具有熵风险价值的投资组合优化

可以进行未来的研究，以基于其他现有方法或在返回函数和约束的结构属性的不同假设下开发更有效的算法（正如许多论文对CVaR所做的那样，请参阅简介以获得简短的评论）。第4.1节简要介绍了原始-对偶方法，第4.2节说明了如何使用该方法设计一种算法，用于使用EVaR进行投资组合优化。4.1. 原始-对偶内点法凸优化问题的理论优势之一是，对于相关的对偶问题，在温和的条件下（例如，Slater约束条件），对偶间隙为零，这意味着原始问题和对偶问题具有相同的最优值。这导致了高效的原始-对偶内点方法，该方法可以迭代地同时更新原始和对偶变量。在本小节中，我们简要描述了一种标准的原始-对偶内点方法（有关更多详细信息，请参阅Boyd和Vandenberghe（2004））。考虑以下凸优化问题的标准形式：   （4-1）其中  凸且连续二次可微，且具有. 假设和分别是与上述问题的不等式和等式约束相关的对偶变量，并定义. 为了解决这个问题，标准的原始-对偶内点方法产生了一个最小化序列,  哪里 具有搜索方向和步长. 针对算法的典型迭代，我们使用了较轻的符号     代替上述各项。4.1.1.

原始-对偶搜索方向考虑修正的KKT条件, 哪里定义为     ,（4-2）带. 在这里及其导数矩阵 由给出 （4-3）如果, ,  满足, 然后 基本可行，以及,  双重可行，具有双重间隙.的第一个块组件,    , 称为双重残差，最后一个块组件，  ,  被称为原始残差和中间块，, 称为中心残差。原始-对偶内点法中的搜索方向，表示为, 定义为系统的解决方案    （4-4）由牛顿法获得，该方法适用于修正的KKT方程, 具有定义见（4-2）。4.1.2. 代理对偶与标准的原始对偶内点方法不同，因为迭代,  ,  和没有必要是可行的，我们不能轻易地评估二元性差距与步骤关联.  相反，对于任何 满足 和, 定义为（4-5）替代间隙 是二元性差距，如果 原始可行且,  具有双重可行性；或者，等价地，原始残差和对偶残差等于零。4.1.3. 原始-对偶内点算法本小节现在描述了基于上述标准原始-对偶方法的原始-对偶内点算法，称为PD算法。

这种类型的更复杂算法在选择策略上与PD算法不同 （这对于具有超线性渐近收敛性至关重要）和线搜索。我们参考Forsgren等人（2002）的调查，了解不同变化的详细信息和参考资料。对于一组复杂的约束，该算法需要一个合适的起点。第4.1.3.2节讨论了这一点的计算。PD算法：输入 满足,…, , , 任何, , , 和ε.1、重复1。决定: 设置.2、计算原对偶搜索方向从（4-4）。3、行搜索和更新：确定步长 和设置    .直到,, 和.2.返回, , 和.在步骤1中，参数 设置为因子 时代, 这是 与currentsurrogate对偶间隙关联. 算法在以下情况下终止 原始可行且,  是否双重可行（公差范围内),  代理对偶间隙小于公差.  以下两小节提供了实现PD算法所需的详细信息。4.1.3.1. 线搜索PD算法的线搜索是一种标准的回溯线搜索，基于残差的范数，并进行修改以确保 和. 允许, , 和 表示当前迭代和, , 和表示下一次迭代，即。，  ,       ,       .首先计算最大的正步长，不超过1，即, i、 e。，  回溯过程始于,  和乘法  通过直到.

它继续成倍增长 通过 直到  .回溯参数  和  通常在0.01至0.1范围内选择  到,分别地可以证明，原对偶方法的线搜索总是以有限步结束。4.1.3.2. 如上所述，PD算法需要一个严格原始可行的起点，因为寻找严格原始可行的起点并不简单。当此类点未知时，将执行称为第一阶段的初步阶段，以便算法计算该点（如果有）。计算出的点用作PD算法的起点，称为第二阶段。对于第一阶段，一种非常常见的方法是形成问题                                                               （4-6）其中 是一个新的标量变量。假设一个点 具有 如果给定，这个问题总是严格可行的. 因此，可以应用PD算法来解决上述问题，并找到一个最优解和.  如果, 然后是原问题（4-1）的严格可行解。如果很容易找到初始解决方案，则可以跳过此阶段。4.2. 基于评估的投资组合优化拟议算法针对我们优化问题的特殊结构，本小节展示了PD算法是如何高效实现的。为了简化算法的演示，在不损失任何通用性的情况下，我们考虑一个线性投资组合,这是投资组合优化文献中最流行的模型。

考虑到基于CVaR的投资组合优化的最新高效算法仅针对线性投资组合开发和测试，本规范使读者能够对基于EVaR和基于CVaR的投资组合优化算法的设计进行前瞻性的比较。在上述设置下，使用EVaR的投资组合优化如下所示：        （4-7）在续集中，我们给出了解决该问题的算法EVaR PD的详细信息。该算法基于第4.1节中解释的原始-对偶方法进行设计。让我们定义, 和,  ,哪里 是中的向量. 然后，问题（3-7）可以紧凑地重写为       （4-8）因为  仅出现在目标函数中，不受约束，与此问题相关的可行性问题不涉及变量可由以下公式得出     （4-9）因此，对于.  请注意，对于,  不需要解决与此问题相关的可行性问题，因为可行的解决方案很容易确定。现在，我们可以介绍用于解决该问题的EVaR PD算法的步骤(4-8），或等效的（4-7）。EVaR-PD算法：1。输入, , , 和2.

选择, , , , , 和. 设置1., 和.3.（第一阶段）选择  和 因此. 允许具有,和更新 通过应用PD算法来解决问题（4-9）。放 . 对于, 跳过解决问题（4-9）并设置.4.（二期）出租和更新 通过应用PD算法来解决问题（4-8），使用（4-10）中给出的方程式。放 .5、输出.在步骤4中使用EVaR PD算法的主要计算难点之一是形成目标函数和约束函数的梯度和Hessian，以计算搜索方向。幸运的是，对于我们的问题(4-8），这些量可以通过简单的闭式表达式给出。对于, 这些数量如下：     ( 4-10)    哪里 ,   ,   .符号  表示组件方面的产品，以及和表示向量的所有入口之和 和对角线矩阵，其条目为 分别位于其对角线上。矢量和表示组件的指数和对数,  i、 e。，和,分别地

每个向量, 表示-其中元素为1，其他元素为0。要查看通过添加一些新约束来改变上述计算，请考虑以下情况在本例中，约束哪里是用户为预期的portfolioreturn设置的最小值。然后, , 和如（4-10）中所述，仅需进行以下细微修改：   .原始-对偶方法的高效性以及梯度和Hessians的易于计算使得EVaR-PD算法对于大规模基于EVaR的投资组合优化非常有效。下一节将评估EVaR-PD算法的计算效率。数值研究在本节中，我们评估了（4-7）中提出的用于基于EVaR的portfoliooptimization的EVaR PD算法的效率。由于本文首次为我们的问题引入了一种专门的算法，因此EVaR-PD算法的计算性能无法与替代的专门算法相比，只能通过现有的凸优化软件包进行比较。我们的数值研究表明，EVaR-PD算法明显优于此类通用解算器。为了进行这一比较，问题（4-7）是使用GAMS 24.1.2 API平台实现的，并使用三个非线性规划解算器（CONOPT、IPOPT和PATHNLP）解决的。为了简洁起见，这里不报告所有结果，但请考虑表1中给出的最小实例大小。a有50个仪器和50000个样品。

使用CONOPT、IPOPT和PATHNLP解算器求解10个具有此大小的实例的平均运行时间分别为381、199和221秒；而EVaR-PD算法所需的时间仅为11秒。这表明，对于这种实例大小，我们的算法比现有解算器至少快19倍。对于较大的尺寸，这种优势会增加。为了对EVaR-PD算法进行更严格的评估，可以将其性能与为基于CVaR的投资组合优化开发的高效专用算法进行比较。事实上，基于EVaRbased和CVaR的投资组合优化方法都试图从不同的角度解决相同的财务决策问题，两者都采用相同的输入数据并返回一个投资组合（虽然它们解决不同的数学问题以找到一个投资组合）。因此，可以比较它们的计算效率，这是投资公司在实践中使用它们的一个重要因素。我们的数值分析表明，基于EVaR的投资组合优化可以像基于CVaR的投资组合优化一样在大范围内快速进行。此外，随着样本量的增加，EVaR-basedapproach的性能显著提高，因为其配方大小与样本量无关。对于具有CVaR的线性投资组合优化，最近的研究表明，LP方法（公式3-4）随着样本量的增加而变得低效。因此，Lim等人（2010）、andOgryczak和'Sliwiński（2011）分别基于不同的公式（3-5）和（3-6）开发了两种高效算法。他们的结果表明，这些算法非常有效，在大范围内比LP方法具有显著的计算优势。

因此，下面将这两种算法与EVaR PD算法进行比较。如引言所述，还有许多其他论文提出了解决基于CVaR的投资组合优化问题的算法。然而，根据这些论文中报告的数值结果，这些算法似乎不能显著提高Lim et al.（2010）和Ogryczak and'Sliwinski（2011）提出的算法的计算效率。所有算法均用C++编写，CPLEX 9.0 C++Concert技术用于求解线性程序。所有运行都是在个人笔记本电脑上实现的，该笔记本电脑采用Intel Core i5 2.53 GHz处理器，Windows 7具有4 GB RAM。为了进行公平的比较，使用了Lim等人（2010）开发的算法的原始代码，这是本文作者慷慨分享的。因为对于每个尺寸的测试问题都是随机生成的，所以实验重复了10次，然后报告了平均运行时间。所有时间均以秒为单位报告。5.1。算法设置EVaR PD算法中的一个重要设置是参数的选择. 从我们的实验来看  发现对于所有实例大小都能很好地工作（算法的性能与大小相关的值为  在某些情况下可能会逐渐改善，但不会显著改善）。公差参数和 在原始-对偶内点算法中，通常选择非常小的内点，因为该算法的收敛速度通常比线性算法快。这些参数的值设置为对于我们的算法。参数选择时，代理对偶间隙将等于1设置为单位向量设置为 根据我们的实验，我们发现它是合适的。5.2.

测试问题集EVaR PD算法在基于Lim et al.（2010）生成的测试问题上得到了公平的测试。请注意，Ogryczak和'Sliwinski（2011）中使用的测试问题也取自Lim等人（2010）的论文。在下面，我们将描述我们的测试问题。Lim et al.（2010）使用的所有随机测试实例均由多元正态分布生成。考虑到厚尾分布在金融建模中很有意义，除了正态分布外，我们还考虑了自由度（d.f.）t分布产生的收益, 这是一个厚尾分布。值得注意的是，具有t分布的每个实例都是从正态分布生成的相应实例中获得的。为了创建协方差矩阵，Lim等人（2010）生成了一个对称矩阵，其非对角元素从区间中均匀采样, 然后设置对角元素，使矩阵对角占优，从而使生成的协方差矩阵具有特殊的结构。因此，我们使用Lim et al.（2010）使用的程序生成了五个实例的协方差矩阵，并通过将均匀生成的随机矩阵乘以转置生成了其他五个实例的协方差矩阵，转置可以生成任意正定矩阵。在下文中，与这两种协方差结构相关的情况分别通过“Cov1”和“Cov2”进行区分。当同时报告十个实例的结果时，使用符号“Cov”。我们生成了三组随机问题实例。第一组用于研究在样本量固定的情况下，随着仪器数量的增加，运行时的趋势。