具有熵风险价值的投资组合优化

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英文标题：
《Portfolio Optimization with Entropic Value-at-Risk》
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作者：
Amir Ahmadi-Javid and Malihe Fallah-Tafti
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The entropic value-at-risk (EVaR) is a new coherent risk measure, which is an upper bound for both the value-at-risk (VaR) and conditional value-at-risk (CVaR). As important properties, the EVaR is strongly monotone over its domain and strictly monotone over a broad sub-domain including all continuous distributions, while well-known monotone risk measures, such as VaR and CVaR lack these properties. A key feature for a risk measure, besides its financial properties, is its applicability in large-scale sample-based portfolio optimization. If the negative return of an investment portfolio is a differentiable convex function, the portfolio optimization with the EVaR results in a differentiable convex program whose number of variables and constraints is independent of the sample size, which is not the case for the VaR and CVaR. This enables us to design an efficient algorithm using differentiable convex optimization. Our extensive numerical study shows the high efficiency of the algorithm in large scales, compared to the existing convex optimization software packages. The computational efficiency of the EVaR portfolio optimization approach is also compared with that of CVaR-based portfolio optimization. This comparison shows that the EVaR approach generally performs similarly, and it outperforms as the sample size increases. Moreover, the comparison of the portfolios obtained for a real case by the EVaR and CVaR approaches shows that the EVaR approach can find portfolios with better expectations and VaR values at high confidence levels.
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中文摘要：
熵风险值（EVaR）是一种新的一致性风险度量，它是风险值（VaR）和条件风险值（CVaR）的上界。作为重要的性质，EVaR在其域上是强单调的，在包括所有连续分布的广泛子域上是严格单调的，而著名的单调风险度量，如VaR和CVaR缺乏这些性质。除了金融属性外，风险度量的一个关键特征是其在大规模基于样本的投资组合优化中的适用性。如果投资组合的负收益是一个可微凸函数，那么使用EVaR的投资组合优化会产生一个可微凸规划，其变量和约束的数量与样本量无关，而VaR和CVaR则不是这种情况。这使我们能够使用可微凸优化设计一个有效的算法。我们广泛的数值研究表明，与现有的凸优化软件包相比，该算法在大范围内具有较高的效率。还比较了EVaR投资组合优化方法与基于CVaR的投资组合优化方法的计算效率。这一比较表明，EVaR方法通常表现类似，并且随着样本量的增加，其表现会更好。此外，对EVaR和CVaR方法在实际案例中获得的投资组合进行比较表明，EVaR方法可以在高置信水平下找到具有更好期望和VaR值的投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-1 06:18:00 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 风险价值 Optimization Quantitative

伊朗德黑兰阿米尔卡比尔理工大学工业工程系RiskAmir Ahmadi Javidand Malihe Fallah Taftir的熵值投资组合优化。熵风险值（EVaR）是一种新的一致性风险度量，它是风险值（VaR）和条件风险值（CVaR）的上界。作为重要的性质，EVaR在其域上是强单调的，在包括所有连续分布的广泛子域上是严格单调的，而著名的单调风险度量，如VaR和CVaR缺乏这些性质。除了财务特性外，风险度量的一个关键特性是它在大规模基于样本的投资组合优化中的适用性。如果投资组合的负收益是一个可微凸函数，则带有EVaR的投资组合优化会产生一个可微凸规划，其变量和约束的数量与样本量无关，而VaR和CVaR则不是这种情况。这使我们能够利用可微凸优化设计一个有效的算法。我们广泛的数值研究表明，与现有的凸优化软件包相比，该算法在大范围内具有较高的效率。EVaR投资组合优化方法的计算效率也与基于CVaR的投资组合优化方法的计算效率进行了比较。这种比较表明，EVaR方法的性能通常相似，并且随着样本量的增加，它的性能会更好。

此外，对EVaR和CVaR方法获得的真实案例的投资组合进行比较表明，EVaR方法可以在高置信水平下找到具有更好期望和VaR值的投资组合。关键词：风险分析；投资组合优化；一致的风险措施；随机规划；大规模凸优化1。简介投资组合优化涉及形成总回报最大或总损失最小的投资组合（有关实际投资组合优化的全面综述，请参见Kolm et al.（2014））。投资组合优化有不同的方法，例如多目标优化（Masmoudi&Abdelaziz，2017），考虑随机优势约束（见Bruni et al.（2017））的审查，解释模糊性（K"allblad，2017；Zhang et al.，2017），针对不确定性的鲁棒性（Zymler et al.，2013；Wozabal，2014；Doan et al.，2015），并纳入投资者的主观观点（Silva et al.，2017）或社会责任投资标准（Gasser et al.，2017）。投资组合优化的一种流行方法是在随机优化中广泛使用的方法（例如，见Ruszczynski和Shapiro（2006），Krokhmala等人（2011），以及Mastrogiacomo和Rosazza Gianin（2015）），其中代表投资组合风险的单一目标函数在一组反映投资者政策的确定性约束下进行优化；这种方法可以扩展到多目标对应作者的电子邮件地址：ahmadi_javid@aut.ac.ircase当不同的随机目标使用风险度量标准化时，参见Gutjahr和Pichler（2016）。在这种方法中，风险分析概念应与优化工具相结合，以获得最佳投资组合。

使用这种方法进行投资组合优化的一个关键因素是选择一个风险度量来量化投资组合的风险。风险度量是一个实值函数，用于量化arandom结果中涉及的风险程度。有几篇论文规定了适当风险度量的一般性质。Artzner等人（1999年）给出了这些属性中最重要的一组，他们公理化地定义了相干风险度量家族，该家族具有四个基本属性：平移不变性、单调性、次加性和正同质性。不幸的是，2000年之前文献中介绍的几乎所有流行的风险度量都缺乏一致性所需的一些行为特征。例如，受Markowitz（1952）启发，经典的均值-方差（或均值-标准差）风险度量没有单调性，这使得它在经济上没有意义。这种风险度量的另一个缺点是，它对称地惩罚损益，而风险是一种不对称现象。由于这个原因，这种风险度量的流行程度下降了，研究人员对基于分位数的度量，如风险价值（VaR）表现出越来越大的兴趣。虽然VaR非常流行，已被纳入行业法规，但它不一致，缺乏次加性。这一缺陷既与广为接受的多元化原则（多元化降低风险）不一致，也导致涉及此风险度量的优化问题在计算上难以解决。在数值上使用VaR是不稳定的，涉及VaR的优化模型在高维中是难以处理的（例如，参见Sarykalin et al。

(2008)).为了克服这些问题，最近关于投资组合优化的文献集中于一致的风险度量。现在有几种已知的一致风险度量，如谱风险度量，但它们不能用于大规模投资组合优化，因为它们产生的优化问题在计算上不可处理。此外，这些风险措施似乎对决策者没有明确的解释。条件风险价值（CVaR）是一种众所周知的一致性风险度量（Rockafellar&Uryasev，2002；Rockafellar，2007）。幸运的是，使用CVaR的线性投资组合优化可以在合理的时间内处理。由于对各种基于CVaR的线性组合优化问题进行了简单线性规划（LP）重新表述，并具有相干性等合适的特性，CVaR迅速普及（参见Mansini et al.（2014））。尽管如此，LP重新公式产生的CVaR优化问题的大小在很大程度上取决于样本大小，其中选择大样本大小导致LP模型具有大量变量和约束，这在计算上很昂贵。Ogryczakand'Sliwiński（2011）表明，当将单纯形法应用于CVaR优化问题LP公式的对偶时，其计算效率可以显著提高，但随着样本大小的增加，该求解过程同样变得非常耗时。为了克服这一困难，最近探索了一些替代的解决方法，使用非光滑优化技术来解决原始的不可微CVaR模型，而不是LP重新公式。Limet等人。

（2010）使用不可微优化技术有效解决大规模CVaR问题实例。数值结果表明，使用非光滑优化方法为基于样本的大样本CVaR模型提供了一种有利的计算方法。还有许多其他研究CVaR投资组合优化问题的论文，这里没有详细介绍（例如Beliakov和Bagirov（2006），Alexander et al.（2006），Tong et al.（2010），Künzi Bay和Mayer（2006），Iyengar和Ma（2013），Espinoza和Moreno（2014），和Takano等人（2015年）），因为他们提出的方法的计算效率无法显著提高Lim等人（2010年）和Ogryczak and'Sliwinski（2011年）所实现的大规模计算效率。该约束条件仅基于这些论文解决和报告的实例的大小，如果进行公平的比较数值研究，可以仔细调整，这仍然是线性投资组合优化CVaR方法的未来研究领域。熵风险值（EVaR）是最近在AhmadiJavid（2011，2012a）中引入的一种连贯的风险度量。除了相干性之外，EVaR还有其他一些合适的性质。例如，与其他众所周知的单调风险度量（如VaR和CVaR）相反，EVaR是强且严格单调的（见第2节）。Ahmadi Javid（2012c）和Breuer and Csiszár（2013，2016）研究了EVaR的扩展，以及与Ahmadi Javid（2011，2012a）的EVaR一起引入的g熵风险度量。Pichler（2017）和Delbaen（2018）研究了EVaR的新特征。Ahmadi Javid和Pichler（2017）研究了EVaR诱导的范数和Banach空间。

EVaRis应用于不同领域，如机器学习（Ahmadi Javid，2012d）、基于学习的自主系统（Axelrod et al.，2016）、近似统计模型（Watson&Holmes，2016）和分布式实时优化（Postek et al.，2016）。当使用基于模型的方法来表示输入数据时，使用EVaR的投资组合优化可以有效地对具有已知分布特性的广泛回报率进行优化；例如，当回报率遵循任意独立分布时，或当回报率遵循Sharp（1963）提出的广义线性多因素模型时。请注意，VaR或CVaR无法处理这些情况（有关更多详细信息，请参阅Ahmad Javid（2012a）第4节）。当使用历史或蒙特卡罗模拟方法来表示输入数据时，在投资组合优化中，希望包含尽可能多的样本，以便问题可靠地反映潜在的回报分布。本文首次研究了基于样本的大规模EVaR投资组合优化的计算效率。幸运的是，与CVaR情况不同，当投资组合收益率为线性或可微凸时，EVaR问题可以表述为一个可微凸优化问题，其中变量和约束的总数与样本量无关。因此，使用为可微凸规划开发的各种方法，可以非常可靠和高效地解决由此产生的优化问题。

除了EVaR具有相干性和更令人满意的单调性等吸引人的特性外，我们的主要目标是证明使用这种风险度量的基于样本的投资组合优化是可行的，并且可以非常有效地完成。本文的其余部分组织如下：第2节回顾了风险度量和评估的初步内容。第3节介绍了具有给定风险度量的基于样本的投资组合优化模型，详细介绍了CVaR和EVaR。第四节提出了一种原始-对偶内点算法来解决基于样本的投资组合优化问题。第5节报告了一项综合计算研究，以评估所提出算法的效率。本节还比较了基于样本的投资组合优化与CVaR和EVaR所需的计算时间。最后，第6节以结论结束本文。风险度量和EVaRA的属性风险度量是一个函数 将实值赋给随机变量 以量化其风险程度。要精确定义风险度量的概念，请考虑概率空间哪里 是所有简单事件的集合， 是一个-的子集代数, 和 上是否有概率度量. 还有，让bethe所有Borel可测函数集（随机变量）, 和是模型空间，它是一个包含所有实数（常数函数）的子空间。然后，风险度量定义为,哪里   是扩展实线。文献介绍了适用风险度量的几个属性。

以下可能是风险度量的最重要属性:（P1）平移不变性：   对于任何 和（P2）次可加性：  对于所有人（P3）单调性：如果 和, 然后（P4）阳性同质性：对于所有人 和.如果风险度量满足属性P1–P4，则称为一致性（Artzner等人，1999）。我们对连贯风险度量的定义取自运筹学文献（Ruszczynski和Shapiro，2006），其中 被视为损失或成本。然而，在金融文献中， 通常代表收益或利润，因此是一种风险度量  如果函数  满足上述四个属性。现在，我们给出了研究人员使用的一些最流行的风险度量的定义。对于, 允许是所有随机变量的集合 为此, 允许表示所有有界随机变量的集合，并让代表所有随机变量的集合 whosemoment生成函数  对所有人来说都是有限的.  请注意  对于所有人. 期望和最坏情况风险度量是由  哪里表示的基本上确界.  不幸的是，数十年来文献中使用的大多数著名风险度量方法并不一致。例如，平均标准偏差风险度量   通常并不单调。

次可加性属性不适用于风险值（VaR），其中VaR具有置信水平   （或处于风险水平) 由给出    .条件风险价值（CVaR，也称为平均风险价值或预期缺口）是近年来流行的一种重要的一致性风险度量。实际上，它是大于VaR的最小法律不变一致风险度量（见下面的备注3）。具有置信水平的CVaR   （或处于风险水平) 定义如下：  哪里. 该度量可以用VaR表示，如下所示：.这大致意味着是最差的平均值  的值.  有关风险管理和优化中VaR和CVaR之间的详细比较，请参见Sarykalin et al.（2008）。熵风险值（EVaR）是最近由Ahmadi Javid（2011，2012a）引入和研究的一种新的一致性风险度量。置信水平评估   （或处于风险水平) 定义为 .（2-1）为了进行比较，正态分布的VaR、CVaR和EVaR， 具体如下：   哪里  和是密度函数和上限-分别为标准正态分布的百分位数。我们看到，在正态性假设下，所有这些风险度量都可以用均值和方差来表示，它们实际上相当于.备注1。