市场微观结构及其他方面的控制停止博弈

然而，本文所述的大多数结果适用于更一般的ca/bt和ga/bt，只要它们是由（pat、pbt、Xt）的确定性函数给出的，并且本文进一步说明的适当假设是令人满意的。在拟议的规范中，X代表非战略投资者的“保留价格”的当前估计。每个代理都认为，非战略投资者根据A来到市场，对这个术语的精确解释取决于手头的均衡问题。在此，我们证明了战略主体的连续值由布朗运动的函数给出，第一个导数的界远离零。泊松过程N，强度λ>0，与B无关。在任何到达时间Tiof N，此时到达的非战略投资者的实际保留价格pTi的值由pTi=XTi+ξi给出，其中{ξi}是i.i.d.随机变量，与B和N无关，平均值为0和c.d.f.f。当且仅当pTi时，到达的非战略投资者（向战略卖方）提交购买订单≥ 帕蒂。同样，如果且仅当pTi≤ pbTi。非战略卖家的订单执行后（所有订单均为单位大小），战略卖家的剩余库存（单位大小）在价格bXTi上标记为市价-+ αξic。同样，如果非战略代理人是买方，则战略买方的剩余库存将按dXTi的价格标记为市价-+ αξ即，我们用b·c和d·e表示标准的“地板”和“天花板”功能。参数α∈ （0，1）衡量单一贸易对估计基本价格的（线性）影响。

如果买卖价差等于一个勾号，则可选择此特定标记规则：在这种情况下，XTi-+ αξire表示保留价格的新估计值（在执行非战略代理的订单之后），而出价和要价是从下到上与该数字最接近的整数。上述规范导致ca/带ga/b的以下表达式：cat（pat，pbt）=cbt（pat，pbt）=c（pat，pbt，Xt），c（pa，pb，x）：=λ(1 - F（pa- x） ）+Fpb级- x个, （3） gat（pat，pbt）=ga（pat，pbt，Xt），ga（pa，pb，x）：=λpa（1- F（pa- x） ）+Fb（pb，x）, （4） gbt（pat，pbt）=gb（pat，pbt，Xt），gb（pa，pb，x）：=λpbF公司pb级- x个+ Fa（pa，x）, （5） Fb（pb，x）：=Zpb-x个-∞bx+αycdF（y），Fa（pa，x）：=Z∞帕-xdx+αyedF（y）。（6） 任何战略代理也可以在任何时候停止游戏，与其他战略代理进行交易，交易价格为后者可接受的价格：如果买方发起交易，则为qa；如果卖方发起交易，则为qbif。这就为战略代理人带来了最优停止问题，即时奖励过程等于（折扣）QA和qb（参见（1）和（2））。即时奖励过程对其他代理的持续控制的这种功能依赖性，给停止策略的定义带来了额外的挑战。为简单起见，假设ca/b≡ 0，注意，如果τa>τb，那么卖方的收益是qaτb。如果τb固定为惊人的时间（卖方已知），那么卖方可以在τb周围增加qa的值，从而使其收益任意大。当然，在实践中，买方不会接受任意高的价格。

因此，为了使我们的博弈更加现实，我们假设每个停止策略都取决于其他代理的连续控制，因此改变qa将导致τb的变化。由此产生的控制停止博弈由下式给出（pa，qa，τa）∈ argmaxp∈Aa，q∈A、 τ∈TaE公司Uaτ（qb）（p（X），pb（X），qb（X））1{τ（qb）≤τb（q）}+Laτb（q）（p（X），q（X），pb（X））1{τ（qb）>τb（q）},（pb，qb，τb）∈ argminp∈Ab，q∈A、 τ∈待定Ubτ（qa）（pa（X），qa（X），p（X））1{τ（qa）≤τa（q）}+Lbτa（q）（pa（X），p（X），q（X））1{τ（qa）>τa（q）},（7） 其中Ua/波段La/裸通过（2）和（3）–（6）定义；A是从R到Z的所有可测函数的空间；Aa={p∈ 答：1- F（p（x）- x）≥cl2λ，x个∈ R} ，Ab={p∈ A:F（p（x）- x）≥cl2λ，x个∈ R} ，（8）某些常数cl>0；Ta和Tb由A到FX stoppingtimes，s.t.τ空间的所有映射组成∈ 助教=> FX适应流程v，s.t。q∈ A、 τ（q）=inf{t≥ 0:q（Xt）≥ vt}，τ∈ Tb=> FX适应流程v，s.t。q∈ A、 τ（q）=inf{t≥ 0:q（Xt）≤ vt}。上述停止策略的定义反映了第（7）段的结论，并暗示代理的停止规则是“阈值”类型：当对其他代理的持续控制（即报价）变得足够有吸引力时，她停止。通过指定相关阈值v，可以唯一定义TBTAOR中的任何τ。因此，我们有时会使用符号τv。显然，对于任何固定的q∈ A、 任何外汇止损时间都可以用τv（q）表示，并选择适当的v。选择允许的公布价格集Aa/b，以确保非战略代理的订单流动率c（pa，pb，x）（在（3）中给出）远离零。为了确保每个代理的最佳连续控制表现良好，我们做出以下假设（与[9]中的假设2-5相比）。假设1。

ξ的分布具有密度f，由一个常数Cf>0从上方限定，其支撑是凸的，包含在[-C、 C]，对于某些常数C>0。此外，在支架内部，f是连续的，（1- F）/F不增加，F/F不减少。备注1。可以放宽假设1，以便（1-F）/F仅要求在SUP（F）内部不增加∩R+，且supp（F）内部的F/F不递减∩R-. 这需要对建模假设进行微小的改变：即，外部购买订单只能达到p的正跳，而外部出售只能达到p的负跳（除了p≥ PAN和p≤ 分别为pb）。[9]中使用了后一个设置，但我们选择在这里避免它，以便简化符号。此外，如【9】中假设5后的备注所述，假设1的充分条件可以通过f的对数凹度来说明。如导言所述，形式（1）–（2）的博弈无法使用标准方法直接分析。因此，我们的第一个目标是找到一个更方便的方程组来描述（7）的一个子类平衡。为此，我们回顾了价值函数的概念，它代表了所有可容许控制下代理的目标值的上确界或内确界（无论哪一个是合适的）。很容易得出，该值仅取决于初始条件X。假设X=X，让我们分别用“Va（X）”和“Vb（X）”表示卖方和买方的值函数。在平衡状态下，我们自然会期望qa（X）≥(R)Va（x）和qb（x）≤(R)Vb（x）：代理人愿意立即交易的最优价格不应低于他们预期的执行价格，如果他们采取最佳行动的话。由于价格取整数值，我们得出结论：qa（x）≥ d'Va（x）e和qb（x）≤ b'Vb（x）c。

那么，任何代理停止都是次优的，除非“Vb（Xt）”≥ d'Va（Xt）e或'Va（Xt）≤ b“Vb（Xt）c.请注意，后两个不等式中的每一个都描述了相同的事件：间隔[”Va（Xt），”Vb（Xt）]至少包含一个整数。然后，对于每个战略代理人来说，以这个区间内任何整数给出的价格与另一个进行交易是最理想的，对于其中至少一个战略代理人来说，以任何其他价格进行交易是最理想的。如果这样的整数是唯一的，我们就得到了唯一的阈值价格，这样当代理的值函数达到这个阈值时，代理就会（同时）停止。这种启发式讨论通过耦合控制问题的辅助系统激发了对（7）平衡的搜索：Find pa∈ Aa、pb∈ Ab和可测量的“Va”和“Vb”，使得（\'Va（x）=支持∈Aa，τJax、 τ，p，pb，\'Vb= supτJax、 τ，pa，pb，’Vb,(R)Vb（x）=infp∈Ab，τJbx、 τ，pa，p，’Va= infτJbx、 τ，pa，pb，(R)Va,（9） 这是确保游戏不会持续太长时间所需的技术条件，因此，代理的值函数不会偏离X太远（参见，例如，（13）和引理2的证明）。式中，τ在所有FX停止时间内变化，且x、 τ，pa，pb，v= ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsga（pa（Xt），pb（Xt），Xt）dt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）dsbv（Xτ）ci，（10）Jbx、 τ，pa，pb，v= ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsgb（pa（Xt），pb（Xt），Xt）dt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）dsdv（Xτ）ei，（11），其中Ex[·]=E[·| X=X]。提案1。假设（pa、pb、\'Va、\'Vb）、solve（9）和（\'Va、\'Vb）是连续且递增的。然后，（pa，d'Vae，τ'Va）和（pb，b'Vbc，τ'Vb）形成（7）的平衡。证明：该证明包括基本验证，即建议的策略对于（7）中的代理是最优的。以战略卖家为例。

从qb=b'Vbc这一事实来看≤\'Va，我们很容易推断出（7）中卖方的最大目标值不超过\'Va，前提是其他代理人使用命题陈述中给出的策略。作为“Vb”≤ d'Vae=pa，很容易看出，使用（7）中规定策略的药物都在停止时间τ停止*:= inf{t≥ 0：(R)Va（Xt）=b'Vb（Xt）c}，卖方在（7）中的目标值与（10）的关联值一致。“Va”和“Vb”的连续性和单调性意味着：“Va（Xτ）”*) = b'Vb（Xτ*)c、 无论何时τ*< ∞. 然后，最优停止理论中的标准论证得出，（10）的关联值是最优的，因此与'Va一致。类似的论证适用于战略买方。上述命题表明，构建（7）均衡的问题归结为求解（9）。后者是一个由两个马尔可夫控制-停止优化问题组成的系统，通过连续控制和停止屏障耦合，每个屏障由另一个代理的值函数的不连续函数（即FLOOR或天花板）给出。即使在目前的一维布朗环境中，相关的固定点问题也缺乏所需的连续性或单调性，使得其难以用一般方法解决。然而，下面的定理证明了（9）的解的存在性。此外，第3节和第4节中给出的证明以及第5节中的讨论进一步阐明了解决方案的结构。定理1。对于满足假设1的任何Cf，C>0，任何C.d.f.f，以及任何cl，λ>0，α∈ （0，1），存在'σ>0，因此，对于任何σ≥ σ，存在一个溶液（pa，pb，\'Va，\'Vb）到（9），其中（\'Va，\'Vb）是连续且不断增加的。让我们概述定理1的证明。首先，我们注意到[9]中的RBSDE方法不能用于这种情况。

事实上，RBSDEs相关系统的反射域是非凸和不连续的（见第5节），迄今为止，此类系统没有可用的存在结果。因此，我们采用directapproach，旨在显示映射（va，vb）7→ （Ja，Jb）7→ （\'Va，\'Vb），其中第一个映射是通过（10）–（11），第二个映射是通过（9），有一个固定点。正如引言中所述，这种方法的主要挑战在于JA和Jb定义中存在“地板”和“天花板”功能，这会导致不连续性。我们提出了以下解决这一困难的一般方法（值得一提的是，定理1的证明实际上表明了马尔可夫完美（或子博弈完美）均衡的存在，也就是说，如果代理在任何中间时间重新评估其目标，所提策略仍将形成均衡。可用于具有类似类型不连续性的许多问题）。这种方法基于这样一种观察，即如果限制在一组“足够嘈杂”的功能中，“地板”和“天花板”操作符可以在适当的意义上连续（参见[7]，[17]，了解该观察的另一个应用）。注意，bv（X）c是卖方最优停止问题的瞬时奖励过程。用τ表示相应的最佳停车时间。接下来，考虑均匀拓扑中v的一个小扰动v。假设过程v（X）有足够的噪声，即对于任何ε>0的情况，存在一个停止时间τε，因此v（Xτε）≥ v（Xτ）+ε和τε↓ τ为ε↓ 0（例如，布朗运动满足此特性）。然后，bv（Xτε）c≥ bv（Xτ）c保持不变，前提是kv- vk<ε。

由于运行报酬在时间上是连续的，且τε接近τ，因此我们可以为扰动问题找到一个停止时间，该时间产生的目标值接近于未扰动问题的最优目标值。将这两个问题相互交换，我们得出结论，这两个问题的值函数是密切的，这就产生了所需的映射连续性（va，vb）7→ （Ja，Jb）7→ （\'Va，\'Vb）。然后，将后一个映射限制为一个紧映射，在该紧映射上保证va/b（X）具有足够的噪声，我们可以应用Schauder定理来获得一个固定点。我们强调，这一战略是相当普遍的，可以在目前问题的范围之外应用。然而，为了应用Schauder定理，需要证明所选的压缩是通过映射来保持的：特别是，有足够噪声的va/b（X）被映射为有足够噪声的va/b（X）。后者的预防可能取决于当前问题的结构。在目前的情况下，我们在第3节中利用[6]、[5]的几何方法提供了这样的证明，这种方法可以应用于非常不规则的线性扩散停止问题。它允许我们证明“Va/b（·）”具有远离零的导数，前提是（Va（·）、vb（·））满足该属性，并且基础过程X的波动率σ足够大（命题4）。反过来，后者意味着“Va/b（X）”在上述意义上具有足够的噪声，命题5利用这一结论来证明（Va，vb）7的连续性→ （Ja，Jb）7→ （\'Va，\'Vb）。第4节的大部分内容涉及反馈形式（命题6）中最优连续控制的特征，并显示反馈泛函的正则性。通常，此类特征通过PDE或BSDE方法获得，但后者不能应用于当前情况（即。

由于停止奖励过程的不规则性，相关方程的适定性未知）。第1项的证明通过结合命题6和定理2.3 agent的最优停止问题得出结论。在本节中，我们研究了单个agent的值函数的性质，前提是两个agent的连续控制以及另一个agent的值函数是固定的。换句话说，我们考虑单个最优停止问题的值函数。我们首先建立了它的基本相对有界性和拟周期性。然后，我们回顾了与线性扩散相关的二阶常微分方程的分析机制，它与[6]、[5]的最优停止的几何方法一起，允许我们建立一个充分强单调的代理最优停止问题的值函数。最后，已建立的单调性、相对有界性和准周期性，允许我们证明值函数相对于其他代理的值函数的连续性（对于固定连续控制），这是本节的主要结果，如命题5.3.1“初步构造”中所述，鉴于假设1和（Aa，Ab）的定义，假设pa∈ aa和pb∈ Absatisfykpa（x）- xk公司∞≤ Cpb（x）- x个∞≤ C、 （12）如命题4所示，σ必须足够大，以确保w（σ）<1，其中w在命题2中定义。某些固定常数C>0（仅取决于（cl，λ，F）），其中k·k∞表示L∞norm（即代理的最大目标值不会因此类限制而改变）。此外，对于任何pa∈ aa和pb∈ Ab，我们有：c（pa（x），pb（x），x）≥ 氯，x个∈ R、 （13）根据c的定义，由于λ在本文中是固定的，我们得到了c（pa（x），pb（x），x）≤ cu=2λ>0。我们经常使用的另一个属性如下。定义1。

可测函数f:R→ R为“C-接近x”，ifkf（x）- xk公司∞≤ Cx个∈ R、 常数C出现在（12）中。利用上述性质，我们定义了容许障碍的概念：即函数v，因此相关最优停止问题中的报酬函数是v定义2的四舍五入。A函数v:R→ 如果R是可测的且C接近x，则R是可容许的障碍。接下来，我们介绍了代理所面临的最优停止问题的值函数：Vax、 pa、pb、v:= supτJax、 τ，pa，pb，v, x个∈ R、 （14）Vbx、 pa、pb、v:= infτJbx、 τ，pa，pb，v, x个∈ R、 （15）对于pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v。很容易看出这些值函数定义良好且不明确。请注意，pa、pb、Va、Vb和x是以刻度为单位测量的，只有相对测量值是可解释的。因此，以下平衡的安萨兹是自然的：(R)Va（x+1）=Va（x）+1，(R)Vb（x+1）=Vb（x）+1，pa（x+1）=pa（x）+1，pb（x+1）=pb（x）+1。（16） 让我们为上述财产引入一个特殊术语。定义3。我们说函数f:R→ R具有“1-移位性质”iff（x+1）=f（x）+1，x个∈ R、 我们还需要一个目标和相关价值函数的版本，在奖励函数中不含浮点数和升幅，并减去x（这对于第4节中的某些近似值尤为重要）。因此，对于任何pa∈ Aa、pb∈ Ab，任意停止时间τ，以及任意容许势垒v，我们引入：Ja（x，τ，pa，pb，v）=ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsga（p（Xt）、pb（Xt）、Xt）- c（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）Xtdt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）i，（17）Jb（X，τ，pa，pb，v）=ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsgb（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）- c（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）Xtdt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）i，（18）Va（X，pa，pb，v）=supτJa（X，τ，pa，pb，v），（19）Vb（X，pa，pb，v）=infτJb（X，τ，pa，pb，v）。