预测分布的谱反检验及其在风险中的应用

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英文标题：
《Spectral backtests of forecast distributions with application to risk
  management》
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作者：
Michael B. Gordy and Alexander J. McNeil
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study a class of backtests for forecast distributions in which the test statistic depends on a spectral transformation that weights exceedance events by a function of the modeled probability level. The weighting scheme is specified by a kernel measure which makes explicit the user\'s priorities for model performance. The class of spectral backtests includes tests of unconditional coverage and tests of conditional coverage. We show how the class embeds a wide variety of backtests in the existing literature, and further propose novel variants which are easily implemented, well-sized and have good power. In an empirical application, we backtest forecast distributions for the overnight P&L of ten bank trading portfolios. For some portfolios, test results depend materially on the choice of kernel.
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中文摘要：
我们研究了一类预测分布的后验检验，其中检验统计量依赖于一种谱变换，该变换通过建模概率水平的函数对超标事件进行加权。权重方案由内核度量指定，该度量明确了用户对模型性能的优先级。光谱反测试包括无条件覆盖测试和条件覆盖测试。我们展示了该类如何在现有文献中嵌入各种各样的回溯测试，并进一步提出了易于实现、规模良好且功能强大的新变体。在实证应用中，我们对十家银行交易组合的隔夜损益预测分布进行了回溯测试。对于某些投资组合，测试结果在很大程度上取决于内核的选择。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Spectral_backtests_of_forecast_distributions_with_application_to_risk_management.pdf (738.75 KB)

2022-6-1 05:10:33 上传

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关键词：distribution Quantitative Applications Application conditional

预测分布的谱反检验及其在风险管理中的应用*Michael B.GordyFederal Reserve Board，Washington DCAlexander J.McNeilThe York Management School，University of York 2019年7月26日摘要我们研究了一类预测分布的回溯测试，其中测试统计量取决于谱变换，该变换通过建模概率水平的函数对超标事件进行加权。权重方案由一个内核度量指定，该度量明确了用户对模型性能的优先级。spectralbacktests类包括无条件覆盖测试和条件覆盖测试。我们展示了该类如何在现有文献中嵌入各种各样的回溯测试，并进一步提出了易于实现、规模良好且功能强大的新变体。在一个实证应用中，我们对十家银行交易组合的隔夜损益预测分布进行了回溯测试。对于某些投资组合，测试结果取决于内核的选择。JEL代码：C52；G21；G28；G32关键词：回溯测试；波动；风险管理*我们感谢哈里森·卡茨和萨提亚·拉梅什提供的出色研究援助。我们从与Mike Giles、Marie Kratz、Xiao Yen Lok、David Lynch、David McArthur、Michael Milgram和Johanna Ziegel的讨论中受益匪浅。这里所表达的观点是我们自己的，并不反映政府委员会或其代表的观点。地址：Michael Gordy，美国联邦储备委员会，华盛顿DC20551，电话：+1-202-452-3705，Michael。gordy@frb.gov.1简介在许多预测练习中，在模型设计和校准中，可以优先考虑确定预测分布的某些分位数范围。

在推动本研究的风险管理应用中，接近分布中值或高收益“好尾”的准确度通常远不如大损失“坏尾”的准确度重要。即使在主要兴趣区域内，偏好的概率也可能是非单调的。例如，建模者可能非常关心评估adecade市场中断的程度，但更不关心因无法承受的灾难性事件而导致的极端尾部的分位数。本文研究了一类预测分布的后验检验，其中检验统计量根据建模概率水平的函数对超越事件进行加权。权重方案由一个内核度量指定，该度量明确了模型性能的优先级。对于一类非常大的核函数，回测统计量及其渐近分布是可分析处理的。我们的方法统一了多种现有的回溯测试方法。在风险管理领域，久负盛名的测试统计（可追溯到Kupiec，1995年）是“VaR超标”的简单计数，即当实现的交易损失超过日前风险值（VaR）预测时，指标变量等于1。在我们的框架中，内核是集中在目标VaR级别的Dirac度量。在另一个极端，Diebold et al.（1998）中应用的测试代表了一种特殊情况，其中权重在所有概率水平上都是一致的。Berkowitz（2001）的似然比检验和Du和Escanciano（2017）以及Costanzino和Curran（2015）的预期短缺和光谱风险度量检验代表了核截尾概率的中间情况。

虽然这些工作与我们自己的工作相关，但我们做出了明显的三方面贡献：（i）我们提供了一个总体测试框架，其中嵌入了许多现有测试和许多新测试，包括离散光谱测试和多元光谱测试；（ii）我们强调，回溯测试的选择应该以用户对内核选择中表示的模型性能的偏好为指导，而不是盲目追求性能；（iii）我们提出了一种条件检验的一般形式，它可以与任何将无条件检验嵌套为特例的kerneland相结合。本文中权重函数的应用与Amisano和Giacomini（2007）以及Gneiting和Ranjan（2011）在密度预测文献比较中的方法有一定的相似性。在这两篇论文中，将权重应用于预测评分规则，以获得突出分布尾部（或其他区域）的预测性能度量。然而，任何一种预测方法的度量都没有绝对意义，其目的是为了便于使用Diebold和Mariano（1995）提出的一般比较测试方法与其他方法进行比较。相反，根据Diebold等人（1998）的精神，我们的测试是预测质量的绝对测试。虽然比较测试方法有助于预测者对预测方法进行内部调整，但本文中的绝对测试方法有助于其他机构（如监管机构）对预测者的结果进行外部评估。

在本文中，我们采用了这样一种代理人的观点，他必须根据预报员提供的一组预先确定的数据做出判断，而且他对预报员所做的模型选择的信息非常有限。我们的调查在一定程度上是由于监管人员可用于回溯测试的数据的重大扩展。2013年之前，美国银行向监管机构报告的VaR超标率为99%。新的市场风险规则要求银行在每个交易日报告前一天预测分布中与已实现损益（P&L）相关的概率，这相当于向监管机构提供α级的VaR超标情况∈ [0, 1]. 扩展的报告制度允许我们在回溯测试中评估功率和规格之间的权衡。如果监管机构与报告的α级VaR的验证相关，则VaR超标计数是无条件覆盖测试的有效统计数据。然而，如果监管机构愿意为α附近的概率水平分配正权重，我们可以构建更强大的回溯测试。此外，我们的方法与风险管理人预测一系列重大损失概率的更广泛观点一致。美国监管机构就内部模型验证向银行提供的正式指南明确要求“对照其他估计百分位数检查损失分布”（联邦储备系统理事会，2011年，第15页）。根据《交易账簿基本审查》（BaselCommittee on Bank Supervision，2013）规定的改革，99%的VaR被97.5%的预期缺口所取代，成为资本要求的决定因素。

虽然围绕ES是否适合直接回溯测试的问题存在很多争议（Gneiting，2011；Acerbiand Szekly，2014；Fissler等人，2016），但我们的贡献解决了一个不同的问题。我们对预测分布进行测试，从中估计风险度量，而不是对风险度量估计进行测试。当ES是首要利益时，可以认为对损失分布尾部的准确预测更为重要，因为风险度量取决于整个尾部。在第2节中，我们列出了风险经理预测问题的统计设置，以及为回溯测试收集的数据。第3节介绍了支持光谱反测试类的转换。第4节所述无条件覆盖率的光谱反测试。在第5节中，我们开发了基于鞅差异性质的条件覆盖测试。作为对真实数据的应用，在第6节中，我们对交易组合隔夜损益分布的十个银行模型进行了回溯测试。2风险度量的理论和实践我们假设银行在过滤概率空间上建立损益模型(Ohm, F、 （Ft）t∈N、 P）其中Ft表示风险经理在时间t可用的信息，N=N∪ {0}和ndentes表示非零自然数。任何时候t∈ N、 LTI是一个Ft可测量的随机变量，以货币单位表示投资组合损失（即负损益）。我们表示给定信息到时间t的条件损失分布-1 byFt（x）=P（Lt x |英尺-1) .不能假定损失分布是时不变的。潜在风险因素（如股票价格、汇率）的回报分布是时变的，最显著的原因是随机波动。

此外，FTA取决于投资组合的构成。因为投资组合在每个时期都是重新平衡的，所以即使工厂收益率是iid，FTA也会随着时间的推移而变化。对于t∈ N我们可以使用概率积分变换（PIT）通过Ut=Ft（Lt）来定义过程（Ut）。在假设每个时间点的条件损失分布是连续的情况下，Rosenblatt（1952）的结果表明，过程（Ut）t∈Nis是iid标准统一变量的序列，尽管（Lt）通常是非平稳的。风险经理根据最新信息构建FTBFTOF模型-报告的坑值是通过设置Pt=bFt（Lt）fort获得的相应rvs（Pt）∈ N、 假设监管者不直接了解FT，但可以根据PIT值的样本进行推断。如果模型BFT形成了Gneiting et al.（2007）意义上的理想概率预测序列，即符合每t的条件定律Ftof LTF，那么我们预计报告的PIT值表现为标准均匀变量的iid样本；该属性的测试是对模型序列进行概率校准的测试。对于单位间隔内的任何α，letdVaRα，t：=bF←t（α）是在t时构造的α-VaR的估计值- 1通过计算fFTATα的广义逆。自VaRexceedance事件{LtdVaRα，t}等于事件{Pt α} ，PIT值为所有可能水平的VaR超标提供了有效的统计数据。因此，我们期望使用报告PIT值的精心设计的测试在检测模型SBFT中的缺陷方面比VaR超标测试更有效。我们的测试没有对银行信息统计所使用的程序和模型做出任何假设。在实践中，方法论存在很大的异质性。

近二十年来，大多数大型银行主要依赖于历史抽样（HS）的一些变体，这是一种基于对历史风险因素变化或回报重新抽样的非参数方法。由于HS无法解释因时变波动性导致的收益序列相关性，一些银行采用了Hull andWhite（1998）和Barone Adesi et al.（1998）提出的过滤历史模拟（FHS）。在这种方法中，历史风险因素回报率通过其估计波动率进行归一化，通常通过采用过去平方回报的指数加权移动平均值来获得。不使用HSS或FHS的银行通常采用参数模型来联合分布风险因素变化。在我们的实证应用中，测试对波动性变化的延迟响应具有特殊的意义。假设以零为中心的损失分布大致对称，正负值之间的频繁切换往往会导致PIT值串行不相关，即使在模型中对波动性进行了错误描述。然而，极端值（即接近0或1）将倾向于在高波动期产生极端PIT值，中等PIT值（即接近/）将倾向于在低波动期产生中等PIT值。可以通过检查转换值| 2Pt中的自相关来推断此模式- 1|. 在第6节中，我们将在实现ConditionalCorerage测试时利用这种转换。银行VaR预测的实证研究相对较少。Berkowitz和O\'Brien（2002）表明，美国银行的VaR估计是保守的（即，超出预期的较少），预测的表现低于适用于每日损益的简单时间序列模型。

加拿大银行（Pérignon等人，2008年）和更大的国际样本（Pérignon和Smith，2010年）也记录了对话预测。O\'Brien和Szerszen（2017）揭示了这些结果对样本期的敏感性。在2001年至2014年五家美国大型银行的样本中，无条件覆盖测试拒绝了所有银行在相对稳定期（2001年至2006年和2010年至2014年）的VaR预测，认为其过于保守。然而，在2007年至2009年的危机期间，O\'Brienand Szerzen拒绝所有五家银行的VaR预测，认为其不够保守，其中四家银行拒绝了serialindependence。这种模式与随机波动率模型的失败是一致的。3矿坑超标的光谱转换本文的测试基于矿坑超标指标变量的转换。变换的形式为wt=Z[0,1]{Ptu} dν（u）（1），其中核测度ν是在[0，1]中定义的勒贝格-斯蒂尔捷斯测度。kernelmeasure旨在将权重应用于最感兴趣的概率水平，通常（在实践中）在标准VaR水平α=0.99的区域内。对于域[0，1]上的任何Lebesgue-Stieltjesmeasureν，存在一个相关的右递增连续函数Gν，使得ν（[0，u]）=Gν（u）。很容易看出，（1）相当于闭式表达式wt=ν（[0，Pt]）=Gν（Pt）（2），这表明wt在Pt中增加。可以对度量进行归一化，使Gν（1）=1而不丧失通用性，但我们不需要它。为了简化表示，我们将在ν上施加以下温和的正则性条件。假设1。ν（{0}）=ν（{1}）=0，Gν是可微的，除非在一组有限的点上。核度量可以是离散的、连续的或混合的。在离散情况下，其形式为ν=Pmi=1γiδαifor m 其中δ表示Dirac度量。

这将放置正质量γ，γmat有序值0<α<···<αm<1导致toWt=mXi=1γi{Ptαi}。（3） 对于连续情况，对于定义在[0，1]上的一些非负egν（u），度量具有密度dν（u）=gν（u）du，我们称之为核密度。单变量变换自然扩展到多变量情况，其中一组不同的核测度ν，νmis应用于PIT值，以获得向量值变量W，WnwhereWt=（Wt，1，…，Wt，m）′，Wt，j=νj（[0，Pt]）=Gj（Pt），j=1，m、 （4）我们将基于光谱转换的矿坑超标的任何回溯测试称为方面回溯测试。在本文中，我们假设调节器只能在回测统计量中使用PTI的当前值和过去值。可以适当放宽此限制。对我们的贡献至关重要的是，监管机构没有观察到整个分布^Ft，但观察到的比VaR例外指标{LtdVaRα，t}。Let（F*t） 是由PIT值产生的调节器过滤，即F*t=σ（{Ps:st} （） Ft.无论检验形式如何，无效假设isH:Wt~ FWand重量⊥⊥ F*t型-1.t、 （5）其中fw表示PTI均匀时WT的分布函数。无效假设（5）意味着（Wt）是iid，但弱于（Pt）是iid的无效假设。这是故意的。由于监管者可以根据自己的优先级自由选择ν，因此她不应反对在所选内核的支持之外出现的对一致性和连续独立性的背离。我们的方法可以很容易地推广到（Lt、dVaRα、t）和公共观察市场变量（如VIX）中的信息。