参数不确定的约束组合消费策略

假设qL（·）和qL（·）求解以下ODEsqL（t）=ZTtλe-qL（s）- ρds，QL（t）=ZTteqL（s）-ρsGL（qL（s））ds，t∈ [0，T]，（19），其中引理3.1中给出了函数GL（·）。然后，对于对数效用情况，processJx；π、 c，u，∑L，t：=Ztλe-ρslncsXx；π、 c，u，∑sds+eqL（t）-ρtlnXx；π、 c，u，∑t+ QL（t），（20）和（π）*t、 c类*t） =（例如*π（qL（t）），ex*c（qL（t）））和（u*t、 ∑*t（∑）*t） t）=（例如*u（qL（t）），ex*∑（qL（t）），t∈[0，T]，满足条件（C1-C3），其中（ex*π（xq），ex*c（xq）；前任*u（xq），ex*∑（xq））是引理3.1中给出的鞍点。特别地，极大值问题（5）的值函数由jl（x）=JxL，0=eqL（0）ln x+QL（0）给出。证据Jx；π、 c，u，∑Lin（20）明显满足条件（C1）和（C2），因此有必要验证马丁格尔性质（C3）。为此，对于任何（π，c）∈ A和（u，∑）∈ B、 It^o公式的一个应用Xx；π、 c，u，∑s=hFL公司qL（s）；πs，cs；us，∑s∑Ts- λe-qL（s）ln csids+πTs∑sdWs，（21），反过来，Jx；π、 c，u，∑L，t=Jx；π、 c，u，∑L，0+ZteqL（s）-ρsnhFLqL（s）；πs，cs；us，∑s∑Ts+ e-qL（s）+ρsQ′L（s）i+hq′L（s）- ρ+λe-qL（s）iln Xx；π、 c，u，∑sods+ZteqL（s）-ρsπTs∑sdWs=Jx；π、 c，u，∑L，0+ZtheqL（s）-ρsFLqL（s）；πs，cs；us，∑s∑Ts+ Q′L（s）ids+ZteqL（s）-ρsπTs∑sdWs。由于qL（·），qL（·）是连续的确定性函数，我们知道qL（·），qL（·）在区间[0，T]内有界。结合引理3.1，我们推导出GL（qL（·））和π*, c*, u, Σ*, （c）*)-1都是有界的。因此，随机积分·（π*s） T∑*SDWs是一致可积鞅。此外，从（21）中，我们推断出Xx，π*,c*,u*,Σ*t型= ln x+ZthGL（qL（s））- λe-qL（s）ln csids+ZtπTs∑sdWsfor t∈ [0，T]。自| ln c起*| ≤ c*+ （c）*)-存在常数C>0，使得e“ZTln（c*sXx，π*,c*,u*,Σ*s）ds公司#≤ E“ZT | ln c*s | ds#+E“ZTln Xx，π*,c*,u*,Σ*sds公司#≤ 我们推断Xx，π，c，u*,Σ*满足条件（H）和（π*, c*) ∈ A和（u*, Σ*) ∈ B

结合qL（·）和qL（·）的两个ode（19），我们得到了ehjx；π*,c*,u*,Σ*五十、 s | Fti=Jx；π*,c*,u*,Σ*五十、 t对于任何0≤ t型≤ s≤ T其余的证明类似于定理3.2的证明，并已完成。3.1一维案例在本文的其余部分，我们将重点放在一维案例上，并推导出最优投资消费策略和最坏情况参数的解析解。假设d=d′=1，A=[π，π]×[c，c]，其中π，π，c，c是满足以下条件的常数-∞ ≤ π ≤ 0, 1 ≤ π ≤ +∞, 0≤ c≤c≤ +∞.对于i=P，L，我们将函数Fi（cf.（8））分为两部分，即Fi（xq；xπ，xc；xu，xσ）=Fi（xq；xc）+g（xπ；xu，xσ），其中我们使用符号xσ替换（8）中的x∑，以强调一维设置，Fi，g定义如下，Fi（xq；xc）：=λpe-xqxpc- xc，i=P；λe-xqln xc- xc，i=L，（22）和g（xπ；xu，xσ）：=p- 1xσxπ+xuxπ+r（1- xπ）- （R）- r） （1）- xπ）-.

（23）在这里，用符号s表示，我们在函数g中取p=0表示i=L。很明显，对于任何xq∈ R、 （十）*π、 ex公司*c、 i（xq）；x个*u，x*σ） 是Fiin a×B的鞍点，如果ex*c、 i（xq）是间隔[c，c]和（x）中fi（xq；·）的最大点*π; x个*u，x*σ） 是g in[π，π]×B的鞍点，即fi（xq；ex*c、 i（xq））=maxxc∈[c，c]fi（xq；xc）；（24）g（xπ；x*u，x*σ) ≤ g（x*π; x个*u，x*σ) ≤ g（x*π; xu，xσ）（25）对于任何（xπ；xu，xσ）∈ 【π，π】×B。从（22）开始，区间【c，c】中fi的最大值和最大点立即取形式fp（xq；ex*c、 P（xq））=λpcpe-xq公司-c、 如果xq<（p- 1） ln c+lnλ；(1-p） λ1/（1）-p） pexq/（p）-1） ，如果（p- 1） lnc+lnλ≤ xq公司≤ （p- 1） ln c+lnλ；λpcpe-xq公司- c、 如果xq>（p- 1） ln c+lnλ。（26）其中*c、 P（xq）：=c{bcP（xq）≤c} +bcP（xq）1{c<bcP（xq）<c}+c1{bcP（xq）≥c} ，bcP（xq）：=λ1-pexpxqp公司- 1., （27）和FL（xq；ex*c、 L（xq））=λe-xqlnc- c、 如果xq<lnλ- ln c；λe-xq（lnλ- xq公司- 1） ，如果lnλ- lnc公司≤ xq公司≤ lnλ- ln c；λe-xqln c- c、 如果xq>lnλ- ln c.（28）其中*c、 L（xq）=c{bcL（xq）≤c} +bcL（xq）1{c<bcL（xq）<c}+c1{bcL（xq）≥c} ，bcL（xq）：=λe-xq。（29）对于电力效用函数，相应的ODE（15）具有财务解释。

ODE解决方案eqP（t）的指数表示投资者通过在剩余期限内优化所有可接受的投资组合消费策略（受模型不确定性影响最小）而获得的额外效用【t，t】，在文献中，eqP（t）被称为（确定性）机会过程（见【24】）。此外，ODE（15）和fP（·；·）的定义暗示-（eqP（t））’eqP（t）=-q′P（t）=pfP（qP（t）；c*（t） ）+pg（x*π; x个*u，x*σ) - ρ、 其中，略带滥用符号，我们表示C*（t） ：=ex*c、 P（qP（t））。因此，我们可以进一步将O DE（15）解释为机会过程eqP（t）的相对变化率的描述，它由三个因素组成：（i）消费贡献因子FP（qP（·），c*（·）），表示由于消费优化而导致的机会过程的变化，包括两部分：当前贡献λe-qP（·）（c）*（·））p/p和未来贡献-c*(·); （ii）未来投资控制因素pg（x*π; x个*u，x*σ） ，表示剩余期限内投资组合优化导致的机会过程的变化；和（iii）折现率ρ。增加消费和未来投资的贡献因素或降低贴现率将导致更大的机会过程。当前消费贡献因素是影响瞬时效用的唯一因素，这也反映在预期效用的表达式中（4）。未来消费共同贡献因子和未来投资贡献因子通过未来财富渠道决定未来消费和终端效用。参与者通过投资策略平衡风险资产和无风险资产，实现效用最大化，同时通过消费策略平衡当前效用和未来效用。

此外，fP（qP（·）的定义*（·））表示λe-qP（·）是当前消费效用相对于未来效用的权重，这与我们的直觉一致，即增加机会过程将导致未来效用的权重增加，并减少当前消费。4最优策略和最坏情况参数的显式解4.1最坏情况参数和最优组合在本节中，我们进一步计算鞍点（x*π; x个*u，x*σ） （23）中给出的函数g（·；·，·）。然后，从定理3.2和3.3可以看出，鞍点通过让（u*s、 σ*s） =（x*u,√x个*σ） 和π*s=x*s的π∈ [0，T]。特别是，我们考虑了不确定参数集B的两个具体例子。假设4.1。B=[u，u]×[σ，σ]，其中u，u，σ，σ是满足以下条件的常数-∞ < u≤ u < + ∞, 0≤ σ ≤ σ < +∞ σ>0。定理4.2。根据假设4.1，最坏情况参数（u*, σ*) 最优投资组合π*如下所示：（i）最坏情况下的漂移和波动率为（u*s、 σ*s）=u{u>r}+[u，u]1{u≤r≤u}+u1{u<r}，σ对于s∈ [0，T]，其中[u，u]表示u*sma可以取该间隔内的任何值；（ii）最优投资组合是一个恒定的过程，如表1所示，β、β和β表示为β：=u- R（1- p） σ，β：=u- r（1- p） σ，β：=u- r（1- p） σ。表1：最优投资组合策略β≥ 1 β≤ 1.≤ β0 ≤ β≤ 1 β≤ 0≤ ββ≤ 0π*smin{β，π}1β0 max{β，π}证明。由于篇幅较长，证明推迟到附录A。我们注意到，最坏情况下的波动率σ*达到其上限σ。这是因为在一维环境中，价值函数在波动率σ上是单调的。

σ越大，意味着投资者面临的市场风险越大，因此，她的价值函数越小。另一方面，最严重的钙-硒漂移是砰砰型。通过关于最优投资组合策略的断言（ii），我们知道u>r意味着π*> 0，即投资者持有该股票的多头头寸。因此，最坏情况下的漂移是其下限。同样，u<r意味着π*< 0，因此，最坏情况下的漂移取其上限。如果u≤ r≤ u，然后π*≡ 0，因此漂移的估计在这种情况下是不相关的。从表1中，我们将五种不同的最优投资组合策略进行了分类π*根据各种情况。（i） 借入购买策略。当β≥ 1、投资者将借款（min{β，π}- 1） 她的财富单位以借贷利率R投资于股票，最优投资组合为min{β，π}。原因是在这种情况下，u≥ R+（1- p） σ，即即使对漂移进行了最坏的估计，股票的收益仍然高于借贷成本。因此，股票的高风险溢价吸引投资者尽可能多地借贷投资，以无约束地接近最优策略。（ii）全方位战略。当β≤ 1.≤ β、 投资者只需将全部财富投资于股票，无需额外借贷。在本案例中，自u起≤ R+（1-p） σ，存在这样一种可能性，即股票的回报率可能不足以补偿借款成本。因此，投资者不愿意借款。另一方面，由于u≥ r+（1- p） σ，即使在最坏的情况下，股票的回报率仍然高于银行账户的回报率，因此，投资者会将所有资金投入股票而不是银行账户。（iii）借贷购买策略。

当0时≤ β≤ 1，投资者将投资其财富在股票中的stβ比例，剩余比例（1-β） 在银行账户中赚取利率r。这类似于标准Merto n的夏普比率策略（u- r）/σ。（iv）无t辐射策略。当β≤ 0≤ β、 投资者将把所有的钱都存入银行账户。在这种情况下，u≤ r≤ u，因此存在这样一种风险，即购买股票的回报不如持有银行账户，投资者宁愿不投资s股票。另一方面，对漂移u的最佳估计仍然优于利率r，因此实施卖空策略可能会给投资者带来潜在损失。这避免了她卖空股票。（v） 卖空策略。当β≤ 0时，投资者将尽可能多地持有该股票的空头头寸，即在这种情况下，其财富的最大{β，π}单位。因此，s他保留（1- 为了赚取利率r，她在银行账户中的财富的最大{β，π}）单位。我们可以通过以下图表进一步说明上述五种最佳投资组合策略，其中横轴表示从顶部到底部的β，β和β的值s，纵轴表示最佳投资组合。π*βββoπoooooπoπoo1oπ卖空策略无交易策略借贷买入策略全仓策略借贷买入策略β=u-R（1-p） σ，β=u-r（1-p） σ，β=u-r（1-p） σ。图1：最优投资组合策略在现有文献中，最坏情况的参数通常是bang-bang类型，即它们在不确定参数集的边界处取值。接下来，我们给出一个例子，其中最坏情况下的漂移和波动率是不确定参数集中的一个内点。特别是，最坏情况下的波动率可能不再是其上限。假设4.3。

假设R=R，π=+∞, π = -∞ B={（u，σ）：u=u+α，σ=σ+kαq，α∈ [0，α]}，其中u，σ，k，q，α是满足σ的常数≥ 0，k>0，0<q<1，α≥ 集合B表明漂移和波动性的模糊性是相关的。更高的回报与更大的风险相关。极限情况q=1意味着漂移模糊度和波动率平方模糊度之间的关系是线性的，这只是【10】中的示例2.4。另一个谱q=0意味着对波动性没有模糊性。最后，0<q<1意味着漂移模糊度和波动率平方模糊度之间的关系是次线性的。定理4.4。根据假设4.3，最坏情况参数（u*, σ*) 最优投资组合π*给出如下：（i）最坏情况参数（u*, σ*) = (u+ α*,pσ+k（α*)q） ，带α*=r- u, - α < u - r≤ 0;α, 0 < u- r<bα：=[2σα1-q+k（2- q） α]/（kq）；α、 否则，其中α是以下代数方程的解（对于u的情况- r>0），h（α）：=2σ+k（2- q） αq- kq（u- r）αq-1= 0; （30）（ii）最优投资组合π*是一个常数过程，由（u）给出*- r）/（（1- p） （σ*)).证据首先，我们证明代数方程（30）对于caseu有唯一的过零点α-r＞0，而且α∈ （0，α）如果0<u-r<bα。

事实上，检查u并不困难- r>0，我们有limα→0+h（α）=-∞, limα→+∞h（α）=+∞,andh′（α）=kq（2- q） αq-1+kq（1- q） （u- r）αq-2> 0.因此，代数方程（30）中的h（·）对于u具有唯一的过零点α- r>0。此外，直接计算表明，如果u- r<bα，则h（α）=2σ+k（2- q） αq- kq（u- r） αq-1> 0，表示α∈ （0，α）如果0<u- r<bα。其次，我们证明了g（π*; u*, (σ*)) ≤ g（π*; xu，xσ），（xu，xσ）∈ B、 为此，请注意g（π*; xu，xσ）=p- 1（σ+kαq）（π*)+ (u+ α - r） π*+ r=（u+α*- r）h（α）2（1- p） （σ*)+ r、 其中h（α）：=-（σ+kαq）（u+α*- r）+2[σ+k（α*)q] （u+α- r） ，和H′（α）=-kqαq-1(u+ α*- r）+2[σ+k（α*)q] ，h′（α）=kq（1- q） αq-2(u + α*- r）。我们除以u的可能值- r分为四种情况。固定α∈ [0，α]和（xu，xσ）∈ B、 如果u- r≤ -α、 然后u+α*- r≤ 0，h′（α）>0，h（α）≤ h（α）=h（α*), g（π*; xu，xσ）≥ g（π*; u*, (σ*)).如果-α < u - r≤ 0，然后u+α*- r=u+（r- u) - r=0，π*= 0，g（π*; xu，xσ）=r=g（π*; u*, (σ*)).如果0<u- r<bα，然后u+α*- r>0，h′（α）>0，h′（α*) = 0，h（α）≥ h（α*), g（π*; xu，xσ）≥ g（π*; u*, (σ*)),我们使用了h（α*) = 0表示h′（α*) = 0.最终，如果u- r≥ bα，则h′（α）=h（α）≤ 0，h′（α）>0，h′（α）≤ 0，h（α）≥ h（α*), g（π*; xu，xσ）≥ g（π*; u*, (σ*)).第三，我们证明了g（π*; u*, (σ*)) ≥ g（xπ；u*, (σ*)), xπ∈ R、 为了看到这一点，我们注意到g（xπ；u*, (σ*)) =p- 1(σ*)xπ+（u*- r）xπ+r=p- 1(σ*)xπ-u*- r（1- p） （σ*)+(u*- r）2（1）- p） （σ*)+ r、 很明显，g（xπ；u*, (σ*)) 在点xπ=π处达到最大值*, so（x*π; u*, (σ*))是g的鞍点，结论来自定理3.2和3.3。如果u- r≤ -α、 然后投资者将卖空她的股票，这类似于定理4.2中的卖空策略。

此外，π*< 0表示最差的ca-se漂移u*和波动率σ*达到其预期上界u+α和pσ+k（α）q-α < u - r<0，则为漂移的下限u≤ r和上界u+α>r。与定理4.2中的无交易策略类似，如果投资者购买或卖空股票，可能会承受损失，因此她只需将所有资金投资到银行账户。Mo reover，π*= 0意味着漂移和波动性的估计在这种情况下是不相关的，在不失去一般性的情况下，我们让（u*, σ*) =r、 qσ+k（r- u）q.如果u- r>0，则投资者将按照最佳比例π投资股票*= (u*- r） /（（1- p） （σ*)) > 0、如果波动率没有歧义，则最严重的cas漂移是其下限u和α*= 由于不确定性漂移和不确定性波动率之间的相关性为正，因此最坏情况参数α*= α、 如果0<u，则为区间[0，α]的内点- r<bα。特别是，最坏情况下的波动率可能不再是其上限。这与定理4.2相反，其中最坏的ca se参数取不确定参数集边界处的值。4.2在本节中，我们计算ODE（15）和（19）的显式解，这反过来允许我们构造maxmin问题（5）的最优功耗（参见（27）或（29））。注意，如果λ=0 in（4）且c=c，则消耗不起作用，最佳消耗策略仅为c*t=c=c。因此，我们在本文的其余部分重点讨论λ>0和c>c的情况。我们首先给出了电力公司的结果。定理4.5。设T>0是一个足够大的数。