参数不确定的约束组合消费策略

对于电力公用事业情况，最佳消耗c*t=c*（t） ，t∈ [0，T]是一个确定性过程，其中c*（t） =ex*c、 P（qP（t））和ex*c、 P（·）表2：c>0ρ时的最佳消耗量- 主键(-∞, (1 - p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c，（1- p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c、+∞)c<c<λ1/（1）-p） cI+bc（t）I+c Ibc（t）I+cIbc（t）I+cIc cc<c=λ1/（1-p） cI+bc（t）Ibc（t）bc（t）c cc<λ1/（1-p） <c cI+bc（t）Ibc（t）bc（t）bc（t）cI+bc（t）Iλ1/（1）-p） =c<c c bc（t）bc（t）cI+bc（t）Iλ1/（1-p） <c<c c c bc（t）I+cIbc（t）I+cicici+bc（t）I+ci在（27）中给出，qP（·）在表8中给出。此外，最优消费c*表2对其进行了总结。在此，表中的常数K对应于（15）中的未来投资贡献因子，并且具有明确的形式K：=g（x*π; x个*u，x*σ) =R+π（u- R）-1.-pσπ，β≥ π;R+（u-R） 2（1-p） σ，1≤ β≤ π;u-1.-pσ，β≤ 1.≤ β;r+（u-r） 2（1-p） σ，0≤ β≤ 1.r、 β≤ 0≤ β;r+（u-r） 2（1-p） σ，π≤ β≤ 0;r+π（u- r）-1.-pσπ，β≤ π、 （31）和bc（t）=bcP（qP（t））（参见（27））。指标函数Iba表示T=0和T=T的时间段【Ta，Tb】，其中不同时间段的明确形式在附录B中给出。由于篇幅较长，证明推迟到附录B。表2列出了不同参数下所有可能的消费模式。例如，当市场参数满足c<c<λ1/（1）时，第一行和第一列（左上角）中的cI+bc（t）I+cI是最佳消费-p） 和ρ- 主键∈ (-∞, (1 - p） c）。更具体地说，在时间间隔[0，T]内，投资者将以最低利率c消费。然后投资者将以最佳利率bc（T）=λ1/（1）消费-p） exp（qP（t）/（p- 1） ）在时间间隔[T，T]中，因为在这种情况下，c≤ bc（t）≤ c

最后，在剩余时间间隔[T，T]内，投资者将以最大利率C消费。相反，在右下角，当λ1/（1-p） <c<c和ρ- 主键∈ ((1 - p） c、+∞). 也就是说，消耗量将从[0，T]中的最大速率c下降到[T，T]中的bc（T），最终下降到[T，T]中的最小速率c。下面，我们将对不同的消费模式进行一些直观的解释。从FPC和c的表达式*（t） ，我们知道最优消费c*t=c*（t） 在c=0的情况下，结果与表2中的结果相似，只是cI+bc（t）I+cIAN和cI+bc（t）I分别被bc（t）I+cIAN和bc（t）替换。注意，当c=0时，由于λ>0，因此关于最佳消耗的最后两行是无关的。区间[c，c]内凹函数fP（qP（t），·）的最大值。此外，注意bc（t）=λ1/（1-p） exp（qP（t）/（p-1） ）如（27）所示，是R+上fP（qP（t），·）的最大点。因此，c*如果c<bc（t）<c，则t=bc（t）。否则，c*twill可以是c或c。从下面命题4.6的证明中，我们知道qP（t）在时间t上是单调的，bc（t）也是单调的。因此，bc（t）是否保持在[c，c]中，不仅取决于它在两个端点bc（t）和bc（0）处的值，以及它们与c和c的关系。事实上，从m qP（t）=0开始，bc（t）=1/λ1-p、 根据bc（t）的连续性，当Tapproach成熟时，c*（t） 如果c<c<λ1/（1），将达到其上限c-p） ；c*（t） 如果c<λ1/（1），则精确为bc（t）-p） <c；c*（t） 如果λ1/（1），将研究其下界c-p） 上述三种情况决定了表2中行的分类。另一方面，对于limT，我们有以下渐近结果→+∞表3中的bc（0）（另见附录B，尤其是（49）-（52））。

根据bc（t）的连续性，当t足够大且t接近初始时间0时，c*（t） =到岸价格ρ-主键∈ (-∞, (1 -p） c）；c*（t） =bc，如果ρ- 主键∈ ((1 -p） c，（1- p） c）；和c*（t） =c，如果ρ- 主键∈ ((1 - p） c、+∞). 因此，上述情况将表2中的列分开。表3:T时bc（0）的极限→ +∞ρ - 主键(-∞, (1 - p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c，（1- p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c、+∞)限制→+∞bc（0）<c=c∈ （c，c）=c>cNext，我们进一步证明了最优消费具有一些时间单调性。与无约束消费情况相反，无论（ρ）的值是多少，消费约束可能会迫使最优消费要么不递增，要么不递减-pK）。提案4.6。最佳消耗c*t、 t型∈ [0，T]在时间T内具有以下单调特性，如表4所示。符号、和⊥ 分别表示不减少、不增加和独立于时间t。表4：时间c<c<λ1/（1）的最佳消耗-p） c≤ λ1/(1-p）≤ cρ- pK<（1- p） λ1/（1）-p） ρ- pK=（1- p） λ1/（1）-p） ρ- pK>（1- p） λ1/（1）-p） ⊥ λ1/(1-p） <c<c证明。它源于ex的表达式*c、 （27）中的P（xq）和bcP（xq），如果qP（t）是非递增的，那么c*（t） =ex*c、 P（qP（t））是非减量的；如果qP（t）为非递减，则c*（t） 是非递增的。另一方面，表达式（26）和ODE（15）导致q′P（t）=-p'fP（qP（t），c*（t） ）q′P（t），（32），其中'fP（qP（t），c*（t） ）：=-λpcpe-qP（t）<0，如果qP（t）<（p- 1） ln c+lnλ；-λ1/(1-p） peqP（t）/（p-1） <0，如果（p- 1） lnc+lnλ≤ qP（t）≤ （p- 1） ln c+lnλ；-λpcpe-qP（t）<0，如果qP（t）>（p- 1） ln c+lnλ。我们认为q′P（t）的符号不随t而改变∈ [0，T]。否则，假设存在0≤ t<t≤ 使q′P（T）>0且q′P（T）<0。根据q′P（t）的连续性，存在∈ （t，t）使得q′P（t）=0。现在让t：=inf{t>t:q′P（t）=0}。

因此，t∈ （t，t），q′P（t）=0，对于t，q′P（t）>0∈ 根据中值定理，存在t∈ （t，t）使得q′P（t）=q′P（t）-q′P（t）t-t<0。然而，对于t，q′\'P（t）>0∈ 根据（32），这是一个矛盾。我们已经证明，qP（t）是t的非递增或非递减∈ [0，T]。因此，必须考虑q′P（T）的符号。让我们首先考虑情况c<c<λ1/（1-p） 。对于这种情况，我们有（p- 1） ln c+lnλ>0=qP（T），因此，（26）意味着T=T处的ODE（15）减少到q′P（T）=-（λcp- pc）- pK+ρ，其中常数K在（31）中给出。然而，定理4.5暗示c*（t）≡c如果ρ- 主键≥(1 -p） 在这种情况下，我们只需要考虑ρ的情况-pK<（1-p） c的单调性质*（t） 。连同C<λ1/（1）-p） 进一步得到了q′p（T）<-（c1-pcp公司- pc）+（1- p） c=0。反过来，q′P（t）≤ t为0∈ [0，T]，这意味着c*（t） 对于t是不减损的∈ [0，T]。其他两个案例c≤ λ1/(1-p）≤ c和λ1/（1）-p） <c<c可以用类似的方法处理，因此省略了它们的证明。4.3对数效用定理4.7下的最优消耗。假设T是一个大的整数。对于对数效用情况，最优消费c*t=ex*c、 L（qL（t）），t∈ [0，T]是一个确定性过程，具有*c、 L（·）和qL（·）分别在（29）和（34）中给出。此外，最优消费c*表5对其进行了总结。表5：c情况下的最佳消耗量≥ 00<ρ<cρ=c c<ρ<cρ=cρ>c0<λ≤ c c c bc（t）I+cIbc（t）I+cIcI+bc（t）I+cIc<λ<ccI+bc（t）I^c（t）I^c（t）I+bc（t）Iλ≥ccI+bc（t）I+cIbc（t）I+cIbc（t）I+cIc cHerein，iab表示时间间隔[Ta，Tb]的指标函数，bc（t）=λe-qL（t），t=0，t=t+ρlnλ（ρ-c） c（ρ- λ） ，T=T+ρlnλ（ρ- c） c（ρ- λ） ，T=T。（33）函数ql的形式为ql（T）=lnλρ+1.-λρe-ρ（T-t）.

（34）此外，最佳消耗c*对于ρ，t相对于t不递增≥ λ、 对于ρ，对于t不减≤ λ.注意，当c=0时，由于λ>0和ρ≥ 0，则关于最佳消耗量的第一行和第一列不相关。证据首先，很明显，ODE（19）的解采用（34）的形式。根据（29），我们知道*c、 L（xq）是相对于xq的非连续性。此外，表达式（34）表明，当ρ≥ λ、 当ρ≤ λ.然后，c的单调性*t=ex*c、 L（qL（t））立即跟随s。接下来，我们注意到eql（T）=1≥λc，0<λ≤ c∈ （λc，λc），c<λ<c；≤λc，λ≥c、 限制→+∞eqL（0）=λρ≥λc，0<ρ≤ c∈ （λc，λc），c<ρ<c；≤λc，ρ≥c、 （35）在下面，我们只证明情况0<λ≤ c和ρ>c。其他情况遵循类似的参数。由（35）可知，bc（T）=λe-qL（T）≤ c<c<λe-qL（0）=bc（0），c*T=ex*c、 L（qL（T））=c，c*= 前任*c、 L（qL（0））=提供的T足够大。此外，由于qL（·）是连续的，并且严格地随t增加，因此存在唯一的（t，t），例如qL（t）≥ lnλc，t∈ [T，T]；lnλc<qL（t）<lnλc，t∈ （T，T）；qL（t）≤ lnλc，t∈ [0，T]和T，T填写（33）中的表格。与（29）一起，我们推导出c*t=ex*c、 L（qL（t））=cI+bc（t）I+cI。5模型不确定性、投资组合消费约束和借款成本的影响在本节中，我们研究了模型不确定性、投资组合消费约束和借款成本对最坏情况参数（u）的影响*, σ*) 最优投资组合消费策略（π*, c*).提案5.1。假设假设假设4.1成立。

然后，对于电力效用情况，worstcase参数和最优投资组合消费策略在借款利率R、约束集[π，π]×[c，c]和不确定性参数集[u，u]×[σ，σ]方面具有以下单调性，如表6所示。符号、、，⊥ NM表示相应变量的非增、非减、独立、非单调。例如，底行和第一列（左下角）表示c*sis借款利率不变R.表6：比较统计Rππcuσσu*s⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   ⊥ ⊥σ*s⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ π*s⊥ ⊥   ⊥ c*sNM⊥ 在进行证明之前，我们对上述结果提供了一些直观的解释。不同参数对最坏情况参数的影响（u*s、 σ*s） 最优投资组合π*从定理4.2的结果可以明显看出。所以我们只讨论它们对最优消费c的影响*s、 通过表达式（27）和c*s=ex*c、 P（qP（s）），参数（R、π、π、u、u、σ、σ）将通过机会过程eqP（s）的渠道影响最佳消费，机会过程eqP（s）是投资者在剩余期限内通过优化所有可接受的投资组合消费策略（至少由模型不确定性影响）获得的效用。仔细观察QP的ODE（15）告诉我们，这些参数只会进入未来的投资贡献因子G（x*π; x个*u，x*σ） in（23）。增加借贷成本R将使未来投资控制因子g（x*π; x个*u，x*σ） 规模较小，因此机会流程也将变小，即投资者在剩余期限内获得的公用事业将更少。反过来，她目前的最佳消费量将上升。

类似地，例如，增大不确定性参数区间【u，u】×【σ，σ】或缩小投资组合约束区间【π，π】，也会使未来的投资贡献系数g（x*π; x个*u，x*σ） 因此，将出现当前的最佳消费。更显著的结果是消耗约束区间[c，c]对最优消耗c的影响*s、 请注意，约束间隔只会影响消耗贡献因子fP（qP（s），c*（s） ）in（22），带c*（s） =ex*c、 P（qP（s））。较小的间隔将导致较小的消耗贡献因子fP（qP（s），c*（s） ）如（24）所示。反过来，投资者将在剩余期限内获得较少的公用事业。这可能意味着当前的最佳消费将增加。然而，情况并非总是如此，因为无约束最优消费bc（s）保持在收缩区间的可能性较小[c，c]。如果bc（s）达到下限c，则最佳c消耗将随着c的增加而进一步出现。另一方面，如果bc（s）达到上限C，则C经济体较小时的最佳消耗量将下降，因此，当C经济体较小时，会对最佳消耗量产生先前的递增影响。这意味着最优消费在其上界是非单调的。证据（i） u的单调性*s、 根据定理4.2，最坏情况下的漂移可写为su*s=u{u≥r} +u1{u<r}=u{u>r}+u1{u≤r} 对于s∈ [0，T]。第一行表示u*sis未减少，单位为u，第二行表示它也未减少，单位为u，与其他参数（R、π、π、c、c、σ、σ）无关。（ii）σ的单调性*s、 最坏情况下波动率σ的表达式得出了结论*s=s的σ∈ 定理4.2中的[0，T]。（iii）π的单调性*s

首先，定理4.2中β，β，β的表达式意味着它们在u，u中都是不减少的，在R，σ中都是不增加的，并且与σ，c，c无关，最优投资组合π也是如此*s、 asπ*相对于β、β、β，sis不减少（见图4.1）。从定理4.2的表1中，我们进一步得到π*s=最小{β，π}1{β≥1} +C{β<1}=最大{β，π}1{β≤0}+C{β>0}对于某些常数，与π相关，与π相关。因此，π*sis在π和π中均不减少。（iv）c的单调性*s、 我们首先研究了不同参数对ODE（15）溶液qP（t）的影响。注意，（R，π，π，u，u，σ，σ）仅通过hg（x）影响qP（t*π; x个*u，x*σ） =K，其中K在（31）中给出。从表达式（31）可以明显看出，K在R中是不递增的。此外，因为K是g（xπ；x）的最大值*u，x*σ） 超过xπ∈ [π，π]，K在π中不增加，在π中不减少。另一方面，K也是g（x）的最小值*π; xu，xσ）大于（xu，xσ）∈ [u, u] × [σ,σ].因此，K在u，σ中不减少，在u，σ中不增加。然而，Kfurther的表达式意味着K与σ无关。然后，根据ODE（15）的比较定理，其解qP（s）在R、π、u、σ中不增加，在π和u中不减少，与σ无关。

关于最优消费c的结论*Then遵循定理3.2和表达式（27）。就cand c对c的影响而言*s、 自fP（qP），c*（s） ），带c*（s） =ex*c、 P（qP（s）），是fP（qP（s），xc）对xc的最大值∈ [c，c]，c是非递增的，c是非递减的。根据ODE（15）的比较定理和表达式（27），我们再次得出c（s）是非递减的，c是非递增的。反过来，表达式（27）意味着最佳消耗c*sis在c中也不减少，但在c中的第二个和最后一个术语中既不增加也不减少inc*（s） 设置彼此的影响。事实上，我们在0的情况下证明了非单调性≤ c<c<c<λ1/（1）-p） 和ρ- 主键∈ ((1 - p） c，（1- p） c）。根据定理4.5，c*（t） 和c*（t） 取bc（t）I+cI的形式。当t接近t时，c*（t） =c>c=c*（t） 。另一方面，当它足够大且t接近零时，我们有c*（t） =bc（t）=expqP，1（t）p- 1.< 经验值qP，2（t）p- 1.= bc（t）=c*（t） ，其中严格不等式可以从ODE的比较定理中推导出来。最后，我们给出了对数效用情形的结果。它的证明被省略，因为它类似于电力公司案例的证明。提案5.2。与之相反的是，假设4.1成立。然后，对于对数效用情况，最坏情况参数和最优投资组合消费策略在借款利率R、约束s et[π，π]×[c，c]和不确定性参数集[u，u]×[σ，σ]方面具有以下单调特性，如表7所示。符号、、，⊥ 表示非递增、非递减且独立于相应变量。表7:logRππc cuuσu的比较统计*⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   ⊥ ⊥σ*⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ π*   ⊥ ⊥   ⊥ c*⊥ ⊥ ⊥   ⊥ ⊥ ⊥ ⊥附录：定理4.2的证明，定理4.2的证明。

根据定理m 3.2，如果{x*π; x个*u，x*σ} 是函数g的鞍点（·；·，·），然后是x*π是最优投资组合，且（x*u,√x个*σ） 是最坏情况下的参数。因此，有必要证明{π*; u*, x个*σ} 定理4.2中给出的确实是函数g（·；·，·）的一个s addle点。首先，对于固定xπ∈ [π，π]，用g（xπ；xu，xσ）=p检查- 1xσxπ+xuxπ+r（1- xπ）- （R）- r） （1）- xπ）-,我们有最小值（xu，xσ）∈[u，u]×[σ，σ]g（xπ；xu，xσ）=g（xπ；u，σ），如果xπ>0；g（xπ；[u，u]，σ），如果xπ=0；g（xπ；u，σ），如果xπ<0，（36），其中[u，u]表示x*u可在该间隔内取任何值。通过定义g（xπ）：=g（xπ；x），可以将上述最小函数进一步写成比较形式*u，x*σ） =p- 1σxπ+uI{xπ>0}+uI{xπ<0}- r I{xπ<1}- RI{xπ≥1}xπ+rI{xπ<1}+rI{xπ≥1}.下面，我们研究了三种不同情况下g（xπ）的最大值xπ≥ 1, 0 ≤ xπ≤ 1和xπ≤ 0，然后加上约束π≤ xπ≤ π、 我们将获得最大化器x*π和相关最大值g（x*π).案例（1）xπ≥ 1.g（xπ）=p- 1σxπ+u- R（p- 1)σ+ R-(u- R） 2（p- 1)σ.如果β=（u- R） /（（1- p） σ）≥ π、 然后最大值1≤xπ≤πg（xπ）=g（π）≥ g（1）。如果1<β<π，则最大值为1≤xπ≤πg（xπ）=g（β）>g（1）。如果β≤ 1，然后最大值1≤xπ≤πg（xπ）=g（1）。案例（2）0≤ xπ≤ 1.g（xπ）=p- 1σxπ+u- r（p- 1)σ+ r-(u- r）2（p- 1)σ.如果β=（u- r） /（（1- p） σ）≥ 1，然后最大值0≤xπ≤1g（xπ）=g（1）>g（0）。如果0<β<1，则最大值为0≤xπ≤1g（xπ）=g（β）>最大值{g（1），g（0）}。如果β≤ 0，然后最大值0≤xπ≤1g（xπ）=g（0）>g（1）。案例（3）xπ≤ 0.g（xπ）=p- 1σxπ+u- r（p- 1)σ+ r-(u - r） 2（p- 1)σ.如果β=（u- r） /（（1- p） σ）≥ 0，然后最大π≤xπ≤0g（xπ）=g（0）。如果π<β<0，则最大π≤xπ≤0g（xπ）=g（β）>g（0）。如果β≤ π、 thenmaxπ≤xπ≤0g（xπ）=g（π）≥ g（0）。比较上述三种情况下的最大值，并注意到β≤ β≤ β、 我们看到maxπ≤xπ≤πg（xπ）=g（x*π） =K，其中K在（31）中定义，最佳x*π在表1中定义。