市场微观结构及其他方面的控制停止博弈

结果得到：φ（0）≥ -2cuσ√2毫升。此外，引理4意味着1≤ expr2clσ！≤γ≤ expr2cuσ！。综上所述，我们得出结论，（49）的右侧消失，如σ→ ∞, 速率仅取决于cl、cu。这反过来产生（46）并完成命题的证明。回想一下，我们的最终目标是证明涉及v 7的映射存在固定点→Va/b（x、pa、pb、v）。正如本小节开头所宣布的，为了建立后者的连续性，我们需要将v限制为一组充分单调的函数。命题4表明，v 7保留了x中的期望单调性→ Va/b（x，pa，pb，v）和下面的命题依次表明，后一个映射在这类v命题5的集合上是连续的。假设pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v，v具有1-移位性质，且A/b/c是c-接近x的。还假设（v）（x），（v）（x）≥  > 0，对于所有x∈ R、 然后，存在一个函数ε：R+→ R+（仅取决于(, σ、 λ，F，α），但独立于（pa，pb，v，v），满足上述假设），因此ε（δ）→ 0，作为δ→ 0和SUPX∈RVa/b（x、pa、pb、v）- Va/b（x、pa、pb、v）≤ εsupx公司∈R | v（x）- v（x）|. （50）证明：我们将证明Va的陈述，VBA的陈述是相似的。我们会在任何时候∈R | v（x）-v（x）|≤ δ、 我们有Va（x，pa，pb，v）≥ Va（x，pa，pb，v）-ε（δ），ε在零处消失。这与对称不等式（类似地证明）一起，得出了命题的陈述。对于给定的δ>0，考虑δ-最优τ，例如ja（τ，x，pa，pb，v）≥ Va（x，pa，pb，v）- δ.请注意，必须找到τ，例如ja（τ，x，pa，pb，v）≥ Ja（τ，x，pa，pb，v）- ε(δ).在整个证明过程中，ε可能会随着直线的变化而变化，但它始终满足建议中所述的性质。

我们构造τ≥ τ、 分别在两个不同的Fτ-可测集上。关于事件Ohm:=ω：bv（Xτ）c≥ bv（Xτ）c,我们设置τ=τ。如果bv（Xτ）c<bv（Xτ）c，我们仍然有v（Xτ）≥ v（Xτ）- δ、 因此，根据（v）的假设，vXτ+δ≥ v（Xτ）。上述表示bv（Xτ+δ/)c≥ bv（Xτ）c.（51）然后，在事件上Ohm:= Ohmc类=ω：bv（Xτ）c<bv（Xτ）c,我们定义τ：=inft型≥ τ： Xt公司≥ Xτ+δ, τ： =inf{t≥ τ： Xt公司≤ Xτ- 1}, τ:= τ∧ τ.在随后的推导中，我们用以下表达式表示各种数量，可以解释为“相对于x”的目标值，这比“绝对”版本更方便。Ja（τ，x，pa，pb，vi）- x=ExZτexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+exp-Zτc（Xs）dsbvi（Xτ）c- Xτ, （52）其中英属维尔京群岛（x）c- x个≤ C+1和| ga（x）- c（x）x |≤ cuC，根据命题的假设。利用上述表达式，我们得到了ja（τ，x，pa，pb，v）- Ja（τ，x，pa，pb，v）=ExhOhm经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- bv（Xτ）c+ 1.OhmZττexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+1Ohm经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτi、 请注意，在上述预期范围内，三个总和中的第一个对于每个ω都是非负的，定义为Ohm. 还请注意，as | ga（x）- c（x）x |≤ cuC，我们有以下第二次Summand的边界：前任OhmZττexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt≤ cuCEx |τ-τ|=cuCEτ=：ε（δ），其中τ：=inf{t≥ 0:Xt/∈ (-1, δ/)},Eτ很容易变为零，即O（δ），即δ→ 0

只剩下估计最后一个summand的期望值，它可以分解为xhOhm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ+1.Ohm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτi、 同于| vi（x）- x |≤ C、 对于所有x∈ R、 和asPx（τ=τ）=Pinf公司t型≥ 0:Xt=δ> inf{t≥ 0:Xt=-1}=δ/1 + δ/= O（δ），对于δ→ 0，我们获得：Exh公司Ohm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ-经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ我≤ 2（C+1）Px（τ=τ）=：ε（δ）。最后，我们从下面估算剩余项：ExhOhm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ≥ Exh公司Ohm{τ=τ}bv（Xτ）c- Xτ经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds+ （Xτ- Xτ）exp-Zτc（Xs）ds我≥ -（C+1）Ex经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds-δ,其中，第一个不等式源自bv（Xτ）c=bv（Xτ+δ/)c≥ bv（Xτ）c，由（51）得出，第二个不等式由Xτ得出-Xτ=-δ/ 和| bv（x）c-x |≤ C+1，连同τ≥ τ. 只需注意前任经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds≤前任Zττc（Xs）ds≤ cuEx |τ- τ|=O（δ），这是证明的结论。4连续控制的优化和平衡的存在本节，我们首先讨论每个代理优化问题的连续控制部分。也就是说，我们引入了反馈控制算子，并证明了它们产生的控制确实是最优的。我们的情况比标准参考文献中处理的情况要不太规则，因此，我们需要利用问题的特殊结构，并开发其他技巧来显示这种最优性。然后，我们证明了这些响应控制算子在适当的拓扑中是连续的，并展示了耦合优化问题系统（9）如何简化为某个映射的固定点问题。

最后，我们证明了该映射的连续性及其不动点的存在性，满足了所需的性质，从而完成了定理1的证明。对于任何可测量的v:R→ R、 我们定义了以下反馈控制运算符：Pa（v）（x）：=最小argmaxp∈Aa（x）（p- v（x））F+（p- x） ，x∈ R、 Pb（v）（x）：=最大argmaxp∈Ab（x）（v（x）- p） F（p- x） ，x∈ R、 （53）其中，对于x∈ R、 我们表示AA（x）：={p∈ Z：1- F（p- x）≥cl2λ}，Ab（x）={p∈ Z:F（p- x）≥cl2λ}，F+（x）：=1- F（x），带c.d.F.F（参见（8））。很明显，对于固定的x∈ R、 集合Aa（x）表示连续控制pa（x）的可能值，Ab（x）类似。也很容易看出，对于任何可测量的v，函数Pa（v）和Pb（v）是可测量的，因此，它们分别属于Aa和Ab（即Pa（v）和Pb（v）是可容许的连续控制）。以下命题（其证明见附录）允许我们将代理的控制停止问题简化为与最优停止和反馈控制相关的定点问题。提案6。设σ>0足够大，以便命题2在w<1时成立。考虑任何pb∈ Aband任意容许势垒v，均满足1-移位性质，且v（x）≥ 1.- w>0，对于allx∈ R、 假设存在可测量的Va:R→ R、 thatVa（x）=supτJa（x，τ，Pa（Va），pb，v），x个∈ R、 （54）andgac（Pa（Va）（·），pb（·），·）是C-接近x。然后，Va（x）=suppa∈Aa，τJa（x，τ，pa，pb，v），x个∈ R、 （55）类似的陈述适用于（Vb，Jb，Pb（Vb））。备注2。请注意，更容易证明相反的说法：即Va，由（55）定义，满意度（54）。然而，这并不意味着该命题的陈述，因为（54）可能存在多种解决方案。

对于随后的结果，重要的是要证明（54）的任何解决方案都是令人满意的（55）。命题6允许我们通过使用反馈控件Pa和PbThrough，分别在Va和Vb的定义中避开paor pb的优化。接下来，我们注意到假设1尤其意味着最优反馈价格总是C=C+1-接近x，并且还继承了它们对应的壁垒的1-移位特性。这个观测在下面的引理中正式化了。引理9。Letpa（x）：=Pa（v）（x），pb（x）：=pb（v）（x），x个∈ R、 对于一些容许势垒v，那么对于所有x∈ R、 | pa（x）- x |≤ C、 | pb（x）- x |≤ Cga/b（x）/c（x）≤ C、 此外，如果v具有1-shift属性，则pa和pb也具有1-shift属性。证据：根据定义（53）和suppξ [-C、 C]，很容易看出pa（x）- x不得小于最大整数≤ -C不大于最小整数≥ C、 因此，pa（x）≥ x个- C、 pa（x）≤ x+C。pb（x）也有类似的结论。从（3），（4）我们得到gac（x）- x个=（pa（x）- x） （1）- F（pa（x）- x） ）+Fb（pb（x），x）- xF（pb（x）- x） （1）- F（pa（x）- x） ）+F（pb（x）- x）.类似的说法适用于gb。因此，为了证明该主张，有必要显示| pa（x）- x |≤ C、 | Fb（pb（x），x）- x |≤ CF（pb（x）- x） 。第一个不平等已经确立。对于第二个，我们有fb（pb（x），x）- x=Zpb（x）-x个-∞bx+αyc- x dF（y）为了完成证明，我们注意到| bx+αyc- x |≤ C、 当y∈ suppξ（dF（y）=0，否则）。gb/c的主张可以用类似的方法加以证明。假设v满足，则Pa和pb的1-shiftproperty从（53）立即开始。鉴于上述引理，选择常数C是很自然的，它出现在“C-接近x”的性质中。请注意，CSaties（12）。接下来，对于任何允许的屏障（va，vb），我们定义Φ（va，vb）=弗吉尼亚州·, Pa（va）、Pb（vb）、vb, Vb（·，Pa（va），Pb（Vb），va）.

（56）引理2和9意味着Φ的分量是可容许的势垒，我们可以迭代这个映射。实际上，我们只对Φ对集合A和A（w）的限制感兴趣，定义如下。定义4。该集合由R上的所有连续实值函数组成，这些连续实值函数C-接近x且满足1-移位性质。对于任何w≥ 0，我们说v∈ A（w），如果v∈ A、 v是绝对连续的，1- w≤ v≤ 1+w a.e。。我们在所有紧上为A和A（w）赋予一致收敛的拓扑。引理1、2和9表明Φ将A×Ainto映射到自身。此外，命题4表明ΦmapsA×Ainto A（w）×A（w），其中w可以选择为任意小，因为足够大的σ>0。使用命题6，我们在下面展示，该映射在适当子集中的固定点给出了系统的解决方案（9）。因此，我们的下一个目标是确定这样一个固定点的存在。第一步是显示Φ在A（w）×A（w）上连续，w<1。为此，我们首先为反馈价格控制Pa（v）和Pb（v）选择适当的空间和拓扑，并表明它们是连续的inv∈ A（w）。然后，我们展示了Va·, pa、pb、v和Vb·, pa、pb、v作为作用于函数（pa，pb）的运算符，对于所选拓扑，在v中均匀连续∈ A、 再加上Va的持续性·, pa、pb、v和Vb·, pa、pb、v在命题5中建立的v中，得到Φ的连续性。让我们定义反馈价格控制的空间。定义5。用Ba和BB分别表示Aa和Ab的子空间，由C-接近x且满足1-移位性质的所有函数组成。我们为Ba/B配置了由其自然限制到L（[0，1]）的拓扑（考虑到1-shift属性）。注意Pa（v）∈ Baand Pb（v）∈ Bb，对于任何v∈ A.

下面这个有点棘手的引理是我们需要建立Φ连续性的两个剩余结果中的第一个。引理10。对于任何w∈ [0，1），映射SV 7→ Pa（v），v 7→ Pb（v），从A（w）到Ba和Bb，分别是连续的。证据：我们只显示了铺装层，Pbone是类似的。证明包括两个步骤。首先，我们证明，给定v，具有引理陈述中描述的性质（特别是，v是递增的），Pa（v）（x）也是x的递增函数。然后，我们使用这个单调性性质来显示Pa的期望连续性。步骤1。对于固定的v，我们表示px=Pa（v）（x）。相反，假设对于某些x>x，我们有px<px。注意，当x增加时，允许的控制值集Aa（x）向上移动。因此，如果px是x=x<x时的容许控制值，px>px，px是x=x时的容许控制值，那么px是x=x时的容许控制值。同样，如果px<px，那么px是x=x时的容许控制值。因此，为了获得矛盾，有必要证明px在x=x时产生比px更好的局部目标值，即（px- v（x））F+（px- x） >（px- v（x））F+（px- x） 。（57）如果px，上述不等式显然成立≤ v（x）。因此，在不丧失一般性的情况下，我们假设px>v（x）。那么，（57）等于：px- v（x）px- v（x）>F+（px- x） F+（px- x） （58）注意（px- v（x））F+（px- x）≥ （px- v（x））F+（px- x） ，（59）由于px是x=x时的最优价格，因此，并不比px差（在x=x时允许）。假设px>v（x）也意味着px>v（x），因为v（x）<v（x）。因此，不等式（59）等价于topx- v（x）px- v（x）≥F+（px- x） F+（px- x） （60）为了得到所需的矛盾，必须注意px- vpx公司- v=1+像素- pxpx- v中的vis严格增加∈ R、 对于v<px和thatF+（px- x） F+（px- x） 在x中减少。

前者是显而易见的，而后者来自x个F+（px- x） F+（px- x）=f（px- x） F+（px- x）- f（px- x） F+（px- x） F+（px- x） =f（px- x） f（px- x） F+（px- x）F+F（px- x）-F+F（px- x）≤ 0，这反过来又源于假设1中F+/F正在减少的事实。鉴于（60）中项的上述单调性，我们推导出（58），从而得到所需的矛盾，并证明Pa（v）（·）的单调性。第2步。可以很容易地检查Pa（v）≥ Pa（v），如果v（x）≥ v（x）表示所有x。为了表明Pa（v）和Pa（v）在Ba的拓扑结构中很接近，有必要显示z | Pa（v）- Pa（v）| dx较小。请注意，整数值函数Pa（v）（参见Lemma9）的单调性和1-移位性质意味着它与bx一致-αc，对于x∈ [0，1]（后一个函数的跳转点可能除外），对于某些α。类似的结论适用于Pa（v），其中有一些α。W、 l.o.g.我们假设α≥ α、 因此，v≥ v、 假设vand vare也在sup norm中δ-close，所以我们有v≤ v+δ。如果我们能证明α≤ α+δ1 - w、 （61）那么，一个简单的计算将是yieldZ | Pa（v）- Pa（v）| dx=O（δ）。因此，仍需显示（61）。为此，我们注意到，由于A（w）的定义，对于每个x∈ R、 存在x*∈ [x，x+δ/（1- w） ，使得v（x*) = v（x）。假设pA（v）（x*) < Pa（v）（x），并回顾x*≥ x和v（x*) = v（x），我们按照步骤1中的参数得到一个矛盾。因此，Pa（v）（x*) ≥ Pa（v）（x），表示（61）。下面的引理（其证明见附录）提供了显示Φ连续性所需的最后一个结果。回顾（17）–（20）中给出的（Ja，Jb）和（Va，Vb）的定义。引理11。操作员（pa、pb）7→ · + Va（·，pa，pb，v），·+Vb（·，pa，pb，v），从Ba×BB到A，是连续的，均匀地覆盖在v上∈ A、 最后，我们可以陈述本节的主要结果。定理2。

设σ足够大，以便命题4中定义的w严格小于1。那么，集合A：=A（w）×A（w）是C（R）×C（R）的紧致闭凸集，其拓扑在所有紧致上均一致收敛。此外，（56）中定义的映射Φ是a自身的连续映射，它有一个固定点。证明：对于足够大的σ，Φ将A映射到自身的事实在定义4后的段落中讨论。A的封闭性和凸性也很清楚。A的紧性由A（w）的紧性得到。反过来，A（w）是紧致的，因为它的元素具有一致的Lipschitz性质，并且它们与x的一致性。最后，Φ是连续的，因为它可以写成e：（va，vb）7的组合→va、vb、Pa（va）、Pb（vb）andV：（va、vb、pa、pb）7→Va（·，pa，pb，vb），vb（·，pa，pb，Va）.在上文中，E:A→ A×Ba×bb由引理10连续。运算符V：A×Ba×Bb→ A是连续的，因为它在（pa，pb）中是连续的∈ Ba×Bb，均匀覆盖va，vb∈ A（w），引理11，在va，vb中是连续的∈ A（w），由于命题5和A（w）元素的1-移位性质。Φ不动点的存在源自Schauder不动点定理。将上述定理与命题6相结合，我们得到了定理1的证明（比较（56）、（54）、（55）和（9））。5数值示例和应用在本节中，我们考虑一个数值示例，该示例说明了前面章节中构造的平衡的性质，并显示了它们的潜在应用。如定理2的证明所述，为了计算平衡值函数（\'Va，\'Vb），我们需要找到映射V的固定点o E、 请注意，AA（x）/Ab（x）是有限集，在模型参数（σ、λ、F、α）的实际假设下，这些集变得足够小。

因此，E可以通过简单的网格搜索轻松计算，我们只需要弄清楚如何计算V。V相当于计算一个平稳的最优停止问题的值函数，该问题有运行成本和折扣。我们用于计算该值函数的算法如下所述，它构成了文献[16]中开发的马尔可夫链近似方法的简单应用。设N为控制空间和时间离散化的正整数，定义：=N，t:=hσ。设ξnbe为{nh}n上的对称随机游动∈Z、 很容易检查ξn+1的条件一阶矩和二阶矩- ξnapproximate X（n+1）t型- Xn公司t、 因此，ξ可以看作X的近似值，其中ξ的每一步都需要时间t、 然后，我们考虑近似马尔可夫链ξ的最优停止问题（14）、（15）的相关离散化，并用VaN（x，pa，pb，v）和VbN（x，pa，pb，v）表示相应的值函数。众所周知（参见【16】），Va/bN（x，pa，pb，v）→Va/b（x、pa、pb、v），如N→ ∞, VaN满足以下动态规划方程：VaN（x，pa，pb，v）=maxbv（x）c，1+cp（x）t型厢式货车（x- h） +货车（x+h）+cp（x）t1+cp（x）tgap（x），（62）和类似的VbN。该方程的解可以通过通常在值空间中的迭代找到。也就是说，如果我们在（62）的右侧用第n步近似值VaN，n替换VaN，在其左侧用VaN，n+1替换VaN，那么VaN，n→ 瓦纳斯n→ ∞. 请注意，为了描述平衡（更准确地说，它的近似值），我们需要找到“VaN=VaN（·，Pa（VaN），Pb（VbN），VbN）”和“VbN=VbN（·，Pa（VaN），Pb（VbN），VaN”），其中每个Va/Bn解出相关的动态规划方程（62）。为了求解得到的耦合系统，我们从初始值（VaN，0，VbN，0，paN，0，pbN，0）开始，使用它来获得VaN，1，如上所述（即。