市场微观结构及其他方面的控制停止博弈

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英文标题：
《Control-stopping Games for Market Microstructure and Beyond》
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作者：
Roman Gayduk and Sergey Nadtochiy
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we present a family of a control-stopping games which arise naturally in equilibrium-based models of market microstructure, as well as in other models with strategic buyers and sellers. A distinctive feature of this family of games is the fact that the agents do not have any exogenously given fundamental value for the asset, and they deduce the value of their position from the bid and ask prices posted by other agents (i.e. they are pure speculators). As a result, in such a game, the reward function of each agent, at the time of stopping, depends directly on the controls of other players. The equilibrium problem leads naturally to a system of coupled control-stopping problems (or, equivalently, Reflected Backward Stochastic Differential Equations (RBSDEs)), in which the individual reward functions (or, reflecting barriers) depend on the value functions (or, solution components) of other agents. The resulting system, in general, presents multiple mathematical challenges due to the non-standard form of coupling (or, reflection). In the present case, this system is also complicated by the fact that the continuous controls of the agents, describing their posted bid and ask prices, are constrained to take values in a discrete grid. The latter feature reflects the presence of a positive tick size in the market, and it creates additional discontinuities in the agents reward functions (or, reflecting barriers). Herein, we prove the existence of a solution to the associated system in a special Markovian framework, provide numerical examples, and discuss the potential applications.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一系列控制停止博弈，这些博弈自然出现在基于均衡的市场微观结构模型中，以及其他具有战略买家和卖家的模型中。这类博弈的一个显著特征是，代理没有任何外部给定的资产基本价值，他们从其他代理发布的买卖价格中推断出自己头寸的价值（即，他们是纯粹的投机者）。因此，在这种游戏中，每个代理在停止时的奖励功能直接取决于其他玩家的控制。均衡问题自然会导致一个耦合控制停止问题系统（或者，等效地，反射倒向随机微分方程（RBSDE）），其中，单个奖励函数（或者，反射屏障）取决于其他代理的值函数（或者，解分量）。通常，由于耦合（或反射）的非标准形式，由此产生的系统会带来多重数学挑战。在目前的情况下，代理的连续控制（描述其公布的出价和要价）被限制在离散网格中取值，这一事实也使该系统变得复杂。后一个特征反映了市场中存在正的刻度大小，并在代理奖励功能中产生了额外的不连续性（或反映障碍）。在此，我们在一个特殊的马尔可夫框架下证明了关联系统解的存在性，给出了数值例子，并讨论了潜在的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：市场微观结构 微观结构 Mathematical Differential Applications

控制市场微观结构和其他方面的停止博弈。*Roman Gayduk和Sergey Nadtochiy+当前版本：2018年11月1日原始版本：2017年8月1日摘要在本文中，我们提出了一系列基于市场微观结构均衡模型以及其他具有战略买家和卖家的模型中自然产生的控制停止博弈。这类博弈的一个显著特点是，代理没有任何外部给定的资产基本价值，他们从其他代理发布的买卖价格中推断其头寸的价值（即，他们是纯粹的投机者）。因此，在这种游戏中，每个代理在停止时的奖励功能直接取决于其他玩家的控制。均衡问题自然会导致一个耦合控制停止问题系统（或等效的反向随机微分方程（RBSDE）），其中单个奖励函数（或反射屏障）依赖于其他代理的值函数（或解组件）。通常，由于非标准形式的耦合（或反射），由此产生的系统呈现出多重数学挑战。在目前的情况下，代理的连续控制（描述其标的买卖价格）被限制在离散网格中取值，这一事实也使该系统变得复杂。后一个特征反映了市场中正刻度大小的存在，并在代理的回报功能中产生了额外的不连续性（或反映障碍）。

在此，我们证明了关联系统在特殊马尔可夫框架下解的存在性，给出了数值例子，并讨论了潜在的应用。1买方卖方博弈本文考虑两个博弈者之间的非零和控制停止博弈，其形式为（（θa，τa）∈ argmaxθ，τEUaτ（θ，θb）1{τ≤τb}+Laτb（θ，θb）1{τ>τb}（θb，τb）∈ argminθ，τEUbτ（θa，θ）1{τ≤τa}+Lbτa（θa，θ）1{τ>τa}（1） 在上面，θ是一个随机过程，称为连续控制；τ表示停止时间（其确切含义在本节末尾讨论）；Ua、Ub、La和Lb是外部给定的非预期随机函数，将（θa、θb）的路径映射到所谓的奖励路径。（1）的解释是明确的：第一个参与者，即卖方，选择最优控制（θa，τa），第二个参与者，即买方，选择最优控制（θb，τb）。每个玩家的回报取决于她个人的持续控制、另一个玩家的持续控制以及谁先停下来。（1）定义的一般游戏类别可以*两位作者均承认NSF拨款DMS-1411824的部分支持。+通信地址：密歇根大学数学系，530 Church St，Ann Arbor，MI 48104；sergeyn@umich.edu.be被视为众所周知的Dynkin游戏（[8]）的扩展，其中扩展是因为（i）玩家除了停止时间外，还可以选择连续控制，以及（ii）游戏不必是Rilyzero和。文献[14]、[15]中考虑了两人非零和控制停止对策。Dynkin游戏的其他扩展可以在[2]、[4]、[11]、[12]、[1]、[18]以及其中的参考文献中找到。然而，本文考虑的特定类型的游戏之前没有进行过分析，只有我们早期工作的例外[9]。

即，我们假设θ=（p，q），实值过程p，q，andUat（pa，pb，qb）=Ztexp-Zucas（pas、pbs）dsgau（pau，pbu）du+exp-Ztcas（pas、pbs）dsqbt，Lat（pa，qa，pb）=ZTEP-Zucas（pas、pbs）dsgau（pau，pbu）du+exp-Ztcas（pas、pbs）dsqat，Ubt（pa，qa，pb）=ZTEP-Zucbs（pas、pbs）dsgbu（pau、pbu）du+exp-Ztcbs（pas、pbs）dsqat，Lbt（pa，pb，qb）=Ztexp-Zucbs（pas、pbs）dsgbu（pau、pbu）du+exp-Ztcbs（pas、pbs）dsqbt。（2） 这种选择有一个明确的经济学解释，即买卖双方之间的博弈，这是我们研究此类问题的主要动机（参见[10]、[9]）。考虑一个战略买家和一个战略卖家（或两个同质的买家和卖家群体），分别尝试购买和出售一个资产单元。假设战略代理知道彼此的特征（例如，因为他们已经玩了很多次这个游戏，或者因为他们可以相互“研究”），但存在其他潜在的买家和卖家，他们不是完全战略性的，他们的特征对于战略玩家来说并不完全了解。这种环境的一个例子自然出现在市场微观结构的背景下，专业高频交易者使用共同的预测因素，因此，可能在某种程度上预测彼此的行为，而长期投资者（或者简单地说，不太成熟的投资者）可能使用非常不同的策略类型，因此，更难预测。类似的游戏可以描述百货商店和“逢低买主”的行为，分别代表战略卖家和买家。百货商店可以通过进行市场调查或通过过去的经验，相当清楚地了解低价买家的偏好（以及他们的行为）。然而，也可能存在其他潜在购物者，他们的行为更难以预测：例如：。

与其说是价格和折扣，不如说是直接的个人需求。无论具体的经济解释如何，战略代理人的行为都可以用以下方式描述。战略代理人通过指数随机变量对第一个非战略代理人的到达时间进行建模，与他们观察到的过去信息无关。非战略代理商尽管不是战略代理商，但确实有价格偏好，因此，其订单的到货率（cator cbt）（我们允许战略代理商对到货率有不同的信念）取决于战略买家和卖家分别发布的价格PBT和pat。后者还影响到到达的非战略客户是买方或卖方，因此将分别与战略卖方或战略买方进行交易的可能性。只要第一笔交易发生，游戏就结束了。如果到达的非战略代理是卖方，则战略卖方（在这种情况下，在游戏结束时留下正库存）将其库存标记为“新公平价格”，该价格通常低于其公布价格，pa。如果非战略代理是买方，则类似规则适用。后续章节将讨论剩余库存“按市价计价”的具体选择。由此产生的利润和损失由（2）中的GAA和gb这两个术语表示。然而，如果战略买家和卖家决定彼此交易，游戏也可能结束。如果其中一方对合适类型的非战略代理的到来感到足够悲观，则可能会出现后者。在这种情况下，他们将以所谓的“内部”价格Qa和qb进行交易，这些价格没有公布（因此，非战略代理人不知道），但可以由每个战略代理人在均衡状态下推断出来。

发起交易的战略代理人接受其他代理人提供的价格：例如，如果战略卖方与战略买方发起交易，交易将以qb价格进行。这被（2）右侧的最后一个术语所捕获。[9]中给出了导致（1）–（2）的市场微观结构模型的更详细数学描述。现在，让我们解释一下为什么表（1）–（2）中的游戏很难分析。首先，此类博弈不是零和的事实意味着，通过双反射BSDE建立的均衡描述，例如在【4】、【11】中，不适用于本案例。在没有零和性质的情况下，平衡的存在通常是通过一个不动点定理来建立的——要么使用其抽象版本（参见[14]、[15]、[12]、[18]），要么在偏微分方程的背景下（参见[2]）。为了应用不动点定理，必须依赖于目标的某些单调性属性，这在我们的案例中并不存在，或者（a）找到一组紧凑的单独控制，其足够大，可以包含目标函数的任何最大化子，以及（b）建立目标相对于所有控制的连续性。然而，（2）右侧最后一个术语的形式表示停车时的“奖励”，这使得实施程序（a）–（b）很困难。注意，这些术语将“qτ”形式的表达式引入目标。事实证明，很难在控制空间（q，τ）上找到拓扑，因此所有容许控制集都是紧的，映射（q，τ）7→ qτ是连续的。

请注意，在现有文献中考虑的许多情况下都不会出现此问题，因为瞬时回报过程通常仅通过受控状态过程依赖于连续控制（参见[14]、[15]）。后一种类型的依赖比（2）右侧最后一项给出的对连续控制的显式函数依赖更复杂，但它确实具有“平滑”效果，并且在许多情况下，允许避免上述缺乏紧凑性或连续性的问题。我们早期的工作[9]展示了如何使用反射后向随机微分方程（RBSDE）系统在（1）–（2）的版本中构建平衡。在此，我们以（1）–（2）的形式扩展了我们对控制停止博弈的讨论，并考虑了连续控制（pa、qa、pb、qb）仅允许在离散等距网格中取值的情况，该网格假定为Z，但不失一般性。该限制反映了金融市场中存在严格的正规模：即。，交易价格只能是刻度大小的倍数。结果表明，与[9]的相关模型相比，在存在正刻度大小的情况下，平衡动力学在性质上变得不同，平衡的构建需要新的数学方法。这两个特征构成了本论文的主要贡献。特别是，本文构建的均衡允许两个参与者的持续价值交叉：即，战略卖方可能预期其资产的收益低于战略买方预期的收益。

在这种情况下，如果没有正刻度大小造成的摩擦，人们自然会期望这两个战略代理将以介于两个连续值之间的任何价格水平进行交易，游戏将结束。后者在[9]中被定义为这种情况。然而，在目前的模型中，代理可能无法相互交易，因为它们的连续值之间可能不存在可接受的价格水平（即刻度大小的倍数）。事实上，如果两个战略代理人对未来的订单流量有相同的预测，那么必然会出现连续值的交叉，在这种情况下，博弈会在[9]的模型中瞬间结束，而在当前的模型中通常会继续。这种交叉的大小（即买方的持续价值超过卖方的持续价值的程度）衡量了正ticksize所产生的效率。也就是说，如果这两个参与者被提供在“影子市场”中进行交易，而不需要支付额外的费用，那么他们愿意为这样的机会支付的最高费用正好等于十字交叉的规模。本文的结果允许我们计算交叉大小并研究其与蜱虫大小的关系。第5节介绍了该分析。在数学方面，我们的主要贡献在于展示了如何证明博弈中均衡的存在性，在博弈中，参与者的个人目标取决于不连续（但分段连续）的情况下，例外情况是[1]，其中均衡是显式构建的。然而，后一种结果依赖于问题的特定结构，尤其是不允许连续控制。受控状态过程的功能，如“FLOOR”和“天花板”功能。这种依赖性在各种游戏中都会出现。

例如，对计算机服务器的一系列攻击不会对其所有者造成任何损失，除非服务器的安全性被破坏，在这种情况下，损失会立即增加。同样，借款人信贷质量的变化不会给其债权人造成任何损失，直到信贷质量下降到临界值，此时借款人违约，损失激增。在目前的情况下，事实证明存在均衡问题的等效公式，其中战略要素的内部价格（qa，qb）由各自连续值的“FLOOR”和“天花板”函数给出，从而在目标中引入潜在的不连续性。众所周知，不连续映射的固定点的存在非常罕见，证明它是一项非常具有挑战性的任务。然而，如果受控状态过程完全“扩散”，则通过优化可以消除不连续性。因此，我们在此提出并实施的方法是限制参与者的控制，使其（i）受控状态过程保持充分的扩散，以及（ii）不会因此类限制而失去最佳性，并显示受限集中存在固定点。在定理1的陈述之后，给出了关于我们实现这种通用方法的更详细的讨论。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了马尔可夫框架中的控制停止博弈，并通过耦合控制停止问题的辅助系统获得其均衡的替代表示，其中一个问题的即时奖励过程直接取决于另一个问题的值函数（参见（9））。

本文的主要结果，定理1，也在第2节中陈述，它证明了上述辅助系统的解的存在性（因此，表明了所提出的博弈中均衡的存在性）。本文余下的大部分内容都用于证明主要结果。在第3节中，我们研究了一个agent所面临的单个最优停止问题的值函数的性质，给出了两个agent和另一个agent的值函数的连续控制。第3节描述了本文提出的主要数学新思想（见定理1的讨论）。在第4节中，我们首先表明反馈形式的候选最优连续控制确实是最优的，并且它们具有某些连续性属性。然后，我们利用这些性质和第3节的结果，通过不动点定理证明了第2节中导出的耦合控制系统停止问题的解的存在性。第5.2节“问题公式和主要结果”中讨论了一个数值示例，该示例说明了拟议均衡模型的性质及其应用。在市场微观结构模型的背景下，每个代理的连续控制取整数集Z中的值，对应于以刻度大小的倍数测量价格。每个元素的信息由（相同的）随机因子xt=X+σBt生成，其中X∈ R和B是一维布朗运动。其余规范是为了确定特定形式的ca/bt和ga/bt，并受市场微观结构模型的推动，如[9]中所述。