Black-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资

确定度量值Q≈ FTbydQdP上的P=ZT。然后S是局部Q-鞅，满足SDEdSt=St-σdWQt+dMHZ·φ（u）（1+y（u））dut型, （3.16）式中，WQ=W+R·∑u - φ（u）y（u）1{u≤γ、 u<T}du是Q-布朗运动，γ在Q下具有分布函数H，MHR·φ（u）（1+y（u））du是平方可积Q-鞅。证据为方便起见，定义函数j：[0，T]→ R乘以j（t，v）=σu - φ（t）y（t）1{t≤v、 t<t}并设置Z：=E-R·j（u，γ）dWuZ：=MGζ。首先，Z=zz是引理a.1（a）（i）的（P，F）-鞅，Y=Zand Y=Z，利用定理3.1，Z是正（P，Fγ）-鞅。很明显，Z=Z=Z=1，并且根据P下fw和Fγ的独立性，Z也是一个（P，F）-鞅。第二，定义Q≈ FTbydQdP上的P=ZT。很明显，Q≈ Q，其中dqdq=ZT。ByGirsanov定理（从P到Q），W- (-R·j（u，γ）du）=WQis是一个Q-布朗运动，再次根据Girsanov定理（来自Qto Q）和Zis纯不连续的事实，WQ-R·Zud[Z，WQ]u=WQ是局部Q-鞅。根据Lévy对布朗运动的刻画，它甚至是一个Q-布朗运动。第三，定义Qγ≈ P在FT（和FγT）上，由dqγdP=ZT。那么，根据定理3.1，γ在Qγ下具有分布函数h，根据引理A.1（b）（i），也在Q下具有分布函数h，将后者应用于x2，Q=1{γ≤t} s=0。最后，MGφ+R·{u≤γ} φ（u）y（u）du=MHR·φ（u）（1+y（u））du是定理3.1中的平方可积（Qγ，Fγ）-鞅，因此也是Emma a.1（b）（ii）中的平方可积（Q，F）-鞅。现在，（3.16）源自（2.4）中WQ的定义和S的动力学。注意，在Q下，如定理3.4所示，股价S可以写成连续随机指数和纯间断单跳局部鞅的乘积。定理3.4的以下技术推论提供了单跳局部鞅的Q-鞅性质转移到乘积的Q-鞅性质的条件。推论3.5。

设y、H、Q和WQbe如定理3.4所示。设k：[0，T]→ 形式为k（t，v）=k（t）+k（t）1{t≤v、 t<t}，其中k，k∈ L[0，T]，设η∈ C[0，T）应使Rt | AHη（u）| H（u）du<∞. ThenE公司Z·k（u，γ）dWQuMHη（3.17）是一个局部Q-鞅。它是Q-鞅当且仅当MHη是Q-鞅。证据设j、Z、Z、Z和Qγ与定理3.4的证明相同。设置▄Z：=ER·k（u，γ）dWQu,~Z：=MHη，Y：=Z▄Z，Y：=ZMHη。那么，根据命题2.2（a）（利用γ在Qγ下具有分布函数H），Z=MHη是局部（Qγ，Fγ）-鞅，一个简短的计算得出Y=ER·（k）- j） （u，γ）dWuP-a.s.我们必须证明▄Z▄Zis是一个局部（Q，F）-鞅，并且▄Z▄Zis a（Q，F）-鞅i且仅当▄Zis a（Q，F）-鞅，或等价于引理a.1（b）（ii），a（Qγ，F）-鞅。利用Bayes定理，证明了YY=ZZZis是局部（P，F）-鞅，且当且仅当Y=ZZis a（P，Fγ）-鞅时，它是（P，F）-鞅。回顾ZT=dQγdP，Bayes定理得出Y=ZZis是局部（P，Fγ）-鞅，引理a.1（a）（ii）和（i），其中k替换为k- j完成证明。3.3严格的局部鞅条件我们现在可以陈述我们的第一个主要结果。它给出了一个必要且充分的条件，使得资产价格S在某些ELMMs Q下是严格的局部鞅，如定理3.4所构造。定理3.6。设y和Q如定理3.4所示。（a） 如果G（T）>0，那么S总是Q-鞅。（b） 如果G（T）=0，另外假设存在常数 ∈ （0、1）和C≥ 1以便 ≤ 1+y（t）≤ C+Cφ（t）{κG（t）<Cφ（t）}，t∈ （3.18）那么：oS是Q-鞅当且仅当ifRT（κG（u））- φ（u））du=∞.o S是严格局部Q-鞅当且仅当ifRT（κG（u））-φ（u））du<∞. 此外，在这种情况下，lim supt↑↑Tδ（T）=1。证据

首先，根据（3.16）和MHR·φ（u）（1+y（u））du是完全不连续的，S=E（σWQ）EMH公司Z·φ（u）（1+y（u））duP-a.s.（3.19）其次，根据推论3.5，（3.19）的右侧是Q鞅，当且仅当第二因子为。为此，请注意，根据命题3.2，第二个因子的形式为MHη，η=expoR·φ（u）（1+y（u））du. 现在，如果G（T）>0，那么MHη是命题2.2（b）（i）（和引理a.1（b）（ii）关于过滤变化的Q-鞅）。所以我们有（a）。否则，如果G（T）=0，定理3.3（以及过滤变化的引理A.1（b）（ii））表明MHη是Q-鞅当且仅当ifRT（κG（u）-φ（u））du=∞. 这就得到了两种等效值（b）。现在，假设G（T）=0和thatRT（κG（u）- φ（u））du<∞. 还有待证明LIM支持↑↑Tδ（T）=1。By（2.5），δ≤ 1开（0，T），因此需要显示lim supt↑↑Tδ（T）≥ 1、寻找一个矛盾，假设ε>0，使得lim supt↑↑Tδ（T）≤ 1.-ε. 那就是t∈ （0，T）使得φ（T）κG（T）=δ（T）≤ 1.- ε、 t型∈ （t，t），或等效地，κG（t）- φ（t）≥ εκG（t），t∈ （t，t）。（3.20）根据命题2.1，回顾一下κGis在（0，T）上的不可积性。当κGis在[0，T]上连续时，它在（T，T）上也是不可积的。但在（3.20）下，也可以是κG- φ在（0，T）上是不可积的。这是一种矛盾。我们举例说明定理3.6，其中S是严格局部Q-鞅。示例3.7。设γ在[0，1]上均匀分布，即T=1，G（T）=T在[0，1]上，设φ∈ C[0，1）由φ（t）=-日志（1-t）-t、 那么φ（t）=1-t型-1=κG（t）-1 ful fills假设（2.5），因此根据定理3.6，S是对应于某些y的任何ELMM Q下的严格局部鞅∈ 带inft的C[0，T]∈[0，T）y（T）>-1且满足（3.12）和（3.18）（如y≡ 0).

注意，δ（t）=t，如果在时间t发生，S跳跃的相对大小∈ [0，1），从0线性增加到1：气泡破裂越晚，破裂时的相对跳跃大小越大。3.4放松JLS模型的严格局部鞅特征作为我们第一个主要结果定理3.6的应用，我们现在提供了放松JLS模型在物理测度下成为严格局部鞅的必要和充分条件。在这种情况下，放松JLS模型的ive跳跃大小δ（t）必须本质上收敛于1，即t↑↑ T换言之，对于每个ε>0，气泡成分损失分数1的概率为正- 碰撞时其值的ε。定理3.8。假设κG（t）=B | t形式的危险率κGis- t | m-1+C | T- t | m-1个COS（$log（T- t）- ψ） ，t∈ [0，T），（3.21）对于实参数B，C，m，$，和ψ，C |<B（因此κG>0在[0，T]）。那么S是一个收敛的局部鞅当且仅当ifm≤ 0和ZTκG（u）- φ（u）du<∞. （3.22）此外，在这种情况下，lim supt↑↑Tδ（T）=1。证据鉴于κ和性质| C |<B的形式（3.21），我们首先注意到m≤ 0相当于κG在（0，T）上不可积。这与命题2.1一起表明≤ 0当且仅当G（T）=0。现在，断言来自定理3.6（y≡ 0).备注3.9。回顾（2.6）中的δ=φκG，（3.22）中的第二个条件也可以表示为（1- δ） κG在（0，T）上可积。4最佳投资在本节中，我们假设u>0和φ∈ C[0，T）。我们现在分析理性投资者在存在第2.2节所述类型的资产价格泡沫时应如何行动。第4.1节介绍了小投资者的最优投资问题。第4.2节以启发式方式推导了最优策略和相关积分方程。

第4.3节包含了相应的严格存在唯一性结果。第4.4节将最优策略分解为其短视和对冲需求及其经济解释。第4.5节计算了该市场交易的确定性当量。最后，第4.6节给出了最优策略和确定性等价物的数值说明。4.1问题公式我们考虑初始资本x>0的小型投资者，他们可以在第2.2节所述的金融市场进行交易。对于任何F-可预测的实值过程π=（πt）t∈[0，T]对于返回过程R是可积的，设Xπ=（XπT）T∈[0，T]是SDEdXπtXπT的唯一解决方案-= πtdStSt-= πtdRt，Xπ=X。（4.1）如果Xπ为正，我们称π为可容许策略。在这种情况下，我们可以将Xπ解释为与市场自我融资策略（B，S）（初始资本X）相对应的财富过程，πtas是时间t时投资于股票的财富份额。我们假设投资者具有参数p>0的恒定相对风险厌恶。相应的效用函数为givenbyU（x）=（1-px1-pif p 6=1，如果p=1，x>0，则记录x。投资者的目标是在所有可接受的策略π：E[U（XπT）]上最大化预期效用E[U（XπT）]→ 最大π！（4.2）我们使用凸对偶方法来推导和验证最优策略。与Kramkov和Schachermayer[30]关于一般不完全半鞅模型的非常深入的一般结果不同，我们只使用了以下著名的初等结果，给出了最优性的一个充分条件；参见[27，引理2.4]后面的注释。提案4.1。设^π=（^πt）t∈[0，T]是可容许策略，^Q是等价的局部鞅测度（ELMM），且^z>0。

如果（OC1）U（X^πT）=^zd^QdPand（OC2）E^QX^πT= x、 然后，^π使所有容许策略π上的期望效用E[U（xπT）]最大化。上述结果中出现的ELMM^Q也被称为对应于问题（4.2）的对偶极小值。4.2最优策略的启发式推导我们继续启发式推导投资问题的候选最优策略π（4.2）。根据命题4.1，我们假设一个三元组（π，Q，z）由一个可容许策略π、一个ELMM Q（属于定理3.4中考虑的类）和一个数字z>0组成，满足第一个最优性条件（OC1）U（XπT）=zdQdP。我们分三步进行；为了便于阅读，我们经常放弃争论（尤其是在特定的时间），不进行繁琐而直接的计算。第1步。由于Q属于定理3.4中考虑的ELMM类，因此存在一个精确的函数y∈ C[0，T），使得Q相对于P的密度过程Z由Z=E给出-Z·σu - φy1{u≤γ、 u<T}dWu公司MGζ，（4.3），其中ζ（t）=exp-RtκGy du. By（OC1），XπT=（U）-1（zZT），由（4.3）得出，在somealgebra之后，XπT=xETZ·pσ（u- φy1{u≤γ、 u<T}）dWQu×JJ（γ），（4.4），其中J：=xz-pexp1.-p2pσuT函数J:[0，T]→ (0, ∞) 由J（v）定义=经验值Rv1-p2pσφy（φy- 2u）+pκGy-du（1+y（v））-pif v<T，expRT1-p2pσφy（φy- 2u）+pκGy-du如果v=T，则执行步骤2。通过财富过程Xπ的SDE（4.1）和Q下S的动力学（3.16），XπT=xETZ·πuσdWQu×ETZ·πudMHuZ·φ（1+y）dv, （4.5）其中H表示γ在Q下的分布函数。比较（4.4）和（4.5），我们做出了有根据的猜测，第一和第二因子以及“dWQ项”的被积函数是一致的。特别是，对后者的比较得出πt=pσu - φ（t）y（t）1{t≤γ、 t<t}, t型∈ [0，T]，仍需确定函数y。

由于π遵循一个直到时间γ的确定性函数，（命题3.2给定集的正规应用）Z·πudMHuZ·φ（1+y）dv= MHTξ，其中ξ（t）=expRtpσ（u- φy）φ（1+y）du, t型∈ [0，T）。接下来，通过（3.6）和一些代数，weobtainXπT=xETZ·πuσdWQu×K（γ），（4.6），其中函数K:[0，T]→ (0, ∞) 定义为K（v）=经验值Rvpσ（u- φy）φ（1+y）dua（v，y（v），p），如果v<T，expRTpσ（u- φy）φ（1+y）du如果v=T，请注意，对于最优策略的推导，我们不需要考虑命题4.1中的第二个最优性条件（OC2）。（OC2）仅用于验证。函数a：[0，T）×[-1.∞) × (0, ∞) → R由a（t，y，p）=1给出-pσφ（t）κG（t）（u- φ（t）y）=1- δ（t）pσ（u- φ（t）y）。（4.7）步骤3。将（4.4）和（4.6）右侧的第二个因子相等，给定sk（v）J（v）=J，v∈ [0，T]。（4.8）使用（4.8）表示v<T和v=T，并重新排列术语yieldsK（v）/K（T）J（v）/J（T）=1，v∈ [0，T）。（4.9）现在，定义函数b，m，n：[0，T）×[-1.∞) × (0, ∞) → R byb（t，y，p）=1+pya（t，y，p），（4.10）m（t，y，p）=（1+y）pa（t，y，p），（4.11）n（t，y，p）=-1.- p2pσ（φ（t）y）+κG（t）（b（t，y，p）-1) . （4.12）然后在一些代数之后，K（v）/K（T）J（v）/J（T）=m（v，y（v），p）expZTvn（u，y（u），p）du, v∈ [0，T）。最后，将其插入（4.9）并重新排列术语表明，y满足积分方程m（v，y（v），p）=exp-ZTvn（u，y（u），p）du, v∈ [0，T）.4.3最优策略的存在性和唯一性我们现在可以陈述我们的第二个主要结果。它表明，第4.2节中启发式导出的候选最优策略是存在的，并且对于效用最大化问题（4.2）确实是最优的。定理4.2.固定p∈ (0, ∞). 存在唯一的函数^y∈ C[0，T）带^y>-1满足积分方程m（t，y（t），p）=exp-ZTtn（u，y（u），p）du, t型∈ [0，T）。

（4.13）策略^π=（^πt）t∈[0，T]根据^y定义为^πT=pσu - φ（t）^y（t）1{t≤γ、 t<t}（4.14）是可容许的，并且在所有可容许策略π上使期望效用E[U（XπT）]最大化。此外，^y满意度（3.12）和（3.18）。注意，m来自K和J的第二个因子的商，n来自K和J的指数内被积函数的差异。备注4.3。当我们谈论积分方程（4.13）的解时，我们默认地强加了| n（u，y（u），p）| du<∞. 然后（4.13），在（4.11）中对m的定义，以及要求^y>-1表示a（t，^y（t），p）>0，t∈ [0，T）。经济上，后一个属性意味着投资者的财富在泡沫破裂后为正。事实上，在{γ=T}上，当股票在时间T失去其价值的分数δ（T），时间T的财富由（1）给出- ^πt）X^πt-+ ^πtX^πt-(1 - δ（t））=X^πt-(1 - δ（t）^πt）=X^πt-a（t，^y（t），p）。定理4.2的证明。其想法是构造一个满足命题4.1假设的三元组（^π、^Q、^z），从而产生投资问题的优化器（4.2）。我们分三步进行：首先，我们构造积分方程（4.13）的（唯一）解；其次，我们构造一个三重态（^π，^Q，^z）；第三，我们验证该三元组满足命题4.1的条件（OC1）和（OC2）。第1步。定理B.5详细说明了（4.13）有唯一解^y>-1满足（3.12）和（3.18）。这里，我们仅概述主要困难和想法。通过在两侧取对数，对t进行微分并重新排列项，积分方程（4.13）可以很容易地转换为y（t）=f（t，y（t）），t∈ [0，T）。（4.15）需要注意的是，由于（4.13）不需要为T=T定义，也不需要为T=T定义f。

然而，正式让t↑↑ T在（4.13）中，我们发现“终端条件”限制↑↑Tm（t，y（t），p）=1。（4.16）这种“终端条件”都是隐含的，并且只能表示为一个限制，这一事实使得模式非标准。然而，证明ODE（4.15）的解^y的存在可以简化为找到一对（y*, y*) （4.15）的所谓后向上解和后向下解（参见引理B.2）。合适的y型结构*和y*因此，解决方案（4.16）也是证明第一步的主要技术难点。第2步。现在，我们构造一个三元组（^π，^Q，^z），如下所示。首先，通过步骤1，^y满足定理3.4的假设（注意，（3.18）意味着∈[0，T）^y（T）>-1） ，这将为S生成一个明确的ELMM^Q。其次，我们必须检查（4.14）中定义的^π相对于返回过程R是可积的，并且它是可容许的。从^y saties（3.12）这一事实可以清楚地看出第一个断言。对于第二个断言，引理C.1确定了财富过程X^π与^y之间的关系，并表明它仍然是正的；证明主要是计算性的。第三，通过^z定义^z>0-p=xm（0，^y（0），p）exp-(1 - p） u2pσT; （4.17）注意，当^y解（4.13）时，m（0，^y（0），p）>0。第3步。（OC1）和（OC2）的验证分别在引理C.2和C.3中进行。这一证明步骤的主要困难在于证明候选财富过程x^π是a^Q-鞅（即（OC2））。（OC1）的证明主要是计算性的。4.4最优策略的短视和对冲需求最优投资问题背景下的一个常见目标是了解最优策略的定性行为。为此，最优策略通常被分解为近视需求和对冲需求的总和（参见，例如，[1，第三节]，[28，方程（19）]，[9，方程（14）]，[32，推论3]）。

在离散时间内，短视需求是投资者的最佳策略，投资者将每个时期视为最后一个时期，而不管未来回报的条件分布如何（参见Mossin[34]）。在连续时间设置中，当投资期限为-t变为零。可以看出，在我们的设置中，这对应于让T↓ 积分方程（4.13）中的t（正如人们在形式上所期望的那样）。因此，以下极限方程（4.18）的解可用于通过（4.19）确定近视需求。然后，套期保值需求被定义为最优策略和短视需求之间的差异（参见（4.20））。下面的定理说明了这种分解的有趣结果。定理4.4。修复p∈ (0, ∞). 存在唯一的函数ym∈ 带ym的C[0，T]≥ 0满足方程m（t，ym（t），p）=1。（4.18）设^y如定理4.2所示。过程πm=（πmt）t∈[0，T]和πh=（πht）T∈[0，T]根据y和y定义为πmt=pσu - φ（t）ym（t）1{t≤γ、 t<t}, （4.19）πht=^πt- πmt=pσφ（t）（ym（t）- ^y（t））1{t≤γ、 t＜t}（4.20）称为最优策略^π的短视需求和套期保值需求。（a） 近视需求满足度0<πm≤upσ，（4.21），其中{t≤ γ、 当且仅当φ（t）=0时，右不等式才是等式。（b） 套期保值需求满足πh≤ 0表示p∈ （0，1），对于p=1，πh=0，以及πh≥ 0表示p>1。（4.22）此外，如果lim支持↑↑TG（t）<∞, 然后限制↑↑Tπht=0 P-a.s.证明。引理B.3给出了ymfollow的存在唯一性。建立ym≥ 0，文本∈ [0，T）。根据（4.11）和（4.7）中m和a的定义，1=m（T，ym（T），p）=（1+ym（T））pa（T，ym（T），p）=（1+ym（T））p1.-pσφ（t）κG（t）（u- φ（t）ym（t））.（4.23）如果ym（t）<0，则（4.23）的右侧严格小于1，这是荒谬的。所以ym是非负的。（a） ：修复t∈ [0，T]。