Black-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资

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英文标题：
《Strict Local Martingales and Optimal Investment in a Black-Scholes Model
  with a Bubble》
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作者：
Martin Herdegen, Sebastian Herrmann
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  There are two major streams of literature on the modeling of financial bubbles: the strict local martingale framework and the Johansen-Ledoit-Sornette (JLS) financial bubble model. Based on a class of models that embeds the JLS model and can exhibit strict local martingale behavior, we clarify the connection between these previously disconnected approaches. While the original JLS model is never a strict local martingale, there are relaxations which can be strict local martingales and which preserve the key assumption of a log-periodic power law for the hazard rate of the time of the crash. We then study the optimal investment problem for an investor with constant relative risk aversion in this model. We show that for positive instantaneous expected returns, investors with relative risk aversion above one always ride the bubble.
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中文摘要：
关于金融泡沫建模有两大主流文献：严格局部鞅框架和约翰森·莱多伊特·索内特（JohansenLedoit-Sornette，JLS）金融泡沫模型。基于一类嵌入了JLS模型并且可以表现出严格的局部鞅行为的模型，我们阐明了这些先前断开连接的方法之间的联系。虽然原始JLS模型从来都不是严格的局部鞅，但有一些松弛可以是严格的局部鞅，并且保留了对数周期幂律对碰撞时间危险率的关键假设。在此模型中，我们研究了相对风险厌恶度为常数的投资者的最优投资问题。我们发现，对于正的瞬时预期回报，相对风险厌恶度高于1的投资者总是会在泡沫中度过难关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：SCHOLES choles Black Holes lack

具有泡沫的aBlack-Scholes模型的严格局部鞅与最优投资*Martin Herdegen+Sebastian Herrmann摘要关于金融泡沫建模有两大主流文献：严格局部鞅框架和Johansen–Ledoit–Sornette（JLS）金融泡沫模型。基于一类嵌入了JLS模型并且可以表现出严格的局部鞅行为的模型，我们阐明了这些先前断开连接的方法之间的联系。虽然最初的JLS模型从来都不是严格的局部鞅，但有一些松弛可以最好地估计局部鞅，并保留了对数周期幂律对碰撞时间危险率的关键假设。然后，我们研究了该模型中具有常数相对风险厌恶的投资者的最优投资问题。我们表明，对于积极的内在预期回报，相对风险厌恶度高于1的投资者总是会在泡沫中度过难关。关键词气泡；严格局部鞅；JLS型号；最优投资；效用最大化；Powerutility。AMS MSC 2010初级，91G10；次级，49N15，49J15。JEL分类G11、C61.1简介金融泡沫[26、36、37]通常与资产价格与其“基本价值”之间的差异有关。数学金融文献认为，通过将资产价格建模为严格的局部鞅过程（即，非鞅的局部鞅），在一些等价局部鞅测度（ELMM）下，可以非常普遍地捕捉这种形式的错误定价；参见Loewenstein和Willard【33】、Cox和Hobson【10】、Heston、Loewenstein和Willard【18】、Jarrow、Protter和Shimbo【19、20】、Protter【36】以及其中的参考文献。

关于金融泡沫的另一篇文献来源于将资产价格设定为所谓的对数周期幂律，以检测和预测可能泡沫的终结；参见Bouchaud、Johansen和Sornette【6】以及Feigenbaum和Freund【14】。这导致了约翰森-莱多伊特-索内特（Johansen-Ledoit-Sornette，JLS）金融泡沫模型的发展【23，22】。然而，JLS模型从定义上讲是一个鞅，根本没有提到严格的局部鞅。本文有两个目标：（1）澄清这些之前不连贯的建模方法之间的联系；（2）分析理性投资者在广义JLS型资产价格泡沫出现时的行为。*作者感谢杰罗姆·德坦普尔（Jér^ome Detemple）、大卫·霍布森（David Hobson）、约翰内斯·穆勒·卡贝（Johannes Muhle Karbe）、雷米·普拉斯（rémy Praz），尤其是马丁·施韦泽（Martin Schweizer），感谢他们激发了讨论和评论。我们还要感谢一位副主编和裁判的宝贵意见。此外，我们感谢瑞士金融研究所（Swiss FinanceInstitute）和国家能力研究中心“金融估值和风险管理”（NCCR FINRISK）D1项目（金融风险管理的数学方法）提供的财政支持。NCCR FINRISK是瑞士国家科学基金会的研究工具。+英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL，电子邮件M。Herdegen@warwick.ac.uk.密歇根大学数学系，530 Church Street，Ann Arbor，MI 48109，USA，emailsherrma@umich.edu.TheJohansen–Ledoit–Sornette模型。

JLS模型提出，金融资产的价格过程可以建模为其“基本价值”（未进一步规定）和泡沫成分S=（St）t之和∈[0，T]具有动态stst-= φ（t）dt+σdWt- δdJt，（1.1），其中φ是确定性函数，Jt=1{t≥γ} 在碰撞时间γ时从0跳到1，常数δ∈ （0，1）是碰撞时气泡成分的相对损失，t是时间范围。碰撞时间γ是一个正随机变量，与布朗运动W无关，分布函数G是非常正则的。假设S是（真）鞅，它通过φ（t）=ΔκG（t），t来确定φ∈ （0，T），其中κG=G/（1）- G） 是γ的危险率。一个关键假设是γ的危险率遵循对数周期幂律（LPPL）κG（t）=B | t- t | m-1+C | T- t | m-1个COS（$log（T- t）- ψ） ，t∈ （0，T），（1.2），其中B，C，m，T，$和ψ是合适的实参数；我们参考【39，第2.1节】进行解释。JLS模型将参数m定义为区间（0，1）。这个条件等价于有一个正概率，即气泡在T之前不会完全破裂，并且排除了S的严格局部鞅动力学（定理3.8）。然而，[39，第2.2节]中给出的m>0的合理性是有争议的；参见第2.3节中的讨论。这激发了对广义JLS模型的研究。模型类别和主要特征。通过放松一些假设，我们将JLS模型嵌入到一个更大的类别中：G可以是C[0，T]中的任何分布函数，G在[0，T]上大于0，相对损失δ可以是δ（T）=0的时间的[0，1]值确定性函数，S可能具有恒定的瞬时预期回报u∈ R、 特别是，气泡在T之前或T处未破裂的概率可以选择为零或正。

与其假设S是鞅，我们只要求S是u=0的局部鞅。该模型类的主要特征是：（a）它足够灵活，可以包含规范，使得S成为一大类ELMM下的严格局部鞅。这使我们能够分析JLS模型在多大程度上可以嵌入到严格的局部鞅框架中。（b） 尽管跳跃导致模型类的不完整性，但它足够容易处理，允许半显式地解决效用最大化问题。这使我们能够分析在这种类型的资产价格泡沫存在的情况下，理性主体应该如何表现。目标（1）：松弛JLS模型和严格局部鞅。JLS模型定义为鞅。为了实现我们的第一个目标，我们考虑了放松的JLS模型，该模型定义如下：我们保留跳跃时间危险率对数周期幂律（1.2）的关键假设，但允许参数m为任何实数（不一定在（0，1）中），允许δ在[0，1]中随时间变化（不一定在（0，1）中为常数），并且只要求在物理测度下是局部鞅（不一定是鞅）。然后，我们发现松弛JLS模型是严格局部鞅当且仅当m≤ 0和函数（1- δ） κGis可积于（0，T）（定理3.8和备注3.9）。

在这种情况下，泡沫在T和lim supt之前肯定会破裂↑↑Tδ（T）=1，也就是说，对于每一个ε>0，气泡成分损失分数1的概率为正-发生碰撞时其值的ε。以下规范摘自【39】（直至符号变更）；【22】中的原始规范略有不同，尤其是没有明确的布朗成分。该假设在JLS模型中并不明确，但由于危险率（1.2）的假设形式不依赖于W，因此是隐含的。参数的选择必须确保危险率始终为非负；参见[41]。早期的许多文章都忽略了这个约束。“临界时间”T>0被解释为泡沫状态的结束【39】，崩溃可能发生在T之前的任何时间。目标（2）：最优投资。假设资产的瞬时预期收益为正，我们研究了上述模型类别中电力公司投资者从终端财富中获得最大预期效用的问题。我们根据积分方程（或具有非标准终端条件的一阶常微分方程）的解，提供了市场交易的最优策略和确定性等价物的明确公式；参见定理4.2和4.7。最优策略可以分解为两部分（定理4.4）：一部分是短视需求，它优化了每个时间点的局部性能；另一部分是享乐需求，它考虑了资产价格在投资者的时间框架内如何在全球范围内动态变化。这种分解使我们可以得出结论，相对风险厌恶度高于1的投资者从不卖空资产。换言之，这些投资者在泡沫中乘风破浪，而不是攻击它。

这一理论见解与[8]的实证结果一致，即对冲基金尽管意识到泡沫的存在，但仍大量投资于网络泡沫的股票。基于数值例子，我们讨论了最优策略和确定性等价的比较静力学。此外，我们发现，当资产价格过程是一个严格的局部鞅（而不是一个真正的鞅）时，在一大类ELMM下，最优策略并没有根本不同。违约风险解释。尽管基本的经济问题完全不同，但从纯数学的角度来看，最优投资问题也可以在部分违约风险的背景下看待。[31]和[21]最近研究了这个问题；这里，γ被解释为风险资产的违约时间。在这两篇文章中，最优策略的特点是BSDE（带跳跃）的解决方案。事实上，我们的设置可以看作是[21]的一个特例。然而，请注意，我们解决问题的方法（凸对偶）不同于他们的方法（动态规划和BSDE），我们的解决方案比他们的更明确（在与我们的设置类似的情况下）；见【21，第4.3节】。更重要的是，效用最大化的凸对偶方法自然与ELMM联系在一起。因此，它比动态规划更适合研究资产价格过程的严格局部鞅性质。论文的组织结构。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了概率设置和符号，描述了模型类，并解释了JLS模型及其松弛如何嵌入其中。

第3节为我们的金融市场构建了一个（子）类ELMM，并给出了在这种ELMM下资产价格是严格局部鞅的条件。第四节研究了最优投资问题。附录A包含一个技术结果，允许我们在某些等效测量和过滤之间切换。与候选最优策略相关的积分方程在附录B中进行了分析，而其最优性验证的技术方面则推迟到附录C.2模型类别固定有限时间范围T>0，并让(Ohm, F、 P）是带有布朗运动的概率空间w=（Wt）t∈[0，T]和独立随机变量γ取（0，T）中的值。确定（原始）过滤FW=（FWt）T∈[0，T]，Fγ=（FγT）T∈[0，T]，F=（Ft）T∈[0，T]FWt=σ（Wu：0≤ u≤ t） ，Fγt=σ{γ≤u} ：0≤ u≤ t型, Ft=σFWt，Fγt. 请注意，fw和Fγ是独立的，且γ是相对于Fγ和F的停止时间。除非另有说明，否则所有probabilisticKorn和Wilmott【29】研究了一个相关的最优投资问题，其中跳跃时间和跳跃大小的分布未知，优化遵循最坏情况的方法；关于这种方法，另请参见[38，5]及其参考文献。[40]从描述1720年南海泡沫中一家消息灵通银行的交易活动的数据中得出同样的实证结论。需要概率度量和/或过滤（例如过程的（局部）鞅性质）的概念与P和/或F有关。我们用g表示P下γ的分布函数，并假设g∈ C[0，T）和g>0；注意γ定律（我们用dG表示）可能有一个点质量atT，在这种情况下G（T）>0。我们记得γ的危险率（P下）是功能κG:[0，T）→ (0, ∞) 定义单位：κG（t）=(-日志（1- G（t））=G（t）1- G（t）。

（2.1）它描述了在下一时刻发生跳跃的条件概率，前提是跳跃尚未发生。危险率的可积性与T处dG的点质量的存在有关，如下所示。提案2.1。以下是等效的：（a）危险率κGis在（0，T）上不可积分。（b） G（T-) = 1.（c）G（T）=0。证据因为γ是（0，T）值，G（T）=1，所以等价“（b）<=> （c） “是微不足道的。接下来，通过定义κG，κG（t）=-ddtlog（1- G（t））表示t∈ [0，T）.在（0，T）yieldsZTκG（u）du=-日志（1- G（T-))（日志为0：=-∞) 并证明了等价性”（a）<=> （b） “。2.1单跳局部鞅我们模型类中的资产价格过程由布朗运动W和在时间γ有单跳的有限变分局部鞅驱动。这些单跳局部鞅在本文中起着重要作用。我们在这里介绍它们并收集它们的一些特性；关于这类过程的（局部）鞅性质的详细研究，请参见[17]。对于F∈ C[0，T），确定过程MGF=（MGtF）T∈[0，T]byMGtF=F（T）1{T<γ}+AGF（γ）1{T≥γ} ，（2.2）其中函数AGF：[0，T]→ R由AGF（v）给出=F（v）-F（v）κG（v），v∈ [0，T），F（v-)1{G（T）>0}，v=T，如果limt↑↑TF（t）存在于R，0，v=t，如果limt↑↑TF（t）不存在。（2.3）请注意，尽管函数F仅在半开区间[0，T]上定义，但processMGF在闭区间[0，T]上定义。每个轨迹MG·F（ω）遵循确定性函数F，直到随机时间γ（ω）之前，在时间γ处有一个跳跃（可能大小为0），并且从时间γ（ω）开始在AGF（γ（ω））处保持不变。AGF定义（2.3）中的第二行和第三行仅在以下情况下相关G（T）>0（否则γ<T P-a.s.）。

在这种情况下，如果MGF是局部鞅，那么左极限F（T-) 根据下文第2.2（b）（i）条命题存在于R中。这有一个重要的含义：如果γ=T，那么通过（2.2）–（2.3），MGF根本不跳。在对F和G的温和假设下，MGF是局部（P，Fγ）-鞅，因此根据P下fw和Fγ的独立性，MGF也是局部（P，F）-鞅。下面的命题结合了文献[17]中的几个结果，提供了MGF是可积局部鞅、真鞅或平方可积鞅（相对于Fγ）的F和G上易于检查的条件。我们强调，我们不仅可以在P下应用命题2.2，还可以在等效概率测度Q下应用命题2.2≈ P打开(Ohm, F） 只要我们用Q下γ的分布函数代替G。然而，请注意，除非Q=P，否则我们通常不能得出任何（局部）（Q，Fγ）-鞅也是（局部）（Q，F）-鞅的结论。这是因为在Q 6=P时，fw和Fγ可以相互依赖。在这种情况下，我们必须求助于技术“过滤引理的变化”（附录A中的引理A.1），它允许我们在某些情况下从Fγ传递到F。提案2.2。让F∈ （a）过程MGF是可积局部Fγ鞅当且仅当ifRT | AGF（u）| G（u）du<∞. 如果F和AGF从下到上（0，T）有界，则后一个条件成立。如果MGF为非负，则这是自动满足的。（b） 假设MGF是局部Fγ鞅。（i） 如果G（T）>0，则MGF是Fγ-鞅且极限limt↑↑TF（t）存在于R.（ii）中，如果G（T）=0且MGF是可积的，则MGF是Fγ鞅当且仅当iflimt↑↑TF（t）（1- G（t））=0。（c） IfRTF（u）κG（u）G（u）du<∞, 那么MGF是一个平方可积Fγ鞅。证据（a） ：根据[17，引理3.4]，当且仅当ifRT | AGF（u）| G（u）du<∞.此外，在这种情况下，MGF根据[17，引理3.7]自动成为局部Fγ-鞅。