Black-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资

第二个断言来自暗示“（b）=> （a） “of[17，引理2.5]。（b） ：第（i）部分来自（a）和[17，定理3.5（b）–（c）和引理2.6]；第（ii）部分来自【17，引理3.7（b）】。（c） ：AsRTG（u）du=1- G（T）≤ 1，RTF（u）κG（u）G（u）du<∞ 根据假设和Jensen的sinequality。因此，根据[16，引理2.6，3.4和定理3.5]，如果G（T）>0，如果G（T）=0。此外，由于MGF是纯不连续的，在{γ<T}上的γ处有一个跳跃，其二次变化满足MGF公司T=X0<v≤TMGFv公司=F（γ）κG（γ）{γ<T}P-a.s.尤其是，EMGF公司T=ZT公司F（u）κG（u）G（u）du<∞.因此，根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，MGF是一个平方可积Fγ鞅。2.2金融市场我们认为金融市场由正的无风险资产B=（Bt）t组成∈[0，T]，这是一个数字，无一般性损失，归一化为1，风险资产S=（St）T∈[0，T]其动力学（以数字为单位）由bydSt=St给出-（udt+σdWt+dMGφt），S=1。（2.4）此处，u∈ R、 σ>0和φ∈ C[0，T）满意度0≤ φ≤ κGon[0，T）。（2.5）注意，（2.5）和命题2.2（c）意味着MGφ是一个平方可积鞅。我们可以假设φ（0）=0，但不失一般性。为了避免可能的混淆，我们强调S和MGφ存在于闭区间[0，T]，即使φ仅定义在半开区间上[0，T）。注意，MGφ中的随机性来自γ，γ被解释为气泡破裂或崩溃发生的时间。返回过程的动力学R=（Rt）T∈由Rt=uT+σWt+MGtφ定义的S的[0，T]可总结如下。在γ之前，R由漂移（u+φ（t））dt和随机波动σdWt组成。

此外，如果γ<T，则在时间γ时，存在非正跳MGφγ=-R中的δ（γ）1{γ<T}，其中δ：[0，T）→ [0，1]定义为δ（t）=φ（t）- AGφ（t）=φ（t）κG（t）（2.6）描述了MGφ跳跃的绝对大小；如果γ=T，则MGφ不跳跃（概率为1）。最后，在γ之后，R由漂移udt和随机波动σdWt组成，即它满足与标准Black-Scholes模型的收益过程相同的动力学。不同的是，与参数为u和σ的标准Black-Scholes模型的返回过程相比，R在γ之前有一个非负的额外漂移φ（t）dt，在γ时，有一个大小的非正跳跃-δ（γ）1{γ<T}。这是一个理想化的模型，这是泡沫的主要经验特征，泡沫是一个强劲的上升趋势，然后在破裂时急剧下降。因此，我们称φ为瞬时碰撞前超额收益。此外，我们称u为瞬时预期收益。使用δ，我们可以将（2.5）重新表示为0≤ δ ≤ [0，T]上的1，这表明（2.5）中的左不等式确保了瞬时崩溃前超额回报率为非负，而右不等式确保了股票价格始终为非负。如果右不等式对所有T∈ [0，T），股价甚至为正。2.3放松的Johansen–Ledoit–Sornette模型回顾了JLS模型中泡沫成分的动力学，来自（1.1）：dStSt-= φ（t）dt+σdWt- δdJt，（2.7），其中φ（t）=ΔκG（t），t∈ （0，T）。

使用单跳局部鞅的符号，我们可以将（2.7）中的漂移项和跳项组合在一起，得到DSTST-= σdWt+dMGφt，（2.8），其中MGφ是（2.2）中介绍的单跳局部鞅，φ是φ的本原，φ（0）=0，即φ（t）=Ztφ（u）du=δZtκG（u）du，t∈ [0，T）。我们得出结论，JLS模型是（2.4）的特例，瞬时期望收益率为零，危险率满足（1.2），φ的选择应确保δ（T），如果发生在时间T，则MGφ跳跃的绝对大小∈ [0，T]是（0，1）中的一个常数。特别是，气泡在[0，T]间隔内不破裂的概率为G（T），我们允许它为非零。准确地说，我们在这里假设S在碰撞后演化为几何布朗运动；JLS模型没有指定碰撞后发生的情况。轻松的JLS模型。如果其动力学形式为（2.8）（即（2.4），u=0），φ满足度（2.5），并且危险率κGofγ遵循（0，T）上的LPPL（1.2），则我们称其为放松JLS模型。

JLS模型与其松弛模型之间的共同特征和差异如下：o松弛JLS模型保持了JLS模型的一般结构：收益过程由依赖时间的漂移、布朗运动和单跳过程组成放松的JLS模型保留了跳时危险率LPPL的关键假设放松的JLS模型不要求S是鞅；然而，从构造上来说，它总是一个局部鞅放松的JLS模型没有将参数m定义为区间（0，1）；相反，mca可以是任何实数。o松弛的JLS模型不要求crashbe发生时S的相对损失δ为常数in（0，1）；相反，δ通常是一个[0，1]值的时间确定性函数，由φ和κGvia确定（2.6）。下面的定理3.8意味着m≤ 0是松弛JLS模型成为严格局部鞅的必要前提。让我们简要地讨论一下限制m∈ （0，1）由原始JLS模型施加。关于限制m的讨论∈ (0, 1). 在【39，第2.2节】中，有人认为m应位于区间（0，1）内。作者指出，m<1是获得加速危险率所必需的。虽然这肯定是真的，但Brée和Joseph[7]指出，在将LPPL（2.9）拟合到数据时，m<1不应该是先验限制。与m的最佳配合≥ 1应该用来拒绝模型。这里，我们关注的是限制m>0。文献[39]认为，m>0是必要的，以确保气泡成分“始终保持不变，包括tc[=T]”（第4419页）。然而，我们声称如果m≤ 0，则γ<T P-a.s.如果m≤ 0，则危险率（1.2）在（0，T）上不可积分，因此G（T-) = 1根据命题2.1，使得γ<T P-a.s。换句话说，碰撞发生在概率为1的“临界时间”T之前。

因此，气泡成分在任何时候都是有限的，而[39]的论点并不能证明消除案例m是合理的≤ 先验值为0。[39]的作者还声称，JLS模型的性质是，没有崩溃发生的正概率“使投资者保持投资是合理的，因为他们知道泡沫正在形成，崩溃正在逼近[因为……]投资者有机会从泡沫的上升中获益，并毫发无损地离开”（第4419页）。然而，即使崩盘几乎肯定发生在时间T之前，也可以同样地认为，投资者乘着泡沫是理性的，因为他们知道泡沫肯定会在时间T之前破裂，只要他们在时间T之前减少头寸。有了这一策略，他们只需押注泡沫只有在平仓后才会破裂的事件。事实上，我们的定理4.4表明，只要基础资产具有正的瞬时预期回报，相对风险厌恶度大于1的投资者就会遵循这样的策略。8,9我们强调，如果泡沫几乎肯定在时间T之前破裂（毕竟，泡沫成分是局部鞅），做空泡沫不是套利机会。例如，在泡沫中持有（恒定）空头头寸的天真策略会导致正概率的破产，因为如果泡沫破裂的足够晚，泡沫可能会变得任意大。备注2.3。

利用公式（2.8），我们还可以严格证明，风险率的对数周期幂律（1.2）延续到另一个对数周期幂律，即风险厌恶度小于1的投资者在某些情况下也可能投资于泡沫。众所周知，风险厌恶型代理人（具有有限的信贷额度）从不投资即时预期回报为零的资产。某一时刻气泡成分的条件期望t∈ （0，T）假设事故尚未发生。利用γ和W的独立性，假设t<γ的条件期望计算如下：E[St | t<γ]=1- G（t）E集合（σW+MGφ）1{t<γ}=S1级- G（t）EEt（σW）exp（φ（t））1{t<γ}= Sexp（φ（t））。因此，假设碰撞尚未发生，则气泡成分的预期值的对数读数为asI（t）：=log E[St | t<γ]=log S+φ（t）=log S+δZtκG（u）du。替换危险率的LPPL表格（1.2），使用该m∈ （0，1），积分给定值si（t）=A+B | t-t | m+C | t- t | MCO（$log（t- t）- ψ） ，（2.9），其中B=-δB/m，C=-δC/√m+$、A和ψ是取决于A、B、C、m、T、$、ψ和S的常数（参见[39]中的方程式（6））。方程（2.9）是关于金融泡沫背景下对数周期幂律的文献的基础。1996年，Bouchaud、Johansen和Sornette【6】以及Feigenbaum和Freund【14】独立提出，金融资产在发生大崩盘之前的对数价格可以通过对数周期幂律（2.9）来计算。然后，主要目标是获得“临界时间”T的预测，该时间被解释为“最可能发生碰撞的时间”[24]（因为危险率在T时爆炸）。这种方法已被广泛使用（概述见[39，11]），并在文献中进行了激烈的辩论（特别是见[13，25，12]和[7]）。备注2.4。

Ausloos、Boveroux、Minguet和Vandewalle已经提出了m=0的情况[2、3、4]。他们建议将LPPL（2.9）替换为I（t）=A+B log（t- t） +C对数（t- t） cos（$对数（t- t）- ψ) .相应的危险率κG（t）=B | t- t型|-1+C | T- t型|-1个COS（$log（T- t）- ψ） 在（0，T）上是不可积的，因此根据命题2.1，γ<T P-a.s。据我们所知，到目前为止，文献中尚未研究m<0的情况。3 ELMM和严格局部鞅性质我们继续推导金融市场的ELMM（子）类（2.4），并提供在这些ELMM下S是严格局部鞅的模型参数的条件。作为应用，我们得到了松弛JLS模型在物理测度下是严格局部鞅的充要条件。3.1单跳过程的初步结果我们首先构造概率测度Qγ≈ P，其中某些单跳半鞅是平方可积鞅。除了关于平方可积性的陈述外，定理3.1本质上是关于单跳半鞅的ELMM的存在性和特征的更一般结果【16，定理4.2】的应用。为了方便阅读，并且由于需要检查许多条件，我们提供了完整的详细信息。参见，例如，【41，7，39】的形式推导。我们注意到，早期的文章中没有对基本值和气泡分量进行区分。此外，有时价格是固定的，而不是原木价格。定理3.1。设F，y∈ C[0，T）为0≤ F≤ κ和inft∈[0，T）y（T）>-1、此外，如果G（T）>0，假设zt | F（u）y（u）| du<∞ andZTκG（u）（1+y（u））du<∞. （3.1）定义函数ζ：[0，T）→ (0, ∞) 和H:[0，∞) → [0，1]乘以ζ（t）=exp-ZtκG（u）y（u）du, （3.2）H（t）=1- 经验值-ZtκG（u）（1+y（u））du{t<t}。

（3.3）那么ζ是正的，MGζ是从1开始的正（P，Fγ）-鞅。确定测量值γ≈ FγTbydQγdP上的P=MGTζ。那么γ在Qγ下有分布函数H，对于t∈ [0，T），AGζ（T）=ζ（T）（1+y（T）），（3.4）1- H（t）=ζ（t）（1- G（t）），（3.5）κH（t）：=H（t）1- H（t）=κG（t）（1+y（t））。（3.6）此外，MGF+Z·{u≤γ} F（u）y（u）du=MHZ·F（u）（1+y（u））du（3.7）是平方可积（Qγ，Fγ）-鞅。证据我们应用更一般的“漂移消除”结果【16，定理4.2】。为此，我们确定∈ 通过A（T）=RtF（u）y（u）du，并声明0/0：=0。然后f：=dFdG=FGanda：=dAdG=fy，在[0，T]上。注意，如果G（T）>0，然后乘以（3.1），ZT | a（u）| G（u）du=ZT | f（u）y（u）| G（u）du=ZT | f（u）y（u）| du<∞,ZT | f（u）| G（u）du=ZTF（u）du≤ZTκG（u）du=-日志G（T）<∞,因此，满足了[16，定理4.2]第一行中的假设。此外，显然{f=0}∩ （0，T） {a=0}，af=y>-1开（0，T）和RBa（u）f（u）G（u）du<∞ 对于每个b∈ （0，T），即满足了[16]中的条件（4.8）–（4.10）（以及（4.11））。我们继续证明如果G（T）=0，则[16]中h=0的（4.13）和（4.22）满足。事实上，假设∈[0，T）y（T）>-1以及RTκG（u）du=∞ givesZT公司a（u）f（u）+1G（u）1- G（u）du=ZT（1+y（u））κG（u）du=∞.接下来，我们在[16]中建立（4.14）和（4.15），如果G（T）>0。集合A（T）：=RTF（u）y（u）du，由（3.1）定义。然后A（T）=0，因此我们在[16]中得到了（4.14）。此外，identityaf=y，（3.1）和identityRTκG（u）du=-日志G（T）<∞ giveZT公司a（u）f（u）G（u）1- G（u）du=ZT | y（u）|κG（u）du<∞.As1-G≥ （0，T）上的1，上述yieldsRTa（u）f（u）G（u）du<∞, 我们在【16】中有条件（4.15）。现在，如果我们在[16]中将ζ定义为（4.16），对于h=0，这将简化为（3.2），关于tmgζ的断言来自[16，定理4.2]。

如果我们用（3.3）定义H，那么（3.5）来自标识1-G（t）=经验-RtκG（t）dt, t型∈ [16]中的公式（4.23）表明，γ在Qγ下具有分布函数H。此外，（3.4）和（3.6）是简单明了的，而（3.7）来自于[16]中的断言（4.24）。最后，请注意假设0≤ F≤ κGimplies通过（3.6）0≤ F（1+y）≤ κH和命题2.2（c）（P和G分别被Qγ和H所取代）产生了thatMHR·F（u）（1+y（u））du是平方可积（Qγ，Fγ）-鞅。了解平方可积Qγ-鞅（3.7）的随机指数何时是Qγ下的严格局部鞅，对于我们的目的具有决定性意义。为此，我们首先提供了单跳局部鞅的随机指数公式。提案3.2。让F∈ C[0，T）使得F（0）=0和0≤ F≤ κG（0≤ F<κG）。THNRT | AG（expoF）（u）| G（u）du<∞ 安第斯山脉MGF公司= 毫克（经验值oF）（3.8）是一个非负（正）局部（P，Fγ）-鞅。证据首先，请注意假设0≤ F≤ κG（0≤ F<κG）意味着MGF公司≥ -1(MGF>-1). 因此，根据随机指数的公式（见[35，定理II 37]），EMGF公司为非负（正）。恒等式（3.8）是一种简单的计算方法。最后，MG（expoF）表示RT | AG（expoF）（u）| G（u）du<∞ 根据命题2.2（a），这也表明MGF公司是一个可积局部（P，Fγ）-鞅。下一个结果为E（MGF）是严格局部（P，Fγ）-鞅提供了一个必要的充分条件。它还表明，这种严格的局部鞅性质在测度的某些变化下仍然存在，只要过程进行相应的变换（因此它在新测度下是无漂移的）。定理3.3。假设G（T）=0，F（0）=0，和0≤ F（t）≤ κG（t）。然后是EMGF公司astrict局部（P，Fγ）-鞅当且仅当ifRT（κG（u））- F（u））du<∞.

此外，假设是这样∈ C[0，T）满意度 ≤ 1+y（t）≤ C+CF（t）{κG（t）<CF（t）}，t∈ 对于某些常数，[0，T），（3.9） ∈ （0、1）和C≥ 定义ζ、H和Qγ，如定理3.1所示。ThenE公司MH公司R·F（u）（1+y（u））du是严格局部（Qγ，Fγ）-鞅当且仅当EMGF公司isa严格局部（P，Fγ）-鞅。证据首先，对于t∈ [0，T），（2.1）和（3.6）给定1- G（t）=经验-ZtκG（t）dt, (3.10)1 - H（t）=经验-ZtκH（t）dt= 经验值-ZtκG（t）（1+y（t））dt. （3.11）现在，第一项权利主张源自主张3.2和2.2（b）（ii）和（3.10），因为（expoF）（t）（1- G（t））=经验值-Zt（κG（u）- F（u））du, t型∈ 注意，H被称为GQin[16]，GQ（T）=Q[γ≤ T]=P[γ≤ T]=1作为Q≈ P对于第二个权利要求，注意（κG（t）的可积性-（0，t）上的F（t）（1+y（t））等价于κG（t）的可积分性- F（t）在（0，t）上，自（3.9）起，（κG（t）- F（t））≤ （κG（t）- F（t））（1+y（t））≤ C（κG（t）- F（t））+C（C- 1).现在，第二个权利要求来自第一个权利要求和命题3.2和2.2（b）（ii）（Q和h分别被P和G替换）以及（3.11），因为expZtF（u）（1+y（u））du(1 - H（t））=经验值-Zt（κG（u）- F（u））（1+y（u））du, t型∈ [0，T）.3.2等价局部鞅测度将单跳半鞅的“漂移消除”结果定理3.1与布朗运动的Girsanov定理相结合，可以为金融市场构造一个丰富的ELMM子类（2.4）.定理3.4.让y∈ 带inft的C[0，T]∈[0，T）y（T）>-1使zt（φ（u）y（u））du<∞ andZT公司{G（T）>0}κG（u）（1+y（u））du<∞. （3.12）定义函数ζ：[0，T）→ (0, ∞) 和H:[0，∞) → [0，1]和过程Z=（Zt）t∈[0，T]乘以ζ（T）=exp-ZtκG（u）y（u）du, （3.13）H（t）=1- 经验值-ZtκG（u）（1+y（u））du{t<t}，（3.14）Zt=Et-Z·σu - φ（u）y（u）1{u≤γ、 u<T}dWu公司管理ζ。（3.15）那么Z是从1开始的正P鞅。