Black-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资

为了建立（4.21）中的第一个不等式，必须考虑φ（t）>0和ym（t）>0和{t≤ γ、 t<t}；否则，不等式可满足u>0。在这种情况下，根据（4.7）和（4.11）中a和m的定义，即m（t，ym（t），p）=1，且p>0，我们得到φ（t）κG（t）πmt=pσφ（t）κG（t）（u- φ（t）ym（t））=1- a（t，ym（t），p）=1- （1+ym（t））-p> 0，不等式如下。（4.21）中的第二个不等式源自ym的非负性。最后，在{t≤ γ、 t<t}，我们有πmt=pσ（u- φ（t）ym（t）），当且仅当φ（t）ym（t）=0时，这等于upσ。根据ymand（4.23）的非负性，这相当于φ（t）=0。（b） ：不等式（4.22）源自定理b.5（注意ym=y*对于p≤ 1 andym=y*对于p≥ 1). 如果G（T）=0。如果G（T）>0，推论B.4表明limt↑↑Tφ（T）（y*（t）- y*（t） ）=0，因此更严格限制↑↑Tφ（T）（ym（T）- ^y（t））=0*≤ ^y≤ y*通过定理B.5在[0，T]上进行证明。这就完成了证明。下面是几条注释。注释4.5。定理4.2表明，最优策略^π通常是根据积分方程（或常微分方程）的解给出的. 相比之下，为了找到最佳策略的短视需求，需要为每个t求解一个方程。备注4.6。我们对连续时间短视需求的解释表明，对冲需求在时间范围T应接近0，这在对G的非常温和的技术假设下是正确的。对冲需求行为的经济解释如下。泡沫破裂后，该模型的行为类似于Black-Scholes模型，具有瞬时预期回报u和瞬时连续方差σ。在坠机之前，瞬时预期回报率仍然为u，但由于单个跳跃分量MGφ，回报的总瞬时方差超过σ。

因此，任何厌恶风险的投资者都会青睐Black-Scholes市场，而不是我们的市场（事实上，下面定理4.7中我们市场交易的确定性等价物显示了Black-Scholes确定性等价物的合理性）。泡沫破裂得越晚，投资者投资布莱克-斯科尔斯市场的时间就越短。因此，如果泡沫提前破裂，对投资者有利；如果泡沫晚破裂或从不破裂，则对投资者不利。相对风险厌恶度高（p>1）的投资者利用非负对冲需求πh对冲泡沫的后期破裂。事实上，如果泡沫提前破裂，他们损失的钱比他们只是短视地进行投资，并且仅在短时间内从（非负的）崩溃前瞬时超额回报φ中获利要多。然而，在泡沫破裂较晚或从未破裂的不利情况下，他们通过投资超过短视的需求，显著受益于（非负的）崩溃前瞬时超额回报φ；这补偿了他们在无泡沫市场上仅剩的一小部分时间。相对风险厌恶度较低（p<1）的投资者会利用非正面对冲需求πm来推测泡沫的早期破裂。事实上，泡沫的早期破裂在两个方面对他们有利。首先，如上所述，他们可以在崩盘后的更长时间内投资于无泡沫市场。其次，在股市崩盘时，他们的损失（甚至在套期保值需求超过绝对价值的短视需求而产生空头头寸的情况下获得的收益）比他们只是短视投资的损失要少。

然而，如果泡沫破裂较晚或从未破裂，则适当的策略表现比短视的需求差，因为它们明显低于崩溃前的瞬时超额回报φ。在对数效用的极限情况下（p=1），投资者既不对冲也不推测崩溃的时间；他们的最佳策略等于短视的需求，反映了众所周知的事实，即原木投资者的行为短视。此外，方程m（t，y（t），1）=1简化为y（t）中的二次方程，其唯一解为y>-如果φ（t）=0，则由^y（t）=0得出1，并且^y（t）=2φ（t）u- φ（t）- σκ（t）φ（t）+su - φ（t）- σκ（t）φ（t）+ 4uφ（t）！如果φ（t）>0.4.5确定性当量，我们继续计算最优策略的确定性当量^π。定理4.7。如果p=1，则市场交易的确定性等价物为isU-1.EU（X^πT）= x扩展u2σT×经验值-ZTφ（u）^y（u）2σ（1- G（u））du×经验值-ZT公司对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du. （4.24）如果p 6=1，则市场交易的确定性等价于isU-1.EU（X^πT）= x扩展u2pσT×m（0，^y（0），p）-p1-p、 （4.25）（4.24）中的不同因素具有明确的经济解释。第一个是Black-Scholes模型中默顿比例|σ的确定等效性。下面的证明表明，第一个因子和第二个因子的乘积是Black-Scholes模型中策略^π的确定性等价物，因此，第二个因子单独描述了Black-Scholes模型中交易策略^π（而不是|σ）所导致的相对确定性等价物损失。

最后，第三个因子表示由于存在单跳跃分量mgφ而导致的确定性等效损失。在一般电力公司的情况下，（4.25）中的第一个因素再次是Black-Scholes模型中默顿比例upσ的确定性等价物，第二个因素描述了由于与Black-Scholes模型中的策略^π交易以及由于存在单跳跃分量MGφ而导致的组合相对确定性等价物损失。定理4.7的证明。首先，假设p=1。通过对财富过程的定义以及（ut+σWt）t∈[0，T]是连续半鞅，MGφ是纯间断鞅，XπT=xETZ·^πudRu= xET公司Z·^πud（uu+σWu）ET公司Z·^πudMGφuP-a.s.（4.26）我们首先计算（4.26）右侧第一个因子的对数的期望值；这正好对应于投资者通过采用标准Black-Scholes模型中的策略^π获得的效用。AsR·∑^πudwu是一个平方可积鞅，由（4.14）和（B.16）中的^π定义，给出了一个标准计算日志ET公司Z·^πud（uu+σWu）= E“2σZTu- φ（u）^y（u）{u≤γ、 u<T}du#=u2σT-ZTφ（u）^y（u）2σ（1- G（u））du。为了计算第二个因子的对数的期望值，我们首先注意到，根据MGφ的动力学，ZT^πudMGφu=Zγ′π（u）φ（u）du- π（γ）δ（γ）1{γ<T}P-a.s.，其中π（u）：=Pσu - φ（u）^y（u）1{u<T}, u∈ [0，T]。

根据随机指数公式，ETZ·^πudMGφu= expZT{u<γ}π（u）φ（u）du！1.- π（γ）δ（γ）1{γ<T}P-a.s.因此，使用（2.6）、（4.7）和（4.11）中δ、a和m的定义，’π的定义，以及m（t，^y（t），1）的事实≡ 1乘以（4.18）（因为^π=πmfor p=1乘以定理4.4（b）），对于v∈ [0，T），1- π（v）δ（v）=1- π（v）φ（v）κG（v）=a（v，^y（v），1）=m（v，^y（v），1）1+^y（v）=1+^y（v）。以上以及κGin（2.1）的定义和1.- π（γ）δ（γ）1{γ<T}=日志（1- π（γ）δ（γ））1{γ<T}给定日志ET公司Z·^πudMGφu=ZT'π（u）φ（u）（1- G（u））du+ZTlog1+^y（u）G（u）du=ZTπ（u）φ（u）κG（u）+对数1+^y（u）G（u）du=-ZT公司对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du。将所有内容放在一起建立（4.24）。其次，假设p 6=1。然后，最优性条件（OC1）和（OC2）以及（4.17）yieldE中的^z定义UX^πT=1.- 佩赫X^πT1.-pi=1- 体育课X^πTUX^πT=1.- pE“X^πT^zd^QdP#=^z1- pE^QX^πT= ^z1- px=x1-p1级- pexp(1 - p） u2pσTm（0，^y（0），p）-p、 4.6数值说明在本节中，我们使用数值说明来回答以下四个问题：（1）模型参数的变化如何影响最优策略及其短视和享乐需求？（2） 最佳策略是否会涉及卖空或投资超过默顿比例？（3） 最优策略是否从根本上区分了价格过程是否是对偶极小值^Q下的严格局部鞅？（4） 与Black-Scholes模型中的最优投资相比，我们模型中的交易福利损失有多大？福利损失如何取决于模型参数的变化？回想一下，泡沫破裂后，最好保持股票中财富upσ（默顿比例）的恒定比例。

因此，我们关注的是崩盘前的最优策略，所有交易策略图都显示了投资于股票的财富的最佳比例随时间的变化，因为泡沫尚未破裂。时间范围始终为T=1。对于问题（1）和（4），我们使用跳跃时间的切变指数分布（特别是在正概率情况下，泡沫不会发生burston[0，T]）和恒定的瞬时碰撞前超额收益φ（T）=α，用于α的不同选择∈ (0, 1); 参见表4.1、4.2和4.5的标题。为了显示与问题（2）和（3）相对应的效应，我们使用其他瞬时崩盘前超额收益和/或[0，T]上的均匀分布作为跳跃时间（在此情况下，泡沫几乎肯定会在[0，T]上破裂）；参见表4.3和4.4。（1） 近视和对冲需求的比较静态。定理4.4指出，对冲需求的符号πhis由投资者的相对风险厌恶度p决定。因此，我们提供了高风险厌恶度（p>1）和低风险厌恶度（p<1）的例子。对数效用的极限情形（p=1）总是导致套期保值需求消失，因此最优策略等于短视需求。结果表明，最优u=0.05、0.1、0.2、0.3σ=0.1、0.2、0.3、0.4α=0.1、0.2、0.4、0.8t∏ttt∏ttt的定性行为表4.1：高相对风险规避的最优策略（顶行）、近视需求（中行）和对冲需求（底行）（p=4）；线条强度对应于每列标题中给出的参数大小（虚线表示最小值等），默认参数为u=0.1、σ=0.2和α=0.2。

设置为T=1，G（T）=1- 经验值(-t） ，且φ（t）=α；特别是，相对跳跃大小为δ（t）≡ α.这种情况下的策略与p 6=1时最优策略的近视需求行为非常相似。因此，对于p=1的情况，我们省略了插图。表4.1和4.2描述了崩盘前的最佳策略，以及其分解为针对u、σ和α的各种选择的短视和对冲需求。回想一下，α是一个参数，分别用于描述高（p>1）和低（p<1）风险厌恶的股票价格过程S的相对跳跃大小。短视需求在瞬时预期收益率u上增加，在瞬时连续波动率σ和相对跳跃大小α上减少。注意，近视部分在表4.1和4.2中是恒定的。这是因为确定近视需求的方程式（4.18）与我们选择G和φ的时间t无关。一般来说，近视需求不必是恒定的（参见表4.3）。然而，对冲需求的定性行为在很大程度上取决于相对风险厌恶。在高风险厌恶（p>1）的情况下，套期保值需求总是非负的，并且具有与近视需求相同的单调性。在低风险厌恶（p<1）的情况下，套期保值需求是非正的，套期保值需求的单调性不再与近视需求的单调性一致。事实上，它以u为单位减小（绝对值增大），以σ为单位增大（绝对值减小），以α为单位呈“U形”。（2） 卖空和投资超过默顿比例。最优策略包括卖空，当且仅当投资者的相对风险厌恶p小于1且（非正）对冲需求在绝对值上超过（非负）近视需求时；参见定理4.4之后的讨论。

表4.2显示，空头交易被“良好”的后崩溃投资机会放大，即低σ和高u。对于高相对风险规避（p>1），近视u=0.05，0.1，0.2，0.3σ=0.1，0.2，0.3，0.4α=0.1，0.2，0.4，0.8t-5∏tt-5t-5∏tt-5t-5∏tt-5表4.2：与表4.1中的图相同，但相对风险规避较低（p=0.25）。套期保值需求总是非负的（根据定理4.4）；因此，最优策略从不涉及卖空。最优策略目光短浅的需求对冲需求dt∏t∏t∏表4.3：在极端情况下，崩盘前的最优策略（实心，左面板）可能位于默顿比例（虚线）之上。中间和右侧的面板分别显示了相应的近视和对冲需求。设置为T=1，G（T）=1-经验值(-t） ，φ（t）=0.2t。参数为u=0.3、σ=0.05和p=4。当p>1时，最优策略可能位于默顿比例之上（表4.3）。首先，这可能令人惊讶，因为由于存在额外的单跳分量，我们模型的瞬时方差高于相应的Black-Scholes模型。然而，仔细观察，这种影响可以解释为时间0时的高近视需求和接近时间0时有效增加的对冲需求的组合。最优策略近视需求对冲需求0.5∏t0.5∏t0.5∏表4.4：最优策略没有定性区分S是严格局部鞅还是对偶极小值^Q下的真鞅。设置为T=1，G（T）=T，φ（T）=α（1-t型-1); 特别是，相对跳跃大小为δ（t）=αt。实线对应于α=1，其中S是^Q下的严格局部鞅，虚线对应于α=0.7，其中S是^Q下的真鞅。虚线表示默顿比例。

参数为u=0.1、σ=0.2和p=4。（3） 严格局部鞅与真鞅。投资者的最优策略似乎没有明确区分双重极小值^Q下的严格局部鞅和真实鞅的资产价格。表4.4中的实线说明了在s是双重极小值^Q下的严格局部鞅的情况下，最优策略及其分解为短视和对冲需求（事实上，在通过定理3.4在附加条件（3.18）下获得的任何ELMM Q下）。对于α=1，表4.4的设置与示例3.7一致。然而，对于任何α∈ [0，1），股票价格过程S是^Q下的真鞅（根据定理3.6），表4.4中的虚线描述了最优策略及其分解为α=0.7的近视和对冲需求。图表表明，最优策略的定性行为非常相似。事实上，最优策略收敛（数值）为α↑ 1.（4）与布莱克-斯科尔斯模型相关的福利损失比较静态。根据定理4.7，在Black-Scholes模型中加入一个跳跃分量会减少市场交易的确定性等价物。我们旨在分析模型参数对这种福利损失的影响。比较不同市场的一个自然量是等效安全率。如果CE表示在初始资本为X且时间范围为T的市场中交易的确定性等价物，则等效安全率定义为唯一解r：=ESR，方程xerT=CE。换言之，投资者在这个市场交易和获得初始资本的安全年化回报率r之间没有差别。设CEBS=x expu2pσT表示在Black-Scholes市场交易的确定性等价物。

相应的等效安全率由ESRBS=Tlog给出CEBS/x=u2pσ。表示CE在（4.24）和（4.25）中给出的市场交易确定性等价物，在不同的设置下，[15]稍微不同地定义等效安全率：他们将“长期”等效安全率视为↑ ∞.p=0.25 p=1 p=4ΜrESRLΜrESRLΜrESRL∑rESRL∑rESRL表4.5：α=0.1（虚线）、α=0.2（虚线）、α=0.4（虚线）和α=0.8（实线）的相对等效安全率损失（rESRL）对u和σ的依赖性。设置为T=1，G（T）=1- 经验值(-t） ，且φ（t）=α。参数为σ=0.2（顶行）和u=0.1（底行）。相应的等效安全率由ESR=Tlog（CE/x）=ESRBS给出-（p1-pTlog m（0，^y（0），p），如果p 6=1，TRTφ（u）^y（u）2σκG（u）+对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du，如果p=1。（4.27）为了提高不同参数集的可比性，我们认为相对等效安全率损失rESRL=1-ESRBS以下；与在Black-Scholes市场交易相比，这是我们市场交易损失的相对衡量标准。由（4.27）可知，RESRL=2σu×p1-pTlog m（0，^y（0），p），如果p 6=1，TRTφ（u）^y（u）2σκG（u）+对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du，如果p=1。表4.5说明了rESRL对模型参数u和σ以及描述股价过程S相对跳跃大小的参数α的依赖性。在p=4的情况下，rESRL在α中增加，在σ中减少，而在u中几乎保持不变。这是因为随着α的减小或σ的增大，差异部分相对于跳跃部分变得越来越占主导地位，因此我们的模型越来越像Black-Scholes模型。在p=0.25的情况下，依赖关系就不那么清楚了。一方面，如果u是su ficientlysmall和/或σ是su ficiently large，则rESRL在α中增加。