预测分布的谱反检验及其在风险中的应用

这种轻微的不对称有利于ZL+内核，这会在窗口的上部增加更大的权重。标度tcdf穿过中点上方的标识线（接近0.982），此外，窗口下端cdf和标识线之间的距离要大得多。这种不对称有利于ZL-内核最后，当kernelwindow包含刚才描述的交叉类型时，多光谱测试的更大威力最为明显。虽然交叉减少了报告矿坑值的cdf与识别线之间的平均距离，但cdf将过于陡峭或太浅。在多光谱测试中，核的交叉矩可以有效地检测出这种斜率违规。相反，当报告的PIT值的cdf在整个内核窗口中与标识线完全平行时（就像窄窗口中的缩放tin一样），预计多光谱测试的优势将不明显。0.960.981.000.950 0.985 0.995 1.000PITPr（Pt≤ PIT）真实模型NormalScale T5缩放T3图1：报告PIT值的分布函数。当风险经理假设标准正常损失（bF=Φ），但实际损失模型F为标准正常（红线）、标度t（绿线）或标度t（蓝线）时，报告的PIT值的CDF。在我们的配套论文[补充材料]中，我们研究了测试设计的三个附加维度。首先，在一组离散核Z-测试中，我们发现表2中考虑的3级测试与5级测试的表现非常相似。第二，我们在表2中的总结结论对回溯检验样本量n的选择具有稳健性。第三，最重要的是，我们发现多项式Z检验和概率正态分布分数检验优于相应的似然比检验。

Z测试的功率与LR测试相似，但LR测试的尺寸较小。因此，我们将把注意力限制在Z-测试的类别上。作为一般性的警告，我们并不主张仅凭权力就应该决定内核的选择。我们的模拟研究得出的一个普遍直觉是，当内核严重依赖于风险管理者模型的分位数偏离真实分位数的概率水平时，测试在排除错误模型方面最为有效。由于历史模拟特别倾向于低估分布的尾部，在实践中，我们预计最强大的测试将在极端概率水平上发挥重要作用。然而，这可能以牺牲试验稳定性为代价，因为结果可以通过是否存在一个或两个非常大的报告PIT值来确定。此外，在α的极端尾值下进行测试与反向测试的主要监管动机背道而驰，反向测试旨在验证银行99%的条件覆盖率VaR.5测试，而第4节的无条件测试在检测序列依赖性方面的能力有限，本节的目的是提出频谱测试的有条件扩展，明确解决WTF和F的独立性*t型-1以及Wt分布的正确性。这些测试应有更大的能力来检测因银行未能使用Ft中的所有信息而导致的对零假设的偏离-1在构建预测模型BFT时，例如未能以适当的方式解决时变波动性。我们的条件覆盖率测试扩展了基于回归的方法来测试VaR估计的条件覆盖率，并提供了许多新的可能性。

其中包括广泛应用的Christo Offersen（1998）测试的变体，以及Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ）测试。Christo Offerson检验是VaR超标中一阶马尔可夫相关性的LR检验，Leccadito等人（2014）将其推广为多级检验。在DQ检验中，VaR超越指标在滞后超越上回归。Z检验的优越性能也适用于n=250的较小回测样本。指标和风险值估计，以评估超标是否以指定的比率独立发生。5.1鞅差异性检验空假设（5）成立的必要条件是监管机构过滤的鞅差异性（MD）（F*t） ：E（重量- uW | F*t型-1） =0（15），其中我们回忆起F*t=σ（{Ps:s t} ）。当MD属性（15）成立时，我们必须有E（ht-1（重量-uW））=0表示任何F*t型-1-可测随机变量ht-使用函数H，我们称之为条件变量变换（CVT），我们形成k+1维滞后向量ht-1=（1，h（Pt-1), . . . , h（Pt-k） ）’。为了保证ht的二阶矩的存在-1，我们假设（Pt）是协方差平稳的，h是有界的。我们将在实证分析中使用的具体例子是h（p）={pα} 对于某些α和h（p）=2p- 1 | c>0。为方便起见，让（fWt）表示转换后的报告坑值序列fWt=Wt- uW以其理论平均值uW输入。我们的测试基于向量值过程Yt=ht-1FWT对于t=k+1，n、 在零假设（5）下，（Yt）是满足E（Yt | F）的md序列*t型-1) = 0. 我们要测试Yk+1，y平均接近零向量。

我们采用了Giacomini和White（2006）的条件预测检验，该检验是为比较预测方法而开发的，Nolde和Ziegel（2017）也在回溯测试中使用了该检验。设Yn，k=（n-k）-1Pnt=k+1Ytand让∑yde注意到∑Y的一致估计：=cov（Yt）。Giacomini和White表明，在非常弱的假设下，对于足够大的n和固定的k，（n- k） Y′n，k^∑-1年，k~ χk+1。（16） Giacomini和White（2006）使用估计量∑GWY=（n- k）-1Pnt=k+1YtY′t但我们可以使用E（fWt | F*t型-1） =零假设（5）下所有t的σwf，形成一个替代估计量。我们计算∑Y=E（cov（Yt | F*t型-1） ）=EEYtY′t | F*t型-1.= Eht公司-1h′t-1E级fWt | F*t型-1.= σWH（17），其中H=Eht公司-1h′t-1., 这表明估计量∑Y=σW^H，其中∑H=（n- k）-1nXt=k+1ht-1h′t-（18）（17）中的分解的优点是，它推广了我们的无条件谱检验，对应于k=0的情况。k=1的情况可视为Christo Offersen（1998）一阶马尔可夫链检验的Z检验版本。为了确保conditionaltest也嵌入了Engle和Manganelli（2004）提出的DQ检验统计量，让X bethe（n- k） ×（k+1）矩阵，其行由ht给出-1对于t=k+1，n和letfW=（fWk+1，…，fWn）′。因此∑Y=σW（n- k）-1nXt=k+1ht-1h′t-1=σW（n- k）-1X′X和Yn，k=（n- k）-1X′fW，以便（16）可以重写为σ-2WfW′X（X′X）-1X′fW~ χk+1。（19） DQ检验对应于二项得分情况，即Wt={Ptα} CVT为h（p）={pα} “还可以使用∑Y的异方差和自相关一致（HAC）估计量（Newey and West，1987；Andrews，1991）。

我们的首选估计器具有对零序列相关零假设偏差更敏感的优点。Engle和Manganelli（2004）也允许将滞后VaR值作为回归变量，可以直接将条件谱Z检验推广到条件双谱Z检验；参见附录B.5.2大小和威力我们基于第4.3节的蒙特卡罗练习来研究覆盖率条件测试的大小和威力。在这里，我们提供了一份有代表性的模拟研究摘录，记录在我们的配套论文[补充材料]中。数据来自三种不同的“真实”模型：iid标准-正常；具有ARMA（1,1）结构和标准正态边缘的时间序列模型；以及具有下垫ARMA（1,1）结构和标度T边缘分布的模型。我们对ARMA参数（AR=0.95，MA=-0.85）的校准在配套文件【补充材料】中进行了描述，旨在模拟忽略随机波动性时PIT值的序列依赖性。如第4.3节所述，我们假设风险经理根据标准正态模型bf=Φ报告矿坑值。除了选择内核外，MD测试还需要选择标记PIT值的数目（k）和条件变量转换h（P）。定义V（u）=2u-1|;PIT值的V形变换非常适合于揭示随机波动性引起的依赖性。如表3所列，我们考虑了四名CVT候选人。

在DQ只需要传统超标指标的时间序列的情况下，基于V（u）变换的三个CVT要求监管机构观察PIT值。助记符h（P）描述dq{P0.99}标记上尾坑值，如Engle和Manganelli（2004）所示。五、 BIN{V（P）0.98}DQ的双尾版本，FLAGS PIT值接近零或一。五、 在最近的过去，4 V（P）对尾坑值的影响更大。五、 /pV（P）降低了相对于V.4对尾坑值的敏感性。表3：调节变量转换。V（u）≡ |2u型- 1 |在我们的框架中是可能的，但投资组合构成的变化意味着滞后VaR值的信息性低于滞后PIT值。表4给出了均匀核（ZU）示例的主要发现和[0.985，0.995]的窄核窗口。我们报告了基于2=65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。在第一列（CVT=“无”）中，我们设置k=0以获得无条件Z检验。其余各列对应于k=4的CVT。如第一行所示（iid standardnormal模型），在条件测试中，尺寸更难控制。然而，CVTchoices V.4和V./仅略微过大，而V.BIN，尤其是DQ则非常过大。第二行中描述的模型给出了均匀分布的PIT值，该值具有一系列依赖结构，这在忽略随机波动性时是典型的。在这种情况下，无条件测试的威力非常有限（10.8%），而MD测试的威力在21.7%到32.6%之间。

当模拟PIT数据既不均匀又连续相关（第三行）时，功率会进一步增加。F序列相关性| CVT None DQ V.BIN V.4 V./Normal None 4.8 14.4 9.0 6.7 6.7正常ARMA（1，1）10.8 31.5 30.9 32.6 21.7缩放t5 ARMA（1，1）36.2 54.9 52.7 60.7 54.5表4：条件测试的估计大小和功率。MD在窄窗口上使用ZU内核进行测试[0.985，0.995]。我们报告了基于2=65536次重复，在5%置信水平下，无效假设被拒绝的百分比。每个回测样本的天数为n=750。ARMA参数为AR=0.95，MA=-0.85.6适用于银行报告的PIT值6.1数据我们的数据包括美国银行向联邦储备委员会（FederalReserve Board）提供的10个分类后验样本。2013年1月1日，根据市场风险规则向银行监管机构进行的强制性报告生效。对于每个重要子投资组合和每个营业日，银行需要报告99%水平的隔夜VaR、净损益和相关PIT值（联邦公报，2012年，第53105页）。尽管监管机构很长一段时间以来（至少在总阅读书籍层面上）都可以使用前两个领域，但获取PIT价值却是一种新的途径。我们的十个样本中的每一个都代表股票或外汇子投资组合的回报，其中可以包括衍生工具和现金头寸。我们的样本取自2014年至2016年的三年期。表5列出了无条件分配的汇总统计数据。与新的监管报告要求一样，数据的质量也不统一。其中两个样本（编码Pf 104和Pf 110）缺失值（分别为交易日的0.9%和3.2%）。此外，仔细检查发现，大多数样本包含少量可能是虚假的观察结果。

在少数极端情况下，aPIT值为1与小于预测VaR的已实现损失相匹配。我们采用神经程序，根据报告的PIT值与插补值之间的距离来识别虚假值。后者使用特定投资组合模型构建，该模型将PIT与已实现损失与VaR的比率进行比较；附录C中提供了详细信息。在下面报告的测试结果中，我们将虚假值视为缺失，以降低测试对报告错误的敏感性。我们的结论对于将所有未遗漏的观察结果视为有效是可靠的。表的其余列提供了PIT值的柱状图。对于一些投资组合，样本中的尾坑值代表不足（如Pf 107）或代表过高（如Pf 105）。对于其他一些投资组合，直方图似乎接近统一，例如，对于PF 110，85.9%的PIT值位于[0.05，0.95]，剩余质量大致对称分布。6.2无条件覆盖率测试由于我们框架的通用性，对涉及多个维度的数据应用谱反测试。如第4.3节所述，我们确定α*= 0.99作为常规VaRlevel，窄窗口定义为[0.985，0.995]，宽窗口定义为[0.95，0.995]。内核来自表1。根据我们的模拟结果和简洁性的需要，我们在实证分析中排除使用双边Z检验。表6给出了无条件覆盖测试的p值。我们发现，组合Pf 105、Pf 106和Pf 107的预测模型在所有内核的1%水平上以及在窄内核窗口和宽内核窗口上都被拒绝。从表5中观察到的直方图来看，这并不奇怪。

当经验分布函数（edf）位于核窗口内的均匀cdf之上时（如Pf 107所观察到的），样本中的大PIT值不足，这表明预测模型夸大了损失分布的上分位数。当edf低于均匀cdf（如Pf 105和Pf 106所观察到的）时，样本中的PIT值过大，这表明预测模型低估了上分位数。相比之下，Pf 110无任何拒收，因为整个上尾的edf与理论cdf相当接近。对于剩下的六个投资组合，测试结果对内核的选择很敏感。这是意料之中的，也是可取的，因为不同的测试优先考虑无条件分布的不同分位数。为了阐明差异，在图2中，我们在窄窗口（上面板）和宽窗口（下面板）上绘制了三个投资组合的预期违约概率。该图是第4.3节图1的经验对应图。对于Pf 104，我们观察到theedf在公共上窗口边界α=0.995处与理论cdf相交，但在较低的PIT值处位于理论cdf之上。在较宽的窗口上，edf和理论cdf之间的平均距离较大，因此任何在窗口中心附近为其值分配显著权重的测试都将被拒绝。当限制在窄窗口时，平均距离会缩短，因此测试无法拒绝。投资组合Pf 103（未显示）的预期违约概率（edf）与Pf 104的预期违约概率（edf）定性接近，这解释了测试结果的相似性。在整个狭窄窗口内，投资组合Pf 108的预期违约概率略低于并大致平行于理论预期违约概率。

某些核的测试拒绝率为5%，下表中的所有p值应在对无效假设进行单一测试的情况下进行解释。如果进行多项测试，则必须根据标准校正方法进行推断，如Bonferroni的；参见Shaffer（1995）的评论。其他人拒绝失败，但p值均在1.5%-10%之间。当我们考虑宽窗口时，我们发现edf在窗口的下半部分高于理论cdf，在上半部分低于理论cdf，这意味着预测模型低估了核窗口一个边界的平方，高估了另一个边界的分位数，即偏离均匀cdf的斜率。如第4.3节所示，在这种情况下，双谱测试通常优于单谱测试。我们发现，基于二变量ZLL和PNS核以及三变量Pearson核的测试在1%的水平上拒绝。组合Pf 101的edf（未显示）在宽窗口上也显示出斜率违规，我们再次发现双变量ZLL和PNS核最有效。对于组合Pf 109，edf在窄窗口内显示斜率违规。与之前一样，我们发现基于二变量ZLL和PNS核以及三变量Pearson核的测试在5%的水平上拒绝，而单谱测试都没有拒绝。在宽窗口上，edf均匀地位于理论cdf之下，因此坡度破坏失去了显著性。双光谱和三光谱测试现在无法拒绝，而多个单光谱测试的拒绝率为10%。6.3条件覆盖率测试在本节中，我们强调条件变量转换h（P）在揭示PIT值的序列相关性方面的作用。为了节省，我们只考虑上一节中使用的内核的子集。