预测分布的谱反检验及其在风险中的应用

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为避免与主要文件中的表格、图表和方程式混淆，我们在对本补充文件中的表格、图表和方程式进行编号时，会在前面加上“S”。补充A：截短概率正态分布分数测试概率正态分布模型根据θ=θ的经典分数测试与备选θ产生了一个新的光谱测试= θ. 设LP（θ| P*t） 表示截断观测P的似然贡献*t=α∨ （Pt∧ α） 当ptfollowing（13）and writeSt（θ）时=uln LP（θ| P*t） ，则，σln LP（θ| P*t）′（S.1）对应的得分向量。设Sn（θ）=nPnt=1St（θ）为空值下观测得分向量的平均值。标准似然理论暗示√nSn（θ）d---→n→∞N0，I（θ）在空值下，其中I（θ）表示St（θ）的协方差矩阵，即Fisher信息矩阵。对于大的n，我们得到了nsn（θ）′I（θ）的近似值-1Sn（θ）~ χ. （S.2）本附录后面提供了I（θ）的解析表达式。在对核窗口的限制下，我们可以证明分数检验（S.2）是一个双谱Z检验，核测度ν和ν由离散部分和连续部分之和给出。定理S.1。设zbe为方程z+（Д（z）/Φ（z））z的唯一解- 1 = 0. （S.3）提供Φ（z） α< α 1，则St（θ）=Wt- uW，几乎可以肯定，其中wt，i=γi，1{Ptα} +γi，2{Ptα} +Zααgi（u）{Ptu} γi的du（S.4），1 0，γi，2 0和gi（u）阳性，在[α，α]上可区分。证据LP（θ| P*) =年初至今：P*t=αFP（α|θ）Yt：α<P*t<αfP（P*t |θ）Yt:P*t=α\'FP（α|θ）（S.5），其中\'F（u）表示尾部概率1- F（u）。似然贡献LP（θ| P*t） 根据P*t=α，α<P*t<αorP*t=α。

计算得分统计并在θ=（0，1）’Yieldst（θ）处进行评估=ψ（α）P*t=α，ψ*（P*t） α<P*t<α，ψ（α）P*t=α。式中ψ（u）=-φ(Φ-1（u））/u-φ(Φ-1（u））Φ-1（u）/u！，ψ*（u） =Φ-1（u）Φ-1（u）- 1.和ψ（u）=Д（Φ-1（u））/（1- u） ^1（Φ-1（u））Φ-1（u）/（1- u） ！。α和α处的不连续性由（γ1,1，γ2,1）′=ψ给出*(α) - ψ(α), (γ1,2, γ2,2)′= ψ(α) - ψ*（α） γi，jin的非负性，所有情况都是保证的，前提是ψ*(α) - ψ(α)  这个向量不等式的第二个分量导致条件（S.3）。可通过微分ψ获得加权函数*（u） 关于[α，α]上的u，且为thusg（u）=φ（Φ-1（u））{αuα} ，g（u）=2Φ-1（u）Д（Φ-1（u））{αuα}.最后，由于uW=Wt- St（θ），我们必须有uW=-ψ(α).我们发现Φ（z）≈ 0.8，因此α上的约束不太可能在应用中绑定到实际感兴趣的尾部概率水平范围。对于α<1的Wt，ivariables是有界的，保证I（θ）的元素是有限的。对于α=1，ν和ν的Gν函数像Φ一样增长-1（u）和Φ-分别为1（u）。我们可以使用渐近近似Φ-1（u）~p-2英寸（1- u） 作为u→ 1验证命题3.2的条件在两种情况下均满足。Fisher信息矩阵下列恒等式可用于处理概率正态分布：ZαΦ-1（u）du=Д（Φ-1(α)) - φ(Φ-1（α））（S.6）ZαΦ-1（u）- 1.du=Φ-1(α)φ(Φ-1(α)) - Φ-1(α)φ(Φ-1(α)). （S.7）设ξ（p |θ）=（Φ-1（p）- u)/σ.

截断概率正态分布对数似然的一阶导数为uln L（θ| P*t）=-φξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α，-ξP*t |θσα<P*t<α，Дξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α，（S.8）和σln L（θ| P*t）=-φξ(α|θ)ξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α，-ξP*t |θ+1σα<P*t<α，Дξ(α|θ)ξ(α|θ)σΦξ(α|θ)P*t=α。（S.9）回想一下，预期的Fisher信息矩阵定义为asI（θ）ij=-Eθiθjln L（θ| P*t）.对数似然的条件二阶导数为-uln L（θ| P*t）=φ(ξ(α|θ))φ(ξ(α|θ))+ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，σα<P*t<α，Д（ξ（α|θ））φ(ξ(α|θ))-ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，（S.10）-σln L（θ| P*t）=φ(ξ(α|θ))ξ(α|θ)φ(ξ(α|θ))+ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))-2ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，3ξ（P*t |θ）-1σα<P*t<α，Д（ξ（α|θ））ξ(α|θ)φ(ξ(α|θ))-ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))+2ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，（S.11）-uσln L（θ| P*t）=φ(ξ(α|θ))φ(ξ(α|θ))ξ(α|θ)-Φ(ξ(α|θ))+ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α，2ξ（P*t |θ）σα<P*t<α，Д（ξ（α|θ））φ(ξ(α|θ))ξ(α|θ)+Φ(ξ(α|θ))-ξ(α|θ)Φ(ξ(α|θ))σΦ（ξ（α|θ））P*t=α。（S.12）通过使用（S.6）和（S.7）获取期望值，并在θ=（0，1）′处进行评估，我们得到I（θ）：I（θ）1,1=Д（Φ）的元素-1(α))/α+ φ(Φ-1(α))/(1 - α)+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α) - φ(Φ-1(α))Φ-1(α) + (α- α） ，（S.13）I（θ）2,2=Д（Φ-1(α))Φ-1(α)/α+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α)+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α) + φ(Φ-1(α))Φ-1(α)/(1 - α)- φ(Φ-1(α))Φ-1(α)- φ(Φ-1(α))Φ-1(α) + 2(α- α） ，（S.14）I（θ）1,2=Д（Φ-1(α))Φ-1(α)/α+ φ(Φ-1(α))1 + Φ-1(α)+ φ(Φ-1(α))Φ-1(α)/(1 - α) - φ(Φ-1(α))1 + Φ-1(α). （S.15）补充B：β核的矩我们提供了当核密度取形式gν（u）=（u）时，变换PitValue的矩和交叉矩的一般解决方案- α） a-1(α- u） b类-1(α- α） a+b-1B（a，b）表示参数（a>0，b>0）和α u α.

规范化保证gν（α）=1，并帮助解决方案与统计软件包提供的标准beta分布函数保持一致。在R表示法中，核函数是simplyGν（u）=pbetamax{α，min{u，α}}- αα- α、 a、b.求解均匀P的核（g（P），g（P））的矩和交叉矩涉及以下积分：M（a，b，a，b）=Zα（1- u） g（u）g（u）du=B（a+a，1+B）aB（a，B）B（a，B）F（a，a+a，1- b1+a、1+a+a+b；1） =B（a+a，1+B+B）aB（a，B）B（a，B）F（1，a+a，a+B；1+a，1+a+a+B+B；1）（S.16），其中F（c，c，c；d，d；1）表示（3，2）阶和参数单位的超几何函数。最后一行来自Milgram中的Thomae变换T7（2010，附录A）。由于内核的规范化，M不依赖于内核窗口的选择。当其参数均为正时，如（S.16）中的最终形式，通过标准超几何级数展开，数值解toF（c，c，c；d，d；1）是直接的。在实践中，我们最感兴趣的是整数值情形，对于这些情形，M有一个simpleclosed形式的解。对于给定的内核窗口和PIT值，让Wa，bbe用参数（a，b）表示beta内核下的转换PIT值。不完全β函数的递推规则（Abramowitz和Stegun，1965，公式6.6.7）导致“相邻”变换之间存在线性关系：（A+b）Wa，b=aWa+1，b+bWa，b+1（S.17）。直接的含义是，均匀、线性递增和线性递减变换（分别为参数集（1,1）、（2,1）和（1,2））是线性相关的。这些核的任何一对都将产生等效的双谱测试，而使用所有三个核的三谱测试将因奇异协方差矩阵∑W而无法确定。

通过迭代递归关系，我们可以导出具有整数值参数差ai的核集合之间的线性关系- 一l和bi- bl, 这将导致相应的j-光谱测试出现冗余。补充C：蒙特卡罗模拟为了比较无条件试验，我们通过从代表真实模型的标准正态分布和标度学生标准分布中的第一次抽样来生成伪坑值。然后，使用标准正常cdf将值转换为区间（0，1），该cdf被视为风险经理的模型。学生分布按比例缩放，以使方差为1，差异源于不同的尾部形状，而不是不同的方差。正态分布产生的坑样均匀分布，用于评估测试的大小。由Student t分布产生的坑样本显示了当尾部估计不准确时观察到的偏离均匀性的类型。主要论文的第4.3节解释了大多数内核和测试缩写。本补充文件中使用的其他记忆法是5级多项式测试：除了主要论文中使用的3级测试外，我们还应用了皮尔逊测试（PE5）和离散统一核Z测试（ZU5）。离散LR检验：二项式LR检验（LR1）和三水平多项式LR检验（LR3）。连续LR测试：主要论文第4.2节中描述的LR测试，可能被视为Berkowitz测试（LRB）的扩展。基线样本量为n=750，大致相当于主要论文中三年的银行数据样本。

在所有模拟实验中，重复次数为2=65536。窗口F | kernel BIN ZU3 ZU5 PE3 pe5 Normal 6.1 4.9 4.6 5.3 5.9 scaled t5 33.9 35.0 34.0 40.3 33.5 scaled t3 24.0 24.1 43.4 33.5 wide Normal 6.1 5.0 4.8 5.1 5.6 scaled t5 33.9 10.7 11.5 55.5 46.3 scaled t3 24.0 13.5 11.0 90.6 81.1表S.1：无条件离散Z检验的估计大小和功效。我们报告了基于65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。每个回测样本的天数为n=750。窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。表S.1提供了5级离散Z测试（ZU5和PE5）与3级对应测试（ZU3和PE3）和二项得分测试（BIN）的比较。对于离散格式内核，5级测试在大小和能力上与3级测试相似。然而，对于Pearson内核来说，5级测试的功能明显不如3级测试，并且有点过大。根据这一证据，选择5级测试似乎比选择3级测试没有优势。表S.2表明，从主要论文的表2中得出的结论对回溯测试样本量n的选择是稳健的。正如人们所预期的，功率通常会随着n的增加而增加。

对于缩放t分布和两个内核窗口，我们发现排序窗口F n | kernel BIN ZU3 PE3 ZU ZA ZE ZL+ZL-ZLL PNSnarrow Normal 250 4.1 4.2 5.0 3.9 3.9 3.9 4.1 3.7 5.3 5.1500 3.9 4.6 5.4 4.6 4.6 4.6 4.5 4.6 4.7 4.7750 6.1 4.9 5.3 4.7 4.7 4.6 4.8 4.9缩放t5 250 17.4 19.6 18.5 18.9 18.0 22.0 14.6 20.9 22.5500 22.1 27.1 30.9 26.5 26.9 25.7 31.5 21.6 30.2 33.6750 33.9 35.0 40.3 33.8 34.4 33.0 40.3 27.1 40.0 44.7缩放t3 250 13.4 15.3 17.5 14.3 14.7 13.8 19.2 9 20.8 22.9500 15.9 20.2 31.819.6 20.1 18.7 26.4 14.0 31.0 36.7750 24.0 24.8 43.4 23.9 24.3 23.3 32.7 16.5 43.3 50.5宽标准250 4.1 4.4 5.2 4.8 4.8 4.8 4.7 4.8 4.8 5.1500 3.9 4.7 5.1 4.9 4.9 4.8 4.7 4.9 4.9 4.8 4.9 4.9 4.8 4.9 4.8 4.9 4.8 4.9 4.8 4.8 4.9 4.8 4.8 4.8 4.9 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 5.8 5 250 17.4 8.1 23.0 5.9 6.3 5.7 8.9 4.9 17.2 24.4500 22.1 9.7 40.3 6.3 6.5 6.0 10.6 5.4 31.3 41.6750 33.9 10.7 55.5 6.4 6 6 6.1 11.9 5.8 45.1 57.5缩放t3 25013.4 9.1 36.1 7.7 9.1 6.8 6.3 10.9 30.2 42.7500 15.9 11.3 70.9 12.8 14.8 11.1 6.8 21.5 64.9 77.4750 24.0 13.5 90.6 17.7 20.4 15.4 7.4 31.9 85.8 93.1表S.2：回测样本大小对无条件Z检验大小和功效的影响。我们报告了基于65536次重复的5%置信度水平下对无效假设的拒绝率。箭头窗口为[0.985，0.995]，宽窗口为[0.95，0.995]。窗口F |测试箱LR1 ZU3 PE3 LR3 PNS LRBnarrow Normal 6.1 4.1 4.9 5.3 8.2 4.9 5.5缩放t5 33.9 24.0 35.0 40.3 34.3 44.7 37.6缩放t3 24.0 16.1 24.8 43.4 46.5 50.5 49.2宽Normal 6.1 4.1 5.0 5.1 6.1 5.1缩放t5 33.9 24.0 10.7 55.5 52.2 57.5 57.7缩放t3 24.0 16.1 13.5 90.6 92.7 93.1 95.0表S.3：LR试验和Z试验在尺寸和功率方面的比较。我们报告了基于65536次重复，在5%置信度水平上拒绝无效假设的百分比。每个回测样本的天数为n=750。

窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。在整个内核中，权力几乎没有变化。最重要的是，第4.3节中总结的五个属性不受n的影响。表S.3比较了LR测试和Z测试。二项式LR检验（LR1）的功效不如二项式得分检验；前者的尺寸稍大，而后者的尺寸稍小。将三水平LR检验（LR3）与三水平单光谱检验（ZU3）和三光谱皮尔逊检验（PE3）进行比较。LR测试与Pearson-testin测试的能力相似（大部分比ZU3测试更强大），但LR测试的规模过大。广义Berkowitz检验（LRB）在窄窗口条件下的表现略低于截断概率正态分布检验（PNS），而在宽窗口条件下的表现则略好于截断概率正态分布检验（PNS）。使用较小的回溯测试样本（n=250）进行类似练习的结果在质量上相似（未受影响）。我们得出结论，Z测试优于LR测试，尤其是当尺寸是首要考虑因素时。接下来的两个实验与条件Z检验有关；CVT选择在主要文件的表3中定义。注意，当CVT取值None时，测试为无条件测试。表S.4估计了样本均匀分布且连续独立时的测试规模。第5.2节的摘录中也出现了同样的信息：当CVT为DQ或V.BIN时，测试非常大，尤其是对于前者；选择V.4或V./作为CVT可显著缓解（但不消除）过大。表S.5是对相同内核和CVT函数的功率检查。