参数不确定的约束组合消费策略

风险资产的漂移和波动的不确定性由一个非空集合参数化=（us，∑s）s≥0：（u，∑）ar e F渐进可测，和（us，∑s∑Ts）∈ B、 P ds-a.e。,其中，B是Rd×Sd+的凸紧子集，Sd+是d×d正定实对称矩阵集。我们还假设B至少包含一种元素（u，∑），使得∑为正定义。集合B的面积表示不确定性的量。面积越大，替代模型集就越大。投资者将对模型参数变得更加不确定。就银行账户B而言，与经验证据（见[1]）相比，银行存款和贷款利率相等的标准假设是相反的。事实上，借贷利率之间总是存在利差。设R和R分别为恒定借贷利率。当B为正时，投资者以利率r借贷。当B为负时，投资者以利率r借贷。自然假设r≥ r、 因此，银行账户B遵循DBS=（rB+s- RB型-s） ds，（3）其中x+=最大{0，x}，x-= 最大值{0，-x} 。请注意，rB+s- RB型-s=苏格兰皇家银行- （R）- r） B类-s、 在排列之前（R- r） 表示投资者的借款成本。价差越大，投资者必须承担的借贷成本就越高。在下一节中，我们将看到借贷成本的引入导致了一个非线性财富方程，这在投资组合策略中是凹的。2.2投资组合和消费约束设T>0代表交易期限，并假设投资者的初始财富x>0。π是她投资于风险资产的财富比例，c是她与财富成比例的消费率，Xx；π、 c，u，∑是具有初始值x、投资组合消费策略（π，c）和参数（u，∑）的财富过程。

使用（2）和（3），根据XX的自我融资条件；π、 c，u，∑s=x+ZshuTuπu+r（1- 1Tdπu）- （R）- r） （1）- 1Tdπu）-- cuiXx；π、 c，u，∑udu+ZsXx；π、 c，u，∑uπTu∑udWu，s∈ [0，T]。请注意，对于借贷成本，财富方程的漂移不再是线性的，而是在R>R的情况下，投资组合策略π中的凹形。投资者将从以下对投资组合和消费都有约束的容许集中选择她的投资组合消费策略：A={（πs，cs）s≥0：（π，c）是F-逐步可测的，（πs，cs）∈ A、 P ds-a.e.，ZT|πs |+csds<+∞, 和Xx；π、 c，u，∑满足条件（H）}，其中A是满足c≥ （π，c）上的可积条件是为了保证财富过程得到很好的定义，而（H）条件是为了财富过程Xx；π、 c，u，∑取决于我们想要解决的效用最大化问题，将在下一节的（7）中具体说明。共约束s et的一个典型示例是A=Ndi=1[πi，πi]×[c，c]，其中πi，πi，c，c是满足以下条件的常数-∞ ≤ πi≤ 0, 1 ≤πi≤ +∞, 0≤ c≤ c≤ +∞ 对于i=1，···，d。那么，投资组合约束cubeNdi=1[πi，πi]有以下财务解释：Pdi=1πi- 1.表示允许投资者借入用于投资风险资产的最大财富比例；-Pdi=1πi代表允许投资者持有的最大卖空头寸；πi=0表示禁止卖空第i项风险资产；πi=1表示禁止贷款投资第i个风险资产；和-πi=πi=+∞ 意味着对第i项风险资产没有投资组合约束。

此外，消费约束[c，c]意味着投资者应保持最低消费水平以获得补贴，同时，为了未来的消费和投资，她的消费也由上限c控制。2.3稳健效用最大化问题投资者拥有跨期消费和终端财富的效用。给定aportfolio消费策略（π，c）∈ A、 她的预期效用定义为sJi（x；π，c，u，∑）：=E“ZTλE-ρsUci（csXx；π，c，u，∑s）ds+e-ρTUi（Xx；π，c，u，∑T）#，i=P，L，（4）其中P，L分别表示幂和对数效用函数，即UcP（x）=UP（x）=pxp与P∈ (-∞, 0) ∪ （0，1），且UcL（x）=UL（x）=ln x。此处，λ≥ 0表示跨期消费相对于到期时最终遗赠的权重T，ρ≥ 0表示折扣系数。由于投资者对模型参数（u，∑）不确定，她将看到k是受模型不确定性影响最小的最优投资组合消费策略。在预测最坏情况的情况下，她解决了以下maxmin问题：Find（π*, c*) ∈ A和（u*, Σ*) ∈ Bsuch thatJi（x）：=sup（π，c）∈Ainf（u，∑）∈BJi（x；π，c，u，∑）=Ji（x；π*, c*, u*, Σ*), i=P，L，（5），其中Ji（·）是最大最小问题m（5）的值函数，即最大最坏情况期望值。为了证明最优投资组合消费策略的合理性，上述优化问题的内部部分由所谓的大自然母亲扮演，她通过选择最坏的情况来恶意地最小化预期，而投资者的目标是选择受其他大自然选择影响最小的最佳策略。

因此，maxmin问题（5）在文献中也被称为稳健效用最大化问题（例如，参见[23]）。为了求解ro-bus-t效用最大化问题（5）的值函数及其对应的最坏情况参数和最优投资组合消费策略，我们寻找鞍点策略{（π*, c*), (u*, Σ*)} 期望效用Ji（x；π，c，u，∑）的*, Σ*) ≤ Ji（x；π）*, c*, u*, Σ*) ≤ Ji（x；π）*, c*, u，∑）（6）对于任何容许值（π，c）∈ A和（u，∑）∈ B、 然后，它允许sup（π，c）∈Ainf（u，∑）∈BJi（x；π，c，u，∑）=Ji（x；π*, c*, u*, Σ*) = inf（u，∑）∈Bsup（π，c）∈AJi（x；π，c，u，∑），因此，Ji（x）=Ji（x；π*, c*, u*, Σ*) 是maxmin问题（5）的值函数，带（u*, Σ*) 和（π*, c*) 分别作为最坏情况参数和最优投资组合消费策略。为了结束本节，我们进一步指定了与maxmin问题（5）相关的容许集A中的条件（H）：条件（H）：=（E“ZTUci（csXx；π，c，u，∑s）ds#<+∞; 和家庭用户界面Xx；π、 c，u，∑τ,对于τ∈ [0，T]作为F-停止时间，是一致可积的}。（7） Ui的可积性条件Xx；π、 c，u，∑包括无限组合和消费策略。该条件也称为类（D）条件，出现在[7]中，其中作者解决了类似的投资组合消费问题m，但没有模型不确定性、b或增长成本和消费约束。3值函数的非线性常微分方程特征在本节中，我们应用一个鞅参数（首次在[7]和[15]中介绍）来构造一个中点策略{（u*, Σ*), (π*, c*)} 对于预期效用Ji（x；π，c，u，∑）。

这将反过来解决原来的maxmin问题（5）。为此，我们的目标是构建一个适应F的流程Jx；π、 c，u，∑i，t，t∈ [0，T]，满足以下三个条件：对于任意（π，c）∈ A和（u，∑）∈ B、 （C1）到期日T，Jx；π、 c，u，∑i，T=ZTλe-ρsUcicsXx；π、 c，u，∑sds+e-ρTUiXx；π、 c，u，∑T;（C2）初始时间0时，Jx；π、 c，u，∑i，0=Jxi，0，这是一个常数，与（π，c）和（u，∑）无关；（C3）存在（π*, c*) ∈ A和（u*, Σ*) ∈ B使过程Jx；π*,c*,u*,Σ*iis是鞅，Jx；π、 c，u*,Σ*iis是一个超级马丁格尔，Jx；π*,c*,u，∑iis是一个子鞅。按照上述条件（C1-C3），我们得到haveJi（x；π，c，u*, Σ*) = E[Jx；π，c，u*,Σ*i、 T]≤ Jx；π、 c，u*,Σ*i、 0=Jxi，0；Ji（x；π）*, c*, u*, Σ*) = E[Jx；π*,c*,u*,Σ*i、 T]=Jx；π*,c*,u*,Σ*i、 0=Jxi，0；Ji（x；π）*, c*, u，∑）=E【Jx；π】*,c*,u，∑i，T]≥ Jx；π*,c*,u，∑i，0=Jxi，0。因此，（6）中的不等式成立，即{（π*, c*), (u*, Σ*)} 是期望度Ji（x；π，c，u，∑）的鞍点策略，最大最小问题（5）的值函数由Ji（x）=Jxi，0给出。接下来，我们构建了流程Jx；π、 c，u，∑i。我们从以下引理开始，将原始的maxmin问题（5）简化为有限维优化问题。为了便于下面的讨论，我们引入了两个函数Fi（·；·；·；·；·；·；·，·），i=P，L，它们表征了最优投资组合消费和最差的局部ca se参数Fi（xq；xπ，xc；xu，x∑）：=p-1xTπx∑xπ+hxTuxπ+r（1- 1Tdxπ）+- R（1- 1Tdxπ）-i+λpe-xqxpc- xc，i=P；-xTπx∑xπ+hxTuxπ+r（1- 1Tdxπ）+- R（1- 1Tdxπ）-i+λe-xqln xc- xc，i=L；（8） 对于xq∈ R、 （xπ，xc）∈ A和（xu，x∑）∈ B、 回想一下，A是凸的和闭的，B是凸的和compac t.引理3.1。

对于i=P，L，函数Fi（xq；·，·；·；·，·，·）具有以下性质。（i） 函数Fi（xq；·，·；·，·，·）允许至少一个鞍点（ex*π（xq），ex*c（xq）；前任*u（xq），ex*∑（xq）），即对于任何xq∈ R、 （xπ，xc）∈ A和（xu，x∑）∈ B、 Fi（xq；ex*π（xq），ex*c（xq）；xu，x∑）≥ Fi（xq；ex*π（xq），ex*c（xq）；前任*u（xq），ex*∑（xq））≥ Fi（xq；xπ，xc；ex*u（xq），ex*∑（xq））。（9） （ii）对于xq∈ R、 letGi（xq）：=Fi（xq，ex*π（xq），ex*c（xq）；前任*u（xq），ex*∑（xq））。（10） 然后，Gi（xq），ex*π（xq），ex*c（xq），ex*u（xq）和ex*∑（xq）在xq中是局部有界的∈ R、 （iii）如果p<0或i=L，则（ex*c（xq））-1在xq中也是局部有界的∈ R、 证明。第1步。当集合A是紧集时，我们首先证明了断言（i）。事实上，对于固定xq∈ R、 很明显，函数Fi（xq；·，·；·，·，·，·）相对于（xπ，xc）是凹的，相对于（xu，x∑）是凸的（精确线性）。由于A和B是凸的和紧的，我们可以应用MinMaxTherm（见[25]第131页的定理B或[23]第3节），并推断存在一个ddle点（例如*π、 ex公司*c前任*u，ex*∑）使（9）成立。此外，A和B的紧性意味着*π、 ex公司*c、 ex公司*u，ex*∑有界。第2步。如果集合A不是紧的，对于任何正整数n，设An：=A∩ {（xπ，xc）：|（xπ，xc）|≤ n} 。很明显，我们可以选择一个大的正整数，例如，对于任何N，Anis都是非空的≥ 在不丧失一般性的情况下，我们可以使用≥ N以下。感谢步骤1，我们知道函数Fi（xq；·，·，·；·，·，·）在n×B中至少有一个鞍点（exnπ，exnc；exnu，exn∑），我们用Fni表示Fi（xq；exnπ，exnc；xnu，xn∑）。接下来，我们证明了fnis对于n是非减的，并且对于任何n都有一个一致的下界≥ N

为此，请注意fni=inf（xu，x∑）∈Bsup（xπ，xc）∈AnFi（xq；xπ，xc；xu，x∑）=sup（xπ，xc）∈ANIF（xu，x∑）∈BFi（xq；xπ，xc；xu，x∑）=sup（xπ，xc）∈AnFi（xq；xπ，xc；exnu，exn∑）=inf（xu，x∑）∈BFi（xq；exnπ，exnc；xu，x∑）。（11） 根据（11）中的第一个等式，我们推断fnis不随对n的响应而减少。此外，（11）中的第二个性质意味着，对于任何n≥ N和（xπ，xc）∈ AN，Fni≥ FNi≥ inf（xu，x∑）∈BFi（xq；xπ，xc；xu，x∑）>-∞, （12） 我们在最后一个不等式中使用了B是紧的这一事实。到目前为止，我们已经证明fnis对于n是不减量的，并且对于任何n都有一个一致的下界≥ N第3步。我们证明了存在一个足够大的正整数M，使得（exnπ，exnc）∈ AMfor任意n≥ M、 实际上，我们可以选择一个正常数和一个正定义矩阵x∑，这样（xu，x∑）∈ B和xTπx∑xπ≥ | xπ|对于任何xπ∈ 因此，作为xc→ 当p<0 ori=L或|（xπ，xc）|时为0+→ +∞, B的完整性意味着FP（xq；xπ，xc；xu，x∑）≤p-1| xπ|+C | xπ|+λpe-xqxpc- xc公司→ -∞,FL（xq；xπ，xc；xu，x∑）≤-| xπ|+C | xπ|+ （λe-xqln xc- xc）→ -∞,（13） 对于任意（xπ，xc）∈ A、 其中C是一个常数，与xq、xπ、xc、xu和x∑无关，反过来，存在一个足够大的正整数M≥ N使得对于任何（xπ，xc）∈ A\\AM，或任何（xπ，xc）∈ 当p<0或i=L时，xc<1/M的A，inf（xu，x∑）∈BFi（xq；xπ，xc；xu，x∑）≤ Fi（xq；xπ，xc；xu，x∑）<FNi≤ FMi≤ Fni，n≥ M、 对于最后两个不等式，我们使用了fnis相对于n不减的事实（参见步骤2）。（11）中的最后一个等式表示（exnπ，exnc）∈ AMfor任意n≥ M和exnc≥ 当p<0或i=L时为1/M。步骤4。我们证明了函数Fi（xq；·，·，·；·，·，·）至少有一个鞍点（ex*π、 ex公司*c前任*u，ex*∑）在A×B中。

实际上，根据步骤3，Fi（xq；·，·，·；·，·，·，·）在An×B中至少有一个鞍点（exnπ，exnc；exnu，exn∑），并且它们都属于任意n的紧集AM×B≥ M、 因此，存在一个序列（仍由其自身表示），如（exnπ，exnc；exnu，exn∑）→ （例如*π、 ex公司*c前任*u，ex*Σ) ∈ AM×B 接下来，我们证明（ex*π、 ex公司*c前任*u，ex*∑）是a×B中Fi（xq；·，·，·；·，·，·）的鞍点。很明显Fi（xq；exnπ，exnc；xu，x∑）≥ Fi（xq；exnπ，exnc；exnu，exn∑）≥ Fi（xq；xπ，xc；exnu，exn∑），（14）表示任何（xπ，xc）∈ Anand（xu，x∑）∈ B、 正在发送n→ +∞ 在（14）中的第一个不等式中，我们推导出对于任何（xu，x∑）∈ B、 Fi（xq；ex*π、 ex公司*cxu，x∑）≥ Fi（xq；ex*π、 ex公司*c前任*u，ex*Σ).另一方面，对于任何（xπ，xc）∈ A、 我们可以选择一个大的正整数，比如（xπ，xc）∈ Anfor任意n≥恩。然后，发送n→ +∞ 在（14）中的第二个不等式中，我们得出了thatFi（xq；ex*π、 ex公司*c前任*u，ex*Σ) ≥ Fi（xq；xπ，xc；x*u，x*Σ).因此，（例如*π、 ex公司*c前任*u，ex*∑）是a×B中Fi（xq；·，·，·；·，·，·）的鞍点。步骤5。我们证明（ii）和（iii）断言成立。实际上，从步骤4的证明中，我们知道所有鞍点（exnπ，exnc；exnu，exn∑）都属于任意n的紧集AM×B≥ M和XQ∈ R、 此外，从步骤3的（12）和（13）可以看出，存在一个xq的邻域，比如xq∈ （a，b），使得AMis中的下标M独立于xq（但可能取决于a和b）。因此，对于xq∈ （a，b），（ex*π（xq），ex*c（xq），ex*u（xq），ex*∑（xq））∈ AM×B表示函数ex*π（xq），ex*c（xq），ex*u（xq）和ex*∑（xq）是局部有界的，而且，（8）和（10）意味着Gi（xq）在xq中也是局部有界的∈ R、 从步骤3中，我们知道对于任何n≥ M、 exnc公司≥ 当p<0或i=L时为1/M。

自鞍点（ex*π、 ex公司*c前任*u，ex*∑）是（exnπ，exnc；exnu，exn∑）的极限，我们推断*c≥ 如果p<0或i=L，则为1/M，这意味着（ex*c（xq））-1在xq中是局部有界的∈ R、 现在，我们准备陈述我们的第一个主要结果，即i=P，L的值函数Ji（·）的非线性ODE特征。由于幂函数和对数效用函数的结论不同，我们分别给出了它们的结果。定理3.2。假设qP（·）解出以下非线性ODEqP（t）=ZTt[pGP（qP（s））- ρ] ds，t∈ [0，T]，（15），其中引理3.1中给出了函数GP（·）。然后，对于power utility案例，处理jx；π、 c，u，∑P，t：=pZtλe-ρscsXx；π、 c，u，∑spds+peqP（t）-ρtXx；π、 c，u，∑tp、 （16）与（π）一起*t、 c类*t） =（例如*π（qP（t）），ex*c（qP（t）））和（u*t、 ∑*t（∑）*t） t）=（例如*u（qP（t）），ex*∑（qP（t）），t∈[0，T]，满足条件（C1-C3），其中（ex*π（xq），ex*c（xq）；前任*u（xq），ex*∑（xq））是引理3.1中给出的鞍点。特别地，极大值问题（5）的值函数由jp（x）=JxP，0=xppeqP（0）给出。证据Jx；π、 c，u，∑Pin（16）明显满足条件（C1）和（C2），因此有必要验证马丁格尔特性（C3）。为此，对于任何（π，c）∈ A和（u，∑）∈ B、 It^o公式的一个应用Xx；π、 c，u，∑sp=Xx；π、 c，u，∑spnhp FPqP（s）；πs，cs；us，∑s∑Ts- λe-qP（s）CPSID+pπTs∑sdWs, （17） 反过来，Jx；π、 c，u，∑P，t=Jx；π、 c，u，∑P，0+ZteqP（s）-ρs（Xx；π，c，u，∑s）pFP公司qP（s）；πs，cs；us，∑s∑Ts+q′P（s）- ρpds+ZT设备-ρs（Xx；π，c，u，∑s）pπTs∑sdWs。由于qP（·）是一个连续的确定性函数，我们知道qP在区间[0，T]有界。结合引理3.1，我们推导出GP（qP（·））和π*, c*, u, Σ*都是有界的，并且（c*)-当p<0时，1也有界。因此，随机指数pR·（π）*s） T∑*sdWs公司是一致可积鞅。

此外，根据（17），我们推断Xx，π*,c*,u*,Σ*t型p=xpEtpZ·（π*s） T∑*sdWs公司经验值ZthpGP（qP）- λe-qP（s）（c）*s） pids对于t∈ [0，T]。此外，存在一个常数C>0，使得e“ZTc*tXx，π*,c*,u*,Σ*t型pdt公司#≤ CE“ZETpZ·（π*s） T∑*sdWs公司dt#=CT。因此，Xx，π*,c*,u*,Σ*满足条件（H）和（π*, c*) ∈ A和（u*, Σ*) ∈ B、 结合qP（·）的ode（15），我们推导出ehjx；π*,c*,u*,Σ*P、 s | Fti=Jx；π*,c*,u*,Σ*P、 t对于任何0≤ t型≤ s≤ T带（u*s、 ∑*s（∑）*s） T）=（例如*u（qP（s）），ex*∑（qP（s）），鞍点条件（9）中的第二个不等式实现了fp（qP（s）；πs，cs；u*s、 ∑*s（∑）*s） T）+q′P（s）- ρp≤ GP（qP（s））+q′P（s）- ρp=0，对于任何（π，c）∈ A、 因此，Jx；π、 c，u*,Σ*Pis是当地的超级艺人。从停止时间τn取递增序列↑ 对于任何0≤ t型≤ s≤ T，EhJx；π、 c，u*,Σ*P、 s∧τn | Fti≤ Jx；π、 c，u*,Σ*P、 t型∧τn，即EhJx；π、 c，u*,Σ*P、 s∧τnAi≤ EhJx；π、 c，u*,Σ*P、 t型∧τnAi（18）对于任何A∈ Ft.根据Xx，π，c，u上的条件（H）*,Σ*, 我们可以让τn↑ T in（18），这意味着T E[Jx；π，c，u*,Σ*P、 sA]≤ E[Jx；π，c，u*,Σ*P、 tA]，即Jx；π、 c，u*,Σ*Pis是一个超级艺术家。最后，w with（π*s、 c类*s） =（例如*π（qP（s）），ex*c（qP（s）），鞍点条件（9）中的第一个不等式表示fp（qP（s）；π*s、 c类*sus，∑s∑Ts）+q′P（s）- ρp≥ GP（qP（s））+q′P（s）- ρp=0（u，∑）∈ B、 so Jx；π*,c*,u，∑Pis是局部子鞅。按照上面类似的论点，我们得到了Jx；π*,c*,u，∑Pis为次鞅。定理3.3。