预测分布的谱反检验及其在风险中的应用

然而，投资组合构成的频繁变化意味着滞后VaR值的信息可靠性不如滞后PIT值。最近的几篇论文建议对估计误差的预测检验进行修正；例如，见Escanciano和Olmo（2010）；Du和Escanciano（2017）；Hurlin等人（2017年）。实施这些校正通常需要了解预测模型和估计模式，因此在我们描述的监管背景下是不可行的。我们的无效假设规定了一个高标准，即预报员是一个理想的预报员，能够处理一系列正确指定、完美估计的模型。光谱类包括各种各样的测试，但我们优先考虑两种通用测试方法：Z测试和似然比（LR）测试。在单变量情况下，谱Z检验基于Wn=n的渐近正态性-在零假设（5）下，1Pnt=1wt。将uW=E（Wt）和σW=var（Wt）写为零模型fw中的力矩，根据中心极限定理，zn=√n（Wn- uW）σWd---→n→∞N（0，1）。（6） 在多变量情况下（dim Wt=m），我们有√n西尼罗河- uWd---→n→∞Nm（0，∑W），其中Wn=n-1Pnt=1wt，uWand∑是零分布FW的平均向量和协方差矩阵。因此，测试可以基于假设足够大的n，使tn=n西尼罗河- uW′Σ-1瓦西尼罗河- uW~ χm，（7）其中，我们将TNA称为m-谱Z-检验统计量。在零假设下，转换后的PIT值的第一个时刻很容易获得为uW=Z[0,1]（1- u） dν（u）（8）方差σ和∑Ware中的交叉矩，使用谱变换PIT值的简单乘积规则获得。定理3.1。由Wt定义的光谱变换PIT值集，j=νj（[0，Pt]）在乘法下闭合。

产品W*t=重量，1Wt，2由W给出*t=ν*（[0，Pt]），其中ν*是一个Lebesgue-Stieltjes度量，满足ν*（[0，u]）=Z[0，u]ν（[0，s]）-ν（{s}）dν（s）+Z[0，u]ν（[0，s]）-ν（{s}）dν（s）。因此σW=uW*- uW，其中uW*通过在测量ν下应用（8）找到*当ν=ν=ν时获得。这将产生uW*=Z[0,1]（1- u） （2Gν（u）- ν（{u}））dν（u）。（9） 支撑Z检验的中心极限定理需要有限的二阶矩。对于单变量情况，以下命题为Gν的尾部行为提供了一个有效条件。提案3.2。如果Gν（u）=O（（1- u）-0.5+ε）作为u→ 对于某些ε>0，则为σwifinite。在多元设置中，如果命题3.2中的条件满足每个νj，j=1，…，则（7）中的渐近分布成立，m、 似然比检验是基于连续参数模型FP（·|θ）进行的，该模型将嵌套一致性作为θ=θ对应的特殊情况。数值Wt=Gν（Pt）的内插模型FW（·|θ）用于检验FW=FW（·|θ）的零假设（5）；另一种选择是Wt~ FW（·|θ）带θ= θ. 将LW（θ| W）写入似然函数，测试基于统计LW的渐近卡方分布，n=LW（θ| W）LW（^θ| W）（10），其中^θ表示基于转换样本（Wt）的最大似然估计。这两类测试之间的一个重要区别是，Z测试对内核的选择敏感，而LR测试只对内核的支持敏感。考虑到简单的单变量情况，我们展示了定理3.3。设ν和ν为满足假设1的Lebesgue-Stieltjes度量，设Wt，j=Gj（Pt），对于j=1，2和t=1，n是变换后的PitValue的各自样本。

如果supp（ν）=supp（ν），则LRW，n=LRW，最肯定。这个结果可以看作是LR测试在数据一对一变换下不变性的推广。4无条件覆盖测试通常将回溯测试方法分为无条件覆盖测试和条件覆盖测试。在我们的设置中，无条件测试是对PIT值均匀性所暗示的分布FW的测试，而条件测试是对正确分布以及WTF和F的独立性的测试*t型-1对于所有t。在本节中，我们根据第3节中讨论的Z测试和LRtest思想，提出了一些无条件测试。重要的是要注意，这些测试所依据的收敛结果，尽管大多数是在iid假设下陈述的，但在独立性假设放松的情况下确实成立，例如对于平稳和遍历变量差异过程（根据Billingsley（1961）的鞅CLT）。在单变量Z检验的情况下，当limn→∞风险值(√nWn）≈ σW.然而，如果（Wt）中存在持续的正序列相关，则导致limn→∞风险值(√nWn）>σw，此时Z检验将有一定的能力检测依赖性；然而，可以对独立财产进行更有针对性的测试，这是第5节的主题。我们的无条件测试方法包含了许多重要的已发布测试或其相关测试。第4.1节中的离散加权框架包括Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）对VaR超标数量的binomialLR检验。它还包括坎贝尔（2006）推荐的多水平皮尔逊卡方检验和佩里格农和史密斯（2008）提出的多水平LR检验，这也是Colletaz等人（2013）研究的基础；见Kratz等人。

（2018）进行多水平测试的比较研究。第4.2节中的连续加权框架以Diebold等人（1998）的开创性论文为基础。这与Crnkovic和Drachman（1996）的方法在精神上很接近，他们采用了基于矿坑值分布和均匀分布之间加权柯伊伯距离的统计，并将Berkowitz（2001）基于截断正态分布的似然比检验纳入到probit转换矿坑值中。与我们的工作最密切相关的是，Du和Escanciano（2017）以及Costanzino和Curran（2015）提出了光谱风险度量的测试统计数据，可以将其视为我们的单变量光谱Z检验的特例。4.1离散加权离散试验基于单变量转换Wt=Pmi=1γi{Ptαi}定义在（3）中，多元变换Wt=（{Ptα}, . . . ,{Ptαm}）in（4）对于同一组有序能级α<····<αm。显然，当m=1（和γ=1）时，两种转化都产生Wt={Ptα} ，从而得到iid Bernoulli（1- α） 零假设下的变量（5）。这是基于二项分布的标准VaR超越测试的基础。Wt={Pt的Z检验统计量（6）α} 与binomialscore测试统计数据一致=√n西尼罗河- (1 - α)pα（1- α). （11） LR测试对Ptin使用隐式嵌套模型，其中Wtare iid Bernoulli（p）和测试p=1- α对p= 1.- α通过将统计学（10）与χ分布进行比较；这是Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）所采用的方法。当m>1时，变量Wt=Pmi=1γi{Ptαi}取有序值Γ<Γ<···<ΓmwhereΓ=0和Γk=Pki=1γifor k=1，m、 在零假设（5）下，Wt和WtsatisfyP的分布（Wt=Γi）=P（1′Wt=i）=αi+1- αi，i∈ {0，1，…，m}，（12），其中α=0，αm+1=1。

在这两种情况下，这都描述了多项式分布。单变量和多变量转换导致不同的Z检验，可以将其视为二项得分检验的替代推广（11）。将上述3.1应用于单变量情况，并使用（9）在零uW=Pmi=1γi（1）下传递力矩- αi）和σW=Pmi=1γ*i（1- αi）- uWwhereγ*i=（2Γi- γi）γi。在构造检验统计量Znin（6）时，我们可以改变权重γ，以强调不同的水平α，并进行各种新的检验。在多变量情况下，我们构建了一个m-光谱Z-检验，如（7）所示，uW=（1-α、 ，1.- αm′和二阶矩矩阵∑ww，其中（i，j）元素由αi给出∧j（1）- αi∨j） 。然后，我们得到Campbell（2006）提出的经典Pearson卡方统计。定理4.1。n（Wn- uW）′∑-1W（Wn- uW）=mXi=0（Oi- nθi）nθi其中Oi=Pnt=1{1′Wt=i}和θi=αi+1- αifor i=0，m、 为了实现（12）的多项式（或多级）LR测试，我们使用P（Wt=Γi）=P（1′Wt=i）=piandPmi=0pi=1的嵌套模型。基于（Wt）和（Wt）的可能性产生了相同的有效统计信息，即：对于单元概率pi，Oi=Pnt=1{Wt=Γi}=Pnt=1{1′Wt=i}。根据似然原理，单变量和多变量LR检验是相同的，只取决于水平（α，…，αm），而不取决于单变量信息中的权重γiI。在不同的权重选择下，单变量LR检验的不变性也是定理3.3.4.2连续权重的结果考虑核测度ν和相关的绝对连续Gν。我们假设，对于α<u<α，核密度满足gν（u）>0，对于u<α和u>α，核密度满足gν（u）=0。我们将supp（ν）=[α，α]作为内核窗口。当ν和ν都是具有相同核窗口的连续核时，定理3.1很简单。

内核ν*对于产品W*t=Wt，1Wt，2在密度为g的同一核窗口上连续*（u） =G（u）G（u）+G（u）G（u）。对于各种各样的核密度，例如基于多项式、指数函数或β型密度（u-α） a-1(α-u） b类-1对于a，b>0；有关基于此想法的新测试示例，请参见第4.3节。因此，我们对连续光谱Z检验的简洁表述包含了一大类可能的检验。对于LR测试，回想一下，我们需要一系列分布FP（·|θ），用于将均匀性嵌套为θ=θ对应的特例的坑值。由于supp（ν）=[α，α]对于本节中的所有内核，定理3.3意味着它们都会产生相同的llr测试，这仅取决于内核窗口[α，α]和嵌套模型FP（·|θ）。Gνon[α，α]的形式无关紧要。根据probitnormal模型，我们假设PIT值P，满足Φ的Pnhavea分布-1（Pt）~ N（u，σ）。写入θ=（u，σ）′，Ptare的分布函数和密度分别为fp（p |θ）=Φ-1（p）- uσ！，fP（p |θ）=ДΦ-1（p）-uσφ(Φ-1（p））σ，p∈ [0，1]，（13），均匀分布对应于θ=θ=（0，1）′。Berkowitz（2001）的检验是这种嵌套模型下LR检验的一个特例：选择核ν，Gν（u）=Φ-1(α∨u）-Φ-1（α）和核窗口[α，1]，我们观察到Wt=Gν（Pt）具有截断为[Φ]的N（u，σ）分布-1(α), ∞) 然后向左平移。截短到窗口[α，α]的probitnormal模型还基于θ=θ与备选θ的经典分数检验，产生了一个新的双谱Z检验= θ. 该测试的全部细节见我们的配套论文[补充材料]。

由此产生的截短概率正态分布检验有一个混合加权方案（具有离散和连续部分），其中WT，i=γi，1{Ptα} +γi，2{Ptα} +Zααgi（u）{Ptu} 对于已知常数γi，1，du，i=1，2，（14） 0，γi，2 0和已知函数gi（u），它们在[α，α]上是正的和可微分的。注：为了完整性和保持盲板，从“公司文件”中提取的材料作为“补充材料”附在本文之后。4.3尺寸和功率我们对无条件光谱反测试的尺寸和功率进行了广泛的蒙特卡罗分析。在本节中，我们提供了一些代表性的示例，说明了Z测试的大小和能力如何取决于内核，然后简要总结了其他关键发现。所有模拟实验的全部细节可在配套论文[补充材料]中找到。我们考虑离散、连续和混合形式的核。参数α和α控制内核窗口。对于连续测试，α和α是内核支持的上确界和内确界。对于离散情况，我们考虑点集（α，α）上的三层核*, α） ，其中α*= 0.99是常规VaR水平。我们定义了α=0.985和α=0.995的窄窗口，以及α=0.95和α=0.995的宽窗口。观察窄窗口围绕α对称*, 而宽窗口是对称的。对于连续的情况，内核有各种可能的候选对象。表1列出了我们在下面讨论的内核；每一个都可以被认为是描述了不同窗口的一系列内核密度[α，α]。对于节俭，所有这些都是beta内核的特例。非参数统计文献中通常使用均匀和驼峰形的Epanechnikov核。

在补充材料中，我们提供了一般beta（a，b）情况下转换坑值矩的分析解。核族助记符密度g（u）β表示统一ZU 1 1,1Arcsin ZA 1/pu*(1 - u*)/,/Epanechnikov ZE 1- （2u*- 1） 2,2线性递增ZL+u*2,1线性递减ZL-1.- u*1,2表1：【α，α】上的核密度函数。u*表示重新缩放的值u*= （u）- α)/(α- α). 密度函数不会缩放为1。接下来，我们将列出要实现的回溯测试，并为每个回溯测试分配一个唯一的助记符。二项评分测试：α级双侧二项评分测试*（BIN）；多项式检验：三点离散均匀核（ZU3）和三点皮尔逊检验（PE3）；连续光谱测试：基于均匀核（ZU）的单变量测试；arcsinkernel（ZA）；Epanechnikov核（ZE）；增加（ZL+）和减少（ZL-)线性核；连续/混合双谱检验：我们结合了递增和递减线性kernels（ZLL）以及截断probitnormal评分检验（PNS）。我们考虑了Lt真实模型cdf的三种不同选择：标准正态分布、标度分布和标度t。学生t分布被标度为具有一个方差，因此差异源于不同的尾部形状，而不是不同的方差。我们将风险经理的模型bf视为标准正态分布，即我们将采样的LttoPIT值转换为Pt=Φ（Lt）。因此，当从标准正态分布中提取LTS样本时，PIT值均匀分布，并用于评估测试的大小。学生t分布产生的PIT样本显示了当风险管理者的模型太细尾时观察到的偏离均匀性的类型。我们确定了一个样本量n=750，大致相当于第6节研究的三年期银行数据样本。

在表2中，我们报告了基于2=65536次重复，在5%置信水平下，完全假设的拒绝率。所有报告的EDP值都基于双面测试，尽管某些测试的单面版本当然可用。窗口F |内核BIN ZU3 PE3 ZU ZA ZE ZL+ZL-ZLL PNSnarrow Normal 6.1 4.9 5.3 4.7 4.7 4.6 4.8 4.8 4.9缩放t5 33.9 35.0 40.3 33.8 34.4 33.0 40.3 27.1 40.0 44.7缩放t3 24.0 24.8 43.4 23.9 24.3 23.3 32.7 16.5 43.3 50.5宽Normal 6.1 5.0 5.1 4.9 4.9 4.9 5 5.0缩放t5 33.9 10.7 55.5 6.4 6.6 6.1 11.9 5.8 45.1 57.5缩放t3 24.0 13.5 90.6 17.7 20.4 15.4 7.4 31.9 85.8 93.1表2：无条件Z测试。我们报告了在5%置信水平下，基于65536次重复的无效假设被拒绝的百分比。每个回测样本的天数为n=750。窄窗为[0.985，0.995]，宽窗为[0.95，0.995]。在窄窗口和宽窗口中，我们都观察到Z检验的大小非常接近5%的标称大小，但二项得分检验的情况除外，二项得分检验有轻微的差异。相反，测试的能力对内核的选择很敏感。我们将结果总结如下：1。在功率测试中，宽窗口上的差异比箭头窗口上的差异更明显。单光谱测试（BIN、ZU、ZA、ZE、ZL+、ZL-) 在狭窄窗口上的二项得分测试的能力非常相似。2、在窄窗口上，单光谱测试对缩放tmodel的影响大于尾宽的缩放tmodel，但在宽窗口上的大多数情况下，情况恰恰相反。3、增加窗口宽度会降低大多数单光谱测试的功率。4.

对于宽窗口，增加的线性核ZL+o比减少的线性核ZL提供更大的功率-当真实模型为缩放t时，反之亦然。当真实模型为缩放t时，反之亦然。多光谱（PE3、ZLL、PNS）测试比单光谱测试具有更大的功效，但在窄窗口情况下，当真实模型为缩放t时，差异相对较小。第一个结果很容易理解。对于表1中的核密度族，当窗口变窄时，关联函数Gν收敛为阶跃函数。换句话说，当窗口在α附近缩小时，所有核族退化为二项式分数核*.为了说明第二个发现，我们在图1中绘制了每个真实模型下报告的PIT值的分布函数，即Pr（Pt u） =Pr（Lt Φ-1（u））=F（Φ-1（u））。当零假设为真时，cdf只是身份线（y=x）。在[0.985，0.995]的箭头窗口内，标度t的cdf平均比标度t的cdf更接近识别线。单光谱测试是对Wt=Gν（Pt）的第一时刻的测试，对该距离敏感，因此对标度t的功率比标度t的功率更大。然而，在宽窗口上，标度t的cdf平均更接近识别线，因此测试相对于标度t具有更大的威力。该图还照亮了第三和第四个发现。两个按比例缩放的学生TCDF都跨越了窄窗口边界之外的身份线，但靠近宽窗口的中间。窗口内的交叉减少了平均距离，因此对单光谱测试提出了特殊挑战。在宽窗口上，标度tcdf穿过0.971附近的身份线，该身份线略低于中点。