参数不确定的约束组合消费策略

因此，我们得到了provedg（x*π; x个*u，x*σ) ≥ g（xπ；x*u，x*σ),  xπ∈ [ π, π ].另一方面，x*π如表1所示，它遵循（36）thatg（x*π; x个*u，x*σ) ≤ g（x*π; xu，xσ）， （xu，xσ）∈ [ u, u ] × [ σ, σ].因此，{x*π; x个*u，x*σ} 是函数g（·；·，·）的一个延迟点。附录B：定理4.5的证明首先，当c>0时，我们给出表8中ODE（15）的显式解。解q，q，q，q，q，q，q，q，q具有显式形式sq（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，T，T）I[T，T]+q（T；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，0，t）；q（t）=q（t；1/λ，0，t）；q（t）=q（t；1/λ，0，t）；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，T，T）I[T，T]+q（T；cp-1，0，T）I【0，T】，在c=0的情况下，结果与表8中的结果相似，只是qand Qar分别被qand q取代。

注意，在这种情况下，表8中的第四行和第五行与q、q、q、q、q、T、T、皮重无关。表8:o f c>0ρ时ODE（15）的显式解qP（·）- 主键(-∞, (1 - p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c，（1- p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c、+∞)c<c<λ1/（1）-p） q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）c<c=λ1/（1-p） q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）c<λ1/（1-p） <c q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）λ1/（1）-p） =c<c q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）λ1/（1-p） 其中I[t，t]是集合[t，t]的指示函数，且区间[t，t]中的函数q（t；A，t，t），q（t；A，t，t），q（t；A，t，t），t（t；A，t，t）=lnλ+lnh公司A.-cpρ+pc-主键e（ρ+pc-pK）（t-T）+cpρ+pc-pKi，ρ-pK 6=-pc；lnhA+cp（T- t） i，ρ- pK=-pc；（37）q（t；A，t，t）=lnλ+(1 - p） lnh公司A1/（1）-p）-1.-pρ-主键eρ-pK1-p（t-T） +1个-pρ-pKi，ρ- pK 6=0；(1 - p） ln公司A1/（1）-p） +吨- t型, ρ - pK=0；（38）q（t；A，t，t）=lnλ+lnh公司A.-cpρ+pc-主键e（ρ+pc-pK）（t-T）+cpρ+pc-pKi，ρ-pK 6=-pc；自然对数A+cp（T- t）, ρ - pK=-pc，（39）和T，T，T，T，皮重给定asT=T+ρ+pc-pKhln公司内容提供商-1.-cpρ+pc-主键- 自然对数λ-cpρ+pc-主键i、 ρ- pK 6=-pc；T- 1/c+1/（λcp），ρ- pK=-pc；（40）吨=T+1-pρ-pKhln公司c-1.-pρ-主键- 自然对数c-1.-pρ-主键i、 ρ- pK 6=0；T+1/c- 1/c，ρ- pK=0；（41）吨=T+1-pρ-pKhln公司c-1.-pρ-主键- 自然对数λ1/（p-1)-1.-pρ-主键i、 ρ- pK 6=0；T+λ1/（p-1)- 1/c，ρ- pK=0；（42）T=T+1- pρ- 主键自然对数c-1.- pρ- 主键- 自然对数λ1/（p-1)-1.- pρ- 主键; （43）T=T+ρ+pc- 主键自然对数内容提供商-1.-cpρ+pc- 主键- 自然对数λ-cpρ+pc- 主键; （44）T=T+1- pρ- 主键自然对数c-1.- pρ- 主键- 自然对数c-1.- pρ- 主键.

（45）例行检查任何A>0和0≤ T≤ 函数q（T；A，T，T），q（T；A，T，T）和q（T；A，T，T）分别求解以下常微分方程，qP（T）=lnλ+ln A+ZTth- ρ+λcpe-qP（s）- pc+PKID， t型∈ [T，T]；（46）qP（t）=lnλ+ln A+ZTt“- ρ + (1 - p） λ（1-p） 经验值qP（s）p- 1.+ pK#ds， t型∈ [T，T]；（47）qP（t）=lnλ+ln A+ZTth- ρ+λcpe-qP（s）- pc+PKID， t型∈ [T，T]。（48）当c>0时，q（0；A，0，T），q（0；A，0，T）和q（0；A，0，T）具有以下渐近性质，极限→∞q（0；A，0，T）=lnλ+lncpρ+pc-主键, ρ - 主键>-pc+∞, ρ - 主键≤ -pc；限制→∞q（0；A，0，T）≤ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≥ (1 - p） c；（49）限制→∞q（0；A，0，T）=lnλ+（1- p） ln公司1.-pρ-主键, ρ - pK>0+∞, ρ - 主键≤ 0;限制→∞q（0；A，0，T）≥ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≤ (1 - p） c；（50）极限→∞q（0；A，0，T）≤ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≥ (1 - p） c；（51）限制→∞q（0；A，0，T）=lnλ+lncpρ+pc-主键, ρ - 主键>-pc+∞, ρ - 主键≤ -pc；限制→∞q（0；A，0，T）≥ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≤ (1 - p） c.（52）定理4.5的证明。案例（1）0≤ c<c<λ1/（1）-p） 。在这种情况下，（p- 1） lnc+lnλ>0。由于qP（T）=0，那么，当T接近T时，qP（T）<（p- 1） lnc+lnλ和c*（t） =ex*c、 P（qP（t））=c。因此，qP（t）在区间[t，t]内满足A=1/λ且t=t的ODE（46），直到t=0或qP（t）=（P- 1） ln c+lnλ。（1.1）如果ρ- pK<（1- p） c6=0，解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），取区间[t，t]中（37）的形式。根据（49），q（0；1/λ，0，T）>（p-1） 如果ln c+lnλ足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1） lnc+lnλ，在（40）中给出。

因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的c。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK<0，则当t<且t接近t时，（p- 1） ln c+lnλ<qP（t）<（p- 1） ln c+lnλ，and c*（t） =bc（t），形式为（27）。因此，qP（t）满足ODE（47），A=cp-1和T=T间隔[T，T]，直到T=0或qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ（其中我们使用了q′P（t）的sig n o不变这一事实（参见第4.6条）和qP（t）>（P- 1） lnc+lnλ表示anyt<T）。求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，T，T）在区间[T，T]中以（38）的形式出现。根据（51），q（0；cp-1，0，T）>（p- 1） 如果T足够大，则ln c+lnλ。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；cp-1，T，T）=（p- 1） ln c+lnλ，在（41）中给出。因此，我们推导出qP（t）=q（t；cp-1、T、T）和c*（t） =区间[t，t]中的bc（t）。回顾q′P（t）的符号不变的事实（参见命题4.6），我们推断出qp（t）≥ （p- 1） ln c+lnλ，c*（t） =c，qP（t）满足ODE（48），A=cp-1和T=T间隔[0，T]。解O DE（48），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，0，T），如（39）所示。（1.2）如果ρ- pK<（1- p） c=0或（1- p） c类≤ ρ - pK<（1- p） c，重复与（1.1）相同的参数，我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），如（37）中所示，和c*=区间[T，T]中的c，且qp（T）=q（T；cp-1，T，T），直到T=0或qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ。在ρ的情况下- 主键≤ (1 - p） c=0，（p- 1） ln c+lnλ=+∞ > q（t；cp-1，0，T），且T=0。在另一种情况下，由于ρ- pK>0和ρ- 主键- (1 - p） c<0，则（38）意味着q（t；cp）-1，0，T）<lnλ+（1-p） ln1- pρ- 主键≤ lnλ+（1-p） lnc=（p-1） ln c+lnλ， t型∈ [0，T]。因此，我们推断T=0。

因此，qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（1.3）如果（1- p） c类≤ ρ - pK<λcp- pc，求解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），如（37）中所示，直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。Sinceq（t；1/λ，0，t）<lnλ+lncpρ+pc- 主键≤ lnλ+lncp-1=（p- 1） ln c+lnλ， t型∈ [0，T]，然后qP（T）=q（T；1/λ，0，T）和c*（t） =区间[0，t]中的c。（1.4）如果ρ- 主键≥ λcp- 通过求解ODE（46），我们得出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。自ρ+pc- 主键≥ 0和ρ+pc- 主键- λcp≥ 0，那么q（t；1/λ，0，t）相对于t是不减的，因此对于t∈ [0，T]，q（T；1/λ，0，T）≤ q（T；1/λ，0，T）=0<（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。案例（2）0≤ c<c=λ1/（1）-p） 。在这种情况下，请注意（p- 1） ln c+lnλ=0。（2.1）如果ρ- pK<（1- p） c6=0，自q′p（T-0) = ρ -pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ - (1 -p） c类-主键≤ ρ - 主键-(1 - p） c<0，那么，当t接近t时，qP（t）>0=（p-1） lnc+lnλ，qP（t）<（p-1） ln c+lnλ和c*（t） =bc（t）。因此，qP（t）在区间[t，t]中以A=1/λ和t=t满足ODE（47），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），如区间[t，t]中的（38）所示。根据（51），q（0；1/λ，0，T）>（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1）ln c+lnλ，在（42）中给出。因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。回顾q′P（t）的符号不变的事实，我们推断在区间[0，t]中，qP（t）≥ qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ，c*（t） =c，qP（t）满足ODE（48），A=cp-1andT=T。

解O DE（48），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，0，T），如间隔[0，T]中的（39）。（2.2）如果ρ- pK<（1- p） c=0或（1- p） c类≤ ρ - pK<（1- p） c，自q′p（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ - (1 - p） c类- pK<0仍然成立，然后重复与案例（2.1）相似的ar-gument，我们推断c*（t） =bc（t）和qP（t）=q（t；1/λ，t，t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。在ρ的情况下-主键≤ (1 - p） c=0，（p-1） ln c+lnλ=+∞ > q（t；1/λ，0，t），t=0。在另一种情况下，由于ρ- pK>0和（ρ- pK）- (1 - p） λ1/（1）-p） =（ρ- pK）- (1 - p） c<0，则对于任何t∈ [0，T]，我们仍然有q（T；1/λ，0，T）<lnλ+（1- p） ln1- pρ- 主键≤ lnλ+（1- p） lnc=（p- 1） ln c+lnλ。（53）因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（2.3）如果ρ- 主键≥ (1 - p） c.我们首先讨论ρ- pK>（1- p） c.结合以下计算Q′p（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK>0，并且q′P（t）的符号不变，我们得出qP（t）<qP（t）=0=（P-1） lnc+lnλ，c*（t） =c，且qP（t）满足ODE（46），在区间[0，t]内A=1/λ，t=t。解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。另一方面，如果ρ- pK=（1- p） c，然后ρ- pK=λcp- pc和t∈ [0，T]，我们有qP（T）=0，因此仍然有qP（T）=q（T；1/λ，0，T）。案例（3）0≤ c<λ1/（1）-p） <c.在这种情况下，请注意（p- 1） lnc+lnλ<0<（p- 1） ln c+lnλ。

由于qP（T）=0，那么，当T接近T时，（p- 1） lnc+lnλ<qP（t）<（p- 1） ln c+lnλ，c*（t） =bc（t）和qP（t）s A=1/λ，t=t，直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ或qp（T）=（p- 1） ln c+lnλ。（3.1）如果ρ-pK<（1-p） c6=0，解O DE（47），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。自q′P（T-0 ) = ρ-pfP（qP（T），c*（T））-pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1-p） λ1/（1）-p）-pK<ρ-(1-p） c-pK<0，那么我们根据q′P（t）的符号不变的事实推断qP（t）相对于t是不递增的。因此，我们有qP（t）>（p- 1） 对于任何t，lnc+lnλ∈ [0，T]。此外，（51）意味着q（0；1/λ，0，T）>（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1）ln c+lnλ，在（42）中给出。因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK<0，则对于任何t∈ [0，T），我们有qP（T）>（p-1） ln c+lnλ和qP（t）满足ODE（48），A=cp-1和T=T间隔[0，T]。求解ODE（48），我们得到qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =cin间隔[0，t]。（3.2）如果ρ- pK<（1- p） c=0或（1- p） c类≤ ρ - pK<（1- p） λ1/（1）-p） ，重复cas e（3.1）中的类似参数，我们推断qP（t）=q（t；1/λ，t，t），c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t），直到t=0或qP（t）=（p-1） ln c+lnλ。对于ρ的情况-主键≤ (1-p） c=0，（p-1） ln c+lnλ=+∞ > q（t；1/λ，0，t），t=0。对于另一种情况，由于ρ-pK>0和ρ-主键-(1 -p） λ1/（1）-p） <0，则（53）仍然有效。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（3.3）如果（1- p） λ1-p≤ ρ - 主键≤ (1 - p） 解ODE（47），我们有qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。

自ρ起- pK>0和ρ- 主键- (1 - p） λ1-p≥ 0，则q（t；1/λ，0，t）为非减量，对于t∈ [0，T]，我们有（p- 1） ln c+lnλ>0=q（T；1/λ，0，T）≥ q（t；1/λ，0，t）≥ (1 - p） ln公司1.- pρ- 主键+ lnλ≥ (1 - p） lnc+lnλ=（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（3.4）如果ρ- pK>（1-p） 通过求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t）。自q′P（T-0 ) = ρ-pfP（qP（T），c*（T））-pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1-p） λ1/（1）-p）-pK>ρ-(1-p） c类-pK>0，然后我们根据q′P（t）的符号不变的事实推断qP（t）相对于t是不递减的。因此，我们有qP（t）<（p- 1） 对于任何t，ln c+lnλ∈ [0，T]。此外，（50）意味着q（0；1/λ，0，T）<（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1）lnc+lnλ，以及（43）中给出的。因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK>0，则对于任何t∈ [0，T），我们有qP（T）<（p-1） lnc+lnλ和qP（t）满足ODE（46），A=cp-1和T=T间隔[0，T]。求解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =区间[0，t]中的c。情况（4）λ1/（1）-p） =c<c。在这种情况下，请注意（p- 1） ln c+lnλ<0=（p- 1） ln c+lnλ。（4.1）如果ρ- 主键≤ (1 - p） c，我们首先考虑ρ- pK<（1- p） c.结合以下计算Q′p（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c- pK<0，并且q′P（t）的符号没有改变，我们推断qP（t）>0=（P- 1） ln c+lnλ，c*（t） =c，且qP（t）满足ODE（4 8），其中A=1/λ，t=t在区间[0，t]内。

SolvingODE（48），我们有qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。当ρ- pK=（1- p） c，很容易看出t∈ [0，T]，我们有qP（T）=0，并且我们仍然有qP（T）等于q（T；1，0，T）和c*（t） =cin间隔[0，t]。（4.2）如果（1- p） c<ρ- 主键≤ (1 - p） c，因为q（T）=0=（p- 1） ln c+lnλ和q′P（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c- pK>0，那么，当t接近t时，我们有（p-1） lnc+lnλ<qP（t）<（p-1） ln c+lnλ。因此，qP（t）在区间[t，t]中满足A=1/λ和t=t的要求，直到t=0或qP（t）=（p-1） ln c+lnλ或qP（T）=（p-1） ln c+lnλ。根据q′P（t）的符号不变的事实，我们推断qP（t）与t无关。因此，qP（t）=（P-1） 对于某些T，ln c+lnλ∈ 解ODE（47），我们得到qP（T）=q（T；1/λ，T，T）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。自（ρ-pK）-(1 - p） λ1/（1）-p） =（ρ-pK）-(1 -p） c>0，则q（t；1/λ，0，t）相对于t增加，因此对于t∈ [0，T），我们有（p- 1） ln c+lnλ=0=q（T；1/λ，0，T）>q（T；1/λ，0，T）>（1- p） ln1- pρ- pK+lnλ≥ (1 - p） lnc+lnλ=（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（4.3）如果ρ-pK>（1-p） c，重复案例（4.2）中的类似论点，我们推断qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。根据（50），q（0；1/λ，0，T）<（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1） lnc+lnλ，以及（43）中给出的Tis。

因此，我们推导出t qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。组合Q′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -主键- (1 - p） c＞0，并且q′p（t）的符号不变，我们推断在区间[0，t]中，qP（t）<（p- 1） lnc+lnλ，c*（t） =c，qP（t）满足ODE（46），A=cp-1和T=T。解ODE（46），我们得到qP（T）=q（T；cp-1，0，T），在间隔[0，T]中。情况（5）λ1/（1）-p） 因为qP（T）=0>（p- 1） ln c+lnλ，则qP（t）满足ODE（48），A=1/λ，t=t，直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。通过求解O DE（48），我们得到qp（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]中的c。（5.1）如果ρ-主键≤ λcp-pc，然后ρ+pc- 主键- λcp≤ 0，q（t；1/λ，0，t）相对于t是不递增的，因此对于t∈ [0，T]，我们有q（T；1/λ，0，T）≥ q（T；1/λ，0，T）=0>（p-1） ln c+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =cin间隔[0，t]。（5.2）如果λcp- pc<ρ- 主键≤ (1 - p） c，然后ρ+p c- 主键- λcp>0，andq（t；1/λ，0，t）≥ lnλ+lncpρ+pc- 主键≥ LNCCP+lnλ=（p- 1） ln c+lnλ， t型∈ [0，T]。因此，我们仍然有qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。（5.3）如果（1- p） c<ρ- 主键≤ (1 - p） c，则（52）表示q（0；1/λ，0，T）<（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch thatq（T；1/λ，T，T）=（p- 1） ln c+lnλ，在（44）中给出。