具有熵风险价值的投资组合优化

正如Ahmadi Javid和Pichler（2017）所述，EVaR在更大的向量空间上定义良好，表示为, 与…相比, 它被称为双熵空间，定义为随机变量集 其中矩母函数 存在于某些. InAhmadi Javid和Pichler（2017），表示为, 结果表明是的双空间 关于评估得出的标准。本文还深入分析了与EVaR相关的范数和Banach空间，以及它们与Orlicz空间理论的联系。请注意，EVaR的自然域是一个凸锥，而不是向量空间。■EVaR是使用Chernoff不等式可以找到的VaR（andCVaR）的最紧上界。其对偶和Kusuoka表示基于相对熵，也称为KullbackLeibler散度，这揭示了为什么这种风险度量被称为熵VaR（见Ahmadi Javid（2012a，b），Delbaen（2018），Ahmadi Javid和Pichler（2017））。对于一大类量化风险，使用EVaR进行优化在计算上是可行的，但对于VaR和CVaR来说，这些风险是无法有效计算的（Ahmadi Javid，2012a）。此外，该风险度量具有以下定义的强单调性的重要性质，这不适用于其他流行的（相干或非相干）单调风险度量，如VaR或CVaR。

回顾一下，平均方差和平均标准差是在马科维茨（1952年）开创性工作之后流行的风险度量实例，但由于缺乏单调性，它们被许多研究人员忽视。风险度量 被称为强单调对于任意一对随机变量 和 在的域中 满足条件1）C2）C3） 或.事实上，这些条件意味着  结束  按风险衡量.  显然，强单调性是风险度量的理想属性。下一个定理证明了EVaR具有这个性质。定理1。（EVaR的强单调性）Let 和 是随机变量满足C1、C2和C3。然后对于任何.证据决定性的 , EVaR可以重写为.条件C1和C2暗示对于, 然后用于   .此外，通过C3, 或.因此. 证据到此为止。■备注2。（VaR和CVaR不是强单调的）虽然VaR和CVaR都是单调的，但它们都具有强单调性。为了说明这一点，让我们定义以下随机损失：,  哪里  是任意正数(  可以具有任何其他具有有限平均值的连续分布）。这些随机变量满足条件C1、C2和C3，因此严格控制  对于任何.  明显优于 对于任何, 和优先于对于任何.

然而，VaR和CVaR对于这些随机变量返回相同的值，即。， 对于任何小的或大的正数.   ■CVaR不具有强单调性的原因是，该风险度量仅考虑VaR以外的损失，对低于VaR的损失没有任何控制。然而，评估人员同时将损失合并为小于和大于VaR的损失。这就是为什么在相同的置信水平下，EVaR总是大于CVaR。备注3。（没有VaR有界风险度量是严格单调的）风险度量  对于任意随机变量，称为严格单调 和 在的域中 满足条件C1和C2，在陈述定理1之前，它认为（见Delbaen（2000）第4.2节）。此外，风险度量  如果对于所有人  在的域中.  最小的法律不变VaR有界一致风险度量是CVaR（见Delbaen（2002）第6节），其中如果仅取决于. EVaR也是一个不变的VaR有界风险度量。可以清楚地看到，不存在严格单调的VaR有界风险测度. 实际上，对于任何非恒定随机变量  和风险水平  具有,  每个VaR有界风险度量 变为等于, 因此，风险度量 失去对的严格单调性  和.  因此，CVaR和EVaR或任何其他VaR有界单音风险度量都不是严格单调的。■备注4。

（EVaR在宽子域上是严格单调的）可以证明，EVaR在概率小于. 这立即意味着EVaR在具有连续分布的随机变量集上是严格单调的，而VaR和CVaR则不是（参见Remark2中给出的示例）。■备注5。（适当的严格单调一致风险度量）可以很容易地构造严格单调的一致风险度量。例如，失真函数为严格正的谱风险度量，或单调风险度量与期望之和的风险度量（参见Shapiro等人（2014）中的第6.37和6.38条）。然而，此类风险度量存在两个主要问题。首先，由此产生的风险措施可能缺乏决策者的明确解释。其次，与CVaR或EVaR不同，它们可能不会用于大规模优化问题。现代风险度量理论中一个重要的开放性问题是定义一个在其域上具有可接受解释和严格单调性的一致风险度量，以便有效地应用于随机优化。EVaR是对这个开放性问题的部分回答，因为它在广泛的子域上是严格单调的，包括具有连续随机变量的随机变量（在其域上是强单调的）。■3、EVaRLet组合优化表示一个投资组合向量，表示某个可用预算（例如1）在以下各项中的投资分数：  金融工具。

允许  成为一名-具有已知概率分布的维实值随机向量，表示 指定投资组合回报所需的风险因素。随机向量 在基础概率空间上建模. 投资组合的损失（负回报）也是一个随机变量，表示为, 这取决于风险因素的向量 和投资组合向量.  假设不允许空头头寸，可通过解决以下优化问题来确定合理的投资组合：   （3-1）其中 是一种风险度量，表示投资组合的风险, 和是一个紧凑的集合，代表了特定的需求，例如拥有一个平均回报至少为,  即。，.  请注意，线性交易成本也可以添加到上述设置中，使用变量数和线性约束。因此，如果模型中还包括交易成本，则以下分析仍然正确。有一个明确的问题, 需要假设 是一个Borel可测函数，且（3-1）中的目标函数是有限的；随机变量始终位于风险度量所考虑的模型空间中.可以证明，如果风险度量为 是一致的 对所有人来说都是凸的, 哪里表示随机向量的支持度.定理2。允许 成为一致的风险衡量标准， 是凸集，并且 对所有人来说都是凸的.然后，问题（3-7）是一个凸优化问题。证据为了接受这个说法，目标函数的凸性 必须显示。

对于任何一对点和对于（3-1）的约束是可行的, 一个有           =  .第一个不等式来自风险度量的单调性 函数的凸性.第二个是风险度量的次可加性.  最后，通过风险度量的正同质性，最后一个等式成立. 这就完成了证明。■下面，为了简化我们的讨论，除非另有说明，否则假定可以用多项式大小的可微凸约束数表示，即：。，哪里  是可微凸函数，其中  随乐器数量多项式增长. 此外，在续集中，假设所有考虑中的函数的可微性类型相同。当需要时，将进一步指定此类型。在实践中，收集的（经验或综合）样本通常用于表示风险因素的联合概率分布.  我们表示来自随机向量的样本  通过 有可能 , 哪里 是样本大小。此设置在这里称为基于样本的设置，将在本文的其余部分中考虑。请注意，在大多数实际情况下，所有概率都设置为.3.1.

问题(3-1）对于基于样本的设置下的CVaR当ρ设置为CVaR时，在基于样本的设置下，问题（3-1）可以重写为以下不可微凸优化问题：        （3-2）获得可微公式的一种可能方法是引入辅助变量  如下所示：         （3-3）该程序的约束和变量数量取决于样本量. 这表明，即使功能  是可微的和凸的，对于大样本量，该公式不能有效求解。然而，对于具有CVaR的线性投资组合优化的特殊情况，已经开发了各种算法，下面简要讨论这些算法。对于线性情况,  哪里  现在是工具回报率的向量, 公式（3-3）如下所示：        （3-4）大样本量求解（3-4） 在实践中非常耗时。

更有效地解决上述问题的另一种方法是解决其对偶程序（Ogryczak和'Sliwiński，2011），由    （3-5）类似地，对于非常大的样本量，求解对偶（3-5）实际上是不可能的。因此，可以基于以下不可微公式使用非平滑优化算法：       （3-6）有关此类算法的更多详细信息，请参见Lim et al.（2010）及其参考文献。3.2.  问题(3-1）对于基于样本的设置下的EVaR，如果问题（3-1）中的风险度量ρ被EVaR替换，则在基于样本的设置下，得到以下优化问题：      （3-7）其中变量 在EVaR的定义中，替换为将由此产生的问题简化。下一个定理表明，如果负收益在决策变量中是凸的，则该问题是一个凸规划.定理3。如果功能  中的（可微）凸, 问题（3-7）是一个（可微）凸规划。证据证明目标函数是凸的就足够了。考虑以下功能：  这是一个凸函数. 此函数的透视图，由, jointlyconvex是否在.

因为是中的递增函数 以及功能  A凸函数，复合函数也是一个凸函数.  这就完成了证明是（3-7）的目标函数。可微性的证明很简单。■备注6。（基于EVaR的投资组合优化问题的可微性）应该注意，如果函数  是可微（凸）的，由此产生的问题（3-7）是一个可微（凸）规划，其变量和约束的数量与样本量无关. 然而，这不适用于CVaR情况，这可以从线性情况的（3-3）中看出，其中 变量和 添加约束以将不可微公式（3-2）转换为可微程序。它是EVaR的一个重要特征，因为最强大和最稳定的凸优化算法是为可微凸规划开发的算法。■解算法定理2表明，当  是所有样本的可微凸函数. 这意味着可以使用现有的可微凸优化方法来解决这个问题。可微凸优化问题除了具有丰富的理论优势外，还可以用内点方法非常可靠、高效地求解。原始对偶方法是解决可微凸优化问题最有效的内点方法之一（Boyd和Vandenberghe，2004）。本节展示了如何成功地使用原始-对偶方法来解决问题的非常大的情况（3-7）。

要应用原始对偶方法，函数   和 必须是连续二次可微凸函数，且 必须包括内部点。若某些函数  和 只有一次可微。此外，由于基于EVaR的投资组合优化问题是可微且凸的，只需增加一个变量,  前提是功能   和  由于是可微的和凸的，可以很容易地使用现有的通用优化包（例如，使用许多非线性优化解算器（如CONOPT）的GAMST）来有效地解决中等规模的问题实例，而不是编写专门的算法。然而，为了在大范围内实现更高的计算效率，通常使用专用算法，因为文献表明，基于CVaR的线性投资组合优化的大型实例可以使用专用算法有效地解决。需要注意的是，我们的目标并不是设计最好的算法来解决我们的问题，因为本文首次为这个问题提供了一个专门的算法。我们的主要目的是表明，尽管所得到的模型具有非线性，但使用可微优化方法，带EVaR的投资组合优化可以有效地大规模应用，其中计算效率与通用优化求解器和带VAR的投资组合优化进行了比较。