过计算（62）的右侧，使用（VaN，0，VbN，0，paN，0，pbN，0）），通过（53）计算paN，1=Pa（VaN，1），然后计算VbN，1given（VaN，1，VbN，0，paN，1，pbN，0），依此类推。如果结果序列收敛，则极限函数满足（\'VaN，\'VbN）的定义。虽然[16]的理论收敛结果并不完全适用于手头的耦合系统，但在数值上，我们确实观察到所提出的格式在σ值不太小的情况下的收敛性，如定理1所示。图1的左侧显示了（近似）平衡值函数（\'VaN，\'VbN）的典型图。其右侧包含相关的买卖价格（pa=pa（\'VaN），pb=pb（\'VbN））。参数值如下：f（x）=1[-γ、 γ]（x）/（2γ），γ=1.2，α=0.9，λ=1，σ=1，N=100。由于值和价格的1-shift特性，可以很容易地将这些图扩展到范围x之外∈ [0，1]：这些函数在x+n处的值是通过将它们在x处的值向上移动n来获得的。我们可以观察到平衡值函数和引号的几个性质，这些性质可以从前面章节的平衡构造中推导出来首先，x中的值函数“Va/bare monotone和Lipschitz”。这是因为根据定理2，它们可以延伸到A（w）（参见定义4）在两个值函数重合的点（因此游戏停止），它们取整数值。这源于命题1的证明和等式（9）前面的段落中提出的论点二维随机过程（\'Va（Xt），\'Vb（Xt））在一维流形上演化（asX是一维的），如图2红色所示引号pa/b通过构造只取整数值，它们是非递减的，如引理10的顶部所示。

此外，pa/b（x）在间隔x中最多可以改变一次∈ （0，1），如下来自1-shift属性。o根据（53）中反馈函数的定义，询价pa（x）从不低于“Va（x）”，投标报价pb（x）从不高于“Vb（x）”，如下所示。由于开放区间（\'Va（x），\'Vb（x））不包含任何整数（见前面（9）段），因此我们有pa（x）≥ pb（x）。o最后，如果pa（x）=dxe，pb（x）=bxc（对于具有单个刻度价差的市场而言，这是预期的），则值函数始终交叉：(R)Va（x）≤(R)Vb（x）。要看到这一点，请注意，在我们构建的均衡中，两个代理同时停止τ，因此，它们的收益由uA/bτ给出pa（Xτ），d'Va（Xτ）e，pb（Xτ），b'Vb（Xτ）c（见（7）和（2））。当“Va（Xτ）=”Vb（Xτ）时，所需的不等式由ga（pa（X），pb（X），X）得出≤gb（pa（x），pb（x），x）（参见（4），（5）），依次从Z开始∞dxe公司-xdx+αyedF（y）≥ dxe（1- F（dxe- x） ），Zbxc-x个-∞bx+αycdF（y）≤ bxcF（bxc- x） 。值得一提的是，在图1所示的均衡中，当X达到0或1时，值函数重合，游戏停止。一般来说，情况并非如此，数值实验揭示了具有不同停止边界的平衡的存在（即使停止区域总是周期性的）。现在让我们讨论上面列表中最后一个属性的含义，这说明了所提出模型的潜在应用。如引言所述，战略代理人的价值函数交叉，即“Va（Xt）”≤(R)Vb（Xt），在游戏结束前是由于存在正的ticksize。如果没有后者造成的摩擦，两个战略代理人将在[\'Va（Xt），\'Vb（Xt）]以任何价格水平进行交易，游戏将结束。

然而，在目前的模型中，代理人可能无法交易，因为他们的连续值之间可能不存在可接受的价格水平（即整数）。值交叉的大小，即“Vb”-(R)Va，测量正刻度大小产生的效率。也就是说，如果这两个参与者被提供在“影子市场”中进行交易，而不需要打勾，他们愿意为这种机会支付的最高费用正好等于0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x00.20.40.60.81valueVaVb0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x-0.200.20.40.60.811.2价格图1：左边：价值函数（(R)VbN，(R)VaN）作为X的函数。右边：标价（pa，pb），作为X的函数交叉路口的。所提出的模型允许我们在整个游戏过程中计算这种效率的最大值，这对应于图1中红色和蓝色曲线之间的最大差值，以及图2中红色曲线与对角线之间的最大偏差。图3显示了作为刻度大小函数的不效率度量。值得注意的是，这一函数似乎是超线性的，这尤其意味着效率的大小并不仅仅与刻度大小成正比。请注意，刻度大小的任何变化都会对市场产生双重影响。一方面，在自然的假设下，当X达到刻度大小的倍数时，游戏总是停止，如图1所示，我们得出结论，游戏的持续时间随着刻度大小的增加而增加。因此，勾号大小的增加对市场流动性有积极影响：战略代理人撤回流动性的频率较低。

另一方面，随着正刻度大小导致的无效性增加，战略代理更倾向于完全退出游戏，在刻度大小较小的替代市场进行交易，即使他们为这种转换支付费用。本文开发的均衡模型可以量化这两种影响，例如，决策者可以在决定监管金融交易所的交易量时使用这两种影响。6附录。6.1命题6的证明从Va和Ja中减去x，如（19）和（17）所示，我们重新表述了相关版本的声明，Va=Va-x和Ja=Ja-x代替Vaand Ja。为了证明这一说法，我们需要验证反馈控制Pa=Pa（Va）是最优的。反过来，后者要求对任何容许控制pa（参见（19），（17））的值函数VA（x，pa，pb，bvc）=supτJa（x，τ，pa，pb，bvc）进行微分表征，以及允许我们将随机最优控制与任意控制进行比较的比较原则。我们使用变分不等式（VIs）理论来实现这个程序。不幸的是，由于存在无界域L，我们无法找到任何直接适用于我们设置的VI结果∞贴现因子和运营成本，以及不连续障碍。数值实验表明，这是最可能的平衡-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5Va-5-4-3-2-1012345Vb（Va，Vb）域{（Va，Vb）平衡基曲线：Va≥  Vb, Vb≤  弗吉尼亚州}-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5Va-5-4-3-2-1012345Vb（Va，Vb）域{（Va，Vb）平衡基曲线：Va≥  Vb, Vb≤  弗吉尼亚州}图2：红色：曲线（\'Va（x），\'Vb（x））：x∈ R. 蓝色：集合{（x，y）：x的边界≥byc，y≤ 染料}。

左图使用与图Fig:1中相同的参数值。图3：正刻度大小导致的效率低下的大小，作为刻度大小的函数。也就是说，据我们所知，在这种情况下，不存在将解决方案与最优停止问题和VI解决方案联系起来的结果。因此，我们需要引入额外的近似步骤。更具体地说，在步骤1中，我们表明不连续势垒bvc可以用其连续主要近似s代替, 在不影响相关最优停止问题值的情况下，无论选择哪种允许的（pa，pb）。在步骤2中，我们选择一系列光滑逼近函数Vn↓ s并利用VI解w.r.t.障碍的连续性（参见文献[3]），证明了s满足适当的VI。最后，在步骤3中，我们使用关联VI的比较结果，以表明Pa（Va）确实是最佳控制。第1步。这一步由下面的引理处理，其（几何）证明如下。引理12。设（pa，pb）为容许控制，v为容许屏障，使得（pa，pb，v）具有1-移位属性，ga/b/c为c-接近x，v≥ 1.- w、 一些固定常数w<1，并且命题2与该w保持一致（由于命题2，后者可以通过选择足够大的σ来保证）。然后，存在一个连续的分段线性函数s≥ bvc独立于满足1移位特性的（pa，pb），C-接近x，因此Va（·，pa，pb，bvc）=Va（·，pa，pb，s),对于满足上述性质的任何（pa，pb）。证明：证明的主要思想是修改跳跃点周围的阶跃函数，用倾斜线段替换跳跃，这样我们就不会影响其“mcm”。

为了便于注释，让我们引入fa（x，pa，pb）：=fa（x，pa，pb）- x=ExZ∞经验值-Ztc（Xs，pa（Xs），pb（Xs））dsga（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）- c（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）Xtdt公司.（63）那么，根据命题3，我们得到：Va（x，pa，pb，~v）=fa（x）+φ（x）mcm\\v- fa公司- x个（F（x）），其中唯一依赖于障碍物v的是“mcm”内部，VAI在（19）中定义。因此，足以证明mcm\\v- fa公司- x个（y） 如果我们将▄v=bvc替换为▄v=s，则不会改变.让我们来确定任何 > 0和定义. 我们知道，bvc具有1-shift特性，并且仅在点序列{x+n}n处通过大小为1的跳跃来改变∈Z、 我们定义（x） 在间隔（x+n）外等于bv（x）c- , x+n]，并与连接的线段重合（x+n- , bv（x+n- )c） 和（x+n，bv（x+n）c）。注意，在左边-bvc，s的每个跳跃点的邻域是坡度为1的线段/, 它与其他地方的bvc（局部恒定）一致。请注意≥ bvc建造，因此，mcm\\s- fa公司- x个≥ mcm公司\\bvc公司- fa公司- x个, 对于一些人来说，只剩下证明相反的不平等了 > 为此，我们注意到，在引理的假设下，fa+x严格增加，因此，函数x 7→ bv（x）c- fa（x）- x正好在{x+n}点达到其最大值。如果这个最大值是非正的，我们从命题4的证明中推断出mcm\\bvc公司- fa公司- x个= 那么，理想的不等式是明确的，因为我们可以确保- fa公司- x与bvc具有相同的上确界- fa公司- x、 选择足够小的 > 0（由于命题2，仅取决于w）。因此，对于其余的证明，我们假设bvc的上确界- fa公司- x是严格正的，这意味着它的“mcm”在任何地方都是严格正的。表示y：=F（x），y：=F（x），其中x=x+1，F由（39）给出。请注意（fa）≥ 1.- w、 一些固定的w<1。

然后，利用引理4中给出的（ψ，φ）的估计，很容易推断出存在δ∈ （0，1），独立于（pa，pb，v）和y∈ [y，F（x- δ） ，这样\\（bvc- fa公司- x） （y）>0和点的线性插值（y，\\（bvc- fa公司- x） （y）和（y，\\（bvc）- fa公司- x） （y））位于bvc图形上方- fa公司- 间隔[y，y]上的x。我们的目标是显示此插值也占主导地位- fa公司- 对于所有足够小的 > 0.显然，如果 < δ、 然后，函数\\bvc- fa公司- x、 由上述[y，F（x+1）]上的插值修改，占主导地位- fa公司- [F（x），F（x+1）]上的x。然后，由于周期性，可以在任何[F（x+n），F（x+n+1）]上构建类似的修改，以控制- fa公司- 这个区间上的x，它产生所需的不等式：mcm\\s- fa公司- x个≤mcm公司\\bvc公司- fa公司- x个.请注意，“b·”操作符（在（40）中定义）将φ和ψ的任何线性组合转换为直线。因此，有必要证明-fa公司-x在[x:=F]上占主导地位-1（y），x]通过（x，z）和（x，z）之间的“aφ（x）+bψ（x）”插值（选择常数a和b分别匹配x和x处的边界值zand z），其中z=bv（x）c- fa（x）- x、 z=bv（x）c- fa（x）- x、 表示h=aφ+bψ，观察：h（x）=z∈ [（z- 1） +，z]，h（x）=z>0，x≥ x+δ和h≥ 0，小时≥ bvc公司- fa公司- [x，x]上的x。接下来，当h满足σhxx时- ch=0，a.e.，并且是连续可微的，我们应用最大值原理得出结论，hon[x，x]的最大值不能在该区间的内部达到（否则，在最大点，我们会有h>0和hxx<0，这与上述方程相矛盾）。

因此，h（x）≤ zfor x公司∈ [x，x]。那么，上面的方程就意味着0≤ hxx（x）≤2cσz≤2cuσz，x∈ [x，x]，且作为hx在区间[x，x]上的积分（长度至少为δ∈ （0，1），最多1）不超过1，我们得出结论：hx（x）≤2cuσz+δ，x∈ [x，x]。引理的假设意味着bvc（C+1）-接近x，并且Fa绝对有界于C。因此，z=bv（x）C- x个- fa（x）≤ 2C+1，然后，hxis在[x，x]上以常数为界，与（pa，pb，v）无关，只要后者满足引理中所述的性质。最后，注意h（x）=z=s（十）- x个- fa（x），函数的斜率s- fa公司- x至少等于1/ - 1.- w开[x- , x] （由于提案2）。那么，我们可以选择 足够小，以便1/ - 1.- w≥ C≥ hx（x），对于x∈ [x- , x] 。因此，我们获得（十）- fa（x）- x个≤ h（x），x∈ [x- , x] 。作为h≥ bvc公司- fa公司- 通过构造，我们得出结论，上述不等式适用于所有x∈[x，x]。因此，我们得出结论，函数\\bvc- fa公司- x、 通过其在[y，y]上的线性插值进行修改，占主导地位- fa公司- x开[y=F（x），y=F（x+1）]。其他间隔[F（x+n），F（x+n+1）]由相同的参数处理。因此，我们获得了MCM\\s- fa公司- x个≤ mcm公司\\bvc公司- fa公司- x个,这将在上面的左侧和右侧之间产生所需的相等。第2步。让我们回顾一下[3]中的一些符号。设u>0，并考虑权重函数mu（x）=exp(-u| x |）。用Hu=W0,2，u，Vu=W1,2，u表示R上适当的mu加权Sobolev空间（我们需要加权空间，因为我们的系数是有界的和周期性的，而我们需要它们在整个有界域上是可积的）。对于任何u、r∈ Vu和任意p∈ Aa，我们定义（u，r）=ZRσmuur- 2u符号（x）σmuvmur+cpmuur dx。让fp∈ Hu，由fp（x）=间隙（x）- cp（x）x是我们相对x停止问题的运行cots，ku（v）={u∈ Vuu（x）≥ v（x）- x a.e。

x} 是一组适当的测试功能。我们用VI（p，v）表示以下VI（从弱意义上理解）ap（u，r-u）≤ （fp，r-u） ，则，r∈ Ku（v）（64），其中（u，r）=（u，r）u=ZRmuurdx。我们说u是上述VI的解，如果u∈ Ku（v）和u满意度（64）。作为所有系数，cp、σ/2、fp和（v- x） ，在L中∞（R） 当μ足够小时，由于形式ap（·，·）是强制性的，我们得出结论（对于此类u），VI（64）在Ku（v）中具有唯一的溶液，对于任何p∈ aa和任何C-接近x的v，根据定理1.13，[3]p.217。设Vn为C∞-s上方的近似值, 通过引理12与v关联，引理12最多是s的1/naway在sup norm中。然后，根据定理3.19，[3]p.387，对于足够小的u，un=Va（·，p，pb，vn）是VI（p，vn）的唯一解。也可用VI（p，s）的唯一解表示). 将这些VIs重写为muu的加权VIs并限制为有界域，可以推广定理1.10，[3]p.207，toobtain un→ uin L公司∞（R） 。后一个事实，加上易于检查的值函数的收敛性，Va（·，p，pb，vn）→ Va（·，p，pb，s) = Va（·，p，pb，bvc），意味着后一个值函数是VI（p，s）的唯一解).第3步。根据定理1.4，[3]p.198，扩展到无界域，如备注1.21，p.219，唯一解u，~u∈ VIsap的Ku（v）（u，r-u）≤ （h，r- u） ，则，r∈ Ku（v）分别。ap（▄u，r- u）≤ （￠h，r- u），r∈ Ku（v）共享障碍物v和形状ap，但右侧h和▄h不同，满足▄u≥ u如果▄h≥ h、 回想一下，Va（x）=Va（x）- x和表示'p：=Pa（Va）。我们需要证明以下不等式成立：’u：=Va=Va（·，’p，pb，bvc）=Va（·，’p，pb，s) ≥ Va（·，p，pb，s) = Va（·，p，pb，bvc）=：’u=’u（p）对于任何p∈ Aa。

步骤2中显示，“u满足（64）的一个版本，运行成本f”和二次型a“p”，经过常规转换后，其结果相当于p（\'u，r- \'\'u）≤ （￠f，r- \'\'u），r∈ Ku（bvc），（65），其中▄f=fp+q，q：=g'p- c'p（'u+x）- （总成- cp（(R)u+x））≥ 0，从“p=Pa（Va）和“u（x）+x=Va（x）”开始。回想一下，“usatis fis fies the the over equation with the running cost function fp in the▄f，and the fp≤~f.因此，我们可以应用本步骤开头所述的比较原则来完成证明。6.2引理11的证明我们只显示（pa，pb）7的连续性→ x+Va（x，pa，pb，v），另一部分类似。回想一下thatVa（x，pa，pb，v）=supτJa（x，τ，pa，pb，v）。因此，有必要表明，对应于两对价格（pa，pb）和（pa，pb）（τ相同）的Ja-s也很接近，τ一致。为此，我们回顾了（17）和obtainJa（x，τ，pa，pb，v）- Ja（x，τ，pa，pb，v）=ExhZτ经验值-Ztc（Xs）ds- 经验值-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+Zτexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt- （ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）i，（66），其中表示c（X）=c（pa（X），pb（X），X），c（X）=c（pa（X），pb（X），X），ga（X）=ga（pa（X），pb（X），X），ga（X）=ga（pa（X），pb（X），X）。为了完成证明，有必要表明，当（pa，pb）和（pa，pb）在拓扑结构上接近时，（66）中三条不同线的绝对值的期望值都很小。对于第三项，请注意，作为| exp(-x）-经验值(-y） |≤ 最大值（exp(-x） ，经验值(-y） ）| x-y |，和as ci（x）≥cl>0，对于所有x和i=1，2，我们有经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）≤经验值(-clτ）Zτ| c（Xs）- c（Xs）| ds|v（Xτ）- Xτ|≤ CZτexp(-cls）| c（Xs）- c（Xs）| ds≤CZτexp(-cls）|pa（Xs）- pa（Xs）|+pb（Xs）- pb（Xs）ds，其中一个正常数Cmay在两行之间不同（此处和整个证明）。