为实现货币和金融的普遍经济动力而采取的初步步骤

设Nw、λw、θw和P分别为可用劳动力（以工人数量为单位）、就业率（以就业劳动力的分数为单位）、工人生产率（以每名工人每单位时间的单位为单位）和价格（以货币单位为单位）。雇佣工人的数量为Nwλw。企业的产量由y=λwθwNwP给出（1）假设劳动力、劳动力和价格的生产率以给定的速度呈指数增长，因此θw=eαt，Nw=eβt，P=eγt，（2）其中α、β、γ为常数。因此，除了预先规定的指数增长外，生产动态由就业λw确定。在古德温模型中，图1中两个主要回路的货币流量是守恒的。在给定的时间t，流入每个节点的净流量为零（基尔霍夫定律）：劳动力：W- C=0（3）F IRM：C+I+B- W- R- B=0（4）大写：R- I=0（5）==> W=C，R=I（6）因此，工人消费他们的收入，资本所有者投资他们的收入。生产Y或从企业到劳动力和资本的总流出量为Y=W+R。因此，工资W或工人的生产份额，租金R或所有者的生产份额，由W=swY=swθWλwNwP（7）R=（1- sw）Y=（1- sw）θwλwNwP（8）。产量变化率由投资决定，即产量与累计投资成比例（卡塞尔-哈罗德-多马定律与萨伊定律相结合，以便企业对其所有利润进行再投资而不储蓄）：Y=χK=χZt-∞dt（1- sw（t））Y（t）e-φ（t-t） （9）按额外的预先规定指数折旧，产量变化率为ydt=χ（1- sw（t））Y（t）- φY（t）（10）第二个动态变量是工人的生产份额，sw。使用ydydt=（α+β+γ+λwdλwdt）（11）我们可以写出λwdλwdt=χ（1- sw（t））- α - β -γ - φ（12）Goodwin模型描述了swandλw的动力学。

该模型使用菲利普斯曲线将工资波动与失业联系起来。由此产生的耦合微分方程在形式上与生物学中的Lotka-Volterra方程相同，为DSWDT=-（a）- bλw）sw（13）dλwdt=（c- dsw）λw（14），其中a、b、c、d为常数。这些方程的动力学可以解析求解，并包含在动力学变量空间中循环的振荡行为。代表性模拟如图2所示。我们对解决方案进行了缩放，使λwis的最大值为0.975（对应于2.5%的失业率，这是美国历史上的最小值）。虽然可以获得特定参数值的确定性动态解，但这些解通常对变化高度敏感。Lotka-Volterra模型的解对初始条件非常敏感，小扰动使系统从一个周期轨道变为一个非常不同的周期轨道。受噪声、参数变化或描述动力学行为的机制修改（即方程本身）影响的真实世界系统的动力学行为只能在有限的时间段内通过解来描述。解决方案有效的时间取决于噪声水平和其他变化，并可通过灵敏度参数来表征。Lotka-Volterra方程也不是通用的。区域世界系统的动力学方程在微分方程中应该有额外的项，动力学解对这些项存在的敏感性意味着它们将在确定系统动力学方面发挥重要作用。因此，它不是真实世界系统动态描述的鲁棒性起点。四、

通用方程古德温模型中的假设能够描述经济系统与双环模型数学处理的关系。然而，这些假设也限制了我们的信心，即它们提供了对经济系统的正确描述，因为可能存在各种影响，这些影响会改变这些方程的规格。考虑到Goodwin模型解决方案对参数、初始条件、扰动和模型假设变化的敏感性，这一问题尤其严重。因此，我们要考虑得到的方程，而不是导致它们的假设，并考虑主要由两个变量（这些回路中的流量）表征的双回路系统的特性。复杂系统多尺度信息分析的一个关键观点是，识别相关参数是比描述其行为的特定机制或（视情况而定）随机动力学方程更重要的第一步。通过这样的识别，我们可以确定包含任何真实系统的一般（普遍）动力学行为，描述不同的行为模式，确定什么是变化的专业杠杆，并使用有限的经验数据来确定特定系统在特定时间发生的特定动力学。然后，可以根据经验得出结果模型的具体参数值，而不是代表更具体、潜在限制性假设的参数。因此，我们主要通过两个变量（x，y）的通用方程构建经济分析框架，其中x是消费或工资，y是投资或回报，通过两个主要循环流动。变量也可以被视为流量的对数：x=ln（C），y=ln（I）。

此时，我们将分析限制在一个线性方程中，该方程考虑了一阶系统变量变化的影响。为什么只描述一阶动力系统会有帮助？对于一个非常大的现实世界系统，系统变量在相关时间间隔（这里是每月或早期）内的变化很小，这里只有几个百分点。年复一年的微小而平稳的变化表明，扩张是一个有用的近似值。此外，在任何复杂的系统中，展开式中缺少线性项都是令人惊讶的。一个参数的零值会在一个特定的时间巧合地发生，在一个参数值的改变过程中，系统行为会从一个状态改变到另一个状态，即该参数的正值转变为负值。这发生在材料的相变中，可以视为系统行为状态的转变。因此，一阶展开是系统最稳健的描述。高阶项的作用时间较长，可以作为补充项进行研究。我们的假设仅限于：（a）存在两个主要的几乎断开的回路；以及（b）动力学的平滑性，以便展开有效到一阶。接下来，我们将增加一个假设来分析经济政策干预的作用：（c）经济增长。根据前两个假设，一阶方程的一般形式可以写成：dtx=a+bx+cydty=d+ex+fy（15），根据该方程a和d描述工资和投资的增长率，与工资和投资本身的现值无关。因子C表示x和y的增加在多大程度上有助于x的阳性变化率，而因子E和F表示x和y的增加在多大程度上有助于y的增加率。

x的增加可能会导致x的增加，也可能导致x的减少，这取决于b的符号。鉴于这种依赖性的组合，经济活动可能会趋同到一个固定点、发散或振荡。这种振荡可能被认为是Goodwinmodel振荡的线性版本，尽管噪声和其他变化的影响是不同的。捕捉是否存在指数增长或振荡行为，更重要的是，系统行为是否随时间发生变化，是经济系统特征化的重要方面。我们暂时会相应地限制我们的目标。我们也可以编写相同的系统，如dt▄x=b▄x+c▄y，dt▄y=e▄x+f▄y，（16），其中▄x=x-x、 y=y-y、 和x，是稳定或不稳定的固定点。离散时间方程版本更符合经济活动月度或年度测量的可用数据：~x（t+δt）- x（t）=b▄x+c▄y，▄y（t+δt）- y（t）=e▄x+f▄y，（17）带b≈ bδt和类似物。这也表明，扩展是随时间变化的差异和相对于动力学稳定点的差异的一阶，只有当这些偏差变得足够大时，才需要更高阶的项。对于指数增长，与平衡值的偏差最终会变大，但展开式仍然是一个有用的近似值，具有可调的指数增长率。受非线性影响的大振荡的形状对我们的目标来说并没有它们的存在那么重要，即使这些形状很有趣，并且最终对详细分析很重要。因此，该展开式适用于在相关时间范围内具有平滑动力学行为的系统，即。

对于与扰动相比较大的系统，通常为数月或数年。为了进行分析，可以通过重新缩放将六个原始参数减少为两个。为方便起见，使用微分表示法，设置▄x=（c/b）x，▄y=y，t=t/b，e=ec/b，f=f/b，给定dˇtˇx=x+y，dˇtˇy=eˇx+fˇy，（18），使解空间是二维的。然而，为了适应真实世界的行为，可以使用所有六个参数。线性方程组的解可以直接写出，除了系数矩阵的简并度重合（在真实系统中没有对称性是不可能的）所产生的一个较小的复杂性之外，解可以写成：{x，~y}=sveλ（t-t） +sveλ（t-t） （19）式中λ=（b+f）- Q） /2λ=（b+f+Q）/2v={（b）- f- Q） /2，e}v={（b- f+Q）/2，e}Q=pb+4ce- 2bf+fs=（￠x（t），~y（t））·v/| v | s=（￠x（t），~y（t））·v/| v | |（20）当Q为虚数时，给出振荡状态。特征值和IGE变换器以及sand都是复共轭对。这必须是真的，因为系数矩阵是真的。特征值的实部仍然提供了振荡区域的总体等指数增长或下降。纯收敛或收敛的情况由Q实和λ和λ中的较大者大于或小于零给出。通过将经济波动正常化，可以方便地显示动态，从而省去一次指数增长。然后，经济活动的分数在指数状态下由z=x/（x+y）（21）给出，如果一个指数支配另一个指数，那么我们有z≈ z+z-λ（t-t） λ=λ- λ=Q（22）在振荡区，我们恢复了一个振荡：z≈ z+zsin（k（t- t） +φ）（23），k=iQ/2。五、 DATANational accounting报告生产情况，以全面衡量GDP【67】。

我们希望将国民收入和产品账户（NIPA）表中的交易流量在劳动力和资本流量之间分开，如图1所示。家庭可以同时参与劳动和资本活动，因此资本和劳动的分离不一定是绝对的。相反，为了保持我们的分析，两个循环之间只有有限的净转移。例如，资本资产的回报没有实质性地用于商品消费，只有一小部分工资用于投资。这是一个适当的假设，如twoloop模型的近似闭包所示。人们可能怀疑，住房部门发挥着特殊作用，因为房主往往是劳动力的参与者。然而，住房投资的回报通常用于资本资产的再投资，而购房通常不是直接从工资中获得，这是很有效的。我们使用表1和附录B中详述的个人、企业和ZF收入和支出表对1960年至2015年NIPA表中的交易流量进行了分类。投资流量（企业资本）包括固定投资和资本借贷成本（个人和企业支付的货币利息），这些成本计入企业利息收入，尤其是银行。

资本回报（企业对资本的回报）包括任何形式的未分配和已分配利润，包括企业支付的所有利润（收入减去工资和ZF税收）都被视为企业所有者赚取的利息。消费流（企业劳动力）包括个人消费支出（PCE），修正后不包括对GDP的非货币贡献，如生产但未售出的商品、未付款提供的金融服务和业主自用住房租金。NIPA表格中对GDP的这些贡献并非来自货币消费流，而是来自构建表格的经济分析局（BEA）对其他生产贡献的重新分类。外国雇主支付给美国居民的工资包含在NIPA表格中的员工薪酬中。为保持一致性，我们将海外美国居民的消费包括在内，不包括在美国的外国消费。我们还减去了NIPA对为家庭服务的非营利机构的最终消费支出的估值，该值解释了定价过低的服务的价值。这些调整与BEA自1987年以来计算的“基于市场的”PCE类似，只有少数例外。所有这些调整的金额与得出的结论无关。表一：美国ZF报告的图1所示各类洪水的宏观经济数据【67】。

我们修改了起始项目，因为插补与我们的分析无关（详情请参见附录B）。从至数量NIPA表格LineFirms Capital*利息和杂项付款1.16 9 Firms Capital Transfer payments To persons（net）1.16 13 Firms Capital*Owners income with Adjustment 1.16 16 Firms Capital*租金收入with Adjustment 1.16 17 Firms Capital*净股息1.16 23 Firms Capital*未分配公司利润with Adjustment 1.16 24 Capital Firms*利息收入1.16 4资本公司私人固定投资5.3.5 1劳动力*员工薪酬2.1劳动力公司*个人消费支出7.12 6公司生产和进口的政府税收3.1 4公司企业收入的政府税收3.1 5公司企业的政府转移支付（净额）3.1 17公司资产的政府利息收入3.1 10政府劳动力政府社会福利个人福利2.1 17政府机构*消费支出3.1 21政府机构补贴3.1 30政府资本*个人和企业利息支付3.1 28资本政府*资本个人流动税3.1 3资产的资本政府收入收入3.1 10个人的资本政府转移收入3.1 17劳动政府*政府社会缴款保险3.1 7劳工政府*劳工个人流动税3.1 3从劳工和资本流向政府的流动，反过来被修正为排除银行提供的非货币服务和资金不足的养老金计划利息支付。我们使用美国国税局（IRS）针对高收入者的税收数据，估算了税收中的劳动力和资本部分。我们报告的数字在2014年调整后的总收入中分别为1%的465000美元的税率【68】，并将前几年的分数与历史上的最高税率比例成比例，限制在100%。

各种各样的替代假设得出了相同的结论。图3显示了1960年至2015年美国经济活动的增长，使用图1中的交易流量类别。图4显示了按GDP和总流量归一化的货币流量。归一化消除了动力学中的主要增长，使相对动力学更加明显。我们发现，消费/工资和投资/回报相互跟踪，这与图1的假设一致，即这些可以被视为主要的金融流动周期。劳动循环中偏差的平均绝对值为5%，与工资成比例计算时，最大偏差为12%。资本循环中的平均绝对偏差值为11%，与回报率成比例计算时，最大偏差值为26%（2010年）。如图1所示，这些偏差可以通过储蓄、借贷和ZF互动来解释。在这两种情况下，一回路的非闭合性比一回路的值小一个数量级。图4显示了不同政权的存在，特别是1980年政权之间的过渡。包括最近几次，这种行为可以用三种状态一阶描述：1980年之前的指数状态、金融危机之前的振荡状态，以及此后的第三种状态，这三种状态的时间很短，描述能力有限。1980年的转变在图5中很明显，图5显示了劳动力循环占主要循环流量总价值的比例，这是通过工资相对于工资和回报来衡量的。这两种状态下的行为都符合Firstorder归一化公式19以及简化版本公式22和公式23，如图中曲线所示。