预测分布的谱反检验及其在风险中的应用

我们将二项式得分核（BIN）作为传统测试的代表，统一核（ZU）作为连续单光谱测试的代表，以及（ZLL）作为多光谱测试的代表。我们在单谱测试中发现k=4个滞后，对应于在一个交易周的时间范围内观察相关性。为了便于与单光谱测试进行比较，我们对双光谱ZLL测试进行了x检验（k=4，k=0）。在条件覆盖率测试中，缺失值或伪值可能特别麻烦，因为在时间t缺失的PIT值会在t+1引入缺失的回归系数，t+k.至0.9750.9800.9850.9900.9951.0000.980 0.985 0.990 0.995 1.000 p经验CDF投资组合101103104108109窄窗口0.940.960.981.000.96 0.98 1.00 p经验CDF投资组合103105108109宽窗口图2：所选投资组合的经验分布函数。用于窄内核窗口（上面板）和宽内核窗口（下面板）的EDF。统一的cdf标为一条黑色虚线。为了避免丢失后续的k个观测值，我们将替换丢失或虚假的Pt-l在计算滞后向量ht时使用一个计算值-1.（与无条件平均值测试一样，我们不会将缺失的PTT归为因变量Wt，而是简化这些观察值。）我们的插补算法详情见附录C。表7给出了条件覆盖率测试的p值。对于组合Pf 105、Pf 106和Pf 108，无论选择CVT还是核，预测模型都会被强烈拒绝（总是在1%的水平上，几乎总是在0.01%的水平上）；为了简洁起见，我们将这些投资组合从表中删除。仅对于单个投资组合（Pf 109），预测模型从不被拒绝。

在其他六种情况下，CVT和内核的选择很重要。对于Pf 102和Pf 110组合，V.4 CVT通常会导致5%的拒绝，而使用DQ CVT的测试通常不会。V.BIN和V./CVT在许多情况下都有效，但似乎不如V.4稳健。这反映了V的更高灵敏度。4转变为市场波动的局部峰值。对于组合Pf 103，测试拒绝在宽窗口上进行，除非使用DQ CVT。对于组合Pf 101和Pf 104，测试中p值的变化主要由内核选择驱动，其方式与表6中的无条件覆盖测试一致。因此，对于这两个投资组合，PIT值的序列依赖性似乎不是预测模型的显著缺点。在Pf 107的情况下，DQ CVT及其双尾计数器部分（V.BIN）的测试统计数据未定义。由于在任何一个尾部都没有观察到违规（Pt<0.01或Pt>0.99），在这两种情况下，（18）的矩阵^H都是奇异的，因此无法转换检验统计量。这表明了二元值CVT的实际局限性，因为短样本通常不包含尾值。还要注意的是，尽管无条件测试强烈拒绝了该组合的预测模型，但回溯测试未能拒绝狭窄窗口上的两个CVT。由于所有t的Pt<α=0.985，因此WT在样品中产生分布。

在这种情况下，可以证明条件检验统计量对CVT和k是不变的，并且等于无条件检验统计量。窄窗宽窗ID CVT BIN ZU ZLL ZU ZLLDQ 0.0017 0.0002 0.0020 0.0342 0.0092V。BIN 0.0084 0.0002 0.0009 0.0513 0.0115V。4 0.0062 0.0003 0.0007 0.0921 0.0230V/0.0658 0.0063 0.0078 0.1376 0.0301DQ 0.0088 0.0975 0.1448 0.1873 0.1443V。料仓0.0119 0.4716 0.3441 0.0201 0.0147V。4 0.0000 0.0086 0.0023 0.0003 0.0006V/0.0000 0.0239 0.0111 0.0004 0.0005DQ 0.7540 0.7429 0.8408 0.1787 0.1879V。BIN 0.0773 0.0426 0.1331 0.0068 0.0149V。4 0.3064 0.1372 0.2286 0.0074 0.0088V/0.5209 0.4194 0.5181 0.0318 0.0276DQ 0.8732 0.8501 0.5202 0.0295 0.0138V。纸盒0.8700 0.8456 0.5167 0.0289 0.0135V。4 0.3225 0.2013 0.1287 0.0034 0.0022V/0.2085 0.0976 0.0689 0.0016 0.0011DQ NA NA NA NA NA NAV。BIN NA NA NA NA NAV。4 0.1844 0.1071 0.1085 0.0001 0.0000V/0.1844 0.1071 0.1085 0.0001 0.0000DQ 0.9917 0.6351 0.0548 0.1465 0.1383V。料仓0.8041 0.7510 0.1179 0.4522 0.5170V。4 0.8929 0.8603 0.2067 0.5578 0.6225V/0.9313 0.6389 0.1327 0.4766 0.5266DQ 0.2658 0.3058 0.4121 0.1661 0.1395V。BIN 0.0041 0.0006 0.0009 0.0044 0.0108V。4 0.0093 0.0008 0.0012 0.0100 0.0352V/0.1403 0.0513 0.0840 0.1508 0.2823表7：条件覆盖率测试。我们通过投资组合、条件变量转换、核窗口和核族来测试p值。单谱测试利用k=4滞后，对于ZLL双谱测试，我们设定（k=4，k=0）。窄内核窗口为[0.985,0.995]，宽内核窗口为[0.95,0.995]。样本期为2014年1月1日至2016年12月31日。对于所有CVT和内核选择，Pf 105、Pf 106和Pf 108（未列表）的预测模型在1%的水平上被拒绝。回顾检验统计量在零假设下的分布χ1+kun，我们发现p值随k增加。

这解释了为什么在过度保守的预测模型导致Wt中退化的情况下，无条件回溯测试可能比条件回溯测试具有更大的威力。7结论光谱回溯测试的类别嵌入了许多最广泛使用的非条件平均测试和条件覆盖测试，包括Kupiec（1995）的二项式似然比测试，Berkowitz（2001）的区间似然比检验，Engle和Manganelli（2004）的动态量化检验。正如我们通过许多示例所演示的那样，根据相关内核查看这些测试有助于构建新的测试。从风险管理实践的角度来看，明确选择内核度量可能有助于约束回测过程，因为内核直接表达了用户对模型性能的兴趣。不同的果仁对与无效假设的不同偏差很敏感。一个只关心在一个狭窄范围内系统性低估或高估分位数的测试员，可以使用许多离散和连续的单核函数。如果测试人员希望确保预测模型在广泛的分位数范围内的真实分布具有最大的精确性，则可能更担心斜率违规（窗口一端的分位数高估，另一端的分位数低估）。这样的测试人员可能喜欢多光谱测试。然而，推广Spectrum家族的单一“最佳”测试将与我们的贡献理念背道而驰，我们避免这样做。测试人员应该反映性能优先级，并相应地选择她的内核。我们的结果说明了监管机构获取银行报告的PIT值的价值。

直到最近，监管机构才有效地观察到单个α水平上的一系列VaR超标事件指标，因此，设计了回溯测试以将此类数据作为输入。在包括美国在内的一些司法管辖区，已经收集了一段时间的PIT值。除了能够形成光谱测试统计数据外，滞后PIT值在基于回归的条件覆盖率测试中作为条件变量尤其有效。A证据A。定理3.1Let和Gbe与测度ν和ν相关的递增右连续函数的证明。因此W*t=G（Pt）G（Pt）。函数G*（u） =G（u）G（u）也必须是递增且右连续的，因此可用于定义Lebesgue-Stieltjes度量ν*通过设置ν*（{0}）=G*（0）=0和ν*（（a，b））=G*（b）- G*（a） 对于任何0 a<b 1、因此W*t=克*（Pt）=ν*（[0，Pt]）。ν的公式*通过应用Lebesgue-Stieltjes积分的分部积分公式（Hewitt，1960，定理A）获得。A、 2命题3.2的证明自Gν（u）=O（（1- u）-1/2+ε）作为u→ 1对于一些小的ε，存在一个值u和一个正常数C，使得Gν（u） C（1- u）-1/2+ε表示u u、 设u为ua和Gν不可微分的最后一点中的较大值（根据假设1，只有这么多点）。我们可以分解（9）asE（Wt）=Z[0，\'u]（1-u） （2Gν（u）- ν（{u}）dν（u）+Z（\'u，1]（1-u） （2Gν（u）- ν（{u}）dν（u）（A.1）第一项中的被积函数以2Gν（\'u）为界，因此积分是有限的。我们只需证明第二项的完整性，第二项可以写成Z'u（1- u） 2Gν（u）gν（u）du=Z？u（1- u） dduGν（u）杜邦=Gν（u）（1- u）“u+Z”uGν（u）du使用零件集成。自0起 Gν（u）（1- u） C（1- u） 2ε表示u \'u和（1- u） 2ε→ 0作为u→ 1，遵循[Gν（u）（1- u） ][u=-Gν（(R)u）（1- \'\'u）。

此外，第二项是有限的，因为“uGν（u）du” CZ'u（1- u）-1+2εdu=2ε（1- \'\'u）2ε。A、 3定理3.3的证明让pt表示pt的实现值和wt，j=Gj（pt）对应的t的实现值，对于t=1，n和j=1，2。有两种情况需要考虑。要么发生在Gj右导数为0的区间，要么发生在右导数为正的区间。设gj表示由gj的右导数等于零的所有点组成的[0，1]的子集。如果pt∈ Gj然后，根据Gj的正确连续性，pT必须以[at，j，bt，j]的形式出现（如果Gjat bt，j中有跳跃）或[at，j，bt，j]的形式出现（如果Gj在bt，j中连续）。在另一种情况下，wt，jt对可能性isP（wt，j=wt，j）=P（Gj（Pt）=Gj（Pt））=FP（bt，j）的贡献- FP（at，j）。如果Pt∈ GJTEN wt，jsatis P（wt，j wt，j）=P（Pt pt）和pt=G-1j（wt，j），Gjat wt，j的唯一逆。对可能性的贡献是由fw（wt，j |θ）=fP（pt |θ）G′j（pt）给出的密度贡献。给定wj=（w1，j，…，wn，j）′的实现似然的一般形式是thusLWj（θ| wj）=Ypt∈Gj（FP（bt，j）- FP（at，j））Ypt∈GjfP（pt）|θ）G′j（pt）对于度量ν和ν集，Gmay最多可通过空集进行区分。让我们假设每个实现点PTI要么在两个集合中，要么在两个集合中，要么在两个集合中。如果pt∈ Gand pt公司∈ G当（0，1）上的支架一致时，意味着at，1=at，2和bt，1=bt，2。因此，可能性贡献是相同的。如果pt∈ Gand pt公司∈ G然后，概率仅由不涉及参数θ的比例因子G′j（pt）决定。该因子在对数似然中仅作为一个不重要的加性项出现，并从LR检验统计量中取消。因此，通过相同的值使可能性LWj（θ| wj）最大化^θ，并且THLR检验统计量相同。A、 4定理4.1集Xt=（Xt，0，…）的证明。

，Xt，m）′是（m+1）维随机向量，对于i=0，…，i={1′Wt=i}，m、 在（5）下，Xthas多项式分布满足E（Xt，i）=θi，var（Xt，i）=θi（1- θi）和cov（Xt，i，Xt，j）=-θiθjfor i= j、 现在，通过省略第一个分量，将Yto定义为从XT获得的m维随机向量。然后E（Yt）=θ=（θ，…，θm）′，∑Yis是cov（Xt）的m×m子矩阵，这是由于删除了第一行和第一列。设Y=n-1Pnt=1Yt。皮尔逊检验渐近性的标准方法是显示Sm=mXi=0（Oi- nθi）nθi=mXi=0（Pnt=1Xt，i- nθi）nθi=n（Y- θ)′Σ-1年（Y- θ） ，（A.2），因此认为Sm~ χmin限值为n→ ∞ 根据中心极限定理。它表明（A.2）的右侧具有光谱测试表示（7）。设A为m×m矩阵，行由（e）给出-e、 e类-eem）其中eidenotesthe ith unit vector。可以很容易地验证Yt=AWt，θ=AuWand∑Y=A∑WA′。下面是N（W- uW）′∑-1W（W- uW）=n（Y- θ)′Σ-1年（Y- θ） =Sm。B条件双谱Z检验条件谱Z检验推广到条件多谱Z检验。在双谱情况下，我们构建了两组转换后的报告PIT值（Wt，1，Wt，2）fort=1，n、 形成由yt给出的长度k+k+2的向量yto=h′t-1,1fWt，1，h′t-1,2fWt，2′, （B.1）其中fwt，i=Wt，i- uW，地面和ht-1，i=（1，hi（Pt-1), . . . , hi（Pt-ki））\'。与单变量情形平行，设Yn，k=（n-k）-1Pnt=k+1YT表示k=k∨k、 让∑yde注意到∑Y的一致估计：=cov（Yt）。根据Giacomini和White（2006）的理论，对于n大和（k，k）固定，（n- k） Y′n，k^∑-1年，k~ χk+k+2。（B.2）在零假设下，我们可以将（17）推广到∑Y=AWo H、 在哪里o表示逐元素乘法（Hadamard乘积）。

矩阵areH=Eht公司-1,1h′t-1,1Eht公司-1,1h′t-1,2Eht公司-1,2h′t-1,1Eht公司-1,2h′t-1,2, AW公司=σW，1Jk+1，k+1σW，12Jk+1，k+1σW，12Jk+1，k+1σW，2Jk+1，k+1（B.3）式中，Jm，ndente表示1和σW的m×n矩阵，12=EfWt，1fWt，2. 我们的测试使用估计器∑Y=AWo^H，其中^H将（18）概括为^H=（n- （k）∨ k） （）-1nXt=（k∨k） +1（h′t-1,1，h′t-1,2）′（h′t-1,1，h′t-1,2). （B.4）C伪坑值的识别考虑了一种典型的高斯模型，其中损失由Lt=σt给出-1Zt，其中（Zt）是标准正态随机变量和波动率σt的IID序列-1英寸-1-可测量。σt的时间变化可能源于随机波动或投资组合随时间的变化。假设风险经理知道真实的潜在分布和波动性。在α=0.99时，风险经理的理想风险预测值为DVART=Φ-1（0.99）σt-1，其中Φ是标准正常cdf。我们没有观察到σt-1，但通过观察LtanddVaRt，我们可以得出ZtasZt=Φ的实现值-1（0.99）×Lt/dVaRt。（C.1）此外，PIT值可表示为asPt=bFt-1（Lt）=Φ（Lt/σt-1） =Φ（Zt）。（C.2）一般来说，我们不希望zt是高斯的，因此（C.2）不成立。然而，只要（Zt）是iid，Zt（如（C.1）所定义）和Pt之间仍然存在单调关系。我们发现，预测关系在定性上适用于所有银行报告的投资组合，但某些投资组合中的噪音比其他投资组合中的噪音大。这表明我们可以使用违反单调性的行为来识别虚假的PIT值，但识别阈值必须在不同的投资组合中有所不同。设H（z；θi）：R→ [0，1]是一系列具有参数θifor portfolio i的拟合函数，并用pi替换（C.2），t=H（Zi，t；θi）+εi，t（C.3），其中εi，皮重为白噪声残差。

由于H函数应该是递增的，所以很容易将H作为cdf，即使在我们的上下文中它没有统计解释。为方便起见，我们将H作为无限制（ui，σi）为θi的正常cdf。对于每个投资组合i，我们进行如下操作：1。用非线性最小二乘法拟合θiby，并构造残差εit=Pit- H（Zit；^θi）。（εit）在开放区间内有界(-1，1），因为H（Zit）不产生边界值。我们根据重新缩放的贝塔分布对εitas进行建模(-1，1），参数为（a=τi/2，b=τi/2）。该分布具有均值零和方差1/（τi+1），因此我们只需将τ拟合为回归残差的方差。设B（ε；^τi）为拟合β分布。当B（εit；^τi）<q/2或B（εit；^τi）>1时，我们将观察值视为伪值- q/2，其中q是公差参数。我们在步骤3中对排除虚假观察的样本重新估计τias。用更新的^τi重复步骤4。如果在任一轮估计中被剔除，则观察结果被视为虚假。在我们的基线程序中，我们将公差参数设置为q=10-5，其目的仅在于揭示Pit和pair（Lit、dVaRit）之间最严重的不一致。非典型情况涉及非常接近零的PIT值或与适度的P&L相关的PIT值，该P&L值小于dVaRit。设置q=0相当于关闭纯值的识别。该程序产生的估算PIT值为^PIT=H（Zit；^θi）。如第6.3节所述，我们使用插补值来填补条件覆盖率测试中形成回归方程时的虚假值。参考Acerbi，C.和B.Szekely，2014年，回测预期短缺，风险1-6。Amisano，G.和R。

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